2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)課時(shí)學(xué)案第1章《章末復(fù)習(xí)》(含解析)

1、章末復(fù)習(xí)一、空間向量的概念及運(yùn)算1空間向量可以看作是平面向量的推廣，有許多概念和運(yùn)算與平面向量是相同的，如模、零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念，加減法的三角形法則和平行四邊形法則，數(shù)乘運(yùn)算與向量共線的判斷、數(shù)量積運(yùn)算、夾角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐標(biāo)表示是向量運(yùn)算的基礎(chǔ)2向量的運(yùn)算過程較為繁雜， 要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力例1(1)已知正方體ABCDA1B1C1D1中，若xy()，則x_，y_.(2)(多選)如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.下列選項(xiàng)中，正確的是()A.0 B.0C.0 D.答案(1)1(2)C

2、D解析(1)由題意知()，從而有x1，y.(2)因?yàn)?，所以C正確；又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SASBSCSD2，所以22cos ASB，22cos CSD，而ASBCSD，于是，因此D正確，其余兩個(gè)都不正確反思感悟空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量共面的充要條件(1)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算、共線向量的概念、向量共線的充要條件與平面向量的性質(zhì)是一致的(2)利用向量共面的充要條件可以判斷第三個(gè)向量是否與已知的兩個(gè)不共線的向量共面，特別地，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使xy.跟蹤訓(xùn)練1(1)在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1，2,1)，B(2,2,2)，點(diǎn)P在z軸上，

3、且滿足|，則P點(diǎn)坐標(biāo)為()A(3,0,0) B(0,3,0)C(0,0,3) D(0,0，3)答案C解析設(shè)P(0,0，z)，則有，解得z3.(2)如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為60.求的長(zhǎng)；求與夾角的余弦值解記a，b，c，則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|.bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1，cos，.二、利用空間向量證明位置關(guān)系1用空間向量判斷空間中位置關(guān)系的類型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面

4、垂直；判斷證明的基本思想是轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進(jìn)行證明2將立體幾何的線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力例2在四棱錐PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PAADCD2AB2，M為PC的中點(diǎn)(1)求證：BM平面PAD；(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，說明理由(1)證明以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，(0,1,1)，平面PAD

5、的一個(gè)法向量為n(1,0,0)，n0，即n，又BM平面PAD，BM平面PAD.(2)證明由(1)知，(1,2,0)，(1,0，2)，假設(shè)平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N，使MN平面PBD.設(shè)N(0，y，z)，則(1，y1，z1)，從而MNBD，MNPB，即N，在平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N，使MN平面PBD.反思感悟利用空間向量證明或求解立體幾何問題時(shí)，首先要選擇基底或建立空間直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為其坐標(biāo)運(yùn)算，再借助于向量的有關(guān)性質(zhì)求解(證)跟蹤訓(xùn)練2在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14.(1)求證：ACBC1；(2)請(qǐng)說明在AB上是否存在點(diǎn)E，使得AC1平面CEB1.(1)證明在直三棱

6、柱ABCA1B1C1 中，因?yàn)锳C3，BC4，AB5，所以AC，BC，CC1兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)因?yàn)?3,0,0)，(0，4,4)，所以0，所以，即ACBC1.(2)解假設(shè)在AB上存在點(diǎn)E，使得AC1平面CEB1，設(shè)t(3t，4t，0)，其中0t1.則E(33t，4t，0)，(33t，4t4，4)，(0，4，4)又因?yàn)閙n成立，所以m(33t)3，m(4t4)4n0，4m4n4，解得t.所以在AB上存在點(diǎn)E，使得AC1平面C

7、EB1，這時(shí)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)三、利用空間向量計(jì)算距離1空間距離的計(jì)算思路(1)點(diǎn)P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量在直線l上的投影向量為a，則點(diǎn)P到直線l的距離為 (如圖)(2)設(shè)平面的法向量為n，A是平面內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面的距離為(如圖)2通過利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力例3在三棱錐BACD中，平面ABD平面ACD，若棱長(zhǎng)ACCDADAB1，且BAD30，求點(diǎn)D到平面ABC的距離解如圖所示，以AD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)D，OC所在直線為x軸、y軸，過O作OM平面ACD交AB于M，以直

8、線OM為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A，B，C，D，設(shè)n(x，y，z)為平面ABC的一個(gè)法向量，則 yx，zx，可取n(，1,3)，代入d ，得d，即點(diǎn)D到平面ABC的距離是.反思感悟利用向量法求點(diǎn)面距，只需求出平面的一個(gè)法向量和該點(diǎn)與平面內(nèi)任一點(diǎn)連線表示的向量，代入公式求解即可跟蹤訓(xùn)練3已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，若點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到直線AB的距離為()A. B. C. D.答案B解析以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以直線AB，AD，AA1 為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，易知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，則向量，(1,0,0). 則點(diǎn)

9、P到直線AB的距離為.四、利用空間向量求空間角1空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角滿足cos |cosm1，m2|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面的法向量分別為m，n，則直線l與平面的夾角滿足sin |cosm，n|.(3)設(shè)n1，n2分別是兩個(gè)平面，的法向量，則兩平面，夾角滿足cos |cosm，n|.2通過利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力例4如圖，在長(zhǎng)方體AC1中，ABBC2，AA1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、

10、z軸建立空間直角坐標(biāo)系試用向量方法解決下列問題：(1)求異面直線AF和BE所成的角；(2)求直線AF和平面BEC所成角的正弦值解(1)由題意得A(2,0,0)，F(xiàn)，B(2,2,0)，E(1,1，)，C(0,2,0)，(1，1，)，1210.直線AF和BE所成的角為90.(2)設(shè)平面BEC的法向量為n(x，y，z)，又(2,0,0)，(1，1，)，則n2x0，nxyz0，x0，取z1，則y，平面BEC的一個(gè)法向量為n(0，1)cos，n.設(shè)直線AF和平面BEC所成的角為，則sin ，即直線AF和平面BEC所成角的正弦值為.反思感悟(1)在建立空間直角坐標(biāo)系的過程中，一定要依據(jù)題目所給幾何圖形的特

11、征，建立合理的空間直角坐標(biāo)系，這樣才會(huì)容易求得解題時(shí)需要的坐標(biāo)(2)直線和平面所成的角、兩個(gè)平面的夾角類問題有兩種思路：轉(zhuǎn)化為兩條直線所成的角、利用平面的法向量跟蹤訓(xùn)練4如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD平面ABCD，PAPD，AB4.(1)求平面BDP與平面PAD的夾角的大?。?2)若M是PB的中點(diǎn)，求直線MC與平面BDP所成角的正弦值解(1)取AD的中點(diǎn)O，設(shè)ACBDE，連接OP，OE.因?yàn)镻APD，所以O(shè)PAD，又因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，且OP平面PAD，所以O(shè)P平面ABCD.因?yàn)镺E平面ABCD，所以O(shè)POE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)EAD，如圖

12、，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則P(0,0，)，D(2,0,0)，B(2,4,0)，(4，4,0)，(2,0，)設(shè)平面BDP的法向量為n(x，y，z)，則即令x1，則y1，z.于是n(1,1，)平面PAD的法向量為p(0,1,0)，所以cosn，p.所以平面BDP與平面PAD的夾角為.(2)由題意知M，C(2,4,0)，.設(shè)直線MC與平面BDP所成的角為，則sin |cosn，|.所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為.1.(2019全國(guó)改編)如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn)，BEEC1，求平面BEC和平面ECC1夾角的余弦值解以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)

13、，以 ， 分別為 x，y，z 軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BCa，BB1b，則B(0,0,0)，C(a，0,0)，C1(a，0，b)，E ，因?yàn)锽EEC1 ，所以0(a， a，)0a20b2a ，所以E(0，a，a) ，(a，a，a)，(0,0,2a)，(0，a，a) ，設(shè)m(x1，y1，z1) 是平面 BEC 的法向量，所以m(0,1，1) ，設(shè)n(x2，y2，z2) 是平面 ECC1 的法向量，所以n(1,1,0) ，所以平面BEC和平面ECC1夾角的余弦值為.2(2019天津改編)如圖，AE平面ABCD，CFAE，ADBC ，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求證：BF平面 ADE；(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值(1)證明依題意，可以建立以A為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1