求數列通項公式的常用方法

1、求數列通項公式的常用方法、累加法1 .適用于：累加法是最根本的二個方法之一一oan f(n)這是廣義的等差數列2.解題步驟：假設an1 af(n)(n2)，a? a 貝 Ua3 a2an 1f(1) f(2) Lf(n)兩邊分別相加得nan 1 a1f(n)k 1an例1 數列an滿足an1 an 2n 1, a1 1 ,求數列 的通項公式。解：由aan 2n 1 得 an 1 a. 2n 1 貝an (an2(2(2an 1) (an 1 an 2) L(a3 a2)(a2 aj1) 1 2( n 2) 1 L (2 2 1)(2 11) (n 2) L 2 1 (n 1) 11)n(n 1

2、) 1nnn2(n 1)(n 1) 12na11)所以數列an的通項公式為練習.數列an滿足a1 3 , a 此數列的通項公式.1 (n 2) n(n 1)答案：裂項求和an評注：ai a,an 1 an f(n)，其中f(n)可以是關于n的一次函數、二次函數、指數函數、分式函數，求通項 an. 假設f(n)是關于n的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和； 假設f(n)是關于n的二次函數，累加后可分組求和； 假設f(n)是關于n的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和； 假設f(n)是關于n的分式函數，累加后可裂項求和。二、累乘法1-適用于：an 1 f(n)an 這是廣義的等比數列,累乘法是最

3、根本的二個方法之二。2 解題步驟:假設空 f(n),那么-f(1),- f(2),L L ,邑 f(n) ana1a2an兩邊分別相乘得，加a, n f(k)a1k 1例2數列an滿足an1 2(n 1)5n %，印3，求數列an的通項公式。解:因為 an1 2(n1)5nan，a13，所以an0，那么a n 1n亠 2(n 1)5n ananan 1anLa3 a2an 1 an 2a? a故2( n 11)5n12(n 21)5 2 L 2(2 1)522(11) 51 32n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1 (n 2) L 21 3n(n 1)3 2n 1 5丁 n!所以數列an

4、的通項公式為an 3 2n 1 5嚀n!.練習 . an 1 nan n 1,a1 1,求數列 an 的通項 公式答案： an (n 1)! (a1 1)-1.評注：此題解題的關鍵是把原來的遞推關 系式 an 1 nan n 1,轉化為an 1 1 n(an 1), 假設令 bn an 1 ,那么問題進一步轉化 為b-嘰形式，進而應用累乘法求出數列的通 項公式 .三、待定系數法 適用于 an 1 qan f (n)根本思路是轉化為等差數列或等比數列， 而數列的本質是一個函數， 其定義域是自然數 集的一個函數。.形女口 an 1 can d，(c 0,其中 ai a)型(1) 假設c=1時，數列

5、辭為等差數列；(2) 假設d=0時，數列an為等比數列；(3) 假設c 1且d 0時，數列a為線性遞推數 列，其通項可通過待定系數法構造輔助數列來 求.解題步驟：設 an 1c(an )，得 an 1 can (c 1)與題設 1 d比較系數得(C Dd，所以C,(c 0)，所以有:anc(ac 1a dd因此數列n c構成以a1廠為首項，以c 為公比的等比數列，d / d n 1所以an廠佝冷c即：dn 1dan + 例3數列an中，a, 1,an 2a 1 1(n 2)，求數列a 的通項公式。解:Q an2an 1 1(n 2),an 12(an 1 1)又Qa 12, a 1是首項為2,

6、公比為2的等比 數列an 1 2n，即 a 2n 1C11練習數列an中，a1 2，an1 2an 2,求通項an答案:2形如：an1 p an qn (其中q是常數, 且 n 0,1) 假設P=1時，即：am % Tn，累加即可. 假設 P 1 時，即:ani P an qn ,求通項方法有以下三種方向：i.兩邊同除以Pn1.目的是把所求數列構造 成等差數列即:瞎即丄與人bn半血宀1 bn丄即 p q p q 令 p ，貝p q ，然后累加求通項nq1ii.兩邊同除以 造成等差數列。目的是把所求數列構an 1n 1qbnq1q，然后轉化為即:令un qn，那么可化為待定系數法第一種情況來解。

7、iii.待定系數法：目的是把所求數列構造 成等差數列設a1 q1 PaP.通過比較系數，求出，轉化為等比數列求通項.注意：應用待定系數法時，要求P q，否那么待定系數法會失效。例4 數列a滿足時細43n1, a1 1，求數列an的通項公式。解法一待定系數法：設an1 l3 2a 31, 比較系數得i 4, 2 2 ,那么數列 431是首項為ai 4 31 5,公比為2 的等比數列，所以 an 4 3n1 5 2n1，即 an 4 3n 1 5 2n 1解法二兩邊同除以qn1:兩邊同時除以 an 12 an 43n1得：莎苕衣，下面解法略解法三兩邊同除以P1：兩邊同時除以 an1 an 4/3、

8、n2n1得：盯歹32，下面解法略3 .形如an1 Pan kn b其中k,b是常數，且k 0待定系數法解題步驟：通過湊配可轉化為比較系數求x、y;解得數列 公式；得數列a的通項公式。an(an xn y) p(a. 1(axnx(n 1) y)y)的通項3例5 .在數列an中，a1 2,2anan.待定系數法解：原遞推式可化為an6n3,求通項2(an xn y)x( n 1) y比較系數可得：x=-6, y=9上式即為2bn bni9 所以bn是一個等比數列，首項b1 a1 6n 9 2 , 公比為 2。 bn 2(F1即：an 6n 9 9($ ,故1an 9 ()n 6n 9練習在數列逐

9、項相減法角軍： an 1 3a n兩式相減得bn 3bn 12a2n,中，ai1,a3an2n,求通項an.3( an2時，2.令b3a2(n 1)，那么知 bn 5 3 2an 1再由累加法可得5 3n1253亦可聯立解出a4 形如是常數，且aa n 1 pann2(其中a,b,c0)根本思路是轉化為等比數列，而數列的本 質是一個函數，其定義域是自然數集的一個函 數。例6 數列a滿足a, 2an 3n2 4n 5, a, 1，求數列an的通項公式。解：設 an 1 x(n 1)22y(n 1) z 2(an xn yn z)比較系數得x 3,y 10,z 18 ,所以 an 1 3(n 1)

10、2 10( n 1) 18 2(an 3n2 10n 18)由 a13 1210 1 181 31320，得 an 3n2 10n 18 0那么 a1 3(n312218 2，故數列an 3n2 10n 18為以an 3n 10n 18a1 3 12 10 1 18 1 31 32為首項，以2為公比的等比數 列，因此 an 3n2 10n 18 32 2n 1 ，那么 an 2n4 3n2 10n 18。5.形如a 2 pa 1 qa時將a作為f (n)求解分析：原遞推式可化為an 2 an, (p )(an, an)的形 式，比較系數可求得，數列am &為等比數 列。例7 數列an滿足an2

11、 5an1 6% 1,a2 2，求數 列an的通項公式。解：設an 2an 1(5)(an 1an)比較系數得3或2，不妨取2，(取-3結果形式可能不同，但本質相同)那么an 2 2an 1 3(an 1 2an)，貝H an 1 2an是首項為 4，公比為 3的等比數列an 1 2an4 3n 1所以an4 3n 1 5 2n 1練習.數列an中，假設31 8,32 2,且滿足9n2 4an1 3an 0 求an.答案：a 11 3.四、不動點法目的是將遞推數列轉化為等比(差)數列 的方法不動點的定義：函數f(x)的定義域為D，假設存 在f(x)Xo D，使f(Xo) X。成立，那么稱X)為

12、f(x)的不動點 或稱(Xo, f(Xo)為函數f(x)的不動點。分析：由f(x) X求出不動點Xo，在遞推公式兩 邊同時減去Xo，再變形求解。類型一：形如an 1 qan d例8數列an中，a1 1,an 2如1 1(n 2)，求數列K的通項公式。解：遞推關系是對應得遞歸函數為f(x) 2X 1，由 f(x) X得，不動點為-1 an 112(an 1)，類型二：形如an1 aan bc an d分析：遞歸函數為心)c x d(1) 假設有兩個相異的不動點關系式兩邊分別減去不動點 除得3，其中k U，an 1 q an qa qc 7(2) 假設有兩個相同的不動點p，然后用1除，得系式兩邊減

13、去不動點 k，其中k空。p,q時，將遞歸 p,q，再將兩式相 .a (q pq)kn1 (p pq)n p)kn 1 q)p，那么將遞歸關an 1 p an pa d詐,求數列 項公式(答案：an汨) 分析：此類問題常用參數法化等比數列求解 解：對等式兩端同時加參數t,得：7t 4(2t 5)an 7t (2t 5)an 廠2an 7例9.設數列an滿足al 2,an 1an的通an 1 t5an 42an72an 77t 42t 5解之得t=1,-2an 11(2t5)-2a nc an 1an 23an 1292an 7 2an 7an 11 1 an 1an 1 2 3 an 2,即汁是

14、首項為公比為丄的等比數列，34 3n 12an 4 3n 11 .相除得an -a n111 n_ 3an24a11a12,解得an的通項答案:an13 5n10n 6五、對數變換法pan其中p,r為常數型 例10.設正項數列 求數列an的通項公式 解：兩邊取對數得： 設 b log2 1，那么 的等比數列， log2n 2n1 1a2練習數列a-中， 列a-的通項公式.適用于an1bn2bnd log1c2n 11nn滿足a1logp0， an 02n 2an ( n 2).1 2logbn 1an12log 2n 1 2(log2n1 1)是以2為公比2n 1 log2n 1 2n 12石

15、n?2,求數2 22 n答案：an 2六、倒數變換法適用于分式關系的遞推公式，分子只有一項例11數列an滿足2an.an 1c，a1 1an 2，求數列an的通項公式解：求倒數得丄2丄an 12 an1an 111 1 1an2an 1 an為等差數列，首項丄1,公差為a11 1an2(n 1)，七、階差法(逐項相減法)1、遞推公式中既有Sn，又有an分析：把關系通過a, S，ns1 n 2轉化為數Sn Sn 1，n 2 列an或Sn的遞推關系，然后采用相應的方法求 解。例12 數列an的各項均為正數，且前 n 項和Sn滿足Sn (a 1)(0, 2)，且82,84,89成等比數列，求 數列an的通項公式。解：對任意n N有Sn扣1)(an 2)當