彈性力學(xué)05(變分法)

1、1. 彈性力學(xué)問(wèn)題的彈性力學(xué)問(wèn)題的微分提法微分提法及其及其解法解法：（1）平衡微分方程）平衡微分方程0,jiijX（2）幾何方程）幾何方程)(21,ijjiijuu（3）物理方程）物理方程ijkkijijE)1 (1（4）邊界條件）邊界條件jiijXn iiuu 應(yīng)力邊界條件；應(yīng)力邊界條件；位移邊界條件。位移邊界條件。定定解解問(wèn)問(wèn)題題求解方法求解方法：（1）按位移求解）按位移求解基本方程：基本方程：（a）以位移為基本未知量）以位移為基本未知量的的平衡微分方程平衡微分方程;（2）按應(yīng)力求解）按應(yīng)力求解基本方程：基本方程：（a）平衡微分方程；）平衡微分方程；（b）邊界條件。）邊界條件。（b） 相容

2、方程；相容方程；（c） 邊界條件。邊界條件。（a） 歸結(jié)為歸結(jié)為求解聯(lián)立的微分求解聯(lián)立的微分方程組方程組；求解特點(diǎn)：求解特點(diǎn)：（b） 難以求得難以求得解析解解析解。 從研究從研究微小單元微小單元體入手，考察其體入手，考察其平衡平衡、變形變形、材料性質(zhì)材料性質(zhì)，建立基本方程：，建立基本方程：5-4 5-4 彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能2. 彈性力學(xué)問(wèn)題的彈性力學(xué)問(wèn)題的變分提法變分提法及其及其解法解法：基本思想基本思想： 在在所有可能的解所有可能的解中，求出最接近于精確解的解；中，求出最接近于精確解的解；將定解問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閷⒍ń鈫?wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組求解線性方程組。彈性力學(xué)

3、中的變分原理彈性力學(xué)中的變分原理 能量原理能量原理 直接處理直接處理整個(gè)彈性系統(tǒng)整個(gè)彈性系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)的，考慮系統(tǒng)的能量關(guān)系能量關(guān)系，建立一些泛函的，建立一些泛函的變分方程變分方程，將彈性力學(xué)問(wèn)題歸結(jié)為，將彈性力學(xué)問(wèn)題歸結(jié)為在給定約束條件下求泛函極（駐）在給定約束條件下求泛函極（駐）值的變分問(wèn)題值的變分問(wèn)題。（變分解法也稱（變分解法也稱能量法能量法）（a）以）以位移位移為基本未知量，為基本未知量，得到得到最小勢(shì)（位）能原理最小勢(shì)（位）能原理等。等。（b）以）以應(yīng)力應(yīng)力為基本未知量，為基本未知量，得到得到最小余能原理最小余能原理等。等。（c）同時(shí)以）同時(shí)以位移、應(yīng)力、應(yīng)變位移、應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)槲粗?/p>

4、，為未知量，得到得到 廣義（約束）變分原理。廣義（約束）變分原理。 位移法位移法 力力 法法 混合法混合法 有限單元法有限單元法、邊界元法邊界元法、離散元法離散元法 等等數(shù)值解法數(shù)值解法的理論基礎(chǔ)。的理論基礎(chǔ)。求解方法求解方法：里茲（里茲（Ritz）法，）法，伽遼金（伽遼金（Galerkin ）法，）法， 加權(quán)殘值（加權(quán)殘值（ 余量）法等。余量）法等。3. 彈性力學(xué)問(wèn)題的彈性力學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解法數(shù)值解法：（a）直接求解聯(lián)立的微分方程組（彈性力學(xué)的基本方程）直接求解聯(lián)立的微分方程組（彈性力學(xué)的基本方程） 有限差分法；有限差分法；基本思想：基本思想： 將將導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算近似地用運(yùn)算近似地用差分差分運(yùn)算

5、代替；運(yùn)算代替；將定解問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閷⒍ń鈫?wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組求解線性方程組。典型軟件：典型軟件：FLAC實(shí)質(zhì)：實(shí)質(zhì)：將將變量離散變量離散。（b）對(duì)）對(duì)變分方程變分方程進(jìn)行數(shù)值求解進(jìn)行數(shù)值求解 有限單元法有限單元法、邊界單元法邊界單元法、離散單元法離散單元法 等等典型軟件：典型軟件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；等； 基于有限元法的分析軟件；基于有限元法的分析軟件；UDEC 基于離散元法的分析軟件；基于離散元法的分析軟件；基本思想：基本思想：將求解將求解區(qū)域離散區(qū)域離散， 離散成有限個(gè)小區(qū)域（離散成有限個(gè)小區(qū)域（單元單元），），在小區(qū)域（單元）上

6、假設(shè)在小區(qū)域（單元）上假設(shè)可能解可能解，最后由能量原理最后由能量原理（變分原理）確定其最優(yōu)解。（變分原理）確定其最優(yōu)解。 將問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閷?wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼馇蠼獯笮痛笮偷木€性方程組的線性方程組。1. 形變勢(shì)能的一般表達(dá)式形變勢(shì)能的一般表達(dá)式Pxl0l單向拉伸：?jiǎn)蜗蚶欤篜lOPl外力所做的功：外力所做的功：lPW21 由于在靜載（緩慢加載）條件下，由于在靜載（緩慢加載）條件下，其它能量損失很小，外力功全部轉(zhuǎn)化桿其它能量損失很小，外力功全部轉(zhuǎn)化桿件的件的形變勢(shì)能（形變勢(shì)能（變形能變形能）U：lPWU21)(21lAllAP )(21lAxx桿件的體積桿件的體積xxU211令：令： 單位體積的變形能，單

7、位體積的變形能，稱為稱為比能比能。三向應(yīng)力狀態(tài)：三向應(yīng)力狀態(tài)：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：xyzxyzzyx, xyzyzzyyxxyxzzx三向應(yīng)力狀態(tài)：三向應(yīng)力狀態(tài)：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：,zyx xyzyzzyyxxyxzzx 由能量守恒原理，形變勢(shì)能的值與彈性體受力的由能量守恒原理，形變勢(shì)能的值與彈性體受力的次序次序無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)，只取決于最終的狀態(tài)。，只取決于最終的狀態(tài)。 假定所有應(yīng)力分量與應(yīng)變分量全部按同樣的比例增加，假定所有應(yīng)力分量與應(yīng)變分量全部按同樣的比例增加，此時(shí)，單元體的此時(shí)，單元體的形變比能形變比能：zzyyxxU2121211111222yzyzzxzxxyxy

8、 xyzxyz,（a）zzyyxx(21)xyxyzxzxyzyz對(duì)于平面問(wèn)題，對(duì)于平面問(wèn)題，0,yz0zx 。0z ；在平面應(yīng)力問(wèn)題中，在平面應(yīng)力問(wèn)題中，0z 。在平面應(yīng)變問(wèn)題中，在平面應(yīng)變問(wèn)題中，因此，因此，（a）（b）11()2xxyyxyxyU 整個(gè)彈性體的整個(gè)彈性體的形變勢(shì)能：形變勢(shì)能：1AA1()2xxyyxyxyUU dxdydxdy （c）2. 形變勢(shì)能的應(yīng)變分量表示形變勢(shì)能的應(yīng)變分量表示在線彈性的情況下，由物理方程（在線彈性的情況下，由物理方程（2-16） ：代入式（代入式（b），整理得：），整理得：（d）（e）將式（將式（e）分別對(duì)）分別對(duì)3個(gè)應(yīng)變分量求導(dǎo)，并將其結(jié)果與物理

9、方程個(gè)應(yīng)變分量求導(dǎo)，并將其結(jié)果與物理方程(d)比較，比較，得：得：)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (222212122(1)2xyxyxyEU 從而，從而，22212AA122(1)2xyxyxyEUU dxdydxdy 1,xxU1,yyU1yzyzU（5-15）表明：表明： 彈性體的比能對(duì)于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。彈性體的比能對(duì)于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。3. 形變勢(shì)能的位移分量表示形變勢(shì)能的位移分量表示只需將幾何方程代入式只需將幾何方程代入式(e)，得：，得：222121()()2()2(1)2EuvuvuvUxyxyxy 2222A

10、1()()2()2(1)2Euvu vuvUdxdyxyx yxy 在上式中，只要將彈模、泊松比代換，即可得到平面應(yīng)變中的相應(yīng)公式。在上式中，只要將彈模、泊松比代換，即可得到平面應(yīng)變中的相應(yīng)公式。（f）由式由式(e)和和(f)可知，形變勢(shì)能是應(yīng)變分量或位移分量的二次泛函。因此，疊可知，形變勢(shì)能是應(yīng)變分量或位移分量的二次泛函。因此，疊加原理不再適用。加原理不再適用。 0 1/2 ， U 0 即彈性體的形變勢(shì)能是非負(fù)的量。即彈性體的形變勢(shì)能是非負(fù)的量。（5-16）外力的虛功：外力的虛功：體力：體力：;,ZYX面力：面力：ZYX, 外力外力A()()sWXuYv dxdyXuYv dS取應(yīng)變或位移分

11、量為零時(shí)的狀態(tài)為自然狀態(tài)，此時(shí)外力的功和勢(shì)能為零。取應(yīng)變或位移分量為零時(shí)的狀態(tài)為自然狀態(tài)，此時(shí)外力的功和勢(shì)能為零。A()()sVWXuYv dxdyXuYv dS 由于外力做的功消耗了外力勢(shì)能，因此，在發(fā)生實(shí)際位移時(shí)，彈性體的由于外力做的功消耗了外力勢(shì)能，因此，在發(fā)生實(shí)際位移時(shí)，彈性體的外力勢(shì)能為：外力勢(shì)能為：（5-17）（5-18）11-2 11-2 位移變分方程位移變分方程1. 泛函與變分的概念泛函與變分的概念（1）泛函的概念）泛函的概念函數(shù)：函數(shù)：)(xfy x 自變量；自變量；y 因變量，或稱自變量因變量，或稱自變量 x 的函數(shù)。的函數(shù)。泛函：泛函：)(yFU x 自變量；自變量；y

12、為一變函數(shù)；為一變函數(shù)；F 為函數(shù)為函數(shù) y 的函數(shù)，的函數(shù)，稱為稱為泛函泛函。例例1：P1)(xMEI)(xMM 彎矩方程彎矩方程梁的形變勢(shì)能：梁的形變勢(shì)能：ldxEIxMU02)(21ABlx 泛函泛函例例2：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz)(xfF例例2：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz),(,),(zyxzyxyzyzxx因?yàn)橐驗(yàn)樗?，所以，U 被稱為被稱為形變勢(shì)能泛函形變勢(shì)能泛函。（2）變分與變分法）變分與變分法設(shè)：設(shè)：)(xfy 當(dāng)自變量當(dāng)自變量 x 有一增量：有一增量：01xxx函數(shù)函數(shù) y 也有一增量：也有一增量：01yyy)()(

13、01xfxfxxfy)( dy 與與 dx ，分別稱為自變量，分別稱為自變量 x 與與函數(shù)函數(shù) y 的的 微分。微分。 研究研究自變量的增量自變量的增量與與函數(shù)增量函數(shù)增量的關(guān)系的關(guān)系 微分問(wèn)題微分問(wèn)題P1)(xMEIABlx)(xy)(1xyy設(shè)：設(shè)：)(xyUU 函數(shù)函數(shù) y 有一增量：有一增量：yyy1泛函泛函 U 也有一增量：也有一增量：)()(1xyUxyUUyUdxxfdy)( P1)(xMEIABlx)(xy)(1xyy設(shè)：設(shè)：)(xyUU 函數(shù)函數(shù) y 也有一增量：也有一增量：yyy1泛函泛函 U 也有一增量：也有一增量：)()(1xyUxyUUyU 函數(shù)的增量函數(shù)的增量y 、

14、泛函的增量、泛函的增量 U 稱為變分稱為變分。 研究研究自變函數(shù)的增量自變函數(shù)的增量與與泛函泛函的增量的增量間關(guān)系間關(guān)系 變分問(wèn)題變分問(wèn)題。微分和變分都是微量，它們的運(yùn)算方法是相同的，如：微分和變分都是微量，它們的運(yùn)算方法是相同的，如：UUyyydydxx變分的運(yùn)算變分的運(yùn)算變分與微分運(yùn)算：變分與微分運(yùn)算：)()(xfdxdxfdxd)()(22xfdxdxfdxd)()(2222xfdxdxfdxd變分運(yùn)算與微分運(yùn)算互相交換變分運(yùn)算與微分運(yùn)算互相交換。變分與積分運(yùn)算：變分與積分運(yùn)算：dxyyxFl),(0dxyyxFl),(0變分運(yùn)算與積分運(yùn)算互相交換變分運(yùn)算與積分運(yùn)算互相交換。復(fù)合函數(shù)的變

15、分：復(fù)合函數(shù)的變分：dxyyxFyyxUl),(),(0其中：其中：),(xfy )(xfy一階變分：一階變分：0lFFUyy dxyy復(fù)合函數(shù)的變分：復(fù)合函數(shù)的變分：dxyyxFyyxUl),(),(0其中：其中：),(xfy )(xfy一階變分：一階變分：0lFFUyy dxyy二階變分：二階變分：ldxyyyFyyFyyyyFyyFyU02 二階變分用于判別駐值點(diǎn)是取得二階變分用于判別駐值點(diǎn)是取得極大值極大值還是還是極小值極小值。2. 位移變分方程位移變分方程建立：彈性體的建立：彈性體的形變勢(shì)能形變勢(shì)能與與位移位移間間變分變分關(guān)系關(guān)系 位移變分方程位移變分方程qP應(yīng)力邊界應(yīng)力邊界 S位移

16、邊界位移邊界 Su設(shè)彈性體在外力作用下，處于平衡狀態(tài)。設(shè)彈性體在外力作用下，處于平衡狀態(tài)。邊界：邊界：uSSS位移場(chǎng)：位移場(chǎng)：);,(zyxuu );,(zyxvv ),(zyxww應(yīng)力場(chǎng)：應(yīng)力場(chǎng)：);,(zyxxx);,(zyxyy滿足：平衡方程、幾何滿足：平衡方程、幾何方程、物理方程方程、物理方程、邊界條件。、邊界條件。 稱為稱為真實(shí)解真實(shí)解（1）任給彈性體一微小的位移變化：）任給彈性體一微小的位移變化：wvu,滿足兩個(gè)條件：滿足兩個(gè)條件：（1）不破壞平衡狀態(tài)；）不破壞平衡狀態(tài)；（2）不破壞約束條件，即為約束所允許。）不破壞約束條件，即為約束所允許。任給彈性體一微小的位移變化：任給彈性體一

17、微小的位移變化：wvu,滿足兩個(gè)條件：滿足兩個(gè)條件：（1）不破壞平衡狀態(tài)；）不破壞平衡狀態(tài)；（2）不破壞約束條件，即為）不破壞約束條件，即為約束所允許。約束所允許。qP應(yīng)力邊界應(yīng)力邊界 S位移邊界位移邊界 Su變化后的位移狀態(tài)：變化后的位移狀態(tài)：, uuu, vvvwwwwvu, 稱為稱為位移的變分位移的變分，或，或虛位移虛位移。由于位移的變分，引起的外力功的變分和外力勢(shì)能的變分為：由于位移的變分，引起的外力功的變分和外力勢(shì)能的變分為：A()()sWX uY v dxdyX uY v dSA()()sVX uY v dxdyX uY v dS 由于虛位移為由于虛位移為微小的微小的、為約束所允許

18、為約束所允許的，所以，可認(rèn)為在虛位移發(fā)生的，所以，可認(rèn)為在虛位移發(fā)生過(guò)程中，外力的大小和方向都不變，只是作用點(diǎn)位置有微小變化。過(guò)程中，外力的大小和方向都不變，只是作用點(diǎn)位置有微小變化。（5-19）（5-20）（2）考察彈性體的能量變化）考察彈性體的能量變化：從而引起形變勢(shì)能的變分為：從而引起形變勢(shì)能的變分為：()()()()xyxyuvuvxyxy， 上式中的應(yīng)力分量也是在位移變分發(fā)生之前存在的，是恒力，所以沒(méi)上式中的應(yīng)力分量也是在位移變分發(fā)生之前存在的，是恒力，所以沒(méi)有系數(shù)有系數(shù)1/2。由于位移的變分，引起的應(yīng)變的變分為：由于位移的變分，引起的應(yīng)變的變分為：()xxyyxyxyAUdxdy

19、由能量守恒原理：由能量守恒原理：彈性體變形勢(shì)能的增加，等于外力勢(shì)能的減少（也就彈性體變形勢(shì)能的增加，等于外力勢(shì)能的減少（也就等于外力所做的功，即外力虛功）。等于外力所做的功，即外力虛功）。（在沒(méi)有溫度改變、動(dòng)能改變的情況下）（在沒(méi)有溫度改變、動(dòng)能改變的情況下）設(shè)：設(shè)：U 表示彈性變形勢(shì)能的增量；表示彈性變形勢(shì)能的增量；W 表示外力在虛位移上所做的功，它在數(shù)值上等于外力表示外力在虛位移上所做的功，它在數(shù)值上等于外力勢(shì)能的減少。勢(shì)能的減少。（5-21） 式（式（5-22）稱為）稱為位移變分方程位移變分方程，也稱，也稱 Lagrange 變分方程變分方程。則有：則有：WUA()()sUX uY v

20、dxdyX uY v dS（5-22）它表明：在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時(shí)，物體形變勢(shì)能的變分，它表明：在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時(shí)，物體形變勢(shì)能的變分，等于外力在虛位移上所做的虛功。等于外力在虛位移上所做的虛功。 根據(jù)式（根據(jù)式（5-22），可推導(dǎo)出彈性力學(xué)中的），可推導(dǎo)出彈性力學(xué)中的極小勢(shì)能原理極小勢(shì)能原理。 將式（將式（5-22）寫成，）寫成，A()()0sUX uY v dxdyX uY v dS上式中外力是恒力，因此第二項(xiàng)就是外力勢(shì)能的變分，上式中外力是恒力，因此第二項(xiàng)就是外力勢(shì)能的變分，A()()sVX uY v dxdyX uY v dS （a）而第一項(xiàng)就是形變勢(shì)能的變分，證

21、明如下：而第一項(xiàng)就是形變勢(shì)能的變分，證明如下：1111()xyxyAAxyxyUUUUU dxdydxdy()xxyyxyxyAUdxdy 彈性體的比能對(duì)于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。彈性體的比能對(duì)于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。從而，從而，因此，式因此，式(a)可以寫為：可以寫為：()0UV式（式（5-23）表明，在給定的外力作用下，實(shí)際存在的位移應(yīng)使總勢(shì)能）表明，在給定的外力作用下，實(shí)際存在的位移應(yīng)使總勢(shì)能的變分為的變分為0. （5-23）其中：其中：VU 形變勢(shì)能與外力勢(shì)能的總和，形變勢(shì)能與外力勢(shì)能的總和， 稱為稱為系統(tǒng)的總勢(shì)能。系統(tǒng)的總勢(shì)能。0VU其中：其

22、中：VU 形變勢(shì)能與外力勢(shì)能的總和，形變勢(shì)能與外力勢(shì)能的總和， 稱為稱為系統(tǒng)的總勢(shì)能系統(tǒng)的總勢(shì)能 在給定的外力作用下，實(shí)際存在的位移應(yīng)使系統(tǒng)的總勢(shì)能的一階變?cè)诮o定的外力作用下，實(shí)際存在的位移應(yīng)使系統(tǒng)的總勢(shì)能的一階變分為零。分為零。等價(jià)于總勢(shì)能等價(jià)于總勢(shì)能 U+V 取駐值。取駐值。 極值勢(shì)能原理極值勢(shì)能原理平衡狀態(tài)：平衡狀態(tài)：（1）穩(wěn)定平衡狀態(tài)；）穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（2）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（3）隨宜平衡狀態(tài)；）隨宜平衡狀態(tài)；穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨宜平衡隨宜平衡02VU 勢(shì)能取勢(shì)能取極小值極小值02VU 勢(shì)能取勢(shì)能取極大值極大值02VU 不定不定： 在給定的外力作用下，

23、滿足位移邊界條件在給定的外力作用下，滿足位移邊界條件的各組位移中，實(shí)際存在的位移，應(yīng)使系統(tǒng)的的各組位移中，實(shí)際存在的位移，應(yīng)使系統(tǒng)的總勢(shì)能成為駐值。當(dāng)系統(tǒng)處于總勢(shì)能成為駐值。當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡時(shí)，總時(shí)，總勢(shì)能取極小值，通常也為最小值。勢(shì)能取極小值，通常也為最小值。虛功方程虛功方程應(yīng)用位移變分方程，還可以推導(dǎo)出彈性力學(xué)中的另一個(gè)重要方程：應(yīng)用位移變分方程，還可以推導(dǎo)出彈性力學(xué)中的另一個(gè)重要方程：虛虛功方程。功方程。()xxyyxyxyAUdxdy （5-21）A()()sUX uY v dxdyX uY v dS（5-22）因此，因此，A()()sUX uY v dxdyX uY v d

24、SA()()sUX uY v dxdyX uY v dS()xxyyxyxyAdxdy A()()sX uY v dxdyX uY v dS（5-24）虛功方程虛功方程：如果如果在虛位移發(fā)生前，彈性體處于在虛位移發(fā)生前，彈性體處于平衡平衡狀態(tài)，狀態(tài)，則則在虛位移發(fā)生過(guò)程中，在虛位移發(fā)生過(guò)程中，外力在虛位移上所做的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。外力在虛位移上所做的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。虛功方程虛功方程 是是有限單元法有限單元法的理論基礎(chǔ)，也是許多的理論基礎(chǔ)，也是許多變分原理變分原理的基礎(chǔ)。的基礎(chǔ)。實(shí)際存在的位實(shí)際存在的位移應(yīng)滿足：移應(yīng)滿足：（1）位移邊界條件；）位移邊界條件；

25、（2）平衡方程（位移形式）；）平衡方程（位移形式）；（3）應(yīng)力邊界條件。）應(yīng)力邊界條件。（1）位移邊界條件；）位移邊界條件；（2）位移變分方程。）位移變分方程。因而，有：因而，有： 位移變分方程位移變分方程（1）平衡方程；）平衡方程；（2）應(yīng)力邊界條件。）應(yīng)力邊界條件。（可互相導(dǎo)出）（可互相導(dǎo)出）（最小勢(shì)能原理）（最小勢(shì)能原理）（1）位移變分方程）位移變分方程（2）虛功方程）虛功方程位移變分方程小結(jié)：位移變分方程小結(jié)：也稱也稱 Lagrange 變分方程變分方程：（3）最小勢(shì)能原理）最小勢(shì)能原理0VU（1）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；（2）

26、對(duì)虛功方程，也適用）對(duì)虛功方程，也適用各種材料的物理方程各種材料的物理方程。如：塑性材料、非線性彈性材料等。如：塑性材料、非線性彈性材料等。A()()sUX uY v dxdyX uY v dS（5-22）A()()sVXuYv dxdyXuYv dS ()xxyyxyxyAdxdy A()()sX uY v dxdyX uY v dS（5-24）虛功方程虛功方程前節(jié)課內(nèi)容回顧：前節(jié)課內(nèi)容回顧：1. 能量法的基本思想：能量法的基本思想： 不依賴于自變量不依賴于自變量 x 變化的函數(shù)的變化的函數(shù)的增量增量（1）在）在所有可能的解所有可能的解中，求出最接近于精確解的解；中，求出最接近于精確解的解；

27、或者，為在或者，為在真實(shí)解附近真實(shí)解附近尋求最接近于精確解的尋求最接近于精確解的近似解近似解。2. 變分與泛函的極值變分與泛函的極值（2）將定解問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)椋⒍ń鈫?wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組求解線性方程組。)(yFU （1）泛函：）泛函：)(xfFyU,0 x自變量自變量 x 的變分恒為零。的變分恒為零。（2）變分：）變分：（3）變分的運(yùn)算：）變分的運(yùn)算：)()(xfdxdxfdxd)()(22xfdxdxfdxd變分與微分運(yùn)算變分與微分運(yùn)算變分與積分運(yùn)算變分與積分運(yùn)算dxyyxFl),(0dxyyxFl),(0變分運(yùn)算與積分運(yùn)算互相交換變分運(yùn)算與積分運(yùn)算互相交換。變分運(yùn)算與微分運(yùn)算互相交換變分運(yùn)

28、算與微分運(yùn)算互相交換。復(fù)合函數(shù)的變分復(fù)合函數(shù)的變分dxyyxFyyxUl),(),(0其中：其中：),(xfy 一階變分：一階變分：dxyyFyyFxxFUl0dxyyFyyFl0 自變量自變量 x 的變分的變分 x 0二階變分：二階變分：ldxyyyFyyFyyyyFyyFyU02 二階變分用于判別駐值點(diǎn)是取得二階變分用于判別駐值點(diǎn)是取得極大值極大值還是還是極小值極小值。泛函的極值泛函的極值泛函取得的條件：泛函取得的條件：0U02U02U02U 取得極小值取得極小值 取得極大值取得極大值 不定，由高階變分判別。不定，由高階變分判別。3.3.彈性體的形變勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能4.4.位移變分方程

29、位移變分方程位移變分方程位移變分方程虛功方程虛功方程最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理平衡微分方程平衡微分方程應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件等價(jià)等價(jià)位移變分方程與彈性力學(xué)基本方程的等性位移變分方程與彈性力學(xué)基本方程的等性本章內(nèi)容回顧：本章內(nèi)容回顧：1. 形變勢(shì)能的計(jì)算：形變勢(shì)能的計(jì)算：（1）一般形式）一般形式（2）應(yīng)變分量表示形式）應(yīng)變分量表示形式1AA1()2xxyyxyxyUU dxdydxdy （c）22212AA122(1)2xyxyxyEUU dxdydxdy 2222A1()()2()2(1)2Euvu vuvUdxdyxyx yxy （5-16）（3）位移分量表示形式）位移分量表示形式（1）位移

30、變分方程）位移變分方程（2）虛功方程）虛功方程也稱也稱 Lagrange 變分方程變分方程：（3）最小勢(shì)能原理）最小勢(shì)能原理0VU（1）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；（2）對(duì)虛功方程，也適用）對(duì)虛功方程，也適用各種材料的物理方程各種材料的物理方程。如：塑性材料、非線性彈性材料等。如：塑性材料、非線性彈性材料等。A()()sUX uY v dxdyX uY v dS（5-22）A()()sVXuYv dxdyXuYv dS ()xxyyxyxyAdxdy A()()sX uY v dxdyX uY v dS（5-24）虛功方程虛功方程5-6 5

31、-6 位移變分法位移變分法1. 里茲里茲（Ritz）法法基本思想：基本思想：設(shè)定位移函數(shù)設(shè)定位移函數(shù)的表達(dá)形式，使其的表達(dá)形式，使其滿足位移邊界條件滿足位移邊界條件，其中含，其中含有若干待定常數(shù)，然后有若干待定常數(shù)，然后利用位移變分方程確定這些常數(shù)利用位移變分方程確定這些常數(shù)，即，即得位移解。得位移解。設(shè)取位移的表達(dá)式如下：設(shè)取位移的表達(dá)式如下：mmmuAuu0mmmvBvv0（5-25）其中：其中：,mmAB為互不相關(guān)的為互不相關(guān)的 2m 個(gè)系數(shù)；個(gè)系數(shù)；00,u v為設(shè)定的函數(shù)，且在邊界上有：為設(shè)定的函數(shù)，且在邊界上有：,0uus0svv),(zyxuumm),(zyxvvmm為為邊界上為

32、零邊界上為零的設(shè)定函數(shù)的設(shè)定函數(shù) 顯然，上述顯然，上述函數(shù)滿足位函數(shù)滿足位移邊界條件移邊界條件。此時(shí)，位移的變分此時(shí)，位移的變分, uv只能由系數(shù)只能由系數(shù) Am、Bm的變分來(lái)實(shí)現(xiàn)。的變分來(lái)實(shí)現(xiàn)。00,u v與變分無(wú)關(guān)。與變分無(wú)關(guān)。,mmmAuummmvvB（a）位移的變分：位移的變分：形變勢(shì)能的變分：形變勢(shì)能的變分：（b）mmmAAUUmmmBBUmmmmmUUABAB將式（將式（a）、（）、（b）代入位移變分方程（）代入位移變分方程（5-22），有：），有：mmmmmUUABABmmmmAmXuAYvBdxdymmmmsmXuAYvBdS將上式整理、移項(xiàng)、合并，可得：將上式整理、移項(xiàng)、合并

33、，可得：mmmAsmmUXu dxdyXu dSAA,mmAB完全任意，且互相獨(dú)立，完全任意，且互相獨(dú)立， 要使上式成立，則須有：要使上式成立，則須有：mmAsmUXu dxdyXu dSAmmAsmUYu dxdyYu dSB（5-26） Ritz 法方程法方程或稱或稱 Rayleigh- Ritz 法方程法方程0mmmAsmmUYu dxdyYu dSBB1,2,m 說(shuō)明：說(shuō)明：（1）由由 U 的位移表達(dá)式（的位移表達(dá)式（5-16）可知，）可知，U 是系數(shù)是系數(shù),mmAB的二次函數(shù)，的二次函數(shù)，因而，方程（因而，方程（5-26）為各系數(shù)的）為各系數(shù)的線性方程組線性方程組。,mmAB互不相關(guān)

34、，因而，總可以求出全部的系數(shù)?；ゲ幌嚓P(guān)，因而，總可以求出全部的系數(shù)。（2）,mmAB求出了系數(shù)求出了系數(shù)就可求得其它量，如位移、應(yīng)力等就可求得其它量，如位移、應(yīng)力等（3） 在假定位移函數(shù)時(shí)，須保證其在假定位移函數(shù)時(shí)，須保證其滿足全部位移邊界條件滿足全部位移邊界條件。mmAsmUXu dxdyXu dSAmmAsmUYu dxdyYu dSB（5-26） Ritz 法方程法方程或稱或稱 Rayleigh- Ritz 法方程法方程1,2,m 例：例：圖示薄板，寬為圖示薄板，寬為 a，高度為，高度為 b，左邊和下邊受連，左邊和下邊受連桿支承，右邊和上邊分別受有均布?jí)毫U支承，右邊和上邊分別受有均布?jí)?/p>

35、力 q1和和 q2 作用，不計(jì)體力。試求薄板的位移。作用，不計(jì)體力。試求薄板的位移。解：解：（1）假設(shè)位移函數(shù)）假設(shè)位移函數(shù)),(321yAxAAxu),(321yBxBByv（a）滿足邊界條件：滿足邊界條件： , 00 xu 00yv試在式（試在式（a）中只取兩個(gè)系數(shù)：）中只取兩個(gè)系數(shù)：A1、B1 ，即，即,111xAuAuyBvBv111（b）（2）計(jì)算形變勢(shì)能）計(jì)算形變勢(shì)能 U將式（將式（b）代入（）代入（5-16），有），有（平面應(yīng)力情形下形變勢(shì)能公式）（平面應(yīng)力情形下形變勢(shì)能公式） abBAEU00212121dxdyBA112積分得：積分得：112121221BABAEabU（c）

36、112121221BABAEabU（c）（3）代入）代入Ritz 法方程求解法方程求解體力體力, 0YX, 1m有有,11dsuXAUdsvYBU11,1qX在右邊界：在右邊界：,1axudyds adyqdsuXb011;1abq,2qY在上邊界：在上邊界：,1byvdxds bdyqdsuXa021;2abq于是有：于是有：,11abqAU,21abqBU將式（將式（c）代入，得）代入，得dSuXdxdyXuAUmmmdSvYdxdyYvBUmmm（11-15）,)22(121112abqBAEab,)22(122112abqABEab聯(lián)立求解，得：聯(lián)立求解，得：,211EqqA,121E

37、qqB（f）代入位移表達(dá)式（代入位移表達(dá)式（b），得：），得：,21xEqquyEqqv12（g）討論：討論：（1）如果在位移式（如果在位移式（a）中再多取一些）中再多取一些系數(shù)如：系數(shù)如：A2、B2等，但是經(jīng)計(jì)算，等，但是經(jīng)計(jì)算，這些系數(shù)全為零。這些系數(shù)全為零。（2）位移解（位移解（g）滿足幾何方程、平衡）滿足幾何方程、平衡方程和邊界條件。方程和邊界條件。表明：表明：位移解（位移解（g）為問(wèn)題的）為問(wèn)題的精確解精確解。Ritz 法解題步驟：法解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其）假設(shè)位移函數(shù)，使其滿足邊界條件滿足邊界條件；（2） 計(jì)算形變勢(shì)能計(jì)算形變勢(shì)能 U ；（3）代入）代入Ritz 法方程

38、求解待定系數(shù)；法方程求解待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力等。）回代求解位移、應(yīng)力等。本章內(nèi)容回顧：本章內(nèi)容回顧：1. 形變勢(shì)能的計(jì)算：形變勢(shì)能的計(jì)算：（1）一般形式）一般形式（2）應(yīng)變分量表示形式）應(yīng)變分量表示形式1AA1()2xxyyxyxyUU dxdydxdy （c）22212AA122(1)2xyxyxyEUU dxdydxdy 2222A1()()2()2(1)2Euvu vuvUdxdyxyx yxy （5-16）（3）位移分量表示形式）位移分量表示形式（1）位移變分方程）位移變分方程（2）虛功方程）虛功方程2.位移變分方程小結(jié)：位移變分方程小結(jié)：也稱也稱 Lagrange 變分

39、方程變分方程：（3）最小勢(shì)能原理）最小勢(shì)能原理0VU（1）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；）只要求：可能（虛）位移滿足位移邊界條件；（2）對(duì)虛功方程，也適用）對(duì)虛功方程，也適用各種材料的物理方程各種材料的物理方程。如：塑性材料、非線性彈性材料等。如：塑性材料、非線性彈性材料等。A()()sUX uY v dxdyX uY v dS（5-22）A()()sVXuYv dxdyXuYv dS ()xxyyxyxyAdxdy A()()sX uY v dxdyX uY v dS（5-24）虛功方程虛功方程Ritz 法解題步驟：法解題步驟：（1）假設(shè)位移函數(shù)，使其）假設(shè)位移函數(shù)，使其滿足邊界條

40、件滿足邊界條件；（2） 計(jì)算形變勢(shì)能計(jì)算形變勢(shì)能 U ；（3）代入）代入Ritz 法方程求解待定系數(shù)；法方程求解待定系數(shù)；（4）回代求解位移、應(yīng)力等。）回代求解位移、應(yīng)力等。3. 位移變分法位移變分法里茲（里茲（Ritz）法）法例例:圖示矩形薄板，寬為圖示矩形薄板，寬為2 a，高度為，高度為2 b，左右兩，左右兩邊和下邊均被固定，而上邊的給定位移為：邊和下邊均被固定，而上邊的給定位移為：, 0u,122axv（h）不計(jì)體力。試求薄板的位移和應(yīng)力。不計(jì)體力。試求薄板的位移和應(yīng)力。解解:（1）假設(shè)位移函數(shù)）假設(shè)位移函數(shù)取取 m =1, 將位移分量設(shè)為：將位移分量設(shè)為：bybyaxaxAu11221

41、byaxv221bybyaxB11221（i）顯然，可滿足位移邊界條件：顯然，可滿足位移邊界條件： , 0 axu , 0 axv , 00yu , 00yv , 0byu 221axvby例例:如圖所示簡(jiǎn)支梁，中點(diǎn)處承受有集中如圖所示簡(jiǎn)支梁，中點(diǎn)處承受有集中P，試求梁的撓曲線方程。試求梁的撓曲線方程。 PEIABlxy解解:（1）假設(shè)位移試探函數(shù)）假設(shè)位移試探函數(shù)（必須滿足位移邊界條件）（必須滿足位移邊界條件）設(shè)位移試探函數(shù)為（取一項(xiàng)）：設(shè)位移試探函數(shù)為（取一項(xiàng)）：xlawsin)0(lx 式中：式中：a 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。0)(, 0)0(lww（2）計(jì)算形變勢(shì)能）計(jì)算形變勢(shì)能 U：

42、dxdxwdEIUl20222)(xw（ a）（ b）alEIaU342顯然，式（顯然，式（a）滿足端點(diǎn)的位移邊界條件）滿足端點(diǎn)的位移邊界條件:（3）代入）代入Ritz 法方程，求解法方程，求解（ c）2344alEIdSuXdxdydzXumm2sinllPPdSuXdxdydzXummmAUPaUPalEI342（ d）P)(xMEIABlxy)(xwxlEIPlwsin243討論：討論： （1） 中點(diǎn)的撓度：中點(diǎn)的撓度：（ e）,2432EIPlwlx而材料力學(xué)的結(jié)果：而材料力學(xué)的結(jié)果：,4832EIPlwlx兩者比較：兩者比較：式（式（a）的結(jié)果偏?。┑慕Y(jié)果偏小2%。如果取如下位移函數(shù)

43、：如果取如下位移函數(shù)：mmxlmAwsin式中項(xiàng)數(shù)式中項(xiàng)數(shù) m 取得越多，則求得精度就越高。取得越多，則求得精度就越高。（2）所取的位移函數(shù)所取的位移函數(shù)必須滿足位移邊界條件必須滿足位移邊界條件。（3）位移函數(shù)選取不是唯一的，如：位移函數(shù)選取不是唯一的，如：),1 (lxlxAwEIPla432lxlxAAlxlxw1)1 (21P)(xMEIABlxy)(xw例例:如圖所示簡(jiǎn)支梁，中點(diǎn)處承受有集中如圖所示簡(jiǎn)支梁，中點(diǎn)處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。試求的梁的撓曲線方程。 解解:（1）假設(shè)位移試探函數(shù)）假設(shè)位移試探函數(shù)lxlxAAlxlxw1)1 (21, 00w),1 (1lxlxw2

44、222)1 (lxlxw式中：式中：A1、A2 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。顯然，式（顯然，式（a）滿足端點(diǎn)的位移邊界條件）滿足端點(diǎn)的位移邊界條件:0)(, 0)0(lww（2）計(jì)算：）計(jì)算：dxdxwdEIUl20222梁的形變勢(shì)能梁的形變勢(shì)能:)5(5222213AAlEI,4131AlEIAU23254AlEIAU:)(0dxwxqmldxwxql10)(21lxwP4Pdxwxql20)(22lxwP16P（3）代入）代入 Ritz 法方程法方程:P)(xMEIABlxy)(xw例例:如圖所示簡(jiǎn)支梁，中點(diǎn)處承受有集中如圖所示簡(jiǎn)支梁，中點(diǎn)處承受有集中P，試求的梁的撓曲線方程。試求的梁的撓曲線

45、方程。 解解:位移函數(shù)位移函數(shù)lxlxAAlxlxw1)1 (21（a）（3）代入）代入 Ritz 法方程法方程:,4131AlEIAU23254AlEIAU:)(0dxwxqmldxwxql10)(21lxwP4Pdxwxql20)(22lxwP16PdxdxwdEIUl20222)5(5222213AAlEI1AUdxwxql10)(2AUdxwxql20)(4413PAlEI165423PAlEI,1631EIPlA EIPlA64532所求撓曲線方程所求撓曲線方程 :lxlxlxlxEIPlw154)1 (643P)(xMEIABlxy)(xw所求撓曲線方程所求撓曲線方程:lxlxlxlxEIPlw154)1 (643中點(diǎn)撓度中點(diǎn)撓度:EIPlwlx10242132而材料力學(xué)的結(jié)果：而材料力學(xué)的結(jié)果：,4832EIPlwlxEIPlwwlxlx48641322641222lxlxlxwww015625. 0%5625. 1說(shuō)明：說(shuō)明：（1）設(shè)定的待定系數(shù)個(gè)數(shù)與所得的線性方程數(shù)相同；）設(shè)定的待定系數(shù)個(gè)數(shù)與所得的線性方程數(shù)相同；（2）亦可用亦可用最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理求