彈性力學(xué)05(變分法)

1、1. 彈性力學(xué)問題的彈性力學(xué)問題的微分提法微分提法及其及其解法解法：（1）平衡微分方程）平衡微分方程0,jiijX（2）幾何方程）幾何方程)(21,ijjiijuu（3）物理方程）物理方程ijkkijijE)1 (1（4）邊界條件）邊界條件jiijXn iiuu 應(yīng)力邊界條件；應(yīng)力邊界條件；位移邊界條件。位移邊界條件。定定解解問問題題求解方法求解方法：（1）按位移求解）按位移求解基本方程：基本方程：（a）以位移為基本未知量）以位移為基本未知量的的平衡微分方程平衡微分方程;（2）按應(yīng)力求解）按應(yīng)力求解基本方程：基本方程：（a）平衡微分方程；）平衡微分方程；（b）邊界條件。）邊界條件。（b） 相容

2、方程；相容方程；（c） 邊界條件。邊界條件。（a） 歸結(jié)為歸結(jié)為求解聯(lián)立的微分求解聯(lián)立的微分方程組方程組；求解特點：求解特點：（b） 難以求得難以求得解析解解析解。 從研究從研究微小單元微小單元體入手，考察其體入手，考察其平衡平衡、變形變形、材料性質(zhì)材料性質(zhì)，建立基本方程：，建立基本方程：5-4 5-4 彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能2. 彈性力學(xué)問題的彈性力學(xué)問題的變分提法變分提法及其及其解法解法：基本思想基本思想： 在在所有可能的解所有可能的解中，求出最接近于精確解的解；中，求出最接近于精確解的解；將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)閷⒍ń鈫栴}轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組求解線性方程組。彈性力學(xué)

3、中的變分原理彈性力學(xué)中的變分原理 能量原理能量原理 直接處理直接處理整個彈性系統(tǒng)整個彈性系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)的，考慮系統(tǒng)的能量關(guān)系能量關(guān)系，建立一些泛函的，建立一些泛函的變分方程變分方程，將彈性力學(xué)問題歸結(jié)為，將彈性力學(xué)問題歸結(jié)為在給定約束條件下求泛函極（駐）在給定約束條件下求泛函極（駐）值的變分問題值的變分問題。（變分解法也稱（變分解法也稱能量法能量法）（a）以）以位移位移為基本未知量，為基本未知量，得到得到最小勢（位）能原理最小勢（位）能原理等。等。（b）以）以應(yīng)力應(yīng)力為基本未知量，為基本未知量，得到得到最小余能原理最小余能原理等。等。（c）同時以）同時以位移、應(yīng)力、應(yīng)變位移、應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)槲粗?/p>

4、，為未知量，得到得到 廣義（約束）變分原理。廣義（約束）變分原理。 位移法位移法 力力 法法 混合法混合法 有限單元法有限單元法、邊界元法邊界元法、離散元法離散元法 等等數(shù)值解法數(shù)值解法的理論基礎(chǔ)。的理論基礎(chǔ)。求解方法求解方法：里茲（里茲（Ritz）法，）法，伽遼金（伽遼金（Galerkin ）法，）法， 加權(quán)殘值（加權(quán)殘值（ 余量）法等。余量）法等。3. 彈性力學(xué)問題的彈性力學(xué)問題的數(shù)值解法數(shù)值解法：（a）直接求解聯(lián)立的微分方程組（彈性力學(xué)的基本方程）直接求解聯(lián)立的微分方程組（彈性力學(xué)的基本方程） 有限差分法；有限差分法；基本思想：基本思想： 將將導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)運算近似地用運算近似地用差分差分運算

5、代替；運算代替；將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)閷⒍ń鈫栴}轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組求解線性方程組。典型軟件：典型軟件：FLAC實質(zhì)：實質(zhì)：將將變量離散變量離散。（b）對）對變分方程變分方程進行數(shù)值求解進行數(shù)值求解 有限單元法有限單元法、邊界單元法邊界單元法、離散單元法離散單元法 等等典型軟件：典型軟件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；等； 基于有限元法的分析軟件；基于有限元法的分析軟件；UDEC 基于離散元法的分析軟件；基于離散元法的分析軟件；基本思想：基本思想：將求解將求解區(qū)域離散區(qū)域離散， 離散成有限個小區(qū)域（離散成有限個小區(qū)域（單元單元），），在小區(qū)域（單元）上

6、假設(shè)在小區(qū)域（單元）上假設(shè)可能解可能解，最后由能量原理最后由能量原理（變分原理）確定其最優(yōu)解。（變分原理）確定其最優(yōu)解。 將問題轉(zhuǎn)變?yōu)閷栴}轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼馇蠼獯笮痛笮偷木€性方程組的線性方程組。1. 形變勢能的一般表達式形變勢能的一般表達式Pxl0l單向拉伸：單向拉伸：PlOPl外力所做的功：外力所做的功：lPW21 由于在靜載（緩慢加載）條件下，由于在靜載（緩慢加載）條件下，其它能量損失很小，外力功全部轉(zhuǎn)化桿其它能量損失很小，外力功全部轉(zhuǎn)化桿件的件的形變勢能（形變勢能（變形能變形能）U：lPWU21)(21lAllAP )(21lAxx桿件的體積桿件的體積xxU211令：令： 單位體積的變形能，單

7、位體積的變形能，稱為稱為比能比能。三向應(yīng)力狀態(tài)：三向應(yīng)力狀態(tài)：一點的應(yīng)力狀態(tài)：一點的應(yīng)力狀態(tài)：xyzxyzzyx, xyzyzzyyxxyxzzx三向應(yīng)力狀態(tài)：三向應(yīng)力狀態(tài)：一點的應(yīng)力狀態(tài)：一點的應(yīng)力狀態(tài)：,zyx xyzyzzyyxxyxzzx 由能量守恒原理，形變勢能的值與彈性體受力的由能量守恒原理，形變勢能的值與彈性體受力的次序次序無關(guān)無關(guān)，只取決于最終的狀態(tài)。，只取決于最終的狀態(tài)。 假定所有應(yīng)力分量與應(yīng)變分量全部按同樣的比例增加，假定所有應(yīng)力分量與應(yīng)變分量全部按同樣的比例增加，此時，單元體的此時，單元體的形變比能形變比能：zzyyxxU2121211111222yzyzzxzxxyxy

8、 xyzxyz,（a）zzyyxx(21)xyxyzxzxyzyz對于平面問題，對于平面問題，0,yz0zx 。0z ；在平面應(yīng)力問題中，在平面應(yīng)力問題中，0z 。在平面應(yīng)變問題中，在平面應(yīng)變問題中，因此，因此，（a）（b）11()2xxyyxyxyU 整個彈性體的整個彈性體的形變勢能：形變勢能：1AA1()2xxyyxyxyUU dxdydxdy （c）2. 形變勢能的應(yīng)變分量表示形變勢能的應(yīng)變分量表示在線彈性的情況下，由物理方程（在線彈性的情況下，由物理方程（2-16） ：代入式（代入式（b），整理得：），整理得：（d）（e）將式（將式（e）分別對）分別對3個應(yīng)變分量求導(dǎo)，并將其結(jié)果與物理

9、方程個應(yīng)變分量求導(dǎo)，并將其結(jié)果與物理方程(d)比較，比較，得：得：)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (222212122(1)2xyxyxyEU 從而，從而，22212AA122(1)2xyxyxyEUU dxdydxdy 1,xxU1,yyU1yzyzU（5-15）表明：表明： 彈性體的比能對于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。彈性體的比能對于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。3. 形變勢能的位移分量表示形變勢能的位移分量表示只需將幾何方程代入式只需將幾何方程代入式(e)，得：，得：222121()()2()2(1)2EuvuvuvUxyxyxy 2222A

10、1()()2()2(1)2Euvu vuvUdxdyxyx yxy 在上式中，只要將彈模、泊松比代換，即可得到平面應(yīng)變中的相應(yīng)公式。在上式中，只要將彈模、泊松比代換，即可得到平面應(yīng)變中的相應(yīng)公式。（f）由式由式(e)和和(f)可知，形變勢能是應(yīng)變分量或位移分量的二次泛函。因此，疊可知，形變勢能是應(yīng)變分量或位移分量的二次泛函。因此，疊加原理不再適用。加原理不再適用。 0 1/2 ， U 0 即彈性體的形變勢能是非負的量。即彈性體的形變勢能是非負的量。（5-16）外力的虛功：外力的虛功：體力：體力：;,ZYX面力：面力：ZYX, 外力外力A()()sWXuYv dxdyXuYv dS取應(yīng)變或位移分

11、量為零時的狀態(tài)為自然狀態(tài)，此時外力的功和勢能為零。取應(yīng)變或位移分量為零時的狀態(tài)為自然狀態(tài)，此時外力的功和勢能為零。A()()sVWXuYv dxdyXuYv dS 由于外力做的功消耗了外力勢能，因此，在發(fā)生實際位移時，彈性體的由于外力做的功消耗了外力勢能，因此，在發(fā)生實際位移時，彈性體的外力勢能為：外力勢能為：（5-17）（5-18）11-2 11-2 位移變分方程位移變分方程1. 泛函與變分的概念泛函與變分的概念（1）泛函的概念）泛函的概念函數(shù)：函數(shù)：)(xfy x 自變量；自變量；y 因變量，或稱自變量因變量，或稱自變量 x 的函數(shù)。的函數(shù)。泛函：泛函：)(yFU x 自變量；自變量；y

12、為一變函數(shù)；為一變函數(shù)；F 為函數(shù)為函數(shù) y 的函數(shù)，的函數(shù)，稱為稱為泛函泛函。例例1：P1)(xMEI)(xMM 彎矩方程彎矩方程梁的形變勢能：梁的形變勢能：ldxEIxMU02)(21ABlx 泛函泛函例例2：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz)(xfF例例2：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz),(,),(zyxzyxyzyzxx因為因為所以，所以，U 被稱為被稱為形變勢能泛函形變勢能泛函。（2）變分與變分法）變分與變分法設(shè)：設(shè)：)(xfy 當(dāng)自變量當(dāng)自變量 x 有一增量：有一增量：01xxx函數(shù)函數(shù) y 也有一增量：也有一增量：01yyy)()(

13、01xfxfxxfy)( dy 與與 dx ，分別稱為自變量，分別稱為自變量 x 與與函數(shù)函數(shù) y 的的 微分。微分。 研究研究自變量的增量自變量的增量與與函數(shù)增量函數(shù)增量的關(guān)系的關(guān)系 微分問題微分問題P1)(xMEIABlx)(xy)(1xyy設(shè)：設(shè)：)(xyUU 函數(shù)函數(shù) y 有一增量：有一增量：yyy1泛函泛函 U 也有一增量：也有一增量：)()(1xyUxyUUyUdxxfdy)( P1)(xMEIABlx)(xy)(1xyy設(shè)：設(shè)：)(xyUU 函數(shù)函數(shù) y 也有一增量：也有一增量：yyy1泛函泛函 U 也有一增量：也有一增量：)()(1xyUxyUUyU 函數(shù)的增量函數(shù)的增量y 、

14、泛函的增量、泛函的增量 U 稱為變分稱為變分。 研究研究自變函數(shù)的增量自變函數(shù)的增量與與泛函泛函的增量的增量間關(guān)系間關(guān)系 變分問題變分問題。微分和變分都是微量，它們的運算方法是相同的，如：微分和變分都是微量，它們的運算方法是相同的，如：UUyyydydxx變分的運算變分的運算變分與微分運算：變分與微分運算：)()(xfdxdxfdxd)()(22xfdxdxfdxd)()(2222xfdxdxfdxd變分運算與微分運算互相交換變分運算與微分運算互相交換。變分與積分運算：變分與積分運算：dxyyxFl),(0dxyyxFl),(0變分運算與積分運算互相交換變分運算與積分運算互相交換。復(fù)合函數(shù)的變

15、分：復(fù)合函數(shù)的變分：dxyyxFyyxUl),(),(0其中：其中：),(xfy )(xfy一階變分：一階變分：0lFFUyy dxyy復(fù)合函數(shù)的變分：復(fù)合函數(shù)的變分：dxyyxFyyxUl),(),(0其中：其中：),(xfy )(xfy一階變分：一階變分：0lFFUyy dxyy二階變分：二階變分：ldxyyyFyyFyyyyFyyFyU02 二階變分用于判別駐值點是取得二階變分用于判別駐值點是取得極大值極大值還是還是極小值極小值。2. 位移變分方程位移變分方程建立：彈性體的建立：彈性體的形變勢能形變勢能與與位移位移間間變分變分關(guān)系關(guān)系 位移變分方程位移變分方程qP應(yīng)力邊界應(yīng)力邊界 S位移

16、邊界位移邊界 Su設(shè)彈性體在外力作用下，處于平衡狀態(tài)。設(shè)彈性體在外力作用下，處于平衡狀態(tài)。邊界：邊界：uSSS位移場：位移場：);,(zyxuu );,(zyxvv ),(zyxww應(yīng)力場：應(yīng)力場：);,(zyxxx);,(zyxyy滿足：平衡方程、幾何滿足：平衡方程、幾何方程、物理方程方程、物理方程、邊界條件。、邊界條件。 稱為稱為真實解真實解（1）任給彈性體一微小的位移變化：）任給彈性體一微小的位移變化：wvu,滿足兩個條件：滿足兩個條件：（1）不破壞平衡狀態(tài)；）不破壞平衡狀態(tài)；（2）不破壞約束條件，即為約束所允許。）不破壞約束條件，即為約束所允許。任給彈性體一微小的位移變化：任給彈性體一

17、微小的位移變化：wvu,滿足兩個條件：滿足兩個條件：（1）不破壞平衡狀態(tài)；）不破壞平衡狀態(tài)；（2）不破壞約束條件，即為）不破壞約束條件，即為約束所允許。約束所允許。qP應(yīng)力邊界應(yīng)力邊界 S位移邊界位移邊界 Su變化后的位移狀態(tài)：變化后的位移狀態(tài)：, uuu, vvvwwwwvu, 稱為稱為位移的變分位移的變分，或，或虛位移虛位移。由于位移的變分，引起的外力功的變分和外力勢能的變分為：由于位移的變分，引起的外力功的變分和外力勢能的變分為：A()()sWX uY v dxdyX uY v dSA()()sVX uY v dxdyX uY v dS 由于虛位移為由于虛位移為微小的微小的、為約束所允許

18、為約束所允許的，所以，可認為在虛位移發(fā)生的，所以，可認為在虛位移發(fā)生過程中，外力的大小和方向都不變，只是作用點位置有微小變化。過程中，外力的大小和方向都不變，只是作用點位置有微小變化。（5-19）（5-20）（2）考察彈性體的能量變化）考察彈性體的能量變化：從而引起形變勢能的變分為：從而引起形變勢能的變分為：()()()()xyxyuvuvxyxy， 上式中的應(yīng)力分量也是在位移變分發(fā)生之前存在的，是恒力，所以沒上式中的應(yīng)力分量也是在位移變分發(fā)生之前存在的，是恒力，所以沒有系數(shù)有系數(shù)1/2。由于位移的變分，引起的應(yīng)變的變分為：由于位移的變分，引起的應(yīng)變的變分為：()xxyyxyxyAUdxdy

19、由能量守恒原理：由能量守恒原理：彈性體變形勢能的增加，等于外力勢能的減少（也就彈性體變形勢能的增加，等于外力勢能的減少（也就等于外力所做的功，即外力虛功）。等于外力所做的功，即外力虛功）。（在沒有溫度改變、動能改變的情況下）（在沒有溫度改變、動能改變的情況下）設(shè)：設(shè)：U 表示彈性變形勢能的增量；表示彈性變形勢能的增量；W 表示外力在虛位移上所做的功，它在數(shù)值上等于外力表示外力在虛位移上所做的功，它在數(shù)值上等于外力勢能的減少。勢能的減少。（5-21） 式（式（5-22）稱為）稱為位移變分方程位移變分方程，也稱，也稱 Lagrange 變分方程變分方程。則有：則有：WUA()()sUX uY v

20、dxdyX uY v dS（5-22）它表明：在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時，物體形變勢能的變分，它表明：在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時，物體形變勢能的變分，等于外力在虛位移上所做的虛功。等于外力在虛位移上所做的虛功。 根據(jù)式（根據(jù)式（5-22），可推導(dǎo)出彈性力學(xué)中的），可推導(dǎo)出彈性力學(xué)中的極小勢能原理極小勢能原理。 將式（將式（5-22）寫成，）寫成，A()()0sUX uY v dxdyX uY v dS上式中外力是恒力，因此第二項就是外力勢能的變分，上式中外力是恒力，因此第二項就是外力勢能的變分，A()()sVX uY v dxdyX uY v dS （a）而第一項就是形變勢能的變分，證

21、明如下：而第一項就是形變勢能的變分，證明如下：1111()xyxyAAxyxyUUUUU dxdydxdy()xxyyxyxyAUdxdy 彈性體的比能對于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。彈性體的比能對于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。從而，從而，因此，式因此，式(a)可以寫為：可以寫為：()0UV式（式（5-23）表明，在給定的外力作用下，實際存在的位移應(yīng)使總勢能）表明，在給定的外力作用下，實際存在的位移應(yīng)使總勢能的變分為的變分為0. （5-23）其中：其中：VU 形變勢能與外力勢能的總和，形變勢能與外力勢能的總和， 稱為稱為系統(tǒng)的總勢能。系統(tǒng)的總勢能。0VU其中：其

22、中：VU 形變勢能與外力勢能的總和，形變勢能與外力勢能的總和， 稱為稱為系統(tǒng)的總勢能系統(tǒng)的總勢能 在給定的外力作用下，實際存在的位移應(yīng)使系統(tǒng)的總勢能的一階變在給定的外力作用下，實際存在的位移應(yīng)使系統(tǒng)的總勢能的一階變分為零。分為零。等價于總勢能等價于總勢能 U+V 取駐值。取駐值。 極值勢能原理極值勢能原理平衡狀態(tài)：平衡狀態(tài)：（1）穩(wěn)定平衡狀態(tài)；）穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（2）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（3）隨宜平衡狀態(tài)；）隨宜平衡狀態(tài)；穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨宜平衡隨宜平衡02VU 勢能取勢能取極小值極小值02VU 勢能取勢能取極大值極大值02VU 不定不定： 在給定的外力作用下，

23、滿足位移邊界條件在給定的外力作用下，滿足位移邊界條件的各組位移中，實際存在的位移，應(yīng)使系統(tǒng)的的各組位移中，實際存在的位移，應(yīng)使系統(tǒng)的總勢能成為駐值。當(dāng)系統(tǒng)處于總勢能成為駐值。當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡時，總時，總勢能取極小值，通常也為最小值。勢能取極小值，通常也為最小值。虛功方程虛功方程應(yīng)用位移變分方程，還可以推導(dǎo)出彈性力學(xué)中的另一個重要方程：應(yīng)用位移變分方程，還可以推導(dǎo)出彈性力學(xué)中的另一個重要方程：虛虛功方程。功方程。()xxyyxyxyAUdxdy （5-21）A()()sUX uY v dxdyX uY v dS（5-22）因此，因此，A()()sUX uY v dxdyX uY v d

24、SA()()sUX uY v dxdyX uY v dS()xxyyxyxyAdxdy A()()sX uY v dxdyX uY v dS（5-24）虛功方程虛功方程：如果如果在虛位移發(fā)生前，彈性體處于在虛位移發(fā)生前，彈性體處于平衡平衡狀態(tài)，狀態(tài)，則則在虛位移發(fā)生過程中，在虛位移發(fā)生過程中，外力在虛位移上所做的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。外力在虛位移上所做的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。虛功方程虛功方程 是是有限單元法有限單元法的理論基礎(chǔ)，也是許多的理論基礎(chǔ)，也是許多變分原理變分原理的基礎(chǔ)。的基礎(chǔ)。實際存在的位實際存在的位移應(yīng)滿足：移應(yīng)滿足：（1）位移邊界條件；）位移邊界條件；

25、（2）平衡方程（位移形式）；）平衡方程（位移形式）；（3）應(yīng)力邊界條件。）應(yīng)力邊界條件。（1）位移邊界條件；）位移邊界條件；（2）位移變分方程。）位移變分方程。因而，有：因而，有： 位移變分方程位移變分方程（1）平衡方程；）平衡方程；（2）應(yīng)力邊界條件。）應(yīng)力邊界條件。（可互相導(dǎo)出）（可互相導(dǎo)出）（最小勢能原理）（最小勢能原理）（1）位移變分方程）位移變分方程（2）虛功方程）虛功方程位移變分方程小結(jié)：位移變分方程小結(jié)：也稱也稱 Lagrange 變分方程變分方程：（3）最小勢能原理）最小勢能原理0VU（1）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；（2）

26、對虛功方程，也適用）對虛功方程，也適用各種材料的物理方程各種材料的物理方程。如：塑性材料、非線性彈性材料等。如：塑性材料、非線性彈性材料等。A()()sUX uY v dxdyX uY v dS（5-22）A()()sVXuYv dxdyXuYv dS ()xxyyxyxyAdxdy A()()sX uY v dxdyX uY v dS（5-24）虛功方程虛功方程前節(jié)課內(nèi)容回顧：前節(jié)課內(nèi)容回顧：1. 能量法的基本思想：能量法的基本思想： 不依賴于自變量不依賴于自變量 x 變化的函數(shù)的變化的函數(shù)的增量增量（1）在）在所有可能的解所有可能的解中，求出最接近于精確解的解；中，求出最接近于精確解的解；

27、或者，為在或者，為在真實解附近真實解附近尋求最接近于精確解的尋求最接近于精確解的近似解近似解。2. 變分與泛函的極值變分與泛函的極值（2）將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)椋⒍ń鈫栴}轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組求解線性方程組。)(yFU （1）泛函：）泛函：)(xfFyU,0 x自變量自變量 x 的變分恒為零。的變分恒為零。（2）變分：）變分：（3）變分的運算：）變分的運算：)()(xfdxdxfdxd)()(22xfdxdxfdxd變分與微分運算變分與微分運算變分與積分運算變分與積分運算dxyyxFl),(0dxyyxFl),(0變分運算與積分運算互相交換變分運算與積分運算互相交換。變分運算與微分運算互相交換變分運

28、算與微分運算互相交換。復(fù)合函數(shù)的變分復(fù)合函數(shù)的變分dxyyxFyyxUl),(),(0其中：其中：),(xfy 一階變分：一階變分：dxyyFyyFxxFUl0dxyyFyyFl0 自變量自變量 x 的變分的變分 x 0二階變分：二階變分：ldxyyyFyyFyyyyFyyFyU02 二階變分用于判別駐值點是取得二階變分用于判別駐值點是取得極大值極大值還是還是極小值極小值。泛函的極值泛函的極值泛函取得的條件：泛函取得的條件：0U02U02U02U 取得極小值取得極小值 取得極大值取得極大值 不定，由高階變分判別。不定，由高階變分判別。3.3.彈性體的形變勢能彈性體的形變勢能4.4.位移變分方程

29、位移變分方程位移變分方程位移變分方程虛功方程虛功方程最小勢能原理最小勢能原理平衡微分方程平衡微分方程應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件等價等價位移變分方程與彈性力學(xué)基本方程的等性位移變分方程與彈性力學(xué)基本方程的等性本章內(nèi)容回顧：本章內(nèi)容回顧：1. 形變勢能的計算：形變勢能的計算：（1）一般形式）一般形式（2）應(yīng)變分量表示形式）應(yīng)變分量表示形式1AA1()2xxyyxyxyUU dxdydxdy （c）22212AA122(1)2xyxyxyEUU dxdydxdy 2222A1()()2()2(1)2Euvu vuvUdxdyxyx yxy （5-16）（3）位移分量表示形式）位移分量表示形式（1）位移

30、變分方程）位移變分方程（2）虛功方程）虛功方程也稱也稱 Lagrange 變分方程變分方程：（3）最小勢能原理）最小勢能原理0VU（1）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；（2）對虛功方程，也適用）對虛功方程，也適用各種材料的物理方程各種材料的物理方程。如：塑性材料、非線性彈性材料等。如：塑性材料、非線性彈性材料等。A()()sUX uY v dxdyX uY v dS（5-22）A()()sVXuYv dxdyXuYv dS ()xxyyxyxyAdxdy A()()sX uY v dxdyX uY v dS（5-24）虛功方程虛功方程5-6 5

31、-6 位移變分法位移變分法1. 里茲里茲（Ritz）法法基本思想：基本思想：設(shè)定位移函數(shù)設(shè)定位移函數(shù)的表達形式，使其的表達形式，使其滿足位移邊界條件滿足位移邊界條件，其中含，其中含有若干待定常數(shù)，然后有若干待定常數(shù)，然后利用位移變分方程確定這些常數(shù)利用位移變分方程確定這些常數(shù)，即，即得位移解。得位移解。設(shè)取位移的表達式如下：設(shè)取位移的表達式如下：mmmuAuu0mmmvBvv0（5-25）其中：其中：,mmAB為互不相關(guān)的為互不相關(guān)的 2m 個系數(shù)；個系數(shù)；00,u v為設(shè)定的函數(shù)，且在邊界上有：為設(shè)定的函數(shù)，且在邊界上有：,0uus0svv),(zyxuumm),(zyxvvmm為為邊界上為

32、零邊界上為零的設(shè)定函數(shù)的設(shè)定函數(shù) 顯然，上述顯然，上述函數(shù)滿足位函數(shù)滿足位移邊界條件移邊界條件。此時，位移的變分此時，位移的變分, uv只能由系數(shù)只能由系數(shù) Am、Bm的變分來實現(xiàn)。的變分來實現(xiàn)。00,u v與變分無關(guān)。與變分無關(guān)。,mmmAuummmvvB（a）位移的變分：位移的變分：形變勢能的變分：形變勢能的變分：（b）mmmAAUUmmmBBUmmmmmUUABAB將式（將式（a）、（）、（b）代入位移變分方程（）代入位移變分方程（5-22），有：），有：mmmmmUUABABmmmmAmXuAYvBdxdymmmmsmXuAYvBdS將上式整理、移項、合并，可得：將上式整理、移項、合并

33、，可得：mmmAsmmUXu dxdyXu dSAA,mmAB完全任意，且互相獨立，完全任意，且互相獨立， 要使上式成立，則須有：要使上式成立，則須有：mmAsmUXu dxdyXu dSAmmAsmUYu dxdyYu dSB（5-26） Ritz 法方程法方程或稱或稱 Rayleigh- Ritz 法方程法方程0mmmAsmmUYu dxdyYu dSBB1,2,m 說明：說明：（1）由由 U 的位移表達式（的位移表達式（5-16）可知，）可知，U 是系數(shù)是系數(shù),mmAB的二次函數(shù)，的二次函數(shù)，因而，方程（因而，方程（5-26）為各系數(shù)的）為各系數(shù)的線性方程組線性方程組。,mmAB互不相關(guān)

34、，因而，總可以求出全部的系數(shù)?；ゲ幌嚓P(guān)，因而，總可以求出全部的系數(shù)。（2）,mmAB求出了系數(shù)求出了系數(shù)就可求得其它量，如位移、應(yīng)力等就可求得其它量，如位移、應(yīng)力等（3） 在假定位移函數(shù)時，須保證其在假定位移函數(shù)時，須保證其滿足全部位移邊界條件滿足全部位移邊界條件。mmAsmUXu dxdyXu dSAmmAsmUYu dxdyYu dSB（5-26） Ritz 法方程法方程或稱或稱 Rayleigh- Ritz 法方程法方程1,2,m 例：例：圖示薄板，寬為圖示薄板，寬為 a，高度為，高度為 b，左邊和下邊受連，左邊和下邊受連桿支承，右邊和上邊分別受有均布壓力桿支承，右邊和上邊分別受有均布壓

35、力 q1和和 q2 作用，不計體力。試求薄板的位移。作用，不計體力。試求薄板的位移。解：解：（1）假設(shè)位移函數(shù)）假設(shè)位移函數(shù)),(321yAxAAxu),(321yBxBByv（a）滿足邊界條件：滿足邊界條件： , 00 xu 00yv試在式（試在式（a）中只取兩個系數(shù)：）中只取兩個系數(shù)：A1、B1 ，即，即,111xAuAuyBvBv111（b）（2）計算形變勢能）計算形變勢能 U將式（將式（b）代入（）代入（5-16），有），有（平面應(yīng)力情形下形變勢能公式）（平面應(yīng)力情形下形變勢能公式） abBAEU00212121dxdyBA112積分得：積分得：112121221BABAEabU（c）

36、112121221BABAEabU（c）（3）代入）代入Ritz 法方程求解法方程求解體力體力, 0YX, 1m有有,11dsuXAUdsvYBU11,1qX在右邊界：在右邊界：,1axudyds adyqdsuXb011;1abq,2qY在上邊界：在上邊界：,1byvdxds bdyqdsuXa021;2abq于是有：于是有：,11abqAU,21abqBU將式（將式（c）代入，得）代入，得dSuXdxdyXuAUmmmdSvYdxdyYvBUmmm（11-15）,)22(121112abqBAEab,)22(122112abqABEab聯(lián)立求解，得：聯(lián)立求解，得：,211EqqA,121E

37、qqB（f）代入位移表達式（代入位移表達式（b），得：），得：,21xEqquyEqqv12（g）討論：討論：（1）如果在位移式（如果在位移式（a）中再多取一些）中再多取一些系數(shù)如：系數(shù)如：A2、B2等，但是經(jīng)計算，等，但是經(jīng)計算，這些系數(shù)全為零。這些系數(shù)全為零。（2）位移解（位移解（g）滿足幾何方程、平衡）滿足幾何方程、平衡方程和邊界條件。方程和邊界條件。表明：表明：位移解（位移解（g）為問題的）為問題的精確解精確解。Ritz 法解題步驟：法解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其）假設(shè)位移函數(shù)，使其滿足邊界條件滿足邊界條件；（2） 計算形變勢能計算形變勢能 U ；（3）代入）代入Ritz 法方程

38、求解待定系數(shù)；法方程求解待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力等。）回代求解位移、應(yīng)力等。本章內(nèi)容回顧：本章內(nèi)容回顧：1. 形變勢能的計算：形變勢能的計算：（1）一般形式）一般形式（2）應(yīng)變分量表示形式）應(yīng)變分量表示形式1AA1()2xxyyxyxyUU dxdydxdy （c）22212AA122(1)2xyxyxyEUU dxdydxdy 2222A1()()2()2(1)2Euvu vuvUdxdyxyx yxy （5-16）（3）位移分量表示形式）位移分量表示形式（1）位移變分方程）位移變分方程（2）虛功方程）虛功方程2.位移變分方程小結(jié)：位移變分方程小結(jié)：也稱也稱 Lagrange 變分

39、方程變分方程：（3）最小勢能原理）最小勢能原理0VU（1）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；（2）對虛功方程，也適用）對虛功方程，也適用各種材料的物理方程各種材料的物理方程。如：塑性材料、非線性彈性材料等。如：塑性材料、非線性彈性材料等。A()()sUX uY v dxdyX uY v dS（5-22）A()()sVXuYv dxdyXuYv dS ()xxyyxyxyAdxdy A()()sX uY v dxdyX uY v dS（5-24）虛功方程虛功方程Ritz 法解題步驟：法解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其）假設(shè)位移函數(shù)，使其滿足邊界條

40、件滿足邊界條件；（2） 計算形變勢能計算形變勢能 U ；（3）代入）代入Ritz 法方程求解待定系數(shù)；法方程求解待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力等。）回代求解位移、應(yīng)力等。3. 位移變分法位移變分法里茲（里茲（Ritz）法）法例例:圖示矩形薄板，寬為圖示矩形薄板，寬為2 a，高度為，高度為2 b，左右兩，左右兩邊和下邊均被固定，而上邊的給定位移為：邊和下邊均被固定，而上邊的給定位移為：, 0u,122axv（h）不計體力。試求薄板的位移和應(yīng)力。不計體力。試求薄板的位移和應(yīng)力。解解:（1）假設(shè)位移函數(shù)）假設(shè)位移函數(shù)取取 m =1, 將位移分量設(shè)為：將位移分量設(shè)為：bybyaxaxAu11221

41、byaxv221bybyaxB11221（i）顯然，可滿足位移邊界條件：顯然，可滿足位移邊界條件： , 0 axu , 0 axv , 00yu , 00yv , 0byu 221axvby例例:如圖所示簡支梁，中點處承受有集中如圖所示簡支梁，中點處承受有集中P，試求梁的撓曲線方程。試求梁的撓曲線方程。 PEIABlxy解解:（1）假設(shè)位移試探函數(shù)）假設(shè)位移試探函數(shù)（必須滿足位移邊界條件）（必須滿足位移邊界條件）設(shè)位移試探函數(shù)為（取一項）：設(shè)位移試探函數(shù)為（取一項）：xlawsin)0(lx 式中：式中：a 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。0)(, 0)0(lww（2）計算形變勢能）計算形變勢能 U：

42、dxdxwdEIUl20222)(xw（ a）（ b）alEIaU342顯然，式（顯然，式（a）滿足端點的位移邊界條件）滿足端點的位移邊界條件:（3）代入）代入Ritz 法方程，求解法方程，求解（ c）2344alEIdSuXdxdydzXumm2sinllPPdSuXdxdydzXummmAUPaUPalEI342（ d）P)(xMEIABlxy)(xwxlEIPlwsin243討論：討論： （1） 中點的撓度：中點的撓度：（ e）,2432EIPlwlx而材料力學(xué)的結(jié)果：而材料力學(xué)的結(jié)果：,4832EIPlwlx兩者比較：兩者比較：式（式（a）的結(jié)果偏小）的結(jié)果偏小2%。如果取如下位移函數(shù)

43、：如果取如下位移函數(shù)：mmxlmAwsin式中項數(shù)式中項數(shù) m 取得越多，則求得精度就越高。取得越多，則求得精度就越高。（2）所取的位移函數(shù)所取的位移函數(shù)必須滿足位移邊界條件必須滿足位移邊界條件。（3）位移函數(shù)選取不是唯一的，如：位移函數(shù)選取不是唯一的，如：),1 (lxlxAwEIPla432lxlxAAlxlxw1)1 (21P)(xMEIABlxy)(xw例例:如圖所示簡支梁，中點處承受有集中如圖所示簡支梁，中點處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。試求的梁的撓曲線方程。 解解:（1）假設(shè)位移試探函數(shù)）假設(shè)位移試探函數(shù)lxlxAAlxlxw1)1 (21, 00w),1 (1lxlxw2

44、222)1 (lxlxw式中：式中：A1、A2 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。顯然，式（顯然，式（a）滿足端點的位移邊界條件）滿足端點的位移邊界條件:0)(, 0)0(lww（2）計算：）計算：dxdxwdEIUl20222梁的形變勢能梁的形變勢能:)5(5222213AAlEI,4131AlEIAU23254AlEIAU:)(0dxwxqmldxwxql10)(21lxwP4Pdxwxql20)(22lxwP16P（3）代入）代入 Ritz 法方程法方程:P)(xMEIABlxy)(xw例例:如圖所示簡支梁，中點處承受有集中如圖所示簡支梁，中點處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。試求的梁的撓曲線

45、方程。 解解:位移函數(shù)位移函數(shù)lxlxAAlxlxw1)1 (21（a）（3）代入）代入 Ritz 法方程法方程:,4131AlEIAU23254AlEIAU:)(0dxwxqmldxwxql10)(21lxwP4Pdxwxql20)(22lxwP16PdxdxwdEIUl20222)5(5222213AAlEI1AUdxwxql10)(2AUdxwxql20)(4413PAlEI165423PAlEI,1631EIPlA EIPlA64532所求撓曲線方程所求撓曲線方程 :lxlxlxlxEIPlw154)1 (643P)(xMEIABlxy)(xw所求撓曲線方程所求撓曲線方程:lxlxlxlxEIPlw154)1 (643中點撓度中點撓度:EIPlwlx10242132而材料力學(xué)的結(jié)果：而材料力學(xué)的結(jié)果：,4832EIPlwlxEIPlwwlxlx48641322641222lxlxlxwww015625. 0%5625. 1說明：說明：（1）設(shè)定的待定系數(shù)個數(shù)與所得的線性方程數(shù)相同；）設(shè)定的待定系數(shù)個數(shù)與所得的線性方程數(shù)相同；（2）亦可用亦可用最小勢能原理最小勢能原理求