經(jīng)典層合板理論

1、經(jīng)典層合板理論（ clpt）杜宜坤莫斯科國立高校 力學(xué)數(shù)學(xué)系僅以此文來復(fù)習(xí)整理一下復(fù)合材辦理論的學(xué)習(xí)，水平有限，如有錯誤請指正；1. 前提假設(shè)經(jīng)典層合板理論是建立在基爾霍夫假設(shè)之上；基爾霍夫假設(shè)就三點；1. 變形前垂直于中面的直線在變形后仍保持直線；2. 這條垂直于中面的直線在變形過程中的長度不變；3. 這條垂直于中面的直線在變形后仍垂直于中面；這三點說的是啥意思呢？我們可以想象一下， 一塊矩形板放在三維直角坐標系里，中面于 xoy面重合，兩條鄰邊分別和 x 軸， y 軸重合；前兩條的意思就是說板在 z 方向的法向應(yīng)變?yōu)?0，即zz = 0；第三條的假設(shè)導(dǎo)致板的橫向剪切應(yīng)變?yōu)?0，即xz =

2、yz = 0其實這個理論假如放在梁理論里面就是歐拉 -伯努利梁；不考慮橫向的剪切應(yīng)變；如考慮橫向剪切應(yīng)變的梁就為鐵木辛柯梁理論， 如應(yīng)用在板就是一階剪切變形層合板理論 the first-order shear deformation laminated plate theory； 這個以后我會整理；2. 點的位移廢話不說，直接上圖 3.32；基于上述假設(shè)；我們可以得出板上任意一點（x,y,z）的位移；.0u = u0 - zv = v0 - z.x.0.yw = 0留意：在經(jīng)典層合板理論中，撓度是關(guān)于坐標z 的函數(shù)；而在一階剪切變形理論中，變形后的橫向法線不再垂直于板的中面；因此撓度不再是關(guān)

3、于z 的函數(shù)；3. 應(yīng)變位移方程寫完了再來看應(yīng)變；這里分兩種情形，情形 1. 板的變形為小撓度，小變形；屬于線彈性范疇內(nèi)；直接用彈性力學(xué)中的公式給出（很輕松隨便）x =.u0.x.v0.20-z .x20.2y =.u0.y -z .y2.v 0.2xy =.x +.y -2z .x .y0xz = yz = z = 0情形 2. 板的變形為大撓度，大變形；屬于超彈性范疇內(nèi)；應(yīng)變就用下式計算；exxexx=+.x2.x.v1.u= .y + 2 .y.u1.u2.v22+ .x.v+ .y222ezz =. 1.u.z + 2 .z+ .v.z. 2+ .x. 2+ .z . 2+ .z 1

4、.u.v.u .u.v .v.exy = 2 .y + .x + .x .y + .x .y + .x .y 1 .u. .u .u.v .v.exy = 2 .z + .x + .x .z + .x .z + .x .z 1 .v.u .u.v .v.eyz = 2 .z + .y + .y .z + .y .z + .y .z 當(dāng)然在這種方法里我們認為變形很小， 略去高階無窮小量以后即得到情形1中的小變形公式；4. 層合板本構(gòu)方程我們得到了應(yīng)變的方程，下面重點來嘍；我們將寫出板的內(nèi)力n和板的彎（扭）矩 m；針對于單層板寫成張量形式：令0 = - 0ij,ijij = cijkl kl= c

5、0+ zcijkl 0h.2h.2ijklklklh.2nij = ijdz= cijkl 0 dz + zcijkl 0 dz- h.2h.2kl- h.2h.2kl- h.2h.2mij = z ijdz= zcijkl 0 dz + z2cijkl 0 dz我們令h.2- h.2- h.2h.2klkl- h.2h.2cijkl dz = a; zcijkl dz = b ; z2cijkl dz = d- h .2因此我們得出- h.2- h.2klklnij = a0+ b0mij = b0+ d0klklaij 為拉伸剛度矩陣 , dij 為彎曲剛度矩陣 , bij 是彎曲-拉伸耦合剛度矩陣；假如對于層合板來說就是把每一層的結(jié)果按層數(shù)和次序加起來，但