第五章矩陣的特征值問(wèn)題

1、.A113A113,30210000的特征向量的屬于特征值是的特征值，是所以使得及非零向量存在數(shù)AA設(shè)設(shè)A A是是n n階方陣，如果存在一個(gè)數(shù)階方陣，如果存在一個(gè)數(shù) 及非零向量及非零向量則稱(chēng)則稱(chēng) 為為A A的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值, ,為為A A的對(duì)應(yīng)于（或?qū)儆冢┑膶?duì)應(yīng)于（或?qū)儆冢? ,使得使得0A 特征值特征值 的特征向量。的特征向量。第一節(jié)特征值與特征向量第一節(jié)特征值與特征向量比如，給定比如，給定000定義定義1如何求方陣如何求方陣A的特征值的特征值 與特征向量與特征向量 ?分析分析:若若 是是A的特征值，的特征值， 是是A的屬于特征值的屬于特征值 的的特征向量，特征向量， A=, 即 (

2、E-A)=0 (0),可見(jiàn):是齊次線性方程組(E-A)X=0的非零解. 由于 是n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性方程組，故有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式|E-A|為零，即|E-A|=0. (稱(chēng)此方程為A的特征方程).(E-A)X=0 . 由此可知: 是特征方程 的根。 |E-A|=0則由定義有則由定義有求矩陣求矩陣A的特征值與對(duì)應(yīng)的特征向量的步驟可以歸納為：的特征值與對(duì)應(yīng)的特征向量的步驟可以歸納為：(2) 將每個(gè)特征值將每個(gè)特征值= 代入齊次線性方程組代入齊次線性方程組,得得 ( E-A)X=0，n,21i特征向量. 解方程組，求出基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系的線性組合解方程組，求出基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系的

3、線性組合(1)求出求出A的特征方程的特征方程|E-A|=0的全部根，即得的全部根，即得矩陣矩陣A的全部特征值的全部特征值 .ii求矩陣求矩陣A的特征值與對(duì)應(yīng)的特征向量的步驟可以歸納為：的特征值與對(duì)應(yīng)的特征向量的步驟可以歸納為：（零向量除外）就是（零向量除外）就是A的的對(duì)應(yīng)于特征值對(duì)應(yīng)于特征值 的全部的全部 314020112例例1求矩陣求矩陣A 解解A的特征方程為的特征方程為故得A的特征值為11,232.的特征值與特征向量的特征值與特征向量.|E-A|=0即314020112. 0)2)(1(2414030111321xxx000114000114321xxx000當(dāng)當(dāng)11時(shí)，解線性方程組時(shí)，

4、解線性方程組( E A)X 0,得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系1 (1,0,1)T，于是對(duì)應(yīng)于，于是對(duì)應(yīng)于11的全體特的全體特征向量為征向量為 k11 , k1為任意非零常數(shù)為任意非零常數(shù). 當(dāng)當(dāng)2 3 2時(shí)，解線性方程組時(shí)，解線性方程組(2E A)X 0,即即得基礎(chǔ)解系2(1,0,4)T, (1,4,0)T,于是對(duì)應(yīng)于232的全部特征向量為k22+k33 (k2,k3是不同時(shí)為零的任意常數(shù)). 即即3201034011例例2求矩陣求矩陣A 解解A的特征方程為的特征方程為故得故得A的特征值為的特征值為1 2,2 3 1.的特征值與特征向量的特征值與特征向量.|E-A|=201034011. 0)2()

5、1(2321xxx000得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系1 (0,0,1)T.于是對(duì)應(yīng)于特征值于是對(duì)應(yīng)于特征值1 2的的全部特征向量為全部特征向量為k11 (k1為任意非零常數(shù)為任意非零常數(shù)). 101024012321xxx000當(dāng)當(dāng)2 3 1時(shí)，解齊次線性方程組時(shí)，解齊次線性方程組(E A)X 0，即，即得基礎(chǔ)解系2(1,2,1)T.于是對(duì)應(yīng)于特征值21的全部特征向量為k22 (k2為任意非零常數(shù)). 001014013當(dāng)當(dāng)1 2時(shí)，解齊次線性方程組時(shí)，解齊次線性方程組(2E A)X 0，即，即注意注意: 例例1中對(duì)于二重特征值中對(duì)于二重特征值對(duì)角化問(wèn)題的討論具有重要意義對(duì)角化問(wèn)題的討論具有重要意義.

6、線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)只有一個(gè),這對(duì)后面方陣這對(duì)后面方陣對(duì)應(yīng)于二重特征值對(duì)應(yīng)于二重特征值 的的存在兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量存在兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量;而例而例2中中, 232, 121例例3設(shè)設(shè)是方陣是方陣A的特征值，證明的特征值，證明(1) 2是是A2的特征值；的特征值；(2) 當(dāng)當(dāng)A可逆時(shí)，可逆時(shí)，證明證明設(shè)0是A的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則 A , 于是(1) (1) 11(2) 當(dāng)當(dāng)A可逆時(shí)，由可逆時(shí)，由A 有有 A 1.因因0，,即 是A1 的特征值. 知知0，故，故A =22故 是A 的特征值.-1,)()(22AAA.11的特征值是A(1 ) (A)=

7、有特征值.有特征值.(A)= .() = 注注進(jìn)一步容易證明：若A有有特征值 ，則()= nnaaaa2210nnmmaaaaa1011nnmmAaAaEaAaAa1011(2) 當(dāng)A可逆時(shí), nnAaAaAaEa2210二、特征值與特征向量的性質(zhì)二、特征值與特征向量的性質(zhì)設(shè)設(shè)A A是是n n階矩陣，則階矩陣，則 A A 與有相同的特征值與有相同的特征值. . 性質(zhì)性質(zhì)1 1A證明因?yàn)樽C明因?yàn)閨E- A |=|(E-A ) |=|E-A|,所以所以A 與與A有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征多項(xiàng)式，故它們的特征值相同故它們的特征值相同. TTTT設(shè)設(shè)A (aij)是是n階方陣，則階方陣，則nnn

8、nnnaaaaaaaaa.212222111211n(a11+a22+ann)n1+(1)n|A|.|E-A|由由n次代數(shù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系有性質(zhì)次代數(shù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系有性質(zhì):性質(zhì)性質(zhì)2設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A=( )的的n個(gè)特征值為個(gè)特征值為則則(1) 由此定理很容易有推論由此定理很容易有推論:稱(chēng)為矩陣稱(chēng)為矩陣A的跡，記作的跡，記作trA.其中其中A的全體特征值之和的全體特征值之和 =|A|.ijan,21n21;|221121nnnaaa(2)|2211nnaaa推論推論 n n階方陣可逆的充分必要條件是它的全部特征階方陣可逆的充分必要條件是它的全部特征值都不為零值都不為零. .例例4設(shè)

9、三階矩陣設(shè)三階矩陣A的特征值為的特征值為 1,1,2，求，求|A*+3A 2E|.解依題設(shè)，解依題設(shè)，A沒(méi)有零特征值，所以沒(méi)有零特征值，所以A可逆，可逆，故故A* |A|A 1.又又|A| 1232,12故故(A)的特征值為的特征值為( 1)3,(1）=-1,(2) 3,于是于是|A*+3A-2E|=(-3)(-1)3=9.將上式右端記作將上式右端記作(A),有有所以所以A*+3A-2 E=-2A +3A-2E.-1()=- +3-2,16*1112233AAAAA1*1*1(3 )223AAAA*24233 AA*AAA E1*,nn*A AAAA 321*4116(3 )23227 AA

10、12A1(3 )2AA29. 設(shè)A為三階方陣，A*為A的伴隨矩陣. 已知求求的值的值.回顧回顧 第二章習(xí)題第二章習(xí)題解解性質(zhì)性質(zhì)3設(shè)設(shè)A為為n階方陣，階方陣， 是是A的的m個(gè)個(gè)不同的特征值，不同的特征值， 分別是分別是A的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于 的特征向量，則的特征向量，則 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān). 即即 屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).11sa22sammsa性質(zhì)性質(zhì)4設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A的相異特征值為的相異特征值為1,2,m，(i 1,2,m),則向量組則向量組11,12,21,22,m1,m2,線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 的線性無(wú)關(guān)的特征向量為的線性無(wú)關(guān)的特征向量

11、為m,21m,21m,21m,21isiii,21i例例5設(shè)設(shè) 和和 是矩陣是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 和和 ，證明，證明不是不是A的特征向量的特征向量. 121依題設(shè)有依題設(shè)有A = ,A = , A( )= ( ) 221021021111222證明用反證法證明用反證法. 假設(shè)假設(shè) 是是A的對(duì)應(yīng)于某特的對(duì)應(yīng)于某特征值征值 的特征向量，的特征向量，則則201021022112121,)(）（又AAA0)(,20210120102211）即（2119.2121與題設(shè)矛盾，即得證，線性無(wú)關(guān)，又第二節(jié)相似矩陣與矩陣的對(duì)角化第二節(jié)相似矩陣

12、與矩陣的對(duì)角化設(shè)A,B為n階方陣，若有可逆矩陣P,使定義定義2 21PAPB 則稱(chēng)則稱(chēng)B B是是A A的相似矩陣，或稱(chēng)矩陣的相似矩陣，或稱(chēng)矩陣 A A與與B B相似，相似，AB. 記作記作簡(jiǎn)單地講，若簡(jiǎn)單地講，若 ，則稱(chēng)，則稱(chēng)A與與B相似相似.1PAPB 一、相似矩陣及其性質(zhì)一、相似矩陣及其性質(zhì)3113211111112034211131132111120041111311311111例如，給定矩陣?yán)?，給定矩陣A P 以及以及 Q 使得使得 P 1AP Q 1AQ .由此可知，與由此可知，與A相似的矩陣并不唯一相似的矩陣并不唯一存在矩陣存在矩陣也不一定是對(duì)角矩陣也不一定是對(duì)角矩陣. 2004

13、,2034AA 相似是矩陣間的一種特殊的等價(jià)關(guān)系，即兩個(gè)相相似是矩陣間的一種特殊的等價(jià)關(guān)系，即兩個(gè)相似矩陣是等價(jià)矩陣；即若似矩陣是等價(jià)矩陣；即若 ，則，則(1) 反身性反身性AA;(2) 對(duì)稱(chēng)性若對(duì)稱(chēng)性若AB,則則BA;(3) 傳遞性若傳遞性若AB,BC,則則AC.相似的兩個(gè)矩陣之間，還存在著許多共同的性質(zhì)相似的兩個(gè)矩陣之間，還存在著許多共同的性質(zhì). AB.反之不然，但相似關(guān)系仍具有以下性質(zhì)反之不然，但相似關(guān)系仍具有以下性質(zhì)AB. . BAPP1性質(zhì)性質(zhì)1 1因此，因此，A與與B有相同的特征值有相同的特征值. 證明只需證明證明只需證明A與與B具有相同的特征多項(xiàng)式具有相同的特征多項(xiàng)式. 實(shí)際上，

14、由實(shí)際上，由AB，必有可逆矩陣，必有可逆矩陣P,使使 .)(1111AEPAEPPAEPAPPPPBE若若AB,則則A與與B有相同的特征多項(xiàng)式和特征值有相同的特征多項(xiàng)式和特征值于是于是性質(zhì)性質(zhì)2若若AB，則，則 ，其中，其中m為正整數(shù)為正整數(shù) mmBA BAPP1PAPAPPAPpAPPAPPBmmm11111)()()(證明證明由AB,必有可逆矩陣P,使 .于是于是所以所以mmBA TATB1A(1) 若AB,則|A|=|B|;(2) 若AB,則trA=trB;(3) 若AB，則R(A)=R(B);(5) 若若AB,則則A與與B有相同的可逆性，有相同的可逆性，且當(dāng)且當(dāng)A與與B都可逆時(shí)，都可逆

15、時(shí)， .1B兩個(gè)矩陣的相似關(guān)系還具有下述性質(zhì)兩個(gè)矩陣的相似關(guān)系還具有下述性質(zhì)(4) 若若AB,則則 ;二、矩陣可對(duì)角化的條件二、矩陣可對(duì)角化的條件我們將討論矩陣可對(duì)角化的充分必要條件我們將討論矩陣可對(duì)角化的充分必要條件. 如果如果n階方陣階方陣A可以相似于一個(gè)可以相似于一個(gè)n階對(duì)角矩陣階對(duì)角矩陣,則稱(chēng)則稱(chēng)A可對(duì)角化，稱(chēng)可對(duì)角化，稱(chēng)為為A的相似標(biāo)準(zhǔn)形的相似標(biāo)準(zhǔn)形. 由性質(zhì)由性質(zhì)1可知，若可知，若 則則的對(duì)角線元素就是的對(duì)角線元素就是A的的n個(gè)特征值個(gè)特征值.然而，并非所有的然而，并非所有的n階矩陣可對(duì)角化階矩陣可對(duì)角化. 下面，下面，A證明必要性證明必要性 設(shè)設(shè)A,其中其中 diag(1,2,n

16、),則存在可逆矩陣則存在可逆矩陣P,使使P 1AP 或或 AP P.（*）將矩陣將矩陣P按列分塊，記按列分塊，記P (1,2,n),n21.A( )=( )定理定理1n階方陣階方陣A相似于相似于n階對(duì)角矩陣的充分必階對(duì)角矩陣的充分必要條件是要條件是A有有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 其中其中 是矩陣是矩陣P的第的第i列列(i=1,2,n),則則(*)可寫(xiě)成可寫(xiě)成in,21n,21因因P可逆，所以可逆，所以 0(i=1,2,n), 充分性充分性 設(shè)設(shè) 是是A的的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，它們對(duì)應(yīng)的特征值依次為向量，它們對(duì)應(yīng)的特征值依次為 是是A的的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征

17、向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 是是A的對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān). 由此可得由此可得 A = (i=1,2,n).iiiin,21ii于特征值于特征值 的特征向量，的特征向量，n,21n,21,21,n記矩陣記矩陣P=( )，則，則P可逆，且可逆，且n,21且且因此因此且且即即)., 2 , 1(niAiiiAP A(1,2,n) (A1, A2, An) (1,22,nn)n21.注注(1) 定理的證明過(guò)程實(shí)際上已給出了把方陣定理的證明過(guò)程實(shí)際上已給出了把方陣對(duì)角化的方法；對(duì)角化的方法； =( )=P,于是有于是有 P AP =,即即 A P中列向量的次序與矩陣中列向量的次序與矩陣對(duì)角線上的特

18、征值對(duì)角線上的特征值 的次序相對(duì)應(yīng)的次序相對(duì)應(yīng). 推論若A的特征方程的根都是單根，則A與對(duì)角矩陣相似. -1n,21 . 注意注意 當(dāng)當(dāng)A的特征方程有重根時(shí)，就不一定有的特征方程有重根時(shí)，就不一定有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而不一定能對(duì)角化個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而不一定能對(duì)角化.例如，在上節(jié)例例如，在上節(jié)例1中中A有二重特征值有二重特征值 = =2，232但因能找到三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故此但因能找到三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故此A可可對(duì)角化；對(duì)角化；而在例而在例2中中A也有二重特征值也有二重特征值 = =1，3但卻只能找到兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故此但卻只能找到兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故此

19、A不不能對(duì)角化能對(duì)角化.x1010000210000002yx101000210000002y例例1已知已知A 與與B (1) 求求x和和y;(2) 求一個(gè)可逆矩陣求一個(gè)可逆矩陣P,使使P 1AP B.解解(1) 方法一由于方法一由于AB,故故|E A| |E B|,即即,從而從而( 2)(2 x 1) ( 2)( y)(+1),將將1代入得代入得 x 0. 于是有于是有 2 1 ( y)(+1). 因此，因此，y 1.相似相似.001110110110110001可分別求得可分別求得A的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征值2,1, 1的特征向量的特征向量 , 2, 3.于是，可逆矩陣于是，可逆矩陣 P

20、 (1,2,3) ,可使P1APB.方法二由于方法二由于AB, 故故|A|=|B|,trA=trB，即有，即有 -2=-2y, 2+x=1+y,解得解得 x=0,y=1.=1(2) 由于由于AB,故故A與與B有相同的特征值有相同的特征值2,1,-1.解齊次線性方程組解齊次線性方程組(E-A)X=0,3241223kk3241223kk32110221k10010221k例例2已知已知A 解解A的特征多項(xiàng)式(1)(+1)2,可對(duì)角化，求可對(duì)角化，求k.|E-A|=2240224kk0000224kk00000222kEA故故k 0時(shí)，時(shí)，A可對(duì)角化可對(duì)角化. A的特征值為的特征值為 =1, =

21、=-1.由定理由定理1可知，可知，數(shù)矩陣的秩數(shù)矩陣的秩R( E-A)=1,而而關(guān)的特征向量，故線性方程組關(guān)的特征向量，故線性方程組( E-A)X=0的系的系對(duì)應(yīng)二重特征值對(duì)應(yīng)二重特征值 = =-1,A應(yīng)有兩個(gè)線性無(wú)應(yīng)有兩個(gè)線性無(wú)123232211k2111211122. 已知已知是是A 的逆矩陣的逆矩陣A 1的特征向量，的特征向量，求求 .k1A111,AA()0,EA12k 解解 設(shè)設(shè) 是是 的屬于特征值的屬于特征值 的特征向量，則的特征向量，則 即即 解此方程組得解此方程組得或或12k3. 設(shè)設(shè)A是是n階方陣，證明：若階方陣，證明：若 ，則，則A的特征值的特征值只能是只能是-1或或1.EA

22、 20) 1(2AA222,AEA 21,11 證證 設(shè)設(shè) 是是A A的特征值的特征值 是是A A的屬于特征值的屬于特征值的特征向量，則的特征向量，則即即 故故即即或或因?yàn)橐驗(yàn)?4. 已知三階矩陣已知三階矩陣A的特征值為的特征值為1，2，3，試求，試求21A*+3E的特征值的特征值.B=111( )3332BAA AEAE解解19(1)336, (2)33,221(3)334.3 96,42的特征值為的特征值為.132BAE故故 6. 設(shè)A與B都是n階方陣，且|A|0，11()BAA ABAAAB A證證證明：證明：AB與與BA相似相似.BAAB 8. 設(shè)三階方陣設(shè)三階方陣A的特征值為的特征值

23、為1，0，-1，對(duì)應(yīng)的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征向量TTT)2 , 1, 2(,) 1 , 1, 2(,)2 , 2 , 1 (321求求50A與A依次為依次為解解 因?yàn)橐驗(yàn)?231(,),01P 1P AP 依題設(shè)有依題設(shè)有110210123220AP P50111()()()AP PP PP P50154214529228PP9. 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A 0011100yx特征向量，求特征向量，求x和和y應(yīng)滿足的條件應(yīng)滿足的條件.有有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的個(gè)線性無(wú)關(guān)的0EA111()()1REAR EA10110000101100EAxyxxy 0 xy ，得（二重），（二重）， 可見(jiàn)方程可見(jiàn)方程的基礎(chǔ)解系含的

24、基礎(chǔ)解系含2 2個(gè)解向量，個(gè)解向量， 又又21. 0)(1XAE從而從而解解 由由第三節(jié)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量第三節(jié)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值和特征向量一、向量的內(nèi)積一、向量的內(nèi)積(數(shù)量積）數(shù)量積）在空間解析幾何中，兩個(gè)向量在空間解析幾何中，兩個(gè)向量的內(nèi)積定義為的內(nèi)積定義為 321aaa 321bbb 1 12 23 3aba ba b ，而向量而向量的長(zhǎng)度（模）定義為的長(zhǎng)度（模）定義為222123 , aaaa a 并且并且, ,的夾角的夾角滿足滿足 ,cos,0 我們可以把三維向量的內(nèi)積推廣到我們可以把三維向量的內(nèi)積推廣到n n維向量，定維向量，定義義n n維向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度和夾角維向量的內(nèi)

25、積、長(zhǎng)度和夾角. .定義定義4 4 設(shè)設(shè) 12( ,),Tna aa 12(,)Tnb bb 為為R Rn中的兩個(gè)向量，稱(chēng)中的兩個(gè)向量，稱(chēng) 為向量為向量與與的內(nèi)積，記作的內(nèi)積，記作,（或（或 ），），nnbababa2211,nnbababa2211或或T,即即注意注意: 若若),(),(2121nnbbbaaa則則T,容易證明內(nèi)積滿足下列性質(zhì)：容易證明內(nèi)積滿足下列性質(zhì)：(1) , (2) , , kk (3) , , , (4) , 0,0 當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)等等號(hào)號(hào)成成立立nRkR 其其中中 ， ， 為為中中的的任任意意向向量量，定義定義5 5向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：向量的長(zhǎng)度具有下述性

26、質(zhì)：設(shè)設(shè) 12( ,)Tna aa n為為R R 中中的的向向量量，稱(chēng)稱(chēng)22212 , na aaaa 為向量為向量的長(zhǎng)度（也稱(chēng)范數(shù)），記作的長(zhǎng)度（也稱(chēng)范數(shù)），記作,即即2212nnaaaa 這一過(guò)程叫做向量的單位化或標(biāo)準(zhǔn)化這一過(guò)程叫做向量的單位化或標(biāo)準(zhǔn)化. (1) 非負(fù)性非負(fù)性0;(2) 齊次性齊次性k=|k|;(3) 三角不等式三角不等式+.當(dāng)當(dāng)=1時(shí)，稱(chēng)時(shí)，稱(chēng)為單位向量或標(biāo)準(zhǔn)向量為單位向量或標(biāo)準(zhǔn)向量. 任一非零向量除以它的長(zhǎng)度后就成了單位向量任一非零向量除以它的長(zhǎng)度后就成了單位向量. 設(shè)設(shè), ,為為R Rn n中的兩個(gè)非零向量中的兩個(gè)非零向量, ,則稱(chēng)則稱(chēng)為向量為向量與與的夾角的夾角.

27、.定義定義6 6定義定義7 7 設(shè)設(shè), ,為為R Rn n中的向量，若中的向量，若 , ,=0=0，則稱(chēng)向，則稱(chēng)向 ,arccos 與與正交（或垂直），記作正交（或垂直），記作.顯然，零向量與任何向量都正交顯然，零向量與任何向量都正交. . 若不含零向量的向量組（即該向量組中的向量若不含零向量的向量組（即該向量組中的向量定義定義8 8都不是零向量）中任意兩個(gè)向量都正交，則稱(chēng)此都不是零向量）中任意兩個(gè)向量都正交，則稱(chēng)此向量向量組為正交組為正交向量組。向量組。則稱(chēng)此向量組為單位正交向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組則稱(chēng)此向量組為單位正交向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.若一個(gè)正交向量組中每一個(gè)向量都是單位向量，若一個(gè)正

28、交向量組中每一個(gè)向量都是單位向量，因此因此 是一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組是一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組. 定理定理3正交向量組必是線性無(wú)關(guān)的向量組正交向量組必是線性無(wú)關(guān)的向量組. 證明設(shè)證明設(shè)n維向量維向量 是正交向量組，是正交向量組，則有則有 =0 (ij).(*)設(shè)設(shè) =0,以以 與上式兩端同時(shí)做內(nèi)積運(yùn)算，并利用與上式兩端同時(shí)做內(nèi)積運(yùn)算，并利用(*)式可得式可得 =0.由由 0知，知， 0,于是必有于是必有 =0(i=1,2,r),r,21ji,rrkkk2211iji,ji,iikr,21111 211321xxx例例1已知向量已知向量1 , 2解設(shè)解設(shè)3 ,則則1,300求一個(gè)非零向量求一個(gè)非零向量

29、 ,使使 為正交向量組為正交向量組. 正交， = 0即00211111321xxx1230 xxx 011由得從而有基礎(chǔ)解系從而有基礎(chǔ)解系 .0100001102110111A3321,32,取取 =,即可使即可使 為正交向量組為正交向量組.注注: 1. 我們常常采用正交向量組作為向量空間的基，我們常常采用正交向量組作為向量空間的基，稱(chēng)此基為向量空間的正交基稱(chēng)此基為向量空間的正交基.2.基向量都是單位向量的正交基又稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基基向量都是單位向量的正交基又稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基.3321,n,21如如 是是 的正交基，的正交基，只是只是 的基，而不是正交基的基，而不是正交基.,1), 1 , 1 ,(

30、1.,0), 0 , 1 ,(1,0), 0 , 0 ,(1TT2T1nnRnR如如 是是 中的標(biāo)準(zhǔn)正交基中的標(biāo)準(zhǔn)正交基.n,21nR3 . 中的標(biāo)準(zhǔn)正交基也不是唯一的中的標(biāo)準(zhǔn)正交基也不是唯一的.nR.R)21,21(),21,21(21中的標(biāo)準(zhǔn)正交基是n如如取取 1=1;221121,1;111,r222,r111,rrrrrr12r1. 構(gòu)造方法如下：構(gòu)造方法如下： 構(gòu)造出一組與之等價(jià)的向量組構(gòu)造出一組與之等價(jià)的向量組給定給定n維向量空間維向量空間 中的一組線性無(wú)關(guān)的向量，中的一組線性無(wú)關(guān)的向量，(Schmidt)正交化方法正交化方法. 它是用線性無(wú)關(guān)向量組它是用線性無(wú)關(guān)向量組個(gè)正交向量組

31、，這個(gè)變換的方法稱(chēng)為施密特個(gè)正交向量組，這個(gè)變換的方法稱(chēng)為施密特我們可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q方法由它們構(gòu)造出一我們可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q方法由它們構(gòu)造出一nRr,21.21,r如果對(duì)彼此正交的向量組如果對(duì)彼此正交的向量組 再分別單位化，再分別單位化，即即1122rr1 ,2 ,r ,顯然顯然 為單位正交向量組為單位正交向量組.當(dāng)當(dāng)r=n時(shí)，時(shí)， 即為向量即為向量標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基.可以驗(yàn)證可以驗(yàn)證 兩兩正交，兩兩正交，.21,r.21,rr,21且且 與與 等價(jià)等價(jià). .21,rr,21nR空間空間 的一組的一組n,21121131014例例2設(shè)1, 2, 3試用施密特正交化方法將這組向量化為R3的一

32、組標(biāo)準(zhǔn)正交基. 解解先將 正交化，取1211121,131121641113511221,321,1131,2232,01412131111351013312+2.=再將它們單位化，取再將它們單位化，取121611111131221012133 2, 3,即為所求. 321,1=對(duì)例對(duì)例2給出的標(biāo)準(zhǔn)正交基給出的標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,3,21316103162213161可以驗(yàn)證它滿足可以驗(yàn)證它滿足=以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣QQ Q=E.T定義定義9若若n階方陣階方陣Q滿足滿足Q Q=E，則稱(chēng)，則稱(chēng)Q為正交矩陣為正交矩陣. (3) 兩個(gè)正交矩陣的乘積仍為正交矩陣兩個(gè)正交矩陣的乘積仍為正交

33、矩陣. (2) |Q|=-1或或1;(1) Q =Q ，且，且Q（或（或 Q )也是正交矩陣；也是正交矩陣；由正交矩陣的定義，顯然有下面的性質(zhì)由正交矩陣的定義，顯然有下面的性質(zhì):T-1T-1T定理定理4Q為正交矩陣的充分必要條件是為正交矩陣的充分必要條件是Q的列（行）的列（行）向量組是單位正交向量組向量組是單位正交向量組. 證明將證明將Q按列分塊成按列分塊成EEQQnnT),(21TT2T1EnnnnnnT2T1TT22T21T2T12T11T1則則 ),(21nQ), 2 , 1,()(, 0)(, 1njijijijTi定理得證定理得證.由于Q Q=E與QQ =E等價(jià)，故上述結(jié)論對(duì)Q的行向

34、量組的情形也成立. 注由此可知，只要我們求出了注由此可知，只要我們求出了 的一組標(biāo)準(zhǔn)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基正交基 ,則以這則以這n個(gè)向量為列（或行）個(gè)向量為列（或行）構(gòu)造出的構(gòu)造出的n階矩陣階矩陣Q就是一個(gè)就是一個(gè)n階正交矩陣階正交矩陣.反之亦然反之亦然.nRn,21TT二、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)二、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù). . 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量若若是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A A的特征方程的的特征方程的r r重根，則重根，則性質(zhì)性質(zhì)1 1性質(zhì)性質(zhì)2 2相互正交相互正交.

35、 . 性質(zhì)性質(zhì)3 3對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 的特征方程也有的特征方程也有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 r 由此可見(jiàn)，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定能夠?qū)腔?。由此可?jiàn)，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定能夠?qū)腔?。定理定? 5其中其中是以是以A A 的的n n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣. . 證明設(shè)證明設(shè)A的互不相同的特征值為的互不相同的特征值為 ,按列排列構(gòu)成正交矩陣按列排列構(gòu)成正交矩陣Q，有，有正交化并單位化，即得正交化并單位化，即得 個(gè)兩兩正交的單位特征向量，個(gè)兩兩正交的單位特征向量，從而從而A有有n個(gè)兩兩正交的單位特征向量個(gè)兩兩正交的單位特征向量. 把它們依次把它們依次恰有恰有 個(gè)

36、線性無(wú)關(guān)的特征向量，把它們進(jìn)行施密特個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，把它們進(jìn)行施密特根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)1和性質(zhì)和性質(zhì)3知，對(duì)應(yīng)特征值知，對(duì)應(yīng)特征值 (i=1,2,s)它們的重?cái)?shù)分別為它們的重?cái)?shù)分別為 AQQAQQT1S,21)(,2121nrrrrrrss設(shè)設(shè)A為為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則必有正交矩陣階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則必有正交矩陣Q,使使三、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化三、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化iirir,恰是A的n個(gè)特征值 AQQAQQT1ss,2211其中對(duì)角矩陣其中對(duì)角矩陣的對(duì)角元素含的對(duì)角元素含S2211個(gè)，個(gè)，個(gè)srrr=diag( )=,例例3 設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A 011101110,求一個(gè)正交矩陣Q， 使使 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.解解A的特征方程為的特征方程為 |EA|111111(1)2(+2)0,解得解得 當(dāng) 時(shí)，解方程組(-2E-A)X=0，得基礎(chǔ)解系當(dāng) 時(shí)，解方程組(E-A)X=0，得基礎(chǔ)解系A(chǔ)QQ11, 232121T) 1 , 1, 1(1132TT) 1 , 0 , 1 (,)0 , 1 , 1(32.32正交化，將，取222322, 1012101121121332+,再將再將 單