2004年北京高考文科數(shù)學(xué)真題及答案

1、2004年北京高考文科數(shù)學(xué)真題及答案本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。第I卷1至2頁(yè)。第II卷3至9頁(yè)。共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。第I卷（選擇題 共40分）注意事項(xiàng)： 1. 答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。 2. 每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試題卷上。 3. 考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回。一. 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 （1）設(shè)，則等于 A. B. C. D. （

2、2）滿足條件的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是 A. 一條直線 B. 兩條直線 C. 圓 D. 橢圓 （3）設(shè)m、n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題： 若，則 若，則 若，則 若，則 其中正確命題的序號(hào)是 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 （4）已知a、b、c滿足，且，那么下列選項(xiàng)中一定成立的是 A. B. C. D. （5）從長(zhǎng)度分別為1，2，3，4的四條線段中，任取三條的不同取法共有n種，在這些取法中，以取出的三條線段為邊可組成的三角形的個(gè)數(shù)為m，則等于 A. 0 B. C. D. （6）如圖，在正方體中，P是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌

3、跡所在的曲線是A 直線B 圓 C雙曲線 D拋物線（7）函數(shù)在區(qū)間1，2上存在反函數(shù)的充分必要條件是 A. B. C. D. （8）函數(shù)，其中P、M為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定，給出下列四個(gè)判斷：其中正確的有: 若，則 若，則 若，則 若，則 A. 3個(gè) B. 2個(gè) C. 1個(gè) D. 0個(gè)二. 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中的橫線上。 （9）函數(shù)的最小正周期是_ （10）方程的解是_ （11）圓的圓心坐標(biāo)是_，如果直線與該圓有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ （12）某地球儀上北緯緯線的長(zhǎng)度為，該地球儀的半徑是_cm，表面積是_cm2（13）在函數(shù)中，若a，b，

4、c成等比數(shù)列且，則有最_值（填“大”或“小”），且該值為_(kāi) （14）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。 已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為_(kāi)，且這個(gè)數(shù)列的前21項(xiàng)和的值為_(kāi)三. 解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。（15）（本小題滿分14分）在中，求的值和的面積（16）（本小題滿分14分）如圖，在正三棱柱中，AB2，由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到頂點(diǎn)的最短路線與的交點(diǎn)記為M，求： （I）三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng) （II）該最短路線的長(zhǎng)及的值 （III）平面

5、與平面ABC所成二面角（銳角）的大?。?7）（本小題滿分14分）如圖，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（1，2），A（），B（）均在拋物線上。（I）寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程 （II）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值及直線AB的斜率 （18）（本小題滿分14分） 函數(shù)定義在0，1上，滿足且，在每個(gè)區(qū)間（1，2）上，的圖象都是平行于x軸的直線的一部分。 （I）求及，的值，并歸納出的表達(dá)式 （II）設(shè)直線，x軸及的圖象圍成的矩形的面積為（1，2），求及的值 （19）（本小題滿分12分） 某段城鐵線路上依次有A、B、C三站，AB=15km，BC=3km，在列車運(yùn)行時(shí)刻表上

6、，規(guī)定列車8時(shí)整從A站發(fā)車，8時(shí)07分到達(dá)B站并停車1分鐘，8時(shí)12分到達(dá)C站，在實(shí)際運(yùn)行中，假設(shè)列車從A站正點(diǎn)發(fā)車，在B站停留1分鐘，并在行駛時(shí)以同一速度勻速行駛，列車從A站到達(dá)某站的時(shí)間與時(shí)刻表上相應(yīng)時(shí)間之差的絕對(duì)值稱為列車在該站的運(yùn)行誤差。 （I）分別寫出列車在B、C兩站的運(yùn)行誤差 （II）若要求列車在B，C兩站的運(yùn)行誤差之和不超過(guò)2分鐘，求的取值范圍 （20）（本小題滿分12分） 給定有限個(gè)正數(shù)滿足條件T：每個(gè)數(shù)都不大于50且總和L1275?，F(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進(jìn)行分組，每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是： 首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得150與這組數(shù)之和的差與所有可

7、能的其他選擇相比是最小的，稱為第一組余差； 然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對(duì)余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時(shí)的余差為；如此繼續(xù)構(gòu)成第三組（余差為）、第四組（余差為）、，直至第N組（余差為）把這些數(shù)全部分完為止。 （I）判斷的大小關(guān)系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個(gè)數(shù) （II）當(dāng)構(gòu)成第n（nN）組后，指出余下的每個(gè)數(shù)與的大小關(guān)系，并證明 （III）對(duì)任何滿足條件T的有限個(gè)正數(shù)，證明：2004年普通高等學(xué)校招生北京卷文史類數(shù)學(xué)試題參考答案一. 選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分40分。1-6:DCAABDCB二. 填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每

8、小題5分，滿分30分。（9）（10）（11）（0，-1）， （12） （13）大 -3 （14）3 52三. 解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。 （15）本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力。滿分14分。 解法一： 又 解法二： （1） （2） （1）+（2）得： （1）（2）得： （以下同解法一） （16）本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、棱柱等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。滿分14分。解：（I）正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)為6，寬為2的矩形,其對(duì)角線長(zhǎng)為 （II）如圖，將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面在同一平

9、面上，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的位置，連接交于M，則就是由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到頂點(diǎn)C1的最短路線，其長(zhǎng)為 ， 故 （III）連接DB，則DB就是平面與平面ABC的交線 在中 又 由三垂線定理得 就是平面與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）側(cè)面是正方形 故平面與平面ABC所成的二面角（銳角）為（17）本小題主要考查直線、拋物線等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，滿分14分。 解：（I）由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為 點(diǎn)P（1，2）在拋物線上，得故所求拋物線的方程是 準(zhǔn)線方程是（II）設(shè)直線PA的斜率為，直線PB的斜率為 則， PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ) 由A（），B（）

10、在拋物線上，得 （1）; （2） 由（1）-（2）得直線AB的斜率 （18）本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列等基本知識(shí)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。滿分14分。 解：（I）由，得 由及，得 同理， 歸納得（II）當(dāng)時(shí)， 所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列, 所以（19）本小題主要考查解不等式等基本知識(shí)，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。滿分12分。 解：（I）列車在B，C兩站的運(yùn)行誤差（單位：分鐘）分別是 和 （II）由于列車在B，C兩站的運(yùn)行誤差之和不超過(guò)2分鐘，所以 （*） 當(dāng)時(shí)，（*）式變形為 解得 當(dāng)時(shí)，（*）式變形為 解得 當(dāng)時(shí)，（*）式變形為 解得 綜上所述，的取值范圍是39，（20） 解：（I）。除第N組外的每組至少含有個(gè)數(shù) （II）當(dāng)?shù)趎組形成后，因?yàn)?，所以還有數(shù)沒(méi)分完，這時(shí)余下的每個(gè)