初中數(shù)學(xué)——湯普森問題的28個解法

1、湯普森問題的28個解法湯普森間箱 如圖246 l在 aahc中,ab =4c, /4 =20/3為且c 上一點(diǎn),/蓼次；= 601e為ah上一點(diǎn),/以：8=50，求edh的度數(shù).解1 如圖240. 1 .在ac上取一點(diǎn)/，使f8 =匚乩連f3,/fr八易知ebf為正三角形.有fe = fh.在dhf 中，可知 fd = fh ,于是 fu = ee.在 40f 中.易知 zedf - 70：所以/ edb = z edf - n hdf = 30：月憶i解2 如圖240.1,在八c上取一點(diǎn)f,使/fbc -二2。二連 圖編11 fe.fb.媯知占卜=儀=班：./尸8七=60、可知/對出廠為1三

2、角形*有hi fe.在dhf 中.由 /dbf=40n1fb = 1oo）可頰 fd=fe=fh,即 f為end的外心.于是nedh=3優(yōu)所以 /edb =30、解3 如圖24u. ,過u作灰：的子行線交月4于f,連卜匚交以。于g，連顯然，aghu與值；尸都是正二角形,可詡fd -dg.gb -cb.易知be =比,可知砒印蘭老師初中數(shù)學(xué)珊完會附皿1地25在 agbe 中可知 n= 80,仃 n egf = 40 = zefg .；于是eg = ef.a由et； 一 ef.fd 一以；可知ed為fg的中垂線./ 所以 n edb = yz bdf = 30.1解4 如圖240. 3,沒/ a/

3、3c的平分線交于f連ef 過nl/d 1 ”作ef的平行線交ac的延長線于g.； .b1 乙15 4在:* 中,顯然be = bc可知bf為ec的中垂線有nefh =nfh =6。于是 nfhc60.故fbg a為正三角形.得放；=/涉a顯然，/）為zabf的平分線得/ ai) _ a3 _ ab _ aedf bf b(； ef于是el）平分naee易知 /aef = 100,可知 /aed= 50.、在/*：中可知 zedb = zaep - zabd = 30圖 240.3所以 /edb =30） 5 如圖24（）. 4.以ec為一邊在aebc外作正 .4 fec連 fa.fd.fb.爪

4、易知be = bc可知hf為za/u的平分線.有bd為 nab戶的平分線.以上尸由/ace = 30.可知ac為ef的中垂線,有ad為 雙7zbaf的平分線.于是d為aabf的內(nèi)心.得fd平分zafb 進(jìn)而 zafd = afb = 50.圖 240.4易知e勺”關(guān)- ac對稱,4知zaed 500.在川）e 中.彳j zeoh =/ae/） 一 /人川）=30.所以 nedb =30.解6 如圖210. 5過人作bc的垂線交8d f f，過f作8a的平行線交 ac于g.連田.fc.易知為正三角形,四邊形bf3e為菱形,四邊形abf（；為等接梯可知 ce / dh.ag fbaeaceli .

5、ad - du 是值一公_理h 而 懣星老flp初中數(shù)字斫究會45021&225圖 240. 5圖 240.6ffl 240. 7/ad n 八 c 二30 二：.蘭w師初甲剪字斫費(fèi)多娉九約225由 ne8d = 20 = /eac,可知 aebd s aeac.所以 ned3 =neca =30.解7 如圖240.6過d作ce的平行線交/w于f,過d作 段的平行線交ab于g.h為cg與8d的交點(diǎn).顯然8c與hdg均為正三角形.可知ah=8e.顯然be = dc,可卻be-bh.顯然 ngca =20 = na.可知 ga =gc.顯然四邊形bcix；為等樓梯形，可知db =gc,有g(shù)a =d

6、b.技然 ndfg = zceb = nbce =4gdf ,可知 gf =gd = dh ,有 fa =ga - gf = db - dh =bh = be.顯然fad2zke8d ,可知 nhde = /fda =/eca = 30*.所以 nedb =301解8 如圖240. 7,設(shè)zbac的平分線交bd于f.設(shè) zabd的平分線交ac于g,設(shè)ncbd的平分線交ac于h.由 zdba = 20 =zbad.易知 abf q bag,可知ag =bf.易知8尸=比:=母：得4。一8.于是3=八.由 nbgc-3c-nhbc.可知bgcs/bc有bc _gc _ae hcbceb由bh平分n

7、qbc.qb=ad,可知bc _ bd _ adhc dhdh于是落=錨，得ed8h.所以 ned8 zdbh 300.解9 如圖2408設(shè)/84。的平分線交31)于f.過尸作 ab的平行線交ac于g.在ab上取一點(diǎn)h,使ah=ag.連 eg.hd.fc.易知四邊形gebf為菱形.可知h； / bd ,有塞一荒.代 人ag=ah.ah =八，于是第=條.得hi) / ec.進(jìn)而 /1 41由 be-ah,可知adh.斯以 /euh= 3j解10 如圖240. 9以a8為一邊在/abc內(nèi)作 本正fa8,直線fd與ce相交于g.連ga.gb,fc. /7由 /dba =20 = /dab,可知 f

8、d 為 a8 的中垂 q/ / 線，存 /af3 =30 =/人。；.于是 a.g,c.f 四點(diǎn)共f由 af = ab = ac, n fac = 40.可知 /afc - 必、 70,有 ncfg-40,于是 /cag=，io。，得 ab 平分 圖 240. 9 zgac.顯然四邊形a(；川)為菱形，可知zedb =/(1；*.在bcg 中，可知 zccb =30*.所以 zedb =30.解11 如圖240. 10,在aabc的外接園上取一點(diǎn) ，一夕、尸，使fb = i4設(shè)ce交af于g.連gb.bf.fc.fe,4 /a 、易知ae平分zfac.ce平分nacf,可知e為/ / afc

9、的內(nèi)心,有 nafe=mnafc = na/*=40/由 zafb = 100；可知 zefb -60.泡公山f3=bc=be,可知/xtbe為正三角形，有fe=”-“fb圖 240. 10在 lr；e 中.由 /efg = 40,/ egf = /gac + /acg = 70,可知 fg =fe = fb,行 f 為 zgeb 的外心.于是 /egb = yefh = 30, nebg t/efg -200 -zcabj9 bg ga.顯然四邊形aged為菱形右n edb = / egb = 30c.所以 /edb =30.解12 如花240. 11 .設(shè)n bdc的平分線交bc于f ,分

10、別在ab及bc的 延長線上取點(diǎn)h.g.使bh =bg=bd,連dh ,hg.gd.易知四邊形3fdh與四邊形ecgh都是等腰梯形，組dgc.可知 bk = hd3 - eh .8f-(!；，于是 eh = hd.在shed中,可得/ae=50%于是nedb naed - na3/) 30所以 edb =3051. ； j xdsin 130sin oo 2cos 40sin 80ahl . caha rd在ake中可知8r = e有弟=然.由 ad = bd,可知 ah =be.由 /人一20-/dbe,可知 aahd szsbede n3de :n/w)h - nace = 30.所以 na

11、de =3t.解27 如圖240. 26,設(shè)/dbc的平分線分別交ac, ec于e .g,連gd.在3c中，由m ab ./a - 20e.h1*j吉孤部應(yīng)絳加究芻外工”2258c.圖 210. 26顯然 zebf= 50.由 nd8c =60可知 /dbf =30.由 z h 8 - 50.可知 n hec = )() = n 卜18 .有 be在dcb中,由正弦定理，可知db = bc begin 800 sin 400 hin 40bd _ sin 80。_ 2sin 40&個 400be sin 404 sin 40aco9 40. = sin 501 -sin 3001于是bdsin

12、 30* = be sin 50或:皮； bdsin 30。= ；% besin 504w就是 s3 =s叫用 ed / bf.所以 edb =nd8f =30.解28 如圖240.27,分別過a,b作ed的垂線,g,f為a奉足.卜顯然rtzwgesrqbfe,可知蕊=等,/ ；設(shè) a8=l.可知 be = bc = 2sin 100.有 ae = 1-2sin 100.尸/為人p ag _ 1 - 2sin 10。in于是前一一罰k得sqad 4g1 2sin 10、 圖 240.27s但一喬2sin l(rc rda desin( 140 a) de sin a(2)sin(140 a)sin a、二二蘭老師初甲效字濟(jì)無會4為1工行225in( 1400 a) + sin a _sin a2sin 10a即4sin 10asin 70cos(70 a) = sin a亦即sin 30*sin(20e + a) ：sin a sin 50從而sin(20*1 + a) = sin 50 sin a = sin 30c a為睨角故 a = 30*.本文參考自i1 .數(shù)學(xué)教師1985年7期21頁.2 .6中學(xué)生數(shù)學(xué)1998年11期2