剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量專題

1、.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量專題1.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三要素 剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是描述剛體在繞該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)過程中轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的物理量. 有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式可看出，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是與下列三個(gè)因素有關(guān)的. （1）與剛體的質(zhì)量有關(guān). 例如半徑相同的兩個(gè)圓柱體，而它們的質(zhì)量不同，顯然，對(duì)于相應(yīng)的轉(zhuǎn)軸，質(zhì)量大的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也較大. （2）在質(zhì)量一定的情況下，與質(zhì)量的分布有關(guān). 例如，質(zhì)量相同、半徑也相同的圓盤與圓環(huán)，二者的質(zhì)量分布不同，圓環(huán)的質(zhì)量集中分布在邊緣，而圓盤的質(zhì)量分布在整個(gè)圓面上，所以，圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大.（3）還與給定轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，即同一剛體對(duì)于不同的轉(zhuǎn)軸，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小也是不等的. 例如，同一細(xì)長桿，對(duì)通

2、過其質(zhì)心且垂直于桿的轉(zhuǎn)軸和通過其一端且垂直于桿的轉(zhuǎn)軸，二者的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不相同，且后者較大. 這是由于轉(zhuǎn)軸的位置不同，從而也就影響了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小. 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三要素：剛體的總質(zhì)量、剛體的質(zhì)量分布情況、轉(zhuǎn)軸的位置. 2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的普遍公式（1）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式 可知，對(duì)于形狀規(guī)則、質(zhì)量均勻分布的連續(xù)剛體，其對(duì)特殊軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算可借助于定積分. 這是，可設(shè)想將剛體分成許多小線元、面元、體元.于是一般說來，這是個(gè)三重的體積分，但對(duì)于有一定對(duì)稱性的物體，積分的重?cái)?shù)可以減少，甚至不需要積分.（2）剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 仿照剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

3、慣量來定義剛體對(duì)于某點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：剛體中各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量各自與其至某（參考）點(diǎn)的距離的平方的乘積，所得總和稱為剛體對(duì)該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.（3）剛體對(duì)某點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可表示為 由式、，得 即，質(zhì)點(diǎn)系（剛體）對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（或極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量），等于它對(duì)于三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和的一半.3.剛體的平行軸定理（許泰乃爾定理） 即，剛體對(duì)于任何一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過它的質(zhì)心并與該軸平行的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積.注意：平行軸定理與剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量緊密聯(lián)系在一起，應(yīng)用此定理的參考點(diǎn)是剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 根據(jù)平行軸定理，可得到如下關(guān)系： （1）剛

4、體繞通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小于繞另一平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，二者之差為. （2）設(shè)有兩條平行軸與均不通過質(zhì)心. 如果比靠近，則剛體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小于繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（如圖7.52(a)所示）.圖7.52 平行軸定理的應(yīng)用 (a) 在不同圓上；(b)同一圓上 （3）如果有一簇與質(zhì)心的距離相等的平行軸，那么，剛體繞這些軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均相等（如圖7.52(b)所示）.4.剛體的垂直軸定理（正交軸定理、薄片定理）設(shè)想剛體為平面薄片，即厚度可以略去不計(jì)，因而剛體為平面圖形. 即，平面圖形對(duì)于圖形內(nèi)的兩條正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，等于這個(gè)圖形對(duì)過二軸交點(diǎn)且垂直于圖形平面的那條轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.注意：正交軸定理對(duì)于有限厚度

5、的板不成立.5.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊加原理實(shí)際上，有些物體是由幾種形狀不同的剛體的組合. 它對(duì)于某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可視為各部分對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，因而， 即，由幾個(gè)部分組成的剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于各部分對(duì)同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和. 此即轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊加原理.疊加原理是根據(jù)加法的組合定則，把屬于各部分的項(xiàng)分別相加，然后求和而得. 同理，設(shè)有一物體挖去若干部分，則剩余部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于原物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，減去挖去部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.例題1 在質(zhì)量為，半徑為的勻質(zhì)圓盤上挖出半徑為的兩個(gè)圓孔，圓孔中心在半徑的中點(diǎn)，求剩余部分對(duì)過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.53 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊加原理的應(yīng)用解 大圓

6、盤對(duì)過圓盤中心且與盤面垂直的軸線（以下簡稱軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 為 . 由于對(duì)稱放置，兩個(gè)小圓盤對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等，設(shè)為，圓盤質(zhì)量的面密度，根據(jù)平行軸定理，有設(shè)挖去兩個(gè)小圓盤后，剩余部分對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為6.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的標(biāo)度變換法 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的標(biāo)度變換法是計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一種簡便的方法. 由于在幾何上具有相似性的均勻物體，它們對(duì)相應(yīng)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式也具有相似性，在根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理、疊加原理等，確定彼此關(guān)系，比較系數(shù)，從而獲得物體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 故這種方法可以不用積分即能求得某些特殊形狀的物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 例題2 求均勻立方體繞通過面心的中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.54 標(biāo)度變換法用于計(jì)算立方體

7、對(duì)通過面心的中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解 令立方體的總質(zhì)量為，邊長為，設(shè)均勻立方體繞通過面心的中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為其中，系數(shù)是無量綱的量. 因?yàn)橐磺辛⒎襟w在幾何上都是相似的，它們應(yīng)該具有同樣的. 中心軸到棱邊的距離為根據(jù)平行軸定理，立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為現(xiàn)將立方體等分為8個(gè)小立方體，每個(gè)小立方體的質(zhì)量為，邊長為，繞棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為8個(gè)立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和應(yīng)等于大立方體繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即比較系數(shù)，得于是，求得所以，下面介紹利用定積分法計(jì)算質(zhì)量均勻分布、圖形具有對(duì)稱性的剛體對(duì)于一些特殊的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 勻質(zhì)細(xì)桿 例題3 質(zhì)量為、長為的勻質(zhì)細(xì)桿，繞其質(zhì)心且垂直于桿的軸旋轉(zhuǎn)，桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是多少？

8、解 設(shè)桿的線密度為，則. 選擇如圖所示的坐標(biāo)軸，桿的質(zhì)心位于原點(diǎn)，取一個(gè)長度為、與質(zhì)心的距離為的微元，則圖7.55 勻質(zhì)細(xì)桿對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量根據(jù)平行軸定理，桿對(duì)通過其一端且垂直于桿的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為當(dāng)然用定積分也可得相同的結(jié)果. 勻質(zhì)正方形薄板例題4 求質(zhì)量為、邊長為的勻質(zhì)正方形薄板對(duì)其邊為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解 勻質(zhì)薄板可視為細(xì)長條的組合. 根據(jù)疊加原理可得對(duì)一邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.56 勻質(zhì)正方形薄板對(duì)一邊為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量同理，可得或利用定積分，其中，為面密度.對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)以對(duì)角線為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量當(dāng)然，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用二重積分計(jì)算得到. 勻質(zhì)矩形薄板例題5 求質(zhì)量為、長和寬

9、分別為和的勻質(zhì)矩形薄板對(duì)其邊為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解 方法同上，不難得到圖7.57 勻質(zhì)矩形薄板對(duì)一邊為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由垂直軸定理，可以進(jìn)一步求得矩形薄板對(duì)通過頂點(diǎn)且垂直于板平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（如圖7.57）為當(dāng)然，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用二重積分計(jì)算得到.矩形薄板對(duì)通過質(zhì)心且垂直于板平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圖7.58 勻質(zhì)矩形薄板對(duì)過中心且垂直于板面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量另解：從量綱上考慮，所求的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可表示為其中，為待定系數(shù).將和轉(zhuǎn)置后，但不會(huì)因?yàn)楹娃D(zhuǎn)置而發(fā)生變化，比較系數(shù)，有則利用勻質(zhì)矩形板可等分為兩個(gè)小勻質(zhì)矩形板的特點(diǎn)，如圖7.54所示，有比較系數(shù)，有得，因而，勻質(zhì)長方體例題6 求質(zhì)量為、長、寬和高分別為

10、、和的勻質(zhì)長方體對(duì)其棱邊為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.59 勻質(zhì)長方體對(duì)其棱邊為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解 由疊加原理，不難得到以棱邊為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量同理可得，以棱邊為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以棱邊為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量當(dāng)然，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用三重積分計(jì)算得到.對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用三重積分計(jì)算得到.對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用三重積分計(jì)算得到.根據(jù)平行軸定理，對(duì)通過長方體面心為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如果將上述長方體換成邊長為的立方體，則繞其棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均相等，且對(duì)通過正方體面心為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量余此類推.對(duì)于特殊剛體，線（線段）面（矩形） 體（長方體）勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)例題7 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)對(duì)通過中心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.60 勻質(zhì)細(xì)

11、圓環(huán)對(duì)通過中心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解 細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量可以認(rèn)為全部分布在半徑為的圓周上，即在距離中心小于或大于的各處，質(zhì)量均為零，所以轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為或又由垂直軸定理，可以得到其對(duì)直徑為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為再利用平行軸定理，可得細(xì)圓環(huán)對(duì)其任意切線為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為.圖7.61 勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)對(duì)任意切線為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其中，為細(xì)圓環(huán)的線密度，則細(xì)圓環(huán)對(duì)切線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 勻質(zhì)中空薄圓盤例題8 求質(zhì)量為、內(nèi)半徑為、外半徑為的勻質(zhì)中空薄圓盤對(duì)通過中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.62 勻質(zhì)中空薄圓盤對(duì)通過中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解 勻質(zhì)中空薄圓盤可視為無限多個(gè)同心的細(xì)圓環(huán)的組合，所以，根據(jù)疊加原理可以得到該

12、中空薄圓盤對(duì)通過中心且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 中空薄圓盤的質(zhì)量為其中，為中空薄圓盤的面密度，則中空薄圓盤對(duì)通過中心且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量當(dāng)然，中空薄圓盤對(duì)通過中心且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用二重積分計(jì)算得到.勻質(zhì)薄圓盤例題9 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)薄圓盤對(duì)通過中心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.63 勻質(zhì)薄圓盤對(duì)通過中心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解 勻質(zhì)薄圓盤可視為無限多個(gè)同心的細(xì)圓環(huán)的組合，所以，根據(jù)疊加原理可以得到該厚圓環(huán)對(duì)通過中心且垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 薄圓盤的質(zhì)量為其中，為薄圓盤的面密度，則薄圓盤對(duì)通過中心且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量當(dāng)然，薄圓盤對(duì)通過中心且

13、垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用二重積分計(jì)算得到.可見，薄圓盤是中空?qǐng)A盤的特例. 同樣，根據(jù)垂直軸定理，得其對(duì)直徑為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為再利用平行軸定理，可得其對(duì)切線為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為勻質(zhì)薄壁圓筒例題10 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)薄壁圓筒對(duì)中心軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解 勻質(zhì)薄壁圓筒可視為半徑相同，圓心在同一條直線上且各個(gè)環(huán)面均垂直于該直線的一系列細(xì)圓環(huán)的組合. 根據(jù)疊加原理，由圓環(huán)對(duì)該直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較易求出此圓筒對(duì)該直線為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圖7.64 勻質(zhì)薄壁圓筒對(duì)中心軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量當(dāng)然，也可定積分法求解.勻質(zhì)中空?qǐng)A柱體例題11 求質(zhì)量為、內(nèi)半徑為、外半徑為的勻質(zhì)中空?qǐng)A柱體對(duì)中心軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.65 勻

14、質(zhì)中空?qǐng)A柱體對(duì)中心軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解 勻質(zhì)中空?qǐng)A柱體可視圓心在同一條直線上且環(huán)面均垂直于該直線的一系列中空?qǐng)A盤的組合. 根據(jù)疊加原理，由中空?qǐng)A盤對(duì)該直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較易求出此中空?qǐng)A柱體對(duì)該直線為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量當(dāng)然，也可定積分法求解.其中，為體密度.勻質(zhì)實(shí)心圓柱體例題12 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)實(shí)心圓柱體對(duì)中心軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.66 勻質(zhì)實(shí)心圓柱體對(duì)中心軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解 勻質(zhì)實(shí)心圓柱體可視圓心在同一條直線上且圓面均垂直于該直線的一系列薄圓盤的組合. 根據(jù)疊加原理，由薄圓盤對(duì)該直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較易求出此圓柱體對(duì)該直線為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量當(dāng)然，也可定積分法求解.其中，為體密度.當(dāng)然，實(shí)心圓柱體對(duì)中心軸線的

15、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用三重積分計(jì)算得到.可見，厚圓筒是實(shí)心圓柱體的特例. 同樣，根據(jù)垂直軸定理，得其對(duì)直徑為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為勻質(zhì)實(shí)心圓柱體例題12 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)實(shí)心圓柱體對(duì)中心直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.67 勻質(zhì)實(shí)心圓柱體對(duì)中心直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解 設(shè)勻質(zhì)實(shí)心圓柱體由與、圍成.其中，為體密度.繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為同理可得，繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為勻質(zhì)實(shí)心圓柱體例題13 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)實(shí)心圓柱體對(duì)端面直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.68 勻質(zhì)實(shí)心圓柱體對(duì)端面直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解 設(shè)勻質(zhì)實(shí)心圓柱體由與、圍成.其中，為體密度.繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為同理可得，繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為當(dāng)然，利用平行軸定理也可得到相同的結(jié)果.圓環(huán)細(xì)圓環(huán)

16、中空薄圓盤薄圓盤薄圓筒中空?qǐng)A柱體實(shí)心圓柱體勻質(zhì)球殼例題14 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)球殼對(duì)球心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、對(duì)任意直徑和切線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.69 勻質(zhì)球殼對(duì)球心、對(duì)任意直徑和切線為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解 因?yàn)樵诰嚯x球心大于或小于處，質(zhì)量均為零，而質(zhì)量均勻分布于球殼上. .解法一：根據(jù)剛體對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式，有或當(dāng)然，極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用二重積分計(jì)算得到.根據(jù)關(guān)系式對(duì)于勻質(zhì)球殼，球心為坐標(biāo)原點(diǎn). 根據(jù)對(duì)稱性，可知?jiǎng)t即為球殼對(duì)任意直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解法二：當(dāng)然，、和也可利用二重積分計(jì)算得到.解法三：球殼可視為一系列薄圓環(huán)的組合.其中，表示薄圓環(huán)的半徑，為薄圓環(huán)的元質(zhì)量，為薄圓環(huán)的面元.而根據(jù)平行軸定理

17、，可得球殼對(duì)任意切線為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量若將該球殼切除一半，求剩余部分（球冠）對(duì)任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.根據(jù)剛體對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式，有或當(dāng)然，極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用二重積分計(jì)算得到.顯然，、和可利用二重積分計(jì)算得到.將該球殼部分切除，若剩余部分（球冠）的高度為直徑的1/4，求其對(duì)任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.此時(shí)在球坐標(biāo)系中的極角.極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用二重積分計(jì)算得到.、和可利用二重積分計(jì)算得到.這里已利用積分將該球殼部分切除，若剩余部分為原來的1/8，求其對(duì)任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用二重積分計(jì)算得到.、和可利用二重積分計(jì)算得到.勻質(zhì)實(shí)心球體例題15 求質(zhì)量為、半徑為的勻質(zhì)實(shí)心球體對(duì)球心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、對(duì)任意直

18、徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.70 勻質(zhì)球體對(duì)球心、對(duì)任意直徑和切線為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解 解法一：球體可視為球殼的組合，其中，為體密度.根據(jù)剛體對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式，有當(dāng)然，極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可利用三重積分計(jì)算得到.根據(jù)關(guān)系式對(duì)于勻質(zhì)球體，球心為坐標(biāo)原點(diǎn). 根據(jù)對(duì)稱性，可知?jiǎng)t即為球體對(duì)任意直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.當(dāng)然，、和也可利用三重積分計(jì)算得到.解法二：球體可視為球殼的組合，根據(jù)疊加原理，也可較易求得其對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為解法三：球體可視為一系列薄圓盤的組合.其中，表示薄圓盤的半徑，為薄圓盤的元質(zhì)量，為薄圓環(huán)的體元，為薄圓盤到質(zhì)心軸的距離，為薄圓環(huán)的厚度.根據(jù)平行軸定理，可得球體對(duì)任意切線為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量若將該球體

19、切除一半，求剩余部分對(duì)任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊加原理，有當(dāng)然，極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用三重積分計(jì)算得到.顯然，、和也可利用三重積分計(jì)算得到.將該球殼部分切除，若剩余部分的高度為直徑的1/4，求其對(duì)任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.此時(shí)在球坐標(biāo)系中的極角.極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用三重積分計(jì)算得到.、和可利用三重積分計(jì)算得到.將該球體部分切除，若剩余部分為原來的1/8，求其對(duì)任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用三重積分計(jì)算得到.、和可利用三重積分計(jì)算得到.勻質(zhì)中空球體例題16 求質(zhì)量為、內(nèi)半徑為、外半徑為的勻質(zhì)中空球體對(duì)球心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、對(duì)任意直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.71 勻質(zhì)中空球體對(duì)球心、對(duì)任意直徑和切線為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

20、慣量解 中空球體可視為球殼的組合，其中，為體密度.根據(jù)剛體對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式，有當(dāng)然，極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可利用三重積分計(jì)算得到.根據(jù)關(guān)系式對(duì)于勻質(zhì)球體，球心為坐標(biāo)原點(diǎn). 根據(jù)對(duì)稱性，可知?jiǎng)t即為球殼對(duì)任意直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.當(dāng)然，、和也可利用三重積分計(jì)算得到.另解：中空球體可視為球殼的組合，根據(jù)疊加原理，也可較易求得其對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為薄球殼中空球體實(shí)心球體練習(xí)：1 求質(zhì)量為、邊長為的勻質(zhì)等邊三角形對(duì)過頂點(diǎn)且垂直于板面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.72 等邊三角形對(duì)過頂點(diǎn)且垂直于板面為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解 對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，錯(cuò)誤的做法：正確的做法：根據(jù)垂直軸定理，有若直接計(jì)算對(duì)經(jīng)過頂點(diǎn)且垂直于

21、三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，取窄條后，則窄條上各點(diǎn)到軸的距離并非處處相等，故此法不可行！2 求質(zhì)量為、底面為邊長的等邊三角形、高的勻質(zhì)正三棱柱對(duì)以其高為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解 正三棱柱可視為由無限多個(gè)正三角形的組合，根據(jù)第1題的結(jié)論，利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊加原理，有3 求質(zhì)量為、邊長為且一個(gè)頂角為勻質(zhì)棱形對(duì)過頂點(diǎn)且垂直于板面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.73 一個(gè)頂角為的棱形對(duì)過頂點(diǎn)且垂直于板面為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解 根據(jù)第1題結(jié)論，利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊加原理，有4求質(zhì)量為、底面為邊長且一個(gè)頂角為勻質(zhì)棱形、高的勻質(zhì)正四棱柱對(duì)以其高為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解 該正四棱柱可視為由無限多個(gè)棱形的組合，根據(jù)第3題的結(jié)論，利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊

22、加原理，有5求質(zhì)量為、邊長為勻質(zhì)正六邊形對(duì)過頂點(diǎn)且垂直于板面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.圖7.74 正六邊形對(duì)過頂點(diǎn)且垂直于板面為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解 根據(jù)第1題結(jié)論，利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊加原理，有其中，.6 求質(zhì)量為、底面為邊長的正六邊形、高的勻質(zhì)正六棱柱對(duì)以其高為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解 該正六棱柱可視為由無限多個(gè)正六邊形的組合，根據(jù)第5題的結(jié)論，利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊加原理，有表7.2 一些簡單幾何圖形的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)動(dòng)慣量細(xì)桿通過中心且垂直于桿通過桿端且垂直于桿細(xì)圓環(huán)通過中心且與環(huán)面垂直沿直徑沿切線中空?qǐng)A盤通過中心且與環(huán)面垂直沿直徑薄圓盤通過中心且與盤面垂直沿直徑沿切線薄壁中空?qǐng)A筒通過中心軸沿直徑中空?qǐng)A柱體通過

23、中心軸沿直徑中實(shí)圓柱體通過中心軸沿直徑沿中心直徑沿端面直徑球殼沿直徑沿切線中空球體沿直徑球體沿直徑沿切線第七章習(xí)題選講7.1.4 半徑為0.1 m的圓盤在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤平面內(nèi)建立坐標(biāo)系，原點(diǎn)在軸上，和軸沿水平和鉛直向上的方向. 邊緣上一點(diǎn)當(dāng)時(shí)恰好在軸上，該點(diǎn)的角坐標(biāo)滿足 (的單位為rad，的單位為s). （1）時(shí)，（2）自開始轉(zhuǎn)45時(shí)，（3）轉(zhuǎn)過90時(shí)，點(diǎn)的速度和加速度在和軸上的投影. 解： （1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，由，得當(dāng)時(shí)，由，得7.1.7飛機(jī)沿水平方向飛行，螺旋槳尖端所在半徑為150 cm，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速. 槳尖相對(duì)于飛機(jī)的線速率等于多少？若飛機(jī)以250 km/h的速率飛行，計(jì)算槳尖

24、相對(duì)地面速度的大小，并定性說明槳尖的軌跡.解：槳尖相對(duì)飛機(jī)的速度：槳尖相對(duì)地面的速度：，飛機(jī)相對(duì)地面的速度與螺旋槳相對(duì)飛機(jī)的速度總是垂直的，所以，顯然，槳尖相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)軌跡為螺旋線.7.2.2 在下面兩種情況下求直圓錐體的總質(zhì)量和質(zhì)心位置. 圓錐體為勻質(zhì)；密度為的函數(shù)：，為正常數(shù).解：建立圖示坐標(biāo)軸,據(jù)對(duì)稱性分析，質(zhì)心必在軸上，在坐標(biāo)處取一厚為的質(zhì)元.根據(jù)相似三角形，有，即 ，則 圓錐體為勻質(zhì)，即為常數(shù)，總質(zhì)量：質(zhì)心： 總質(zhì)量：質(zhì)心： 7.3.3 在質(zhì)量為，半徑為的勻質(zhì)圓盤上挖出半徑為的兩個(gè)圓孔，圓孔中心在半徑的中點(diǎn)，求剩余部分對(duì)過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解：大圓盤對(duì)過圓盤中心且與盤面垂直的軸線（以下簡稱軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 為 . 由于對(duì)稱放置，兩個(gè)小圓盤對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等，設(shè)為，圓盤質(zhì)量的面密度，根據(jù)平行軸定理，有設(shè)挖去兩個(gè)小圓盤后，剩余部分對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為7.4.2 質(zhì)量為2.97 kg，長為1.0 m的勻質(zhì)等截面細(xì)桿可繞水平光滑的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，最初桿靜止于鉛直方向. 一彈片質(zhì)量為10 g，以水平速度200 m/s射出并嵌入桿的下端，和桿一起運(yùn)動(dòng)，求桿的最大擺角. 解：將子彈、桿構(gòu)成的物體系作為研究對(duì)象，整個(gè)過程可分為兩個(gè)階段研究：第一階段，子彈與桿發(fā)生完全非彈性碰撞，獲得共同的角速度，