最新人教版高中數(shù)學選修4-5測試題全套及答案

1、最新人教版高中數(shù)學選修4-5測試題全套及答案第一講不等式和絕對值不等式一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1設集合Ax|ylog2(42xx2)，B，則AB等于()Ax|1x1Bx|3x2Cx|1x1Dx|1x3或10可轉(zhuǎn)化為x22x40，解得1x1，Ax|1x1；不等式1可轉(zhuǎn)化為0，解得1x2，Bx|1x2，ABx|1x1答案：A2不等式1的解集為()Ax|0x1Bx|0x1Cx|1x0 Dx|x0解析：方法一：特值法：顯然x1是不等式的解，故選D.方法二：不等式等價于|x1|x1|，即(x1)2(x1)2，解得x，a|ab|

2、b，a2b24ab3b2，ab2恒成立的序號為()A BC D解析：，即，故不正確，排除A、B；ab22，即正確答案：D4已知a0，b0，則2的最小值是()A2 B2C4 D5解析：ab，b0，當且僅當ab時取等號，2224.當且僅當ab1且2時成立，能取等號，故2的最小值為4，故選C.答案：C5設|a|1，|b|1，則|ab|ab|與2的大小關系是()A|ab|ab|2B|ab|ab|2C|ab|ab|2D不可能比較大小解析：當(ab)(ab)0時，|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|2，當(ab)(ab)0時，|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|2.答案：B6設x，yR，a1，b1

3、.若axby3，ab2，則的最大值為()A2 B.C1 D.解析：axby3，xloga3，ylogb3，log3alog3blog3ablog3log331，故選C.答案：C70a2B|log1a(1a)|log(1a)(1a)|C|log(1a)(1a)log(1a)(1a)|log(1a)(1a)|log(1a)(1a)|解析：令a，代入可排除B、C、D.答案：A8若實數(shù)a，b滿足ab2，則3a3b的最小值是()A18 B6C2 D.解析：3a3b2226.答案：B9已知|a|b|，m，n，則m，n之間的大小關系是()Amn BmnCmn Dmn解析：|a|b|ab|a|b|，m1，n1

4、，m1n.答案：D10某工廠年產(chǎn)值第二年比第一年增長的百分率為p1，第三年比第二年增長的百分率為p2，第四年比第三年增長的百分率為p3，則年平均增長率p的最大值為()A. B.C. D2解析：(1p)3(1p1)(1p2)(1p3)，1p，p.答案：B11若a，b，c0，且a22ab2ac4bc12，則abc的最小值是()A2 B3C2 D.解析：a22ab2ac4bca(a2c)2b(a2c)(a2c)(a2b)2，(abc)212，又a，b，c0，abc2.答案：A12當0x0，且tan x時取等號方法二：f(x)(02x0.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分請把正確

5、答案填在題中橫線上)13已知，則的取值范圍是_解析：利用不等式的性質(zhì)進行求解由可得答案：0.14設集合Sx|x2|3，Tx|ax3，x23或x25或x5或x1又Tx|axa8，STR，畫數(shù)軸可知a需滿足，3a1.答案：3a1，求函數(shù)y的最小值為_解析：x1，x10，y(x1)5259.當且僅當x1，即x1時，等號成立y的最小值是9.答案：916某商品進貨價每件50元，據(jù)市場調(diào)查，當銷售價格(每件x元)在50x80時，每天售出的件數(shù)P，若想每天獲得的利潤最多，銷售價格每件應定為_元解析：設銷售價格定為每件x元(50x80)，每天獲得利潤y元，則：y(x50)P，設x50t，則0t30，y2 50

6、0.當且僅當t10，即x60時，ymax2 500.答案：60三、解答題(本大題共6小題，共74分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17(12分)已知30x42,16y24，求xy，x2y，的取值范圍解析：30x42,16y24，46xy66.16y24，482y32，18x2y10.30x42，.18(12分)已知a，b，x，yR，x，y為變量，a，b為常數(shù)，且ab10，1，xy的最小值為18，求a，b.解析：xy(xy)abab2()2，當且僅當時取等號又(xy)min()218，即ab218又ab10由可得或.19(12分)解不等式|x1|x|2.解析：方法一：利用分類討論

7、的思想方法當x1時，x1x2，解得x1；當1x0時，x1x2，解得1x0；當x0時，x1x2，解得0x.因此，原不等式的解集為.方法二：利用方程和函數(shù)的思想方法令f(x)|x1|x|2作函數(shù)f(x)的圖象(如圖)，知當f(x)0時，x0)的最值解析：由已知x0，y3x33，當且僅當，即x時，取等號當x時，函數(shù)y3x的最小值為3.21(12分)在某交通擁擠地段，交通部門規(guī)定，在此地段內(nèi)的車距d(m)正比于車速v(km/h)的平方與車身長s(m)的積，且最小車距不得少于半個車身長，假定車身長均為s(m)，且車速為50 km/h時車距恰為車身長s，問交通繁忙時，應規(guī)定怎樣的車速，才能使此地段的車流量

8、Q最大？解析：由題意，知車身長s為常量，車距d為變量且dkv2s，把v50，ds代入，得k，把ds代入d v2s，得v25.所以d則車流量Q當025時，Q2.當且僅當，即v50時，等號成立即當v50時，Q取得最大值Q2.因為Q2Q1，所以車速規(guī)定為50km/h時，該地段的車流量Q最大22(14分)已知函數(shù)f(x)ax24(a為非零實數(shù))，設函數(shù)F(x).(1)若f(2)0，求F(x)的表達式；(2)在(1)的條件下，解不等式1|F(x)|2；(3)設mn0，試判斷F(m)F(n)能否大于0?解析：(1)f(2)0，4a40，得a1，f(x)x24，F(xiàn)(x).(2)|F(x)|F(x)|，|F(

9、x)|是偶函數(shù)，故可以先求x0的情況當x0時，由|F(2)|0，故當02時，解不等式1x242，得x；綜合上述可知原不等式的解集為x|x或x或x或x(3)f(x)ax24，F(xiàn)(x)，mn0，則n0，mn0，m2n2，F(xiàn)(m)F(n)am24an24a(m2n2)，所以：當a0時，F(xiàn)(m)F(n)能大于0，當a，則下列不等式一定成立的是()Aa2b2Blg alg bC. D.ba解析：從已知不等式入手：ab(c0)，其中a，b可異號或其中一個為0，由此否定A、B、C，應選D.答案：D2若0，則下列結(jié)論不正確的是()Aa2b2 Bab2 D|a|b|ab|解析：因為0ba0，y0，xy1，的最大

10、值是()A1 B.C. D.解析：x0，y0，1xy2，(當且僅當xy時取“”)答案：B6用分析法證明：欲使AB，只需CD，這里是的()A充分條件 B必要條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論的充分條件成立，即，所以是的必要條件答案：B7已知0a0 B2abClog2alog2b2 D2解析：方法一：特值法令a，b代入可得方法二：因為0ab且ab1，所以0a1，所以log2a0.1ab0所以2ab2所以24，而ab2，所以log2alog2b0，b0，則“ab”是“ab”成立的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D即不充分也不必要條件解析：abab(a

11、b).a0，b0，ab(ab)0ab.可得“ab”是“ab”成立的充要條件答案：C9設a0，b0，則以下不等式中不恒成立的是()A(ab)4 Ba3b32ab2Ca2b222a2b D.解析：因為(ab)224，所以A正確a3b32ab2(ab)(a2abb2)0，但a，b大小不確定，所以B錯誤(a2b22)(2a2b)(a1)2(b1)20，所以C正確0，所以D正確答案：B10設a，bR，且ab，P，Qab，則()APQ BPQCP0，PQ.答案：A11若函數(shù)f(x)，g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f(x)g(x)ex，則有()Af(2)f(3)g(0) Bg(0)f(3)f(2

12、)Cf(2)g(0)f(3) Dg(0)f(2)b8282，同理可比較得bc.答案：abc14已知三個不等式：(1)ab0；(2)ad.以其中兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，為_解析：運用不等式性質(zhì)進行推理，從較復雜的分式不等式(2)切入，去尋覓它與(1)的聯(lián)系00ab(bcad)0.答案：(1)、(3)(2)；(1)、(2)(3)；(2)、(3)(1)15若f(n)n，g(n)n，(n)，則f(n)，g(n)，(n)的大小順序為_解析：因為f(n)n，g(n)n.又因為n2nn，所以f(n)(n)(n)f(n)16完成反證法整體的全過程題目：設a1，a2，a7是1,2,3，7的一個排列，求證

13、：乘積p(a11)(a22)(a77)為偶數(shù)證明：反設p為奇數(shù)，則_均為奇數(shù)因奇數(shù)個奇數(shù)的和還是奇數(shù)，所以有奇數(shù)_._.0.但奇數(shù)偶數(shù)，這一矛盾說明p為偶數(shù)解析：反設p為奇數(shù)，則(a11)，(a22)，(a77)均為奇數(shù)因為數(shù)個奇數(shù)的和還是奇數(shù)，所以有奇數(shù)(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(1237)0.但奇數(shù)偶數(shù)，這一矛盾說明p為偶數(shù)答案：(a11)，(a22)，(a77)(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(1237)三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17(12分)若abc，求證：a2bb2cc2aa2cb2ac2

14、b.證明：abc，ab0，bc0，ac0，于是：a2bb2cc2a(a2cb2ac2b)(a2ba2c)(b2cb2a)(c2ac2b)a2(bc)b2(ca)c2(ab)a2(bc)b2(bc)c2(ab)b2(ab)(bc)(a2b2)(ab)(c2b2)(bc)(ab)(ab)(ab)(cb)(cb)(bc)(ab)ab(cb)(bc)(ab)(ac)0，a2bb2cc2a1.證明：用分析法證明1832110222.最后一個不等式是成立的，故原不等式成立20(12分)若x，y0，且xy2，則和中至少有一個小于2.證明：反設2且2，x，y0，1y2x,1x2y兩邊相加，則2(xy)2(xy

15、)，可得xy2，與xy2矛盾，和中至少有一個小于2.21(12分)已知a，b，c，d都是實數(shù)，且a2b21，c2d21，求證|acbd|1.證明：證法一(綜合法)因為a，b，c，d都是實數(shù)，所以|acbd|ac|bd|.又因為a2b21，c2d21.所以|acbd|1.證法二(比較法)顯然有|acbd|11acbd1.先證明acbd1.acbd(1)acbdacbd0.acbd1.再證明acbd1.1(acbd)(acbd)acbd0，acbd1.綜上得|acbd|1.證法三(分析法)要證|acbd|1.只需證明(acbd)21.即只需證明a2c22abcdb2d21.由于a2b21，c2d2

16、1，因此式等價于a2c22abcdb2d2(a2b2)(c2d2)將式展開、化簡，得(adbc)20.因為a，b，c，d都是實數(shù)，所以式成立，即式成立，原命題得證22(14分)數(shù)列an為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其前n項和為Sn，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且a13，b11，數(shù)列ban是公比為64的等比數(shù)列，b2S264.(1)求an，bn；(2)求證：.解析：(1)設an的公差為d，bn的公比為q，則d為正整數(shù)，an3(n1)d，bnqn1，依題意有由(6d)q64知q為正有理數(shù)，故d為6的因子1,2,3,6之一，解得d2，q8.故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)證明：Sn35(2n1)n(

17、n2)bcd，x(ab)(cd)，y(ac)(bd)，z(ad)(bc)，則x，y，z的大小順序為()Axzy ByzxCxyz Dzyd且bc，則(ab)(cd)(ac)(bd)，得xb且cd，則(ac)(bd)(ad)(bc)，得yz，故選C.答案：C10若0a1a2,0b1b2且a1a2b1b21，則下列代數(shù)式中值最大的是()Aa1b1a2b2 Ba1a2b1b2Ca1b2a2b1 D.解析：利用特值法，令a10.4，a20.6，b10.3，b20.7計算后作答；或根據(jù)排序原理，順序和最大答案：A11已知a，b，c，d均為實數(shù)，且abcd4，a2b2c2d2，則a的最大值為()A16 B

18、10C4 D2解析：構(gòu)造平面：xyz(a4)0，球O：x2y2z2a2，則點(b，c，d)必為平面與球O的公共點，從而 ，即a22a0，解得0a2，故實數(shù)a的最大值是2.答案：D12x，y，z是非負實數(shù)，9x212y25z29，則函數(shù)u3x6y5z的最大值是()A9 B10C14 D15解析：u2(3x6y5z)2(3x)2(2y)2(z)212()2()29981，u9.答案：A二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分請把正確答案填在題中橫線上)13已知a，b，c都是正數(shù)，且4a9bc3，則的最小值是_解析：由4a9bc3，3b1，3334212.答案：1214已知a，b是給定的正數(shù)

19、，則的最小值是_解析：(sin2cos2)(ab)2.答案：(ab)215已知點P是邊長為2的等邊三角形內(nèi)一點，它到三邊的距離分別為x，y，z，則x，y，z所滿足的關系式為_，x2y2z2的最小值是_解析：利用三角形面積相等，得2(xyz)(2)2，即xyz3；由(111)(x2y2z2)(xyz)29，則x2y2z23.答案：xyz3316若不等式|a1|x2y2z，對滿足x2y2z21的一切實數(shù)x，y，z恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由柯西不等式可得(122222)(x2y2z2)(x2y2z)2，所以x2y2z的最大值為3，故有|a1|3，a4或a2.答案：a4或a2三、解答題(本

20、大題共6小題，共74分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17(12分)已知a2b21，x2y21.求證：axby1.證明：a2b21，x2y21.又由柯西不等式知1(a2b2)(x2y2)(axby)21(axby)2，1|axby|axby，所以不等式得證18(12分)設x22y21，求x2y的最值解析：由|x2y|1xy|.當且僅當，即xy時取等號所以，當xy時，max.當xy時，min.19(12分)設ab0，求證：3a32b33a2b2ab2.證明：ab0，aaabb0，a2a2a2b2b20，由順序和亂序和，得a3a3a3b3b3a2ba2ba2aab2ab2.又a2b

21、a2ba2aab2ab23a2b2ab2.則3a32b33a2b2ab2.20(12分)已知x，y，zR，且xyz3，求x2y2z2的最小值解析：方法一：注意到x，y，zR，且xyz3為定值，利用柯西不等式得到(x2y2z2)(121212)(x1y1z1)29，從而x2y2z23，當且僅當xyz1時取“”號，所以x2y2z2的最小值為3.方法二：可考慮利用基本不等式“a2b22ab”進行求解，由x2y2z2(xyz)2(2xy2xz2yz)9(x2y2x2z2y2z2)，從而求得x2y2z23，當且僅當xyz1時取“”號，所以x2y2z2的最小值為3.21(12分)設a，b，c為正數(shù)，且不全

22、相等，求證：.證明：構(gòu)造兩組數(shù)，；，則由柯西不等式得(abbcca)(111)2，即2(abc)9.于是.于是.由柯西不等式知，中有等號成立abbccaabc.因題設a，b，c不全相等，故中等號不成立，于是.22(14分)設x1，x2，xnR，且x1x2xn1，求證：.證明：因為x1x2xn1，所以n1(1x1)(1x2)(1xn)又(n1)(1x1)(1x2)(1xn)(x1x2xn)21，所以.第四講數(shù)學歸納法證明不等式一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1用數(shù)學歸納法證明11)時，第一步應驗證不等式()A12B12C13

23、D11，n取的第一個自然數(shù)為2，左端分母最大的項為，故選B.答案：B2用數(shù)學歸納法證明123252(2n1)2n(4n21)的過程中，由nk遞推到nk1時，等式左邊增加的項為()A(2k)2 B(2k3)2C(2k1)2 D(2k2)2解析：把k1代入(2n1)2得(2k21)2即(2k1)2，選C.答案：C3設凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n1邊形的對角線的條數(shù)，加上多的哪個點向其他點引的對角線的條數(shù)f(n1)為()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：凸n1邊形的對角線的條數(shù)等于凸n邊形的對角線的條數(shù)，加上多的那個點向其他點引的對角線的條數(shù)(n2)條，再加上原來

24、有一邊成為對角線，共有f(n)n1條對角線，故選C.答案：C4觀察下列各等式：2，2，2，2，依照以上各式成立的規(guī)律，得一般性的等式為()A.2B.2C.2D.2解析：觀察歸納知選A.答案：A5欲用數(shù)學歸納法證明：對于足夠大的自然數(shù)n，總有2nn3，那么驗證不等式成立所取的第一個n的最小值應該是()A1 B9C10 Dn10，且nN解析：由2101 024103知，故應選C.答案：C6用數(shù)學歸納法證明：1(nN*，n2)時，由“k到k1”，不等式左端的變化是()A增加一項B增加和兩項C增加和兩項，同時減少一項D以上都不對解析：因f(k)，而f(k1)，故f(k1)f(k)，故選C.答案：C7用

25、數(shù)學歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除時，若nk時，命題成立，欲證當nk1時命題成立，對于34(k1)152(k1)1可變形為()A5634k125(34k152k1)B3434k15252kC34k152k1D25(34k152k1)解析：由34(k1)152(k1)18134k12552k12534k12534k15634k125(34k152k1)，故選A.答案：A8用數(shù)學歸納法證明“(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)”時，從nk到nk1等式的左邊需增乘代數(shù)式為()A2k1 B.C. D.解析：左邊當nk時最后一項為2k.左邊當nk1時最后一項為2k2，又第

26、一項變?yōu)閗2，需乘.答案：C9數(shù)列an中，已知a11，當n2時，anan12n1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是()A3n2 Bn2C3n1 D4n3解析：計算出a11，a24，a39，a416.可猜ann2故應選B.答案：B10用數(shù)學歸納法證明123n2，則當nk1時左端應在nk的基礎上加上()Ak2B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2解析：當nk時，左端1123k2，當nk1時，左端123k2(k21)(k22)(k1)2.故當nk1時，左端應在nk的基礎上加上(k21)(k22)(k1)2，故應選D.答案：D11用數(shù)學歸納法證明“n1(nN*)”的第二步證nk

27、1時(n1已驗證，nk已假設成立)這樣證明：.證明：利用貝努利不等式(1x)n1nx(nN，n2，x1，x0)的一個特例212，得1，k分別取1,2,3，n時，n個不等式左右兩邊相乘，得(11).即(11)成立21(12分)是否存在常數(shù)a，b，c使等式(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c對一切正整數(shù)n成立？證明你的結(jié)論解析：存在分別有用n1,2,3代入，解方程組下面用數(shù)學歸納法證明(1)當n1時，由上式可知等式成立；(2)假設當nk時等式成立，則當nk1時，左邊(k1)2122(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2(k212)2(k222)k(k2k2)(

28、2k1)2(2k1)k(2k1)k4k2(2k1)(k1)4(k1)2.由(1)(2)得等式對一切的nN均成立22(14分)對于數(shù)列an，若a1a(a0，且a1)，an1a1.(1)求a2，a3，a4，并猜想an的表達式；(2)用數(shù)學歸納法證明你的猜想解析：(1)a1a，an1a1，a2a1a，a3a1，同理可得a4猜想an.(2)當n1時，右邊a1，等式成立假設當nk時(kN*)，等式成立，即ak，則當nk1時，ak1a1，這就是說，當nk1時，等式也成立，根據(jù)可知，對于一切nN*，an成立全冊質(zhì)量檢測一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

29、題目要求的)1已知：ab0，bbabBaabbCabba Dabab解析：ab0ab，bab0babba答案：C2“acbd”是“ab且cd”的()A必要不充分條件 B充分不必要條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：易得ab且cd時必有acbd.若acbd時，則可能有ad且cd，選A.答案：A3a0，b0，且ab2，則()Aab BabCa2b22 Da2b23解析：由a0，b0，且ab2，4(ab)2a2b22ab2(a2b2)，a2b22.選C.答案：C4若不等式|2x3|4與不等式x2pxq0的解集相同，則pq等于()A127 B712C(12)7 D(3)4解析：|2x3|42x34或2x3或xQR BRPQCQRP DRQP解析：P217，Q2162，R2122，Q2P2210，R2P2250，P最小Q2R2242，又(24)