《通項公式的求法》ppt課件

1、 數(shù)列的通項公式數(shù)列的通項公式:是一個數(shù)列的第是一個數(shù)列的第n項項即即an與項數(shù)與項數(shù)n之間的函數(shù)關系之間的函數(shù)關系注：注： 有的數(shù)列沒有通項公式，有的數(shù)列沒有通項公式，如：如：3，e，6；有的數(shù)列；有的數(shù)列有多個通項公式有多個通項公式,如：如：nanncos1下面談一談數(shù)列通項公式的常用求法：下面談一談數(shù)列通項公式的常用求法：一、察看法又叫猜測法，不完全歸納法：一、察看法又叫猜測法，不完全歸納法：察看數(shù)列中各項與其序號間的關系，分解各察看數(shù)列中各項與其序號間的關系，分解各項中的變化部分與不變部分，再探求各項中項中的變化部分與不變部分，再探求各項中變化部分與序號間的關系，從而歸納出構成變化部分

2、與序號間的關系，從而歸納出構成規(guī)律寫出通項公式規(guī)律寫出通項公式解：變形為：1011，1021，1031，1041， 通項公式為：例1：數(shù)列9，99，999，9999，110 nna練習練習.求數(shù)列求數(shù)列3，5，9，17，33，通項公式通項公式解：變形為：解：變形為：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，通項公式為：通項公式為：12 nna可見聯(lián)想與轉化是由知認識未知的可見聯(lián)想與轉化是由知認識未知的兩種有效的思想方法。兩種有效的思想方法。留意：用不完全歸納法，只從數(shù)列的有限項留意：用不完全歸納法，只從數(shù)列的有限項來歸納數(shù)列一切項的通項公式是不一定可靠來歸納數(shù)列一切項的通項公式是不一定

3、可靠的，如的，如2，4，8，?？蓺w納成?？蓺w納成 或或 者者 兩個不同的數(shù)列兩個不同的數(shù)列 便不同便不同nna222nnan4a1假設f(n)為常數(shù),即：an+1-an=d,此時數(shù)列為等差數(shù)列，那么an=a1+(n-1)d2假設f(n)為n的函數(shù)時，用累加法.方法如下： 由 an+1=an+f(n)得：當n1時，有 an=an-1+ f(n-1) an-1 =an-2+ f(n-2) a3= a2 + f(2) a2 = a1 + f (1)所以各式相加得an-a1 =f(n-1)+ f(n-2)+ f(2)+ f(1). 普通地，對于型如普通地，對于型如 an+1=an+f(n)的通項公式，

4、的通項公式，只需只需f(n)能進展求和，那么宜采用此方法求解。能進展求和，那么宜采用此方法求解。二二. . 疊加法疊加法111( )nnkaaf k ( (也稱累加法也稱累加法 即即 當所給數(shù)列每依次相鄰兩項之間的差組成當所給數(shù)列每依次相鄰兩項之間的差組成等差或等比數(shù)列時等差或等比數(shù)列時,就可用累加法進展消元就可用累加法進展消元例2，求數(shù)列：1，3，6，10，15，21，的通項公式an解： 212aa323 aanaann1434aa兩邊相加得：naan4321) 1(21nnan練習練習 :知數(shù)列知數(shù)列an中中,a1=1,an+1-an=2n-n,求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式。的通項公式。解：

5、 an - an-1 = 2n-1 - (n-1) an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2) a3 - a2 = 22 - 2 a2 - a1 = 21 - 1各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+22+21) -(n-1) +(n-2)+2+1 =1+( 2n-2)- n(n-1)/2 = 2n - n(n-1)/2 1當n=1時，a1=2-0-1=1,故，an= 2n _n(n-1)/2 - 1知知,a1=a,a1=a， an+1=an+f(n), an+1=an+f(n),其中其中f(n)f(n)可以是關于可以是關于n n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，的

6、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項求通項. .假設假設f(n)f(n)是關于是關于n n的一次函數(shù)，累加后可轉化為的一次函數(shù)，累加后可轉化為等差數(shù)列求和等差數(shù)列求和; ;假設假設f(n)f(n)是關于是關于n n的二次函數(shù)，累加后可分組求的二次函數(shù)，累加后可分組求和和; ;假設假設f(n)f(n)是關于是關于n n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉化為的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉化為等比數(shù)列求和等比數(shù)列求和; ;假設假設f(n)f(n)是關于是關于n n的分式函數(shù)，累加后可裂項求的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。和。備 注：1 1當當f(n)f(n)為常數(shù)為常數(shù), ,即：即： 其中其中q q是不為是不為

7、0 0的數(shù)的數(shù), ,此時此時, ,數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，an=a1qn-1.an=a1qn-1.2 2當當f(n)f(n)為為n n的函數(shù)時的函數(shù)時, ,用累乘法用累乘法. . 由由 得得n1 n1 時，時， ，三三. .疊乘法疊乘法對于型如：對于型如：an+1=f(n)an an+1=f(n)an 類的通項公式，當類的通項公式，當f(1)f(2)f(n)f(1)f(2)f(n)的值可以求得時，宜采用此方的值可以求得時，宜采用此方法。法。1nnaqa ( (也稱累乘法、累積法也稱累乘法、累積法 1( )nnaf na 1(1)nnaf na 121121nnnnnaaaaaaaa 1

8、( )(1)(1)f n f nfa 當一個數(shù)列每依次相鄰兩項之商構成一個等比數(shù)列時，就可用累積法進展消元.11 ,1,1.nnnnanaaana 例 已知數(shù)列中例 已知數(shù)列中求數(shù)列的通項公式求數(shù)列的通項公式1321221122 1113 2nnnnnaaaannaaaaannn 22111,(1)0(1,2,3,).nnnnnnananaaana 例例設設是是首首項項為為 的的正正數(shù)數(shù)項項數(shù)數(shù)列列 且且求求的的通通項項公公式式22111(1)01nnnnnnnanaaaanan 由由此題是關于此題是關于anan和和an+1an+1的二次齊次式，可以經(jīng)的二次齊次式，可以經(jīng)過因式分解普通情況時用

9、求根公式得到過因式分解普通情況時用求根公式得到anan與與an+1an+1的更為明顯的關系式，從而求出的更為明顯的關系式，從而求出. .練習、知數(shù)列練習、知數(shù)列 中中 ， ， 求通項公式求通項公式 。na21annnaa31na解：由知 ， ，得： 把1，2，n分別代入上式得： ， ，21annnaa31nnnaa311123aa2233aa113nnnaa把上面n-1條式子左右兩邊同時相乘得： 2)1(33)1(3211nnnnaa2)1(32nnna四、四、Sn法法知數(shù)列的前知數(shù)列的前n項和公式，求通項公式的項和公式，求通項公式的根本方法是：根本方法是：)2() 1(11nssnsannn

10、留意：要先分留意：要先分n=1和和n1 兩種情況分別進展兩種情況分別進展運算，然后驗證能否一致。運算，然后驗證能否一致。例例4知以下兩數(shù)列知以下兩數(shù)列 的前的前n項和項和sn的公式，的公式，求求 的通項公式。的通項公式。1 2nanannsn32212 nsn解： 1 ，當 時 由于 也適宜于此等式 111 sa2n54)1( 3) 1( 2 )32 (221nnnnnssannn1a54 nan2 ，當 時 由于 不適宜于此等式011 sa2n12 1) 1() 1(221nnnssannn1a)2(12) 1(0nnnan 111.1,(2).21nnnnnsaasnsa 例已知數(shù)列的例已

11、知數(shù)列的求求11111:221nnnnnsssss 分析分析1111111,2nsas是首項為 公差為 的等差數(shù)列是首項為 公差為 的等差數(shù)列1 1假設假設c=1c=1時，數(shù)列時，數(shù)列anan為等差數(shù)列為等差數(shù)列; ;2 2假設假設d=0d=0時，數(shù)列時，數(shù)列anan為等比數(shù)列為等比數(shù)列; ;3 3假設假設c1c1且且d0d0時，數(shù)列時，數(shù)列anan為線性遞推數(shù)列，為線性遞推數(shù)列，其通項可經(jīng)過構造輔助數(shù)列來求其通項可經(jīng)過構造輔助數(shù)列來求. .方法方法1 1：待定系數(shù)法：待定系數(shù)法 設設an+1+m=c( an+m),an+1+m=c( an+m),得得an+1=c an+(c-1)m, an+

12、1=c an+(c-1)m, 與題設與題設an+1=c an+d,an+1=c an+d,比較系數(shù)得比較系數(shù)得: (c-1)m=d,: (c-1)m=d,所以有：所以有：m=d/(c-1) m=d/(c-1) 因此數(shù)列因此數(shù)列 構成以構成以 為首項，以為首項，以c c為公比的等為公比的等比數(shù)列，比數(shù)列，五五. .輔助數(shù)列法輔助數(shù)列法這種方法類似于換元法這種方法類似于換元法, , 主要用于形如主要用于形如an+1=can+d an+1=can+d (c0,a1=a)(c0,a1=a)的知遞推關系式求通項公式。的知遞推關系式求通項公式。1()11nnddac acc 1ndac 11dac 11(

13、)11nnddaaccc 11()11nnddaaccc 即即：構造法或待定系數(shù)法構造法或待定系數(shù)法方法2： 方法2： 1,nnacad 當當2 2時時1,nnnacad 兩式相減，得：兩式相減，得：11()nnnnaac aa11nnnnaacaa 2 2數(shù)數(shù)列列是是以以為為首首項項，以以 為為公公比比的的等等比比數(shù)數(shù)列列11nnaaaac 212131221121232212121()()()(1)()nnnnnnnna aa a caaa a ca aa acca aa a ca a a a = =（1211)1nca ac 方法四：歸納、猜測、證明方法四：歸納、猜測、證明. . 先計算

14、出先計算出a1,a2,a3;a1,a2,a3; 再猜測出通項再猜測出通項an;an; 最后用數(shù)學歸納法證明最后用數(shù)學歸納法證明. .1,nnacad 2122()(1)nnnnacadc caddc ad c = =323(1)nc adc c = =1221(1)nnc adc cc = =1()11nddaccc 方法三：迭代法方法三：迭代法 由由 遞推式遞推式直接迭代得直接迭代得例例5.5.知數(shù)列知數(shù)列anan中，中，a1=3,an+1=2an+3,a1=3,an+1=2an+3,求數(shù)列的通項公求數(shù)列的通項公式式解法解法1 1：由：由an+1=2an+3an+1=2an+3得得 an+1

15、+3=2 an+1+3=2an+3an+3所以所以an+3an+3是以是以a1+3a1+3為首項，以為首項，以2 2為公比的為公比的等比數(shù)列，所以等比數(shù)列，所以:an+3=:an+3= a1+3 a1+3 2n-1 2n-1故故an=6an=62n-1-32n-1-3解法解法2 2：由于：由于an+1=2an+3an+1=2an+3，所以，所以n1n1時，時，an=2an-1+3an=2an-1+3，兩式相減，得：，兩式相減，得：an+1 - an=2(an-an-1).an+1 - an=2(an-an-1).故故an-an-1an-an-1是以是以a2-a1=6a2-a1=6為首項，以為首

16、項，以2 2為公比的等比數(shù)為公比的等比數(shù)列列. an-an-1=(a2-a1)2n-1=6. an-an-1=(a2-a1)2n-1=62n-1,2n-1,an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1 =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1) =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1)1111(1)=121(*)1222(1)(*)1212.1nnnnnnnnaaanNaaanNaaa 證證：，是是公公比比為為 的的等等比比數(shù)數(shù)列列111(2)1(1) 222221(*)nnn

17、nnnaaanN 解解： 由由( (1 1) )知知 11 =121(*)+1nnnnaaanNaa 練練習習： 已已知知數(shù)數(shù)列列滿滿足足，(1)(1)求求證證：數(shù)數(shù)列列是是等等比比數(shù)數(shù)列列; ;(2)(2)求求的的通通項項公公式式. . 六、待定系數(shù)法：六、待定系數(shù)法：用待定系數(shù)法解題時，常先假定通項公式或前用待定系數(shù)法解題時，常先假定通項公式或前n項和公式為某一多項式，普通地，假設數(shù)列項和公式為某一多項式，普通地，假設數(shù)列 為等差數(shù)列：那么為等差數(shù)列：那么 ， 或是或是 b、為常數(shù)，、為常數(shù)，假設數(shù)列假設數(shù)列 為為 等比數(shù)列，那么等比數(shù)列，那么 ，或或 。cbnancnbnsn21nnAqa) 1, 0(qAqAAqsnnna例6知數(shù)列 的前n項和為 ， 假設 為等差數(shù)列，求p與 。n