簡明電路分析基礎_06電容元件與電感元件

1、電電 路路 分分 析析 基基 礎礎 電路分析基礎第六章動態(tài)電路分析第二部分 動態(tài)電路分析 六、電容元件與電感元件 七、一階電路 八、二階電路 九、沖擊函數(shù)在動態(tài)電路分析中的應用 十、交流動態(tài)電路 電路分析基礎課程內(nèi)容介紹電路分析基礎第二部分：第六章 回 顧 本教材第一部分討論了電阻電路的分析方法。包括：集總電路模型、基爾霍夫定律、歐姆定律、以此為基礎的各種分析方法和等效變換方法。 電阻電路是用代數(shù)方程來描述的，這意味著：如果外加的激勵源（電壓源或電流源）為常量，那么，在激勵作用到電路的瞬間，電路的響應也為某個常量。即：電阻電路是“無記憶的”，或說是“即時的”(instantaneous)。 許

2、多實際電路并不能只用電阻元件和電源元件來構(gòu)成其模型。在模型中往往不可避免地要包含電容元件和電感元件。 這兩種元件的伏安關系都涉及對電流、電壓的微分或積分，我們稱這種元件為動態(tài)元件(dynamic element)。電路分析基礎第二部分：第六章主要內(nèi)容電路模型中出現(xiàn)動態(tài)元件的原因： （1）在實際電路中有意接入電容器、電感器等器件，這是由于要求電路能夠?qū)崿F(xiàn)某種功能的需要，例如，電阻電路不能完成濾波，必須利用動態(tài)元件才能實現(xiàn)這個功能。 （2）當信號變化很快時，一些實際器件已不能再利用電阻模型來表示。例如，一個電阻器不能只用電阻元件來表示，而必須考慮到磁場變化及電場變化的現(xiàn)象，在模型中應增加電容、電感

3、等動態(tài)元件；當信號變化很快時，晶體管也不能再用電阻模型來表示。動態(tài)電路：至少包含一個動態(tài)元件的電路。電路只有電路只有電阻電路和和動態(tài)電路兩種類型！兩種類型！電路分析基礎第二部分：第六章主要內(nèi)容動態(tài)電路的記憶性：動態(tài)電路在任一時刻的響應與激勵的全部過去歷史有關。即使輸入已不再起作用，但仍然有輸出，因為輸入曾經(jīng)作用過。也就是說，動態(tài)電路具有記憶性。第二部分主要內(nèi)容：主要討論動態(tài)電路的分析，但只限于一階和二階動態(tài)電路，共分五章?；仡櫍涸诒緯谝徽轮性缫阎赋?，兩類約束是電路分析的基本依據(jù)?；鶢柣舴蚨墒┘佑陔娐返募s束關系只取決于電路的連接方式而與構(gòu)成電路的元件性質(zhì)無關，也就是說，無論是電阻電路還是動態(tài)

4、電路，都必須服從這兩個定律。本章主要內(nèi)容：為解決動態(tài)電路的分析問題，必須知道電容元件和電感元件的定義、伏安關系，并引入記憶、狀態(tài)等概念，為動態(tài)電路的分析奠定基礎。電路分析基礎第二部分：第六章 目錄第六章 電容元件與電感元件1 電容元件 7 電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)2 電容的伏安關系 8 電感的儲能 電路的狀態(tài)3 電容電壓的連續(xù)性質(zhì) 9 非線性電容 和記憶性質(zhì)4 電容的儲能 10 非線性電感5電感元件 11 電感器和電容器的模型6 電感的伏安關系 12電路的對耦性電路分析基礎第二部分：6-1 1/46-1 電 容 元 件電容器：把兩塊金屬板用絕緣介質(zhì)隔開，就可構(gòu)成一個簡單的電容器。由于介質(zhì)不

5、導電，因此通電后，兩塊極板上能分別存儲等量的、極性相反的電荷。當電源撤走后，由于介質(zhì)的阻擋，使兩塊極板上的電荷不能被中和而依靠電場力的作用而長久地存儲下去。因此，電容器是一種能存儲電荷的器件。電容元件：電路理論中的電容元件（capacitor），是對實際電容的一種理想化，即只具有存儲電荷從而在電容器中建立電場的作用，而沒有其它作用，不考慮介質(zhì)的損耗等因素。 由極板間的電荷建立的電場儲藏著能量，因此，我們也可以說電容器是一種能儲存電場能量的器件。u(t)q(t)i(t)+理想電容器：是一種電荷與電壓相約束的器件。電路分析基礎第二部分：6-1 2/4電容元件的定義：一個二端元件，如果在任意時刻t，

6、它的電荷 q(t) 同它的端電壓 u(t) 之間的關系可以用uQ平面上的一條曲線來確定，則此二端元件稱為電容元件。瞬時值：在某個時刻t，q(t) 和 u(t) 分別稱為電荷和端電壓在此時的瞬時值。其他的關于時間的函數(shù)都可以這么說。 我們可以說電容元件的電荷瞬時值和電壓瞬時值之間存在一種代數(shù)關系。u(t)q(t)i(t)+圖6-1 電容元件符號電路分析基礎第二部分：6-1 3/4注意關聯(lián)參考方向：在圖中所設定的電流電壓參考方向關系，也即電荷與電流的參考方向關系稱為關聯(lián)參考方向。線性非時變電容元件：如果uq平面上的特性曲線是一條過原點的直線，且不隨時間變化的電容元件。即q(t) = Cu(t) （

7、6-1）電容容量：C為正常數(shù)，用來度量圖形曲線的斜率，稱為電容（capacitance），C的國際單位為法拉（簡稱法，縮寫F 或 f）。習慣上：我們通常將電容元件簡稱為電容，而且若不加申明，就是指線性非時變電容。q(t) = Cu(t)u(t)q(t)u(t)q(t)i(t)+電路分析基礎第二部分：6-1 4/4實際電容：除了存儲電荷的特性外，還有一些漏電現(xiàn)象，那時因為介質(zhì)不可能為理想絕緣體，多少有一點導電能力。電容器的額定參數(shù)：一個電容器，除了標明它的電容量C外，還需標明它的額定工作電壓。因為，電容器兩端電壓越高，聚集的電荷就越多，對應的電場電壓就越大，而電容器介質(zhì)的耐壓是有限的，過高的電壓

8、將使介質(zhì)擊穿而成為導體！電解電容器：有些電容器為進一步增大電容量，在介質(zhì)內(nèi)部填充有固定的電解質(zhì)，電解質(zhì)決定了介質(zhì)的耐壓和漏電流還與所加的電壓極性有關。這些電容器稱為電解電容器，電解電容器除標明電容量和耐壓外，還需標明“+”和“”極性。 因此，電容器模型是由電容元件并聯(lián)電阻元件組成的。實際電容模型電路分析基礎第二部分：第六章 目錄第六章 電容元件與電感元件1 電容元件 7 電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)2 電容的伏安關系 8 電感的儲能 電路的狀態(tài)3 電容電壓的連續(xù)性質(zhì) 9 非線性電容 和記憶性質(zhì)4 電容的儲能 10 非線性電感5電感元件 11 電感器和電容器的模型6 電感的伏安關系 12 電路的

9、對耦性電路分析基礎第二部分：6-2 1/136-2 電容的伏安關系 雖然電容是根據(jù)qu關系來定義的，如（6-1）式所示，但在電路分析中，我們感興趣的往往是元件的 VAR，即 i-u 關系。 設電容如圖6-1所示，且設電流i(t)的參考方向箭頭指向標注q(t) 的極板，這意味著當 i(t) 為正值時，正電荷向這個極板聚集，因而電荷q(t)的變化率為正。于是，我們有又設電壓 u(t) 和 q(t) 參考方向一致，則對線性電容，得q(t) = Cu(t) （6-3）以（6-3）式代入（6-2）式，得i(t) =dCudt（6-4）=du(t)dtCi(t) =dqdt（6-2）u(t)q(t)i(t

10、)+電路分析基礎第二部分：6-2 2/13i(t) =dCudt（6-4）=du(t)dtC這就是電容的 VAR，其中涉及對電壓的微分。顯然，這一公式在 u 和 i 參考方向一致的前提下才能使用。若 u 和 i 的參考方向不一致，則（6-4）式表明：在某一時刻電容的電流取決于該時刻電容電壓的變化率。如果電壓不變，那么 du /dt = 0 ，雖有電壓，但電流為零，因此，電容有隔直流的作用。 我們也可以把電容的電壓 u 表示為電流 i 的函數(shù)。對（6-4）式積分可得u(t) = （6-6）i()dC1ti(t) = （6-5）du(t)dtCu(t)q(t)i(t)+電路分析基礎第二部分：6-2

11、 3/13 若我們只需了解在某個任意選定的初始時刻 t0 以后電容電壓與電流的關系情況，我們可以把（6-6）式寫為（6-7）i()d t t0C1t= u(t0)t0+i()dC1tt0+u(t) = i()dC1t0u(t) = （6-6）i()dC1t（6-6）式告訴我們：在某個時刻 t 電容電壓 u 的數(shù)值并不取決于該時刻電流 i 的值，而是取決于從 到 t 所有時刻的電流值，也就是說與電流全部過去歷史有關。 這是因為電容是聚集電荷的元件，電容電壓反映聚集電荷的多寡，而電荷的聚集是電流從 到 t 長期作用的結(jié)果。電路分析基礎第二部分：6-2 4/13也就是說：我們?nèi)糁懒擞沙跏紩r刻 t0

12、 開始作用的電流 i(t) 以及電容的初始電壓u(t0)，就能確定 t t0 時的電容電壓u(t)。實際上：根據(jù)電容是聚集電荷的元件，（6-4）式和（6-6）式分別從電荷的變化角度和電荷積累的角度來描述電容的伏安關系。例6-1 電容與電壓源相接如圖6-3(a)所示，電壓源電壓隨時間按三角波方式變化如圖(b)，求電容電流。 我們研究問題總有個起點，即總有一個起始時間 t0 ，那么，（6-7）式又告訴我們：沒有必要去了解 t0 以前電流的情況， t0以前全部歷史情況對未來產(chǎn)生的效果可以由 u(t0)，即電容的初始電壓來反映。（6-7）i()d t t0C1tu(t) = u(t0)t0+u(t)(

13、a)+C=1F電路分析基礎第二部分：6-2 5/13解：已知電壓源兩端電壓u(t)，求電流可以用（6-4）式。u(t)(a)+C=1F 從0.25到0.75ms期間，電壓 u 由 +100V線性下降到 100V，其變化率= du(t)dt2000.5103= 4105故知在此期間，電流i = Cdu(t)dt= 4 105 10-6= 0.4 AOu(V)t(ms)100V+100V0.250.50.7511.251.5i(A)0.4A+0.4A電路分析基礎第二部分：6-2 6/13從0.75到1.5ms期間= du(t)dt2000.5103= 4105故知在此期間i = Cdu(t)dt=

14、 4 105 10 -6= 0.4 AOu(V)t(ms)100V+100V0.250.50.7511.251.5i(A)0.4A+0.4A電路分析基礎第二部分：6-2 7/13這種曲線稱為波形圖。 從本例圖中可見，電容的電壓波形和電流波形是不一樣的，這個情況與電阻元件的情況是不同的，圖(d)還給出了電容元件上的功率波形圖。Oi(A)t(ms)0.4+0.40.511.5Ou(V)t(ms)100V+100V0.250.50.7511.251.5i(A)0.4A+0.4A電路分析基礎第二部分：6-2 8/13Op(W)t(ms)圖6-3 例6-1所示電容電路及電壓、電流及功率波形圖Ou(V)t

15、(ms)100+1000.250.50.7511.251.5wC(t)Ou(V)t(ms)100V+100V0.250.50.7511.251.5i(A)0.4A+0.4A電路分析基礎第二部分：6-2 9/13i(t)(a)C=1FOi(A)t(ms)1+1(b)0.250.50.7511.251.5例6-2 設圖6-3所示的電容改為與電流源相接，如圖6-4(a)所示，電流源電流隨時波形圖如圖(b)中所示，求電容電壓。解：已知電容電流求電壓時可以用（6-7）式。為此必須寫出i(t)的函數(shù)式，對所示三角波形可分段寫為電路分析基礎第二部分：6-2 10/13i =10.2510-3= 4000t

16、0 t 0.2510-3 s t= 2 4000t 0.2510-3 t 0.7510-3 s i =10.2510-3 ( 0.510-3 t )= 4000t 4 0.7510-3 t 1.2510-3 s i =10.2510-3 ( t 10-3 )Oi(A)t(ms)1+10.250.50.7511.251.5電路分析基礎第二部分：6-2 11/13Ou(V)t(ms)250125(c)0.250.50.7511.251.5利用（6-7）式，分段計算u(t)：t0 t 0.2510-3 s期間u(t) = u(0) +i()dC104000d = 2109 t2u(t) = 106t

17、0電壓隨時間按拋物線規(guī)律上升，當t=0.25ms時，電壓為125V電路分析基礎第二部分：6-2 12/13u(t) = u(0.2510-3 )i()dC1t 0.2510-3 += 250 + 2106 t 2109 t2( 2 4000 ) d= 125 + 106t0.2510-3此為一開口向下的拋物線方程，其頂點在t=0.5ms，u=250V處。當t=0.75ms時，電壓降為125V。Ou(V)t(ms)2501250.250.50.7511.251.5 0.2510-3 s t 0.7510-3 s期間電路分析基礎第二部分：6-2 13/13 0.7510-3 s t 1.2510-

18、3 s期間u(t) = u(0.7510-3 )i()dC1t 0.7510-3 += 2000 4106 t + 2109 t2( 4000 4 ) d= 125 + 106t0.7510-3開口向上的拋物線，其頂點在t=1ms，u=0V處。Ou(V)t(ms)2501250.250.50.7511.251.5電路分析基礎第二部分：第六章 目錄第六章 電容元件與電感元件1 電容元件 7 電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)2 電容的伏安關系 8 電感的儲能 電路的狀態(tài)3 電容電壓的連續(xù)性質(zhì) 9 非線性電容 和記憶性質(zhì)4 電容的儲能 10 非線性電感5電感元件 11 電感器和電容器的模型6 電感的伏安

19、關系 12 電路的對耦性電路分析基礎第二部分：6-3 1/46-3 電容電壓的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)電容的VARi()d t t0C1t= u(t0)t0+uC = i()dC1t反映電容電壓的兩個重要性質(zhì)，即連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)。 設想作用于電容的電流波形如圖6-8(a)所示，若u(0)=0，則不難根據(jù)例6-2的方法求得電容電壓如圖(b)所示。Oi(A)t(ms)510(a)2468Ou(V)t(ms)20(b)2468圖6-8 1F電容的電流電壓波形電路分析基礎第二部分：6-3 2/4 十分明顯，電容電流波形是不連續(xù)的，而電壓波形卻是連續(xù)的。這是電容電壓的連續(xù)性質(zhì)的表現(xiàn)。電容電壓的連續(xù)性質(zhì)描述：

20、 若電容電流在閉區(qū)間 ta、tb內(nèi)為有界，則電容電壓uC(t)在開區(qū)間 (ta、tb) 內(nèi)為連續(xù)的。特別是，對任何時間 t， ta t tb，uC(t ) = uC(t +) （6-8）Oi(A)t(ms)510(a)2468Ou(V)t(ms)20(b)2468圖6-8 1F電容的電流電壓波形電路分析基礎第二部分：6-3 3/4證明 在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)間的連續(xù)函數(shù)。任取一點 t，以 t 和 t+dt 分別作為（6-7）式中積分的上下限，且tat tb 和 ta t+dt tb，則i()dC1t+dtuC(t+dt) = uC(t) +tt+dti()dC1uC(t+dt)

21、 uC(t) =t即 由于 i(t) 在 ta、tb內(nèi)有界，對所有 ta、tb 內(nèi)的 t，必存在一個有限常數(shù)M，i(t) M。 因而在曲線 i(t) 下由 t 軸和上下限所界定的圖形面積充其量為Mdt，且當dt 0時， uC(t+dt) uC(t) ，亦即 t 處， uC 是連續(xù)的。 （6-8）式常歸結(jié)為“電容電壓不能躍變”，在動態(tài)電路分析中常常用到這一結(jié)論，但需注意應用的前提條件。 當電容電流為無界時就不能運用！電路分析基礎第二部分：6-3 4/4從（6-6）式可知：電容電壓取決于電流的全部歷史，因此，我們說電容電壓有“記憶”電流的性質(zhì)，電容是一種記憶元件。+u(t)i(t)u(t0)=U具

22、有初始電壓U=u(t0) 我們只知道在某一初始時刻 t0 后作用于電容的電流 情況，對以前的電流并不了解，故（6-7）式更有實際意義。（6-7）i()d = u(t0) + u1(t) t t0C1tu(t) = u(t0)t0+u1(t)i(t)U=u(t0)對應等效電路+u1(t0)=0+u(t)Oi(A)t(ms)5102468Ou(V)t(ms)202468電路分析基礎第二部分：第六章 目錄第六章 電容元件與電感元件1 電容元件 7 電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)2 電容的伏安關系 8 電感的儲能 電路的狀態(tài)3 電容電壓的連續(xù)性質(zhì) 9 非線性電容 和記憶性質(zhì)4 電容的儲能 10 非線性電

23、感5電感元件 11 電感器和電容器的模型6 電感的伏安關系 12 電路的對耦性電路分析基礎第二部分：6-4 1/56-4 電 容 的 儲 能 電容是一種儲能元件，已如6-1節(jié)中描述的那樣。本節(jié)討論電容的儲能公式。 我們從電容的功率談起。由1-2節(jié)可知，任何元件都可由該元件兩端的電壓 u 與流過的電流 i 的乘積來計算。 若電壓、電流是時變的，那么，算得的功率也是時變的。瞬時功率：每個瞬間的功率稱謂瞬時功率，用符號 p 表示。p(t) = u(t)i(t) （6-11）式中，u、i 用關聯(lián)參考方向，p 為正說明該元件消耗或吸收功率；p 為負表明該元件產(chǎn)生或釋放功率。 對例6-1所示電容，把同一瞬

24、間的電壓和電流相乘可逐點繪出功率隨時間變化的曲線，稱為功率波形圖，如圖6-3(d)所示。電路分析基礎第二部分：6-4 2/5從波形圖可以看到：功率有時正，有時負，這和電阻的功率總為正值是大不相同的。電容功率的特點表明：電容有時吸收功率，有時卻又釋放功率。確實，如果考慮到 p =dwdt（6-12）Ou(V)t(ms)100V+100V0.250.50.7511.251.5wC能量 wC電壓 uOp(W)t(ms)能量 wC功率 pwC電路分析基礎第二部分：6-4 3/5 盡管有一段時期電容吸收了能量，但在另一段時期電容又把能量退還給電源（或電路其它部分）。由此，該例表明了電容是一種儲能元件。根

25、據(jù)第一章所述無源元件的定義，電容屬于無源元件。 電容的能量 wC(t) 應為功率對時間的積分，并由此繪出 wC(t) 的波形圖如圖6-3(b)中藍線所示（與 u 繪在一起），我們可以看到電容的能量總是正值，但有時增加，有時減少。 在其增長期間，即吸收能量期間，功率 p 為正；在其減少期間，即釋放能量期間，功率 p 為負。Op(W)t(ms)能量 wC功率 pwC電路分析基礎第二部分：6-4 4/5由（6-13）式可知：在 t1 到 t2 期間供給電容的能量只與時間端點的電壓值 u(t1) 和 u(t2) 有關，與此間其它電壓值無關。 電容是儲能元件，t1 到 t2 期間供給電容的能量是用來改變

26、電容的儲能狀況的，因此（6-13）式中的第一項應是表示 t2 時刻電容的儲能，即wC(t2) =12Cu2(t2)p()dwC(t1,t2) =t1t2u()i()dt1t2=Cu()t1t2=ddud=12Cu2u(t2)u(t1)=12Cu2(t2) u2(t1) （6-13）Cudu=u(t1)u(t2) 下面，我們進一步討論電容儲能的有關情況。設在 t1到 t2期間對電容C進行充電，充電電壓為 u(t)，電流為 i(t)，則在此期間供給電容的能量為電路分析基礎第二部分：6-4 5/5 （6-14）式即為電容儲能公式。電容電壓反映了電容的儲能狀態(tài)。 由上述可知，正是電容的儲能本質(zhì)使電容電

27、壓具有了記憶性質(zhì)；正是電容電流在有界條件下儲能不能躍變，使電容電壓具有連續(xù)性質(zhì)。 如果儲能躍變，能量變化的速率即功率 p=dw/dt 將為無窮大，這在電容電流為有界值時是不可能的。亦即電容 C 在某個時刻 t 的儲能只與該時刻的電壓有關，即wC(t) =12Cu2(t) （6-14）而（6-13）式中的另一項是表示 t1 時刻電容的儲能，即wC(t1) =12Cu2(t1)電路分析基礎第二部分：第六章 目錄第六章 電容元件與電感元件1 電容元件 7 電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)2 電容的伏安關系 8 電感的儲能 電路的狀態(tài)3 電容電壓的連續(xù)性質(zhì) 9 非線性電容 和記憶性質(zhì)4 電容的儲能 10

28、非線性電感5 電感元件 11 電感器和電容器的模型6 電感的伏安關系 12 電路的對耦性電路分析基礎第二部分：6-5 主要內(nèi)容電路模型中出現(xiàn)動態(tài)元件的原因： （1）在實際電路中有意接入電容器、電感器等器件，這是由于要求電路能夠?qū)崿F(xiàn)某種功能的需要，例如，電阻電路不能完成濾波，必須利用動態(tài)元件才能實現(xiàn)這個功能。 （2）當信號變化很快時，一些實際器件已不能再利用電阻模型來表示。例如，一個電阻器不能只用電阻元件來表示，而必須考慮到磁場變化及電場變化的現(xiàn)象，在模型中應增加電容、電感等動態(tài)元件；當信號變化很快時，晶體管也不能再用電阻模型來表示。動態(tài)電路：至少包含一個動態(tài)元件的電路。電路只有電路只有電阻電路

29、和和動態(tài)電路兩種類型！兩種類型！電路分析基礎第二部分：6-5 主要內(nèi)容動態(tài)電路的記憶性：動態(tài)電路在任一時刻的響應與激勵的全部過去歷史有關。即使輸入已不再起作用，但仍然有輸出，因為輸入曾經(jīng)作用過。也就是說，動態(tài)電路具有記憶性。內(nèi)容回顧：前面幾節(jié)討論了電容的定義、伏安關系、電壓電壓的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)。再一次強調(diào)：在電容電流有限時，電容電壓與全部電流歷史有關，電容電壓不能突變突變。主要內(nèi)容：這幾節(jié)主要討論電感的定義、伏安關系、電流電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)。電路分析基礎第二部分：6-5 1/46-5 電 感 元 件電感器：導線中有電流流過時，在周圍形成磁場。由導線繞成的線圈用以增強磁場，稱為電感器或

30、電感線圈（圖6-13）。磁場也儲存能量。因此，電感器是一種能儲存磁場能量的器件。電感元件：電路理論中的電感元件（inductor），是對實際電感器的一種理想化，即只具有存儲磁能從而在電感器中建立磁場的作用，而沒有其它作用。理想電感器：應是一種電流與磁鏈（flux linkage）相約束的器件。i圖6-13 電感線圈及磁通線電路分析基礎第二部分：6-5 2/4電感元件的定義：一個二端元件，如果在任意時刻t，它的電流 i(t) 同它的磁鏈 (t) 之間的關系可以用 i 平面上的一條曲線來確定，則此二端元件稱為電感元件。右手螺旋法則：在討論 i(t) 和 (t) 的關系時，通常用關聯(lián)參考方向，即兩者

31、的參考方向應符合右手螺旋法則。 我們可以說電感元件的電流瞬時值和磁鏈瞬時值之間存在一種代數(shù)關系。u(t)(t)i(t)+圖6-14 電感元件符號 由于在圖中電感元件的符號并不顯示繞行方向。我們假定電流的入端處標以磁鏈的“+”號，表示電感線圈中的電流和磁鏈滿足右手螺旋法則。i圖6-13 電感線圈及磁通線電路分析基礎第二部分：6-5 3/4注意關聯(lián)參考方向：在圖中所設定的電流電壓參考方向關系，也即電流與磁鏈的參考方向關系稱為關聯(lián)參考方向。線性非時變電感元件：如果 i 平面上的特性曲線是一條過原點的直線，且不隨時間變化的電感元件。即(t) = Li(t) （6-15）電感容量：L為正常數(shù)，用來度量圖

32、形曲線的斜率，稱為電感（inductance），L的單位為亨利（中文簡稱亨，國際代號H）。習慣上：我們通常將電感元件簡稱為電感，而且若不加申明，就是指線性非時變電感。 在圖6-14中，+、號既表示磁鏈也表示電壓的參考方向。i(t)(t) (t) = Li(t)u(t)(t)i(t)+圖6-14 電感元件符號電路分析基礎第二部分：6-5 4/4實際電感：除了存儲磁能的特性外，還有一些能量損耗，因為構(gòu)成電感的導體不可能為理想導體，多少有一點電阻的緣故。電感器的額定參數(shù)：一個電感器，除了標明它的電感量L外，還需標明它的額定工作電流。因為，流過電感器的電流越大，對應的內(nèi)阻發(fā)熱就越多，有可能燒毀絕緣層，

33、直至燒毀整個電感器，過大的電流將毀壞電感器！磁芯電感器：有些電感器為進一步增大電感量，在線圈內(nèi)部填充鐵氧體等磁性材料，這些電感器稱為磁芯電感器，磁芯電感器在同樣的電流下能產(chǎn)生比沒有磁芯時大千百倍的磁鏈。 因此，電感器模型是由電感元件串聯(lián)電阻元件組成的。電路分析基礎第二部分：第六章 目錄第六章 電容元件與電感元件1 電容元件 7 電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)2 電容的伏安關系 8 電感的儲能 電路的狀態(tài)3 電容電壓的連續(xù)性質(zhì) 9 非線性電容 和記憶性質(zhì)4 電容的儲能 10 非線性電感5 電感元件 11 電感器和電容器的模型6 電感的伏安關系 12 電路的對耦性電路分析基礎第二部分：6-6 1/5

34、6-6 電感的伏安關系 雖然電感是根據(jù) i 關系來定義的，如（6-15）式所示，但在電路分析中，我們感興趣的往往是元件的 VAR。 設電感如圖6-14所示，當通過電感的電流變化時，磁鏈也發(fā)生變化，根據(jù)電磁感應定律，電感兩端產(chǎn)生感應電壓；當電流不變時，磁鏈不變，此時有電流但沒電壓。當電壓與磁鏈參考方向滿足右手螺旋法則時，由電磁感應定律可得u(t) =ddt（6-16）若電流 i(t) 和磁鏈 (t) 參考方向符合右手螺旋法則，將以上的i 關系代入可得u(t) =dLidt（6-17）didt= L電路分析基礎第二部分：6-6 2/5這就是電感的 VAR，其中涉及對電流的微分。顯然，這一公式在 u

35、 和 i 參考方向一致的前提下才能使用。若 u 和 i 的參考方向不一致，則u(t) = di(t)dtL（6-17）式表明：在某一時刻電感的電壓取決于該時刻電感電流的變化率。如果電流不變，那么 di /dt = 0 ，雖有電流，但電壓為零，因此，電感有通直流、阻交流的作用。 電感的以上這種特性與電阻、電容元件完全不同，電阻是有電壓一定有電流，電容是電壓的變化才能有電流；電感則是電流變化才有電壓。電路分析基礎第二部分：6-6 3/5 我們也可以把電感的電流 i 表示為電壓 u 的函數(shù)。對（6-17）式積分可得在某個任意選定的初始時刻 t0 以后，我們可把（6-18）式寫為（6-19）u()d

36、t t0L1t= i(t0)t0+u()dL1tt0+i(t) = u()dL1t0i(t) = （6-18）u()dL1t=L(t)L1=(t0) +tt0u()d電路分析基礎第二部分：6-6 4/5 這是因為電感是聚集磁鏈的元件，電感電流反映聚集磁鏈的多寡，而磁鏈的聚集是電壓從 到 t 長期作用的結(jié)果。也就是說：某一時刻 t 時的電感電流 i(t) 取決于初始電流 i(t0)以及在t0，t 區(qū)間所有的電壓u(t)的值。（6-18）式告訴我們：在某個時刻 t 電感電流 i 的數(shù)值并不取決于該時刻電壓 u 的值，而是取決于從 到 t 所有時刻的電壓值，也就是說與電壓全部過去歷史有關。i(t)

37、= u()dL1t=L(t) 我們研究問題總有個起點，即總有一個起始時間 t0 ，那么，（6-19）式又告訴我們：沒有必要去了解 t0 以前電流的情況，t0以前全部歷史情況對未來產(chǎn)生的效果可以由 i(t0)，即電感的初始電流來反映。u()d t t0L1ti(t) = i(t0)t0+電路分析基礎第二部分：6-6 5/5 （6-17）式必須在 u、i 為關聯(lián)參考方向時才能使用，這樣才能真正反映楞次定律感應電動勢試圖阻止磁通的變化。 在物理學中，感應電動勢與磁鏈的關系表示為e = ddt（6-20）didt= L它與我們這里所用的u =Ldi / dt又如何統(tǒng)一呢？ 首先，感應電壓 u 和感應電

38、動勢 e 數(shù)值是相等的，在電路理論中，我們關心的是器件的對外表現(xiàn)，而對其內(nèi)在物理過程不感興趣，因此，我們只用感應電壓 u 而不考慮感應電動勢 e。 其次，（6-20）式實際上也是有參考方向規(guī)定的，那就是 e 與 i 的參考方向應一致，由此符合楞次定律。由于 e 是電壓升，所以此時的極性必然如此：e = - u。電路分析基礎第二部分：第六章 目錄第六章 電容元件與電感元件1 電容元件 7 電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)2 電容的伏安關系 8 電感的儲能 電路的狀態(tài)3 電容電壓的連續(xù)性質(zhì) 9 非線性電容 和記憶性質(zhì)4 電容的儲能 10 非線性電感5 電感元件 11 電感器和電容器的模型6 電感的伏安

39、關系 12 電路的對耦性電路分析基礎第二部分：6-7 1/66-7 電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)電感的VARu()d t t0L1t= i(t0)t0+iL = u()dL1t反映電感電流的兩個重要性質(zhì)，即電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)。電感電流的連續(xù)性質(zhì)描述如下： 若電感電壓在閉區(qū)間 ta、tb內(nèi)為有界，則電感電流iL(t)在開區(qū)間 (ta、tb) 內(nèi)為連續(xù)的。特別是，對任何時間 t， ta t tb，iL(t ) = iL(t +) （6-21）電路分析基礎第二部分：6-7 2/6 證明過程與電感電流的連續(xù)性質(zhì)的證明相似。由此從略。 （6-21）式常歸結(jié)為“電感電流不能躍變”，在動態(tài)電路分析

40、中常常用到這一結(jié)論，但需注意應用的前提條件。當電感電壓為無界時就不能運用。 （6-18）式還反映出電感電流的另一性質(zhì)記憶性質(zhì)。 從（6-18）式可知，電感電流有“記憶”電壓的性質(zhì)，電感是一種記憶元件。 （6-19）式是更有實際意義、反映電感電流的記憶性質(zhì)的關系式。該式利用了初始電流 iL(t0) 對t t0 時電壓的記憶作用，使我們毋需了解t t0 時電壓的具體情況即能在確定t t0 時的 iL(t)時考慮到它的影響。電路分析基礎第二部分：6-7 3/6 在含電感的動態(tài)電路分析問題中，知道電感的初始電流經(jīng)常是一個必備的條件。 （6-19）式所示的關系可以用等效電路來表明。設電感的初始電流為iL

41、(t0) = I(圖6-18a)，由（6-19）式可得+u(t)i(t)i(t0)=IL圖6-18(a) 具有初始電流 Iu()dL1ti(t) = i(t0)t0+= i(t0) + i1(t) +u(t)i(t)i1(t0)=0Li1(t)I圖6-18(b) 對應等效電路= I + i1(t)，t t0（6-22）電路分析基礎第二部分：6-7 4/6設想一下，設想一下， t = t0 時的等效電時的等效電路又該如何？路又該如何？例6-4 若2H電感的電壓波形如圖6-19(a)所示，已知i(0)=0，試繪出電流波形。解：已知電容電流波形求電容電壓波形，或已知電感電壓波形求電感電流波形都涉及到

42、積分問題。 任一時刻 t 的電感電流，與在到 t 之間電感電壓曲線所覆蓋的面積成比例，由于已經(jīng)給定 i(0) 的值，故只需從t=0開始考慮。+u(t0)i(t0)It = t0 等效電路Ou(V)t(s)1圖6-19(a) 例6-4電壓波形12341電路分析基礎第二部分：6-7 5/6Ou(V)t(s)1圖6-19(a) 例6-4電壓波形12341 本例所示電壓波形在t=0與t=1s 之間隨時間成線性增加，可知此間電壓曲線所覆蓋的面積隨時間平方增加。因此，i(t) 波形為拋物線。由于 u(t) 為正，可知 i(t) 是增加的。 從定量關系看，對0t1s，面積S=t2/2。而i(t)=S/L=

43、t2/4，因此最大i=1/4A。 對1t2s，u(t)為負常數(shù)， i(t) 線性下降，面積S=1/2- (t-1)，而i(t)=S/L= 1/4-(t-1)/2，因此最小i= - 1/4A。Oi(V)t(s)1/4圖6-19(b) 例6-4電流波形12341/41/2電路分析基礎第二部分：6-7 6/6Oi(V)t(s)1/4圖6-19(b) 例6-4電流波形12341/41/2 對2t3s，u(t)為正常數(shù)， i(t) 線性上升，面積S= (t-2)-1/2，而i(t)=S/L= (t-2)/2-1/4 ，因此最大i=1/4A。 對3t0但線性下降， i(t) 為開口向下的拋物線，在該區(qū)間還

44、是增加的，直到頂點t=4，面積S= 1-(4-t)2/2，而i(t)=S/L= 1/2-(4-t)2/4，因此最大i=1/2A。 顯然，雖然電壓u(t)在t=1和t=2兩處不連續(xù)，但電流總是連續(xù)的從而也驗證了關于電感電流不能突變的結(jié)論。Ou(V)t(s)1圖6-19(a) 例6-4電壓波形12341電路分析基礎第二部分：第六章 目錄第六章 電容元件與電感元件1 電容元件 7 電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)2 電容的伏安關系 8 電感的儲能 電路的狀態(tài)3 電容電壓的連續(xù)性質(zhì) 9 非線性電容 和記憶性質(zhì)4 電容的儲能 10 非線性電感5 電感元件 11 電感器和電容器的模型6 電感的伏安關系 12

45、電路的對耦性電路分析基礎第二部分：6-8 1/76-8 電感的儲能 電路的狀態(tài) 電感是存儲磁能的元件，儲能公式的推導與6-4節(jié)中電容儲能公式的推導類似。 圖6-14所示的電感的功率為p(t) = u(t)i(t) （6-23）因此在 t1到 t2期間所供給的能量表示為p()dwL(t1,t2) =t1t2u()i()dt1t2=（6-24）對線性電感，可以（6-17）式代入，得電路分析基礎第二部分：6-8 2/7Li()t1t2wL(t1,t2) =ddid=12Li2i(t2)i(t1)=12Li2(t2) i2(t1) （6-25）Lidi=i(t1)i(t2) 電感也屬于無源元件。wL(

46、t) =12Li2(t) （6-26）上式表明電感 L 在某一時刻 t 的儲能只與此刻的電流i(t)有關。電感電流反映了電感的儲能狀態(tài)。此即為在t1到 t2期間電感儲能的改變量。由此可知，電感的儲能公式應為電路分析基礎第二部分：6-8 3/7 電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)正是電感儲能的本質(zhì)表現(xiàn)。 在動態(tài)電路的諸電壓、電流變量中，電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)占有特殊重要的地位，它們是電路的狀態(tài)(state)變量。狀態(tài)變量：在電路及系統(tǒng)理論中，狀態(tài)變量是指一組最少的變量，若已知它們在 t0 時的數(shù)值，則連同所有在 t t0 時的輸入就能確定在 t t0 時電路中的任何電路變量，電容電壓u

47、C(t)和電感電流iL(t)是符合這一定義的。 全面論述狀態(tài)變量的分析已超出了本書的范圍，但本書將在隨后的動態(tài)電路分析中把電容電壓和電感電流作為主要的分析對象。電路分析基礎第二部分：6-8 4/7例6-5 在圖6-23所示電路中，已知t 0 時電感電壓 u 為 etV，且在某一時刻 t1 電壓 u=0.4V。試問在這一時刻：(1)電流iL的變化率是多少？(2)電感的磁鏈是多少？(3)電感的儲能是多少？(4)從電感磁場放出能量的速度是多少？(5)在電阻中消耗能量的速率是多少？解：我們應先求出iL(t)。已知電感電壓求電流可用（6-19）式，并設t0=0。必須注意本題電感電壓和電感電流的參考方向不

48、一致，為方便計，令u= u，如圖中所示，則+uiLL=1H圖6-23 例6-5+uR=1u = et電路分析基礎第二部分：6-8 5/7從（6-19）式可得udL1tiL(t) = iL(0)0+其中iL(0) = iR(0) = u(0)Ret | 0R=11= 1A故得udL1tiL(t) = 1 +0e dt= 1 0t= 1 + e 0|= 1 + (e t 1) = e tA順便指出， iL(0)0表示初始時刻電感有儲能，這一儲能正是該電路在沒有電源情況下仍能有電壓、電流的原因。(1) 電流變化率：電路分析基礎第二部分：6-8 6/7在t=t1 時u= 0.4V，即e t1 = 0.

49、4，故得電流變化率為=diL(t)dtd e t dt= e t diL(t)dt= 0.4 A/s t1(2) 磁鏈：(3) 儲能：(t) = LiL(t) = L e t = e t 在t=t1 時u= 0.4V，即e t1 = 0.4時，磁鏈為 = 0.4 WbwL =12LiL2(t)12L(e t)2=電路分析基礎第二部分：6-8 7/7(5) 在電阻耗能的速率，即功率為(4) 磁場能量的變化率，即功率為當e t1 = 0.4時，wL =12L(0.4)212(0.4)2= 0.08J=12LiL2(t)dwLdtddt12=L iL(t)diL(t)dt= e tde tdt= e

50、 2t當e t1 = 0.4時，= (e t1)2 = (0.4)2 = 0.16WdwLdtpR = iL2(t)R = e 2t e t1 = 0.4= (0.4)2 = 0.16W電路分析基礎第二部分：第六章 目錄第六章 電容元件與電感元件1 電容元件 7 電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)2 電容的伏安關系 8 電感的儲能 電路的狀態(tài)3 電容電壓的連續(xù)性質(zhì) 9 非線性電容 和記憶性質(zhì)4 電容的儲能 10 非線性電感5 電感元件 11 電感器和電容器的模型6 電感的伏安關系 12 電路的對耦性電路分析基礎第二部分：6-9 主要內(nèi)容動態(tài)電路的記憶性：動態(tài)電路在任一時刻的響應與激勵的全部過去歷史有

51、關。即使輸入已不再起作用，但仍然有輸出，因為輸入曾經(jīng)作用過。也就是說，動態(tài)電路具有記憶性。 (1) 14節(jié)討論了電容的定義、伏安關系、電壓電壓的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)。再一次強調(diào)：在電容電流有限時，電容電壓與全部電流歷史有關，電容電壓不能突變突變。內(nèi)容回顧： (2) 58節(jié)討論了電感的定義、伏安關系、電流電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)。再一次強調(diào)：在電感電壓有限時，電感電流與全部電壓歷史有關，電感電流不能突變突變。電路分析基礎第二部分：6-9 1/36-9* 非線性電容 非線性電容不能用單一的電容值來表征，而應該用uq平面上的一條曲線來表征。這與線性非時變電容不同。 在晶體管的精確模型中包含非線性電容，

52、同樣，變?nèi)荻O管(varactor)也要用非線性電容來作為其模型。 設非線性電容uq特性可表示為q = f(u)則i(t) =dtdqdu=dfdtdu或i(t) = C(u)dtdu（6-27）電路分析基礎第二部分：6-9 2/3增量電容：為uq特性曲線的斜率，它是電容電壓 u 的函數(shù)。 在許多實際應用中，施加于電容的電壓 u 包含兩項：(1)由電池供給的恒定電壓U0（通常稱為直流偏置）；(2)時變的小電壓信號 u1 。如果 u1 充分小，則根據(jù)泰勒級數(shù)展開可得q = f(u) = f ( U0 + u1 ) f(U0) + u1 （6-29）dfduU0其中稱為該電容元件的增量電容。C(u

53、) =dfdu（6-28）OquU0+u1U0f(U0)f(U0+u1)斜率=U0dfdu|電路分析基礎第二部分：6-9 3/3在級數(shù)的展開式中我們略去了二階以上的所有項。在這種情況下，由i=dq/dt，可得式中 C(U0) 是增量電容，它等于uq特性曲線工作點處的斜率，是一個取決于直流電壓值 U0 的常數(shù)。因此，就小信號 u1 而言，非線性電容的表現(xiàn)如同一個線性電容。i(t) =dtdq=du1dfduU0dt（6-30）= C(U0)du1dt 這就是說，由于 u1 充分小，使與橫坐標U0 + u1相對應的那部分特性曲線可以用一條經(jīng)過點(U0 , f(U0) )、斜率為df/du | u=

54、U0的直線來近似，見圖6-24。OquU0+u1U0f(U0)f(U0+u1)斜率=U0dfdu|電路分析基礎第二部分：第六章 目錄第六章 電容元件與電感元件1 電容元件 7 電感電流的連續(xù)性質(zhì)和記憶性質(zhì)2 電容的伏安關系 8 電感的儲能 電路的狀態(tài)3 電容電壓的連續(xù)性質(zhì) 9 非線性電容 和記憶性質(zhì)4 電容的儲能 10 非線性電感5電感元件 11 電感器和電容器的模型6 電感的伏安關系 12 電路的對耦性電路分析基礎第二部分：6-10 1/36-10* 非線性電感 非線性電感不能用單一的電感值來表征，而應該用i平面上的一條曲線來表征。這與線性非時變電感不同。 嚴格地說，含磁性材料的電感器的i特性曲線都是曲線，而且有些在電流增減變化時的曲線不重合（見圖6-25）。 設非線性電感 i 特性可表示為 = f(i)則u(t) =dtddi=dfdtdi或u(t) = L(i)dtdi（6-31）Oi(a)電路分析基礎第二部分：6-10 2/3圖6-25 非線性i特性曲線Oi(a)Oi(c)Oi(b)其中稱為該電感元件的增量電感。增