131二項式定理

1、二項式定理(a+b)2 (a+b)3 那么將(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展開后，它們的各項是什么呢？C20 a2 + C21 ab+ C22 b2= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3= a2 +2ab+b2 展開下面式子(a+b)2 (a+b) (a+b) 展開后其項的形式為：a2 ， ab ， b2這三項的系數(shù)為各項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù).考慮b: 每個都不取b的情況有C20 種,則a2前的系數(shù)為C20恰有1個取b的情況有C21種，則ab前的系數(shù)為C21恰有2個取b的情況有C22 種，則b2前的系數(shù)為C22(a+b)2

2、 = a2 +2ab+b2 C20 a2 + C21 ab+ C22 b2(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3對對(a+b)2展開式的分析展開式的分析(a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)？1)(a+b)4展開后各項形式分別是什么？2)各項前的系數(shù)代表著什么？a4 a3b a2b2 ab3 b4各項前的系數(shù) 代表著這些項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)問題每個都不取b的情況有1種,即C40 ,則a4前的系數(shù)為C40恰有1個取b的情況有C41種，則a3b前的系數(shù)為C41恰有2個取b的情況有C42 種，則a2b2

3、前的系數(shù)為C42恰有3個取b的情況有C43 種，則ab3前的系數(shù)為C43恰有4個取b的情況有C44種，則b4前的系數(shù)為C44則 (a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b43)你能分析說明各項前的系數(shù)嗎？a4 a3b a2b2 ab3 b4(a+b)n=?二項展開式定理*C 110NnbbaCbaCaCbannnkknknnnnnn每個都不取b的情況有1種,即Cn0 ,則an前的系數(shù)為Cn0恰有1個取b的情況有Cn1種，則an-1b前的系數(shù)為Cn1恰有2個取b的情況有Cn2 種，則an-2b2前的系數(shù)為Cn2.恰有k個取b的情況有Cnk 種，則an

4、-kbk前的系數(shù)為Cnk.恰有n個取b的情況有Cnn 種，則bn前的系數(shù)為Cnn右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式Cnk an-kbk：二項展開式的通項，記作Tk+1Cnk ： 二項式系數(shù)各項中a的指數(shù)從n起依次減小1，到0為此 各項中b的指數(shù)從0起依次增加1，到n為此如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2+ +Cnr xr + xn注例1.126的展開式求xx661212xxxx解63121xx分析:先化簡再運用公式61524336663)(2 )(2 )(2 )xCxCxCxx1=(24256666(2 )(2 )CxCxC32236012164192240160 xxx

5、xxx=解:練習411x展開4443342241441111111xCxCxCxCx43214641xxxx例2 (1)求(1+2x)7的展開式的第4項的系數(shù) .1239的系數(shù)的展開式中求xxx注：1)注意對二項式定理的靈活應用 2)注意區(qū)別二項式系數(shù)與項的系數(shù)的概念二項式系數(shù)：Cnr；項的系數(shù)：二項式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積 3)求二項式系數(shù)或項的系數(shù)的一種方法是將二項式展開例2 (1)求(1+2x)7的展開式的第4項的系數(shù) .1239的系數(shù)的展開式中求xxx解(1) (1+2x)7的展開式的第4項是T3+1=C7317-3(2x)3 =3523x3 =280 x3 的展開式的通項是912xxrr

6、rrrrxCxxC2999911分析: 先求出x3是展開式的那一項,再求它的系數(shù)例2 (1)求(1+2x)7的展開式的第4項的系數(shù) .1239的系數(shù)的展開式中求xxx9-2r =3r =3x3系數(shù)是 (-1)3C93=-84求（x+a)12的展開式中的倒數(shù)第4項解:912 99399 112220.TC xax a練習(x+a)12的展開式有13項,倒數(shù)第4項是它的第10項1999219931( )()( )333rrrrrrrrrxTCCxx 06.rr1由9-r-得269 66791( )322683TC解:練習的展開式常數(shù)項求933xx 求求 的展開式的中間兩項的展開式的中間兩項 93()3xx解:展開式共有10項,中間兩項是第5、6項。49 44354 193( )()423xTTCxx359