將軍飲馬問(wèn)題

1、0Q第一講將軍飲馬問(wèn)題學(xué)習(xí)要點(diǎn)與方法點(diǎn)撥一、主要內(nèi)容（1）將軍飲馬問(wèn)題得概念、（2）將軍飲馬問(wèn)題在坐標(biāo)系、一次函數(shù)、三角形、正方形中得應(yīng)用。3）將軍飲馬問(wèn)題與勾股左理。二、本章重點(diǎn)掌握將軍飲馬問(wèn)題得概念與解題思路,能解決將軍飲馬問(wèn)題與一次函數(shù)、坐標(biāo)系、幾何圖形與勾股左理等得綜合習(xí)題。課前預(yù)習(xí)軸對(duì)稱得性質(zhì)與作法;一次函數(shù)得性質(zhì);勾股左理得性質(zhì);三角形、矩形、正方形得性質(zhì);三角形得三邊關(guān)系、平移得性質(zhì)。模塊精講一、將軍飲馬問(wèn)題得概念與基本思路起源:古希臘亞里山大里亞城有一位久負(fù)盛名得學(xué)者，名叫海倫。有一天，有位將軍不遠(yuǎn)千里 專程前來(lái)向海倫求教一個(gè)百思不得其解得問(wèn)題：如圖，有一位將軍從位于A點(diǎn)得軍營(yíng)

2、，返回位于B點(diǎn)得家中，途中需要到達(dá)一條小河MN邊，讓 馬去河里喝水。那么，該如何選擇路徑，才能使將軍回家得過(guò)程中，走過(guò)得路程最短？精通數(shù)理得海倫稍加思索,便作了完善得回答。這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被人們稱作“將軍飲馬問(wèn)在河MN得同一側(cè)，那么，如果A點(diǎn)與B點(diǎn)在河MN得不同側(cè)呢？這時(shí)我們好像有一點(diǎn)眉目了，我們要利用得左理就就是:兩點(diǎn)之間直線最短，先找線路再找點(diǎn)。 那我們?cè)倩氐阶铋_始時(shí)得問(wèn)題，就是不就是有了啟發(fā)呢？思路:為了找線路，可以利用軸對(duì)稱得原理，先做對(duì)稱，再轉(zhuǎn)化成三角形得三邊關(guān)系、例1,如圖，一匹馬從S點(diǎn)出發(fā)，先去河0P邊喝水，再去草地00吃草，然后再回到S點(diǎn)、該如何選擇線路，使得經(jīng)過(guò)得總路程最短？草地

3、例1圖例2圖二、將軍飲馬與坐標(biāo)系例2,已知A(2, 3)、B(3, 2),M就是x軸上得一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N就是y軸上得一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AN + NM + BM得最小值，并求出此吋M、N得坐標(biāo)。思路:作對(duì)稱 兩段折線一作一次對(duì)稱一轉(zhuǎn)化折線 三段折線一作兩次對(duì)稱一轉(zhuǎn)化折線 連線段一最小值例 3,已知 A(3,4)、B(2, 5). M(O,m)、N (0, m+1)，求 BM+MN+A N 得最小值，并求此時(shí) 對(duì)應(yīng)得Hl得值、運(yùn)用平移得性質(zhì)例4,已知A(4, 1)、B(-3, 2),試在x軸上找一點(diǎn)C,就是|ACBC I最大，求出點(diǎn)C得坐標(biāo)與 這個(gè)最大值。構(gòu)造三角形，運(yùn)用三角形得邊長(zhǎng)關(guān)系三、將軍飲馬問(wèn)題解題

4、思路得歸納學(xué)習(xí)了幾個(gè)常見得例子，我們?cè)賮?lái)整理一下思路、首先明白幾個(gè)概念,動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)一般就就是題目中得所求點(diǎn)，即那個(gè)不泄得點(diǎn)。左 點(diǎn)即為題目中固左得點(diǎn)。對(duì)稱得點(diǎn),作圖所得得點(diǎn)，需要連線得點(diǎn)。1、怎么對(duì)稱,作誰(shuí)得對(duì)稱？簡(jiǎn)單說(shuō)所有題目需要作對(duì)稱得點(diǎn),都就是題目得定點(diǎn)?；蛘哒f(shuō)只有定點(diǎn)才可以去作對(duì)稱得、(不確 宦得點(diǎn)作對(duì)稱式?jīng)]有意義得)那么作誰(shuí)得對(duì)稱點(diǎn)？首先要明確關(guān)于對(duì)稱得對(duì)象肯定就是一條線,而不就 是一個(gè)點(diǎn)。那么就是哪一條線?一般而言都就是動(dòng)點(diǎn)所在直線。2、對(duì)稱完以后與誰(shuí)連接?一句話:與另外一個(gè)頂點(diǎn)相連,絕對(duì)不能與一個(gè)動(dòng)點(diǎn)相連、明確一個(gè)槪念:定點(diǎn)得對(duì)稱點(diǎn)也就是一 個(gè)定點(diǎn)。3o所求點(diǎn)怎么確

5、定？首先一定要明白，所求點(diǎn)最后反應(yīng)在圖上一定就是個(gè)交點(diǎn)。實(shí)際就就是我化所畫直線與已知直線得交點(diǎn)、4o將軍飲馬一定就是求最短距離不？肯定不就是?；蛘哒f(shuō)求最短距離就是將軍飲馬中得最簡(jiǎn)單一類題目。根據(jù)將軍飲馬得基本模型可 以拓展出很多題型、根本原因就是因?yàn)樵谧鬏S對(duì)稱過(guò)程中不但就是作了點(diǎn)得對(duì)稱,還作了邊長(zhǎng)與角度得 對(duì)稱！或者說(shuō)邊長(zhǎng)與角度得對(duì)稱才就是最關(guān)鍵、四、將軍飲馬與勾股定理例5,如圖，將軍得軍營(yíng)在A處，與河岸得距離0 A二4km,將軍得家在B處。且QA=7km, QB = 8 km,她下班回家得路上先把馬牽到小河邊去飲水，然后再回到家中，求她下班回家要走得最短路程。0小河AAi2Q例6,如圖，ZP

6、OQ二20 , A%0Q上得點(diǎn),B為OP上得點(diǎn)，且0 A=1,0B=2,在OB上取點(diǎn)A- 在OQ上取點(diǎn)A2，求AAt + AiA2 + A?B得最小值。例7, Z AOB = 45 ,P就是ZAOB內(nèi)一點(diǎn),PO =1 0,Q、R分別就是OA、OB上得動(dòng)點(diǎn)，求APQR周長(zhǎng)得最小值。五、三角形、正方形中得將軍飲馬例&如圖，在等邊ZABC中，AB=6, AD丄BC, E就是AC上得一點(diǎn)，M就是AD上得一點(diǎn)，且AE=2,求EM+EC得最小值。例8圖例9,如圖，在銳角ZkABC中，AB=42, ZBAC二45 , ZBAC得平分線交BC于點(diǎn)D, M、N分別 就是AD與AB上得動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN得最小值就

7、是。例10,如圖，正方形A BCD得邊長(zhǎng)為& M在DC上，且DM二2,N就是AC上得一動(dòng)點(diǎn)，DN + M N得就 小值為O例1 1，在邊長(zhǎng)為2 cm得正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊得中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ,則APBO周長(zhǎng)得最小值為cm例12, 次函數(shù)y = kx + b得圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A(2, 0), B(0,4)(1) 求該函數(shù)得解析式；(2) 0為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB得中點(diǎn)分別為C、D,P為0B上一動(dòng)點(diǎn)，求PC + PD得最小值, 并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)、J例13,如圖，在坐標(biāo)系xO y中，有一條河，y河岸分別為x軸與直線MN,直線MN與y軸得 P交點(diǎn)

8、為A (0, 2),P. Q兩地位于河得兩岸，且P(O,5)、0(5,-1).現(xiàn)在需要在河上架一座橋，(橋必須垂直于河岸).來(lái)溝通P、Q兩地.求M/BN橋得端點(diǎn)B. C得坐標(biāo)，使得從P地到Q地得路程最短。)總結(jié):將軍飲馬問(wèn)題=軸對(duì)稱問(wèn)題二最短距離問(wèn)題(軸對(duì)稱就是工具,最短距離就是題眼)。所謂軸對(duì)稱就是工具，即這類問(wèn)題最常用得做法就就是作軸對(duì)稱。而最短距離就是題眼.也就意 味著歸類這類得題目得理由、比如題目經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“線段a+b得最小值”這樣得條件或者問(wèn)題。一 旦岀現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍問(wèn)題.然后利用軸對(duì)稱解題。學(xué)習(xí)效果能將實(shí)際問(wèn)題中得地點(diǎn)、河”、草地”抽象為數(shù)學(xué)中得點(diǎn)”、“線”，把最短路徑問(wèn) 題

9、抽象為數(shù)學(xué)中得線段與最小問(wèn)題，能利用軸對(duì)稱將處在宜線同側(cè)得兩點(diǎn)，變?yōu)閮牲c(diǎn)處在直線得異 側(cè)，能利用平移將兩條線段拼接在一起，從而轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題，能通過(guò)邏借推理證 明所求距離最短，在探索問(wèn)題得過(guò)程中,體會(huì)軸對(duì)稱、平移得作用，體會(huì)感悟轉(zhuǎn)化得數(shù)學(xué)思想。課后鞏固習(xí)丿1, 已知A (1, 4), B1),在x軸上找一點(diǎn)C,使AC+ B C置小。則C點(diǎn)得坐標(biāo)就是, AC+B C得最小值就是.2, 已知A( 1,3),B(3,1), M就是x軸上一動(dòng)點(diǎn),N就是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)AN+NM+MB最小時(shí)，M得坐標(biāo)就是, N得坐標(biāo)就是o3, 已知 A(4,4), B (-1, -3), M (0,

10、 m), N (0, m+ 1 ),當(dāng) BM+MN+AN 最小時(shí)，點(diǎn) M 得坐標(biāo)就是,最小值就是O4, 已知A (4,5), B(2,-2)，在x軸上找一點(diǎn)C,則當(dāng)|AC-BC I最大時(shí)，點(diǎn)C得坐標(biāo)就是，最大值就是O5, 如圖，點(diǎn)A,B位于直線1得同側(cè)，到直線1得距離AC = 1O,BD =30,且CD二30,在直線1上找到一點(diǎn)M,就是A M+BM最短，則靈短距離就是o直線I題5圖題6圖6, 如圖，ZAOB =45，點(diǎn)P在ZAOB內(nèi)，且0P = 3,點(diǎn)M,N分別為射線OA,OB上得動(dòng)點(diǎn)，則APMN得周長(zhǎng)得最小值為O7, 如圖,Z AOB =40,點(diǎn) P, Q 都在 ZAOB 內(nèi)，ZA0P =

11、ZB0Q = 1 0 ,且 0P =00 =6,作 點(diǎn)P關(guān)于0A得對(duì)稱點(diǎn)Pi，作點(diǎn)Q關(guān)于0B得對(duì)稱點(diǎn)Gh，則PiQi =AP8, 如圖，ZA0B = 60，點(diǎn) P,Q 都在 Z A0B 內(nèi)，ZAOP = ZB0Q =15，且 0P 二 & 0 0 = 6。在射線OA、OB上分別存在點(diǎn)M, N,就是PM+MN+NQ得值最小，則最小值就是.9, 如圖， ABC中，AB = 2, ZBAC = 30，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M. N,使BM+MN得值最小，則這個(gè) 最小值就是多少？1 0,如圖所示，正方形A BCD得面積為12, AABE就是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC 上有一點(diǎn)P,使PD+PE得與最小，則這個(gè)最小值為o11, 如圖，若四邊形ABCD 就是菱形，AB=10cm, Z ABC=45 ,E為邊BC上得一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為BD 上得一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC+PE得最小值。12, 如圖，在銳角ZABC中，AB = 4,