剛體的轉動慣量專題

1、.剛體的轉動慣量專題1.剛體的轉動慣量的三要素 剛體對某軸的轉動慣量，是描述剛體在繞該軸的轉動過程中轉動慣性的物理量. 有轉動慣量的定義式可看出，剛體的轉動慣量是與下列三個因素有關的. （1）與剛體的質量有關. 例如半徑相同的兩個圓柱體，而它們的質量不同，顯然，對于相應的轉軸，質量大的轉動慣量也較大. （2）在質量一定的情況下，與質量的分布有關. 例如，質量相同、半徑也相同的圓盤與圓環(huán)，二者的質量分布不同，圓環(huán)的質量集中分布在邊緣，而圓盤的質量分布在整個圓面上，所以，圓環(huán)的轉動慣量較大.（3）還與給定轉軸的位置有關，即同一剛體對于不同的轉軸，其轉動慣量的大小也是不等的. 例如，同一細長桿，對通

2、過其質心且垂直于桿的轉軸和通過其一端且垂直于桿的轉軸，二者的轉動慣量不相同，且后者較大. 這是由于轉軸的位置不同，從而也就影響了轉動慣量的大小. 剛體的轉動慣量的三要素：剛體的總質量、剛體的質量分布情況、轉軸的位置. 2.轉動慣量的普遍公式（1）轉動慣量的定義式 可知，對于形狀規(guī)則、質量均勻分布的連續(xù)剛體，其對特殊軸的轉動慣量的計算可借助于定積分. 這是，可設想將剛體分成許多小線元、面元、體元.于是一般說來，這是個三重的體積分，但對于有一定對稱性的物體，積分的重數(shù)可以減少，甚至不需要積分.（2）剛體對某軸的轉動慣量剛體對軸的轉動慣量 剛體對軸的轉動慣量 剛體對軸的轉動慣量 仿照剛體對某軸的轉動

3、慣量來定義剛體對于某點的轉動慣量：剛體中各質點的質量各自與其至某（參考）點的距離的平方的乘積，所得總和稱為剛體對該點的轉動慣量.（3）剛體對某點的轉動慣量剛體對坐標原點的轉動慣量可表示為 由式、，得 即，質點系（剛體）對于坐標原點的轉動慣量（或極轉動慣量），等于它對于三個坐標軸的轉動慣量之和的一半.3.剛體的平行軸定理（許泰乃爾定理） 即，剛體對于任何一軸的轉動慣量，等于剛體對于通過它的質心并與該軸平行的轉動慣量，加上剛體的質量與兩軸間距離平方的乘積.注意：平行軸定理與剛體對質心軸的轉動慣量緊密聯(lián)系在一起，應用此定理的參考點是剛體對質心軸的轉動慣量. 根據平行軸定理，可得到如下關系： （1）剛

4、體繞通過質心的軸的轉動慣量小于繞另一平行軸的轉動慣量，二者之差為. （2）設有兩條平行軸與均不通過質心. 如果比靠近，則剛體繞軸的轉動慣量小于繞軸的轉動慣量（如圖7.52(a)所示）.圖7.52 平行軸定理的應用 (a) 在不同圓上；(b)同一圓上 （3）如果有一簇與質心的距離相等的平行軸，那么，剛體繞這些軸的轉動慣量均相等（如圖7.52(b)所示）.4.剛體的垂直軸定理（正交軸定理、薄片定理）設想剛體為平面薄片，即厚度可以略去不計，因而剛體為平面圖形. 即，平面圖形對于圖形內的兩條正交軸的轉動慣量之和，等于這個圖形對過二軸交點且垂直于圖形平面的那條轉軸的轉動慣量.注意：正交軸定理對于有限厚度

5、的板不成立.5.轉動慣量的疊加原理實際上，有些物體是由幾種形狀不同的剛體的組合. 它對于某軸的轉動慣量，可視為各部分對于同一轉軸的轉動慣量之和，因而， 即，由幾個部分組成的剛體對某軸的轉動慣量，等于各部分對同軸的轉動慣量之和. 此即轉動慣量的疊加原理.疊加原理是根據加法的組合定則，把屬于各部分的項分別相加，然后求和而得. 同理，設有一物體挖去若干部分，則剩余部分的轉動慣量，等于原物體的轉動慣量，減去挖去部分的轉動慣量.例題1 在質量為，半徑為的勻質圓盤上挖出半徑為的兩個圓孔，圓孔中心在半徑的中點，求剩余部分對過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉動慣量.圖7.53 轉動慣量的疊加原理的應用解 大圓

6、盤對過圓盤中心且與盤面垂直的軸線（以下簡稱軸）的轉動慣量 為 . 由于對稱放置，兩個小圓盤對軸的轉動慣量相等，設為，圓盤質量的面密度，根據平行軸定理，有設挖去兩個小圓盤后，剩余部分對軸的轉動慣量為6.轉動慣量的標度變換法 轉動慣量的標度變換法是計算轉動慣量的一種簡便的方法. 由于在幾何上具有相似性的均勻物體，它們對相應轉軸的轉動慣量的表達式也具有相似性，在根據轉動慣量的平行軸定理、疊加原理等，確定彼此關系，比較系數(shù)，從而獲得物體對該軸的轉動慣量. 故這種方法可以不用積分即能求得某些特殊形狀的物體的轉動慣量. 例題2 求均勻立方體繞通過面心的中心軸的轉動慣量.圖7.54 標度變換法用于計算立方體

7、對通過面心的中心軸的轉動慣量 解 令立方體的總質量為，邊長為，設均勻立方體繞通過面心的中心軸的轉動慣量為其中，系數(shù)是無量綱的量. 因為一切立方體在幾何上都是相似的，它們應該具有同樣的. 中心軸到棱邊的距離為根據平行軸定理，立方體繞棱邊的轉動慣量為現(xiàn)將立方體等分為8個小立方體，每個小立方體的質量為，邊長為，繞棱邊的轉動慣量為8個立方體繞棱邊的轉動慣量之和應等于大立方體繞中心軸的轉動慣量，即比較系數(shù)，得于是，求得所以，下面介紹利用定積分法計算質量均勻分布、圖形具有對稱性的剛體對于一些特殊的轉軸的轉動慣量. 勻質細桿 例題3 質量為、長為的勻質細桿，繞其質心且垂直于桿的軸旋轉，桿的轉動慣量是多少？

8、解 設桿的線密度為，則. 選擇如圖所示的坐標軸，桿的質心位于原點，取一個長度為、與質心的距離為的微元，則圖7.55 勻質細桿對質心軸的轉動慣量根據平行軸定理，桿對通過其一端且垂直于桿的軸的轉動慣量為當然用定積分也可得相同的結果. 勻質正方形薄板例題4 求質量為、邊長為的勻質正方形薄板對其邊為軸的轉動慣量. 解 勻質薄板可視為細長條的組合. 根據疊加原理可得對一邊的轉動慣量.圖7.56 勻質正方形薄板對一邊為軸的轉動慣量同理，可得或利用定積分，其中，為面密度.對軸的轉動慣量對質心軸的轉動慣量對以對角線為軸的轉動慣量當然，對軸的轉動慣量也可用二重積分計算得到. 勻質矩形薄板例題5 求質量為、長和寬

9、分別為和的勻質矩形薄板對其邊為軸的轉動慣量. 解 方法同上，不難得到圖7.57 勻質矩形薄板對一邊為軸的轉動慣量由垂直軸定理，可以進一步求得矩形薄板對通過頂點且垂直于板平面的軸的轉動慣量（如圖7.57）為當然，對軸的轉動慣量也可用二重積分計算得到.矩形薄板對通過質心且垂直于板平面的軸的轉動慣量為圖7.58 勻質矩形薄板對過中心且垂直于板面的軸的轉動慣量另解：從量綱上考慮，所求的轉動慣量可表示為其中，為待定系數(shù).將和轉置后，但不會因為和轉置而發(fā)生變化，比較系數(shù)，有則利用勻質矩形板可等分為兩個小勻質矩形板的特點，如圖7.54所示，有比較系數(shù)，有得，因而，勻質長方體例題6 求質量為、長、寬和高分別為

10、、和的勻質長方體對其棱邊為軸的轉動慣量.圖7.59 勻質長方體對其棱邊為軸的轉動慣量解 由疊加原理，不難得到以棱邊為軸的轉動慣量同理可得，以棱邊為軸的轉動慣量以棱邊為軸的轉動慣量當然，對軸的轉動慣量也可用三重積分計算得到.對軸的轉動慣量也可用三重積分計算得到.對軸的轉動慣量也可用三重積分計算得到.根據平行軸定理，對通過長方體面心為軸的轉動慣量如果將上述長方體換成邊長為的立方體，則繞其棱邊的轉動慣量均相等，且對通過正方體面心為軸的轉動慣量余此類推.對于特殊剛體，線（線段）面（矩形） 體（長方體）勻質細圓環(huán)例題7 求質量為、半徑為的勻質細圓環(huán)對通過中心并與環(huán)面垂直的軸的轉動慣量.圖7.60 勻質細

11、圓環(huán)對通過中心并與環(huán)面垂直的軸的轉動慣量解 細圓環(huán)的質量可以認為全部分布在半徑為的圓周上，即在距離中心小于或大于的各處，質量均為零，所以轉動慣量為或又由垂直軸定理，可以得到其對直徑為轉軸的轉動慣量為再利用平行軸定理，可得細圓環(huán)對其任意切線為轉軸的轉動慣量為.圖7.61 勻質細圓環(huán)對任意切線為軸的轉動慣量其中，為細圓環(huán)的線密度，則細圓環(huán)對切線的轉動慣量 勻質中空薄圓盤例題8 求質量為、內半徑為、外半徑為的勻質中空薄圓盤對通過中心并與盤面垂直的軸的轉動慣量.圖7.62 勻質中空薄圓盤對通過中心并與盤面垂直的軸的轉動慣量解 勻質中空薄圓盤可視為無限多個同心的細圓環(huán)的組合，所以，根據疊加原理可以得到該

12、中空薄圓盤對通過中心且垂直于盤面的轉軸的轉動慣量. 中空薄圓盤的質量為其中，為中空薄圓盤的面密度，則中空薄圓盤對通過中心且垂直于盤面的轉軸的轉動慣量當然，中空薄圓盤對通過中心且垂直于盤面的轉軸的轉動慣量也可用二重積分計算得到.勻質薄圓盤例題9 求質量為、半徑為的勻質薄圓盤對通過中心并與環(huán)面垂直的軸的轉動慣量.圖7.63 勻質薄圓盤對通過中心并與環(huán)面垂直的軸的轉動慣量解 勻質薄圓盤可視為無限多個同心的細圓環(huán)的組合，所以，根據疊加原理可以得到該厚圓環(huán)對通過中心且垂直于環(huán)面的轉軸的轉動慣量. 薄圓盤的質量為其中，為薄圓盤的面密度，則薄圓盤對通過中心且垂直于盤面的轉軸的轉動慣量當然，薄圓盤對通過中心且

13、垂直于盤面的轉軸的轉動慣量也可用二重積分計算得到.可見，薄圓盤是中空圓盤的特例. 同樣，根據垂直軸定理，得其對直徑為轉軸的轉動慣量為再利用平行軸定理，可得其對切線為轉軸的轉動慣量為勻質薄壁圓筒例題10 求質量為、半徑為的勻質薄壁圓筒對中心軸線的轉動慣量.解 勻質薄壁圓筒可視為半徑相同，圓心在同一條直線上且各個環(huán)面均垂直于該直線的一系列細圓環(huán)的組合. 根據疊加原理，由圓環(huán)對該直線的轉動慣量較易求出此圓筒對該直線為轉軸的轉動慣量圖7.64 勻質薄壁圓筒對中心軸線的轉動慣量當然，也可定積分法求解.勻質中空圓柱體例題11 求質量為、內半徑為、外半徑為的勻質中空圓柱體對中心軸線的轉動慣量.圖7.65 勻

14、質中空圓柱體對中心軸線的轉動慣量解 勻質中空圓柱體可視圓心在同一條直線上且環(huán)面均垂直于該直線的一系列中空圓盤的組合. 根據疊加原理，由中空圓盤對該直線的轉動慣量較易求出此中空圓柱體對該直線為轉軸的轉動慣量當然，也可定積分法求解.其中，為體密度.勻質實心圓柱體例題12 求質量為、半徑為的勻質實心圓柱體對中心軸線的轉動慣量.圖7.66 勻質實心圓柱體對中心軸線的轉動慣量解 勻質實心圓柱體可視圓心在同一條直線上且圓面均垂直于該直線的一系列薄圓盤的組合. 根據疊加原理，由薄圓盤對該直線的轉動慣量較易求出此圓柱體對該直線為轉軸的轉動慣量當然，也可定積分法求解.其中，為體密度.當然，實心圓柱體對中心軸線的

15、轉動慣量可用三重積分計算得到.可見，厚圓筒是實心圓柱體的特例. 同樣，根據垂直軸定理，得其對直徑為轉軸的轉動慣量為勻質實心圓柱體例題12 求質量為、半徑為的勻質實心圓柱體對中心直徑為軸的轉動慣量.圖7.67 勻質實心圓柱體對中心直徑的轉動慣量解 設勻質實心圓柱體由與、圍成.其中，為體密度.繞軸的轉動慣量為同理可得，繞軸的轉動慣量為勻質實心圓柱體例題13 求質量為、半徑為的勻質實心圓柱體對端面直徑為軸的轉動慣量.圖7.68 勻質實心圓柱體對端面直徑的轉動慣量解 設勻質實心圓柱體由與、圍成.其中，為體密度.繞軸的轉動慣量為同理可得，繞軸的轉動慣量為當然，利用平行軸定理也可得到相同的結果.圓環(huán)細圓環(huán)

16、中空薄圓盤薄圓盤薄圓筒中空圓柱體實心圓柱體勻質球殼例題14 求質量為、半徑為的勻質球殼對球心的轉動慣量、對任意直徑和切線的轉動慣量.圖7.69 勻質球殼對球心、對任意直徑和切線為軸的轉動慣量 解 因為在距離球心大于或小于處，質量均為零，而質量均勻分布于球殼上. .解法一：根據剛體對坐標原點的轉動慣量的定義式，有或當然，極轉動慣量也可用二重積分計算得到.根據關系式對于勻質球殼，球心為坐標原點. 根據對稱性，可知則即為球殼對任意直徑的轉動慣量.解法二：當然，、和也可利用二重積分計算得到.解法三：球殼可視為一系列薄圓環(huán)的組合.其中，表示薄圓環(huán)的半徑，為薄圓環(huán)的元質量，為薄圓環(huán)的面元.而根據平行軸定理

17、，可得球殼對任意切線為軸的轉動慣量若將該球殼切除一半，求剩余部分（球冠）對任一直徑的轉動慣量.根據剛體對坐標原點的轉動慣量的定義式，有或當然，極轉動慣量也可用二重積分計算得到.顯然，、和可利用二重積分計算得到.將該球殼部分切除，若剩余部分（球冠）的高度為直徑的1/4，求其對任一直徑的轉動慣量.此時在球坐標系中的極角.極轉動慣量可用二重積分計算得到.、和可利用二重積分計算得到.這里已利用積分將該球殼部分切除，若剩余部分為原來的1/8，求其對任一直徑的轉動慣量.極轉動慣量可用二重積分計算得到.、和可利用二重積分計算得到.勻質實心球體例題15 求質量為、半徑為的勻質實心球體對球心的轉動慣量、對任意直

18、徑的轉動慣量.圖7.70 勻質球體對球心、對任意直徑和切線為軸的轉動慣量解 解法一：球體可視為球殼的組合，其中，為體密度.根據剛體對坐標原點的轉動慣量的定義式，有當然，極轉動慣量也可利用三重積分計算得到.根據關系式對于勻質球體，球心為坐標原點. 根據對稱性，可知則即為球體對任意直徑的轉動慣量.當然，、和也可利用三重積分計算得到.解法二：球體可視為球殼的組合，根據疊加原理，也可較易求得其對直徑的轉動慣量為解法三：球體可視為一系列薄圓盤的組合.其中，表示薄圓盤的半徑，為薄圓盤的元質量，為薄圓環(huán)的體元，為薄圓盤到質心軸的距離，為薄圓環(huán)的厚度.根據平行軸定理，可得球體對任意切線為軸的轉動慣量若將該球體

19、切除一半，求剩余部分對任一直徑的轉動慣量.根據剛體轉動慣量的疊加原理，有當然，極轉動慣量也可用三重積分計算得到.顯然，、和也可利用三重積分計算得到.將該球殼部分切除，若剩余部分的高度為直徑的1/4，求其對任一直徑的轉動慣量.此時在球坐標系中的極角.極轉動慣量可用三重積分計算得到.、和可利用三重積分計算得到.將該球體部分切除，若剩余部分為原來的1/8，求其對任一直徑的轉動慣量.極轉動慣量可用三重積分計算得到.、和可利用三重積分計算得到.勻質中空球體例題16 求質量為、內半徑為、外半徑為的勻質中空球體對球心的轉動慣量、對任意直徑的轉動慣量.圖7.71 勻質中空球體對球心、對任意直徑和切線為軸的轉動

20、慣量解 中空球體可視為球殼的組合，其中，為體密度.根據剛體對坐標原點的轉動慣量的定義式，有當然，極轉動慣量也可利用三重積分計算得到.根據關系式對于勻質球體，球心為坐標原點. 根據對稱性，可知則即為球殼對任意直徑的轉動慣量.當然，、和也可利用三重積分計算得到.另解：中空球體可視為球殼的組合，根據疊加原理，也可較易求得其對直徑的轉動慣量為薄球殼中空球體實心球體練習：1 求質量為、邊長為的勻質等邊三角形對過頂點且垂直于板面的軸的轉動慣量.圖7.72 等邊三角形對過頂點且垂直于板面為軸的轉動慣量 解 對軸的轉動慣量，對軸的轉動慣量，錯誤的做法：正確的做法：根據垂直軸定理，有若直接計算對經過頂點且垂直于

21、三角形平面的軸的轉動慣量，取窄條后，則窄條上各點到軸的距離并非處處相等，故此法不可行！2 求質量為、底面為邊長的等邊三角形、高的勻質正三棱柱對以其高為軸的轉動慣量. 解 正三棱柱可視為由無限多個正三角形的組合，根據第1題的結論，利用轉動慣量的疊加原理，有3 求質量為、邊長為且一個頂角為勻質棱形對過頂點且垂直于板面的軸的轉動慣量.圖7.73 一個頂角為的棱形對過頂點且垂直于板面為軸的轉動慣量 解 根據第1題結論，利用轉動慣量的疊加原理，有4求質量為、底面為邊長且一個頂角為勻質棱形、高的勻質正四棱柱對以其高為軸的轉動慣量.解 該正四棱柱可視為由無限多個棱形的組合，根據第3題的結論，利用轉動慣量的疊

22、加原理，有5求質量為、邊長為勻質正六邊形對過頂點且垂直于板面的軸的轉動慣量.圖7.74 正六邊形對過頂點且垂直于板面為軸的轉動慣量解 根據第1題結論，利用轉動慣量的疊加原理，有其中，.6 求質量為、底面為邊長的正六邊形、高的勻質正六棱柱對以其高為軸的轉動慣量.解 該正六棱柱可視為由無限多個正六邊形的組合，根據第5題的結論，利用轉動慣量的疊加原理，有表7.2 一些簡單幾何圖形的轉動慣量剛體轉軸的位置轉動慣量細桿通過中心且垂直于桿通過桿端且垂直于桿細圓環(huán)通過中心且與環(huán)面垂直沿直徑沿切線中空圓盤通過中心且與環(huán)面垂直沿直徑薄圓盤通過中心且與盤面垂直沿直徑沿切線薄壁中空圓筒通過中心軸沿直徑中空圓柱體通過

23、中心軸沿直徑中實圓柱體通過中心軸沿直徑沿中心直徑沿端面直徑球殼沿直徑沿切線中空球體沿直徑球體沿直徑沿切線第七章習題選講7.1.4 半徑為0.1 m的圓盤在鉛直平面內轉動，在圓盤平面內建立坐標系，原點在軸上，和軸沿水平和鉛直向上的方向. 邊緣上一點當時恰好在軸上，該點的角坐標滿足 (的單位為rad，的單位為s). （1）時，（2）自開始轉45時，（3）轉過90時，點的速度和加速度在和軸上的投影. 解： （1）當時，（2）當時，由，得當時，由，得7.1.7飛機沿水平方向飛行，螺旋槳尖端所在半徑為150 cm，發(fā)動機轉速. 槳尖相對于飛機的線速率等于多少？若飛機以250 km/h的速率飛行，計算槳尖

24、相對地面速度的大小，并定性說明槳尖的軌跡.解：槳尖相對飛機的速度：槳尖相對地面的速度：，飛機相對地面的速度與螺旋槳相對飛機的速度總是垂直的，所以，顯然，槳尖相對地面的運動軌跡為螺旋線.7.2.2 在下面兩種情況下求直圓錐體的總質量和質心位置. 圓錐體為勻質；密度為的函數(shù)：，為正常數(shù).解：建立圖示坐標軸,據對稱性分析，質心必在軸上，在坐標處取一厚為的質元.根據相似三角形，有，即 ，則 圓錐體為勻質，即為常數(shù)，總質量：質心： 總質量：質心： 7.3.3 在質量為，半徑為的勻質圓盤上挖出半徑為的兩個圓孔，圓孔中心在半徑的中點，求剩余部分對過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉動慣量.解：大圓盤對過圓盤中心且與盤面垂直的軸線（以下簡稱軸）的轉動慣量 為 . 由于對稱放置，兩個小圓盤對軸的轉動慣量相等，設為，圓盤質量的面密度，根據平行軸定理，有設挖去兩個小圓盤后，剩余部分對軸的轉動慣量為7.4.2 質量為2.97 kg，長為1.0 m的勻質等截面細桿可繞水平光滑的軸線轉動，最初桿靜止于鉛直方向. 一彈片質量為10 g，以水平速度200 m/s射出并嵌入桿的下端，和桿一起運動，求桿的最大擺角. 解：將子彈、桿構成的物體系作為研究對象，整個過程可分為兩個階段研究：第一階段，子彈與桿發(fā)生完全非彈性碰撞，獲得共同的角速度，