D3634一階線性微分方程變量代換法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D3634一階線性微分方程變量代換法一階線性微分方程變量代換法xxPCyd)(e對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解xxPCd)(e)()(ddxQyxPxy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法:,e)()()(xxPxuxyd則xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作變換xxPuxPd)(e)(xxPxQxud)(e)(ddCxxQuxxPde)(d)(兩端積分得第1頁(yè)/共20頁(yè)例例1 1 求方程求方程 dyyxdx的通解。的通解。解解 1先求齊次的通解0dyydxdydxy 2

2、常數(shù)變易法 xyh x e設(shè)代入方程 xh xxe原方程的通解為1xyCex( )xh x ex有Cxye e ln yxC xyCe ( )xxyh x eh x eyx xxh xxeeC第2頁(yè)/共20頁(yè).) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法求特解.,) 1()(2xxuy則) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(令第3頁(yè)/共20頁(yè)例例3 3 求方程3()yx yy 的通解。分

3、析分析：21dxxydyy312xyCydxxdyy xh y y 212h yyC解解1齊次通解2常數(shù)變易法 2hy yy原方程的通解為3dyydxyx()xy把 看成因變量，把 看成自變量xCydxdyxylnlnlnxyC求滿足初值條件求滿足初值條件 的特解！的特解！0|1xy第4頁(yè)/共20頁(yè)形如形如)(ddxyxy的方程叫做的方程叫做齊次微分方程齊次微分方程 .令令,xyu ,xuy 則代入原方程得代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分兩邊積分, 得得xxuuud)(d積分后再用積分后再用xy代替代替 u,便得原方程的通解便得原方程的通解.解法解

4、法:分離變量分離變量: 第5頁(yè)/共20頁(yè).tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy則代入原方程得代入原方程得uuuxutan分離變量分離變量xxuuuddsincos兩邊積分兩邊積分xxuuuddsincos得得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解為故原方程的通解為xCxysin( 當(dāng)當(dāng) C = 0 時(shí)時(shí), y = 0 也是方程的解也是方程的解)( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )0C此處此處第6頁(yè)/共20頁(yè).0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令則有則有22uuuxu分離變量分離變量xxuuudd2積分得積分得,lnln1lnCxu

5、uxxuuudd111即代回原變量得通解代回原變量得通解即即Cuux )1(yCxyx)(說(shuō)明說(shuō)明: 顯然顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解也是原方程的解, 但在但在(C 為任意常數(shù)為任意常數(shù))求解過(guò)程中丟失了求解過(guò)程中丟失了. 第7頁(yè)/共20頁(yè)例例5 5 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx解解，令令xyu ，則則udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu 微分方程的解為微分方程的解為.lnsinCxxy 第8頁(yè)/共20頁(yè)伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)

6、形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后求出此方程通解后,除方程兩邊除方程兩邊 , 得得換回原變量即得伯努利方程的通解換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程線性方程)伯努利伯努利 第9頁(yè)/共20頁(yè)2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令,1 yz則方程變形為xaxzxzlndd其通解為ez將1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 第10頁(yè)/共20

7、頁(yè)例例7. 求方程cos()yxy的通解.例例8. 求解初值問(wèn)題tancosdyxydxy0|4xy第11頁(yè)/共20頁(yè)1. 一階線性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.方法2 用通解公式CxxQyxxPxxPde)(e)()(dd,1 nyu令化為線性方程求解.2. 伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n第12頁(yè)/共20頁(yè)例如, 解方程yxxy1ddyxyxdd, yxu, xuy1ddddxuxy法法1. 取 y 作自變量: 線性方程 法法2. 作變換 則 代入原方程得 ,11dduxuuuxu1dd可分離變量方程第13頁(yè)/共20頁(yè)判別下列方

8、程類型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分離 變量方程xyxyxylndd齊次方程221dd2xyxxy線性方程221dd2yxyyx線性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利方程第14頁(yè)/共20頁(yè)0d2d3yyxyyxx的通解 .解解: 注意 x, y 同號(hào),d2d, 0,xxxyx此時(shí)不妨設(shè)yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一階線性方程通解公式通解公式 , 得exyy2de1(yyy2d故方程可變形為yy1y1 lndCy 所

9、求通解為 )0(eCCyyxyCyln這是以x為因變量 y 為自變量的一階線性方程Cylnd)0(C第15頁(yè)/共20頁(yè)1. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù))(xf使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0則有xxfxfcos)()(0)0(f線性方程)esin(cos21)(xxxxf利用公式可求出第16頁(yè)/共20頁(yè), )(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x試求此方程滿足初始條件00 xy的連續(xù)解.解解: 1) 先解定解問(wèn)題10, 2xyy00 xy利用通解公式, 得xyde1dde2Cxx)e2(e1CxxxCe21利用00 xy得21C故有) 10(e22xyx第17頁(yè)/共20頁(yè)1,0 xyy11e22) 1 ( yyx此齊次線性方程的通解為) 1(e2xCyx利用銜接條件得) 1(e22C因此有) 1(e) 1(e2xyx3) 原問(wèn)題的解為y10),e1 (2xx1,e) 1(e2xx) 10(e22xyx第18頁(yè)/共20頁(yè)( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用, 瑞士數(shù)學(xué)家, 位數(shù)學(xué)家. 標(biāo)