高數(shù)高等數(shù)學(xué)A上復(fù)習(xí)

1、高等數(shù)學(xué)A上冊(cè)資料第一、二章 函數(shù)、極限與連續(xù)第三章 導(dǎo)數(shù)與微分第四章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第五章 不定積分第六章 定積分第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù)第一、二章 函數(shù)、極限與連續(xù)第一講 函數(shù)教學(xué)目的和要求：深刻理解一元函數(shù)的概念，熟悉函數(shù)的幾種特性、運(yùn)算，能熟練作出基本初等函數(shù)的圖形。 知識(shí)點(diǎn)：一元函數(shù)的定義、函數(shù)的特性、函數(shù)的運(yùn)算、基本初等函數(shù)、分段函數(shù)。 重點(diǎn)：一元函數(shù)的定義（著重要強(qiáng)調(diào)自變量與因變量之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系），函數(shù)的幾種特性，基本初等函數(shù)。 難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù) 教學(xué)方式：多媒體，講授 教學(xué)思路：本講實(shí)際上是復(fù)習(xí)中學(xué)有關(guān)一元函數(shù)的內(nèi)容，通過(guò)這一次課，讓學(xué)生對(duì)一元函數(shù)y = f

2、(x)有一個(gè)統(tǒng)一、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，尤其要深刻理解其中x與y之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，熟悉函數(shù)的特性、運(yùn)算、圖形、強(qiáng)調(diào)對(duì)分段函數(shù)的講解，為以后講函數(shù)的連續(xù)、求導(dǎo)做準(zhǔn)備。教學(xué)過(guò)程：一、函數(shù)的概念定義1 設(shè)A、B是兩個(gè)實(shí)數(shù)集，稱映射f: AB為一元函數(shù)，簡(jiǎn)稱函數(shù)，記作其中x稱為自變量，y稱為因變量，f(x)表示函數(shù)f在x處的函數(shù)值，A為f的定義域，記作D(f)、f(A)=y | y= f(x)、xA稱為f的值域，記作R（f）。注意：函數(shù)的兩個(gè)基本要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則，x與y之間必須是單值對(duì)應(yīng)關(guān)系。函數(shù)常用的表示方法：列表法、圖示法、公式法。例1 求函數(shù)的定義域。解：必須滿足條件： 即 得 函數(shù)的定義域?yàn)椋海?/p>

3、1,2）。例2 求函數(shù) 的定義域。解：x必須滿足條件 由 ，解之得由，當(dāng)，即時(shí)，變?yōu)?，無(wú)解。當(dāng) ，即 時(shí)，變?yōu)椋庵茫?函數(shù)的定義域?yàn)椋悍侄魏瘮?shù)：在定義域的不同子集上用不同的表達(dá)式來(lái)表示對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)。例3 符號(hào)函數(shù)例4 取整函數(shù)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)。 如：-3.2= -4 3.55=3 例5 例6 即例7 設(shè)解：略通過(guò)分段函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步理解函數(shù)的概念，擴(kuò)大學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)的范圍，為以后講解函數(shù)的連續(xù)性創(chuàng)造條件。二、函數(shù)的圖形定義2 稱集合為函數(shù)f的圖形，記為G(f)。函數(shù)f的圖形是坐標(biāo)平面上一些特定點(diǎn)（x,y）的集合。注意：與x軸垂直的直線與函數(shù)曲線最多只能有一個(gè)交點(diǎn)。三、函數(shù)的幾種特性

4、1函數(shù)的有界性 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，數(shù)集，如果存在正數(shù)M，使對(duì)于任意都有則稱函數(shù)在集X上有界，否則稱在X上無(wú)界。2函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，區(qū)間，若對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，有，或，則分別稱是區(qū)間I上的單調(diào)增加函數(shù)或單調(diào)減少函數(shù)。單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。3函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果對(duì)于任意，都有，則稱為奇函數(shù)；如果對(duì)于任意都有，則稱為偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)橐苍趫D形上。同理可以說(shuō)明偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對(duì)稱。4函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)不為零的數(shù)T，使得對(duì)于任意，有，且則稱為周期函數(shù)，T稱為周期。若T是的周期，則也是的周期，周期中的

5、最小正值稱為最小正周期，通常周期均指最小正周期，如，。例8 證明下列函數(shù)在所示區(qū)間內(nèi)有界1） 2） 證明 1）只要證明在上是單調(diào)的，則有界。 設(shè) ，則而 ，有于是 由于 所以 即 在上是單調(diào)的或因而有界。 2）因，則 設(shè) ，則，故 。 所以 或有界例9 討論函數(shù)的奇偶性。解：函數(shù)的定義域 因 所以，是上的奇函數(shù)。例10 試證 是奇函數(shù)證明： 設(shè)，則，由于設(shè) ，則，由于又 ，于是對(duì)于任何，都有，從而是奇函數(shù)。例11 函數(shù)是否為周期函數(shù)，如果是確定其最小正周期。解：對(duì)任何x，存在整數(shù)n，使，則 。當(dāng)T為整數(shù)時(shí)，由于，故 ，于是有是周期函數(shù)，最小正周期為1。四、函數(shù)的運(yùn)算 1函數(shù)的四則運(yùn)算 設(shè)f,

6、g是定義域分別為的函數(shù)，定義f, g的和、差、積、商如下： 且 特別地 ，稱為f與的數(shù)。 2復(fù)合函數(shù)定義3 設(shè)有兩個(gè)函數(shù)和，如果函數(shù)將集合映入，函數(shù)將集合映入，若，則得到了一個(gè)從到的一個(gè)新的函數(shù)，也稱為由函數(shù)和復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作，稱為中間變量。例12 設(shè)，求復(fù)合函數(shù)。解：由于可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，反之可否構(gòu)成，不可定義4 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閒(D)，則對(duì)于任一，必有唯一的使，從而確定了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù)，記作它的定義域是f(D)，值域是D。注意：是單值對(duì)應(yīng)的，但其反對(duì)應(yīng)關(guān)系不一定是單值的，從而不一定能構(gòu)成單值函數(shù)。如：，函數(shù)與的定義域與值域是互換的，因而在xoy面上

7、圖形相同，習(xí)慣上用表示的反函數(shù)，若點(diǎn)P（a, b）在的圖形上，則Q（b, a）就在其反函數(shù)的圖形上，反之亦然。而P（a, b）與Q（b, a）是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的，從而y = f(x)與其反函數(shù)的圖形是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。五、基本初等函數(shù) 常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)這六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。 1見(jiàn)教材即可注意：對(duì)這些函數(shù)的定義式、定義域、值域、圖形及相關(guān)的性質(zhì)要了如指掌。六、初等函數(shù)定義5 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算與有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。注意：一般地、分段函數(shù)不是初等函數(shù) 但：是初等函數(shù)我們所討論的函數(shù)一般都是

8、初等函數(shù)，如：，等雙曲函數(shù)：見(jiàn)教材反雙曲函數(shù)：見(jiàn)教材小結(jié)：抽象地講，一元函數(shù)就是討論兩個(gè)變量x與y之間的一種動(dòng)態(tài)關(guān)系，不過(guò)要求x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系是單值的，與其相關(guān)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性都會(huì)在這一動(dòng)態(tài)過(guò)程中得到體現(xiàn)。推而廣之，世界上的萬(wàn)事萬(wàn)物如果可以量化的話，不都可看成以時(shí)間為自變量的函數(shù)嗎？因?yàn)樗鼈兌际请S時(shí)間的變化而變化的。第二講 極限（一）教學(xué)目的和要求：深刻理解數(shù)列極限的定義，掌握數(shù)列極限的性質(zhì)，深刻理解x無(wú)限增大時(shí)函數(shù)極限的定義。知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列極限的定義，數(shù)列極限的性質(zhì)，x無(wú)限增大時(shí)函數(shù)極限的定義。重點(diǎn)：兩個(gè)定義及數(shù)列極限的性質(zhì)難點(diǎn)：x無(wú)限增大時(shí)函數(shù)極限的定義教學(xué)方式：多媒體，講授

9、教學(xué)思路：通過(guò)數(shù)列的實(shí)例的變化趨勢(shì)引入數(shù)列極限的定義，著重解釋如何用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)對(duì)“無(wú)限增大”，“無(wú)限接近”這些直觀的描述，再由數(shù)列極限的定義推廣到x無(wú)限增大時(shí)函數(shù)的極限教學(xué)過(guò)程：一、數(shù)列極限的概念 以自然數(shù)為自變量的函數(shù)的函數(shù)值按自然數(shù)的順序排列起來(lái)，就構(gòu)成一個(gè)數(shù)列。，簡(jiǎn)記為，xn為通項(xiàng)。例如 1） 2） 3） 4） 5）將這些數(shù)列的若干項(xiàng)表示在數(shù)軸上，當(dāng)時(shí)，觀察它們的變化規(guī)律，會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)限增大，無(wú)限接近于0，、無(wú)限接近于1，變化趨勢(shì)不確定。1234如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限接近某個(gè)確定的常數(shù)a，則稱xn以a為極限，或稱xn收斂于a，記為：以（3）為例，當(dāng)時(shí)，的各項(xiàng)無(wú)限接近于1，也就

10、是說(shuō)，隨著n的增大，數(shù)列各項(xiàng)與1之差的絕對(duì)值（即點(diǎn)與1的距離）就可以越來(lái)越小，任意小，要多小有多小，可以小于任意給定的正數(shù)。就是說(shuō)，對(duì)于任意給定的正數(shù)，不論它有多么小，只要n足夠大，都可以使，換句話說(shuō)，只要存在正整數(shù)N，對(duì)于nN的所有項(xiàng)都滿足不等式就行了。 如：取，要使，即，得，取N=100，當(dāng)nN時(shí)，就一定有。也就是說(shuō)該數(shù)列從第101項(xiàng)開(kāi)始，后面所有的各項(xiàng)與1的距離都小于0.01。再取定義1 設(shè)有數(shù)列，若存在一個(gè)常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)，有成立，則稱數(shù)列存在極限，并稱a為的極限記作 或。此時(shí)，也稱數(shù)列收斂于a，或?yàn)槭諗繑?shù)列，否則稱數(shù)列為發(fā)散數(shù)列

11、。 上述定義用邏輯符號(hào)表述為：，使得當(dāng)nN時(shí)，恒有，則稱a為數(shù)列的極限。注意：定義中，正數(shù)是任意給定的可以充分小，它刻畫了xn接近于a的程度，正整數(shù)N與有關(guān)，用nN刻畫n足夠大，它是保證成立的條件，對(duì)于一個(gè)給定的，N不是唯一的。以a為極限的幾何意義：對(duì)于數(shù)軸上的點(diǎn)a的任意給定的鄰域，總存在自然數(shù)N，使得點(diǎn)列從第N+1項(xiàng)起所有的點(diǎn)：，都落在之內(nèi)，而在此鄰域之外至多只有的有限項(xiàng)，因此可知，數(shù)列的收斂性與它的前有限項(xiàng)無(wú)關(guān)。例1 用數(shù)列極限的定義證明：證明：分析 利用N定義證明關(guān)鍵是對(duì)，視n為未知數(shù)，通過(guò)不易解出n，可設(shè)法將適當(dāng)放大為，然后由，解出，再取，因 ，要使 ，即要或，所以，對(duì)，取，則當(dāng)nN時(shí)

12、，有： 。例2 用數(shù)列極限的定義證明，證明：因 ，而 。所以，要使 ，只要，即 ，于是，對(duì)，取當(dāng) nN時(shí)，恒有成立。 。例3 用“”語(yǔ)言證明：證明：因 而 于是 ，要使 ，只要，即 所以，對(duì)，取，當(dāng)nN時(shí)，恒有 成立。 例4 用“”語(yǔ)言證明：證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立。 現(xiàn)設(shè) ，因，要使 ，取對(duì)數(shù)得：即 （不妨設(shè)）。所以，取，當(dāng)nN時(shí)，恒有 。 。二、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1 （極限的唯一性），收斂數(shù)列的極限是唯一的證明： 用反證法，如果，且a N2時(shí) 有 取 ，當(dāng)n N時(shí)，上兩不等式都成立 于是有 。 矛盾，假設(shè)不成立，定理成立。 設(shè)數(shù)列xn，若，使得當(dāng)恒有，則稱xn有上界L。類似可定義xn有下界

13、。若xn既有上界，也有下界，則稱xn是有界的，否則稱xn無(wú)界。定理2 （收斂數(shù)列的有界性），如果數(shù)列收斂，則數(shù)列必有界。證明：設(shè) ，則對(duì)于，存在正整數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)， 有 ，從而 取 ，當(dāng)時(shí)都有 數(shù)列xn有界。注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件，不是充分條件，也就是說(shuō)有界數(shù)列不一定收斂，如數(shù)列，有界但不收斂，若數(shù)列xn無(wú)界，必發(fā)散，如數(shù)列無(wú)界，因而發(fā)散。子數(shù)列的概念：在數(shù)列xn中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列xn中的先后次序，這樣得到的數(shù)列稱為原數(shù)列xn的子數(shù)列（子列）。 如xn中取出。定理3 （收斂數(shù)列與子數(shù)列間的關(guān)系），如果數(shù)列xn收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a。 證明

14、：設(shè)數(shù)列是數(shù)列xn的任一子數(shù)列， 由于 ，均對(duì)于，當(dāng)nN時(shí) 恒有 成立。 取K=N，則當(dāng)時(shí)， 于是 成立 。 注意：如果子數(shù)列收斂，但原數(shù)列xn不一定收斂，如思考題：獵狗的奔跑速度為10m/s，兔子的奔跑速度為 5m/s，獵狗沿直線追趕兔子，兔子提前一秒鐘開(kāi)始跑，如圖，當(dāng)兔子跑到B點(diǎn)時(shí)，狗追到A點(diǎn)，當(dāng)兔子跑到C點(diǎn)時(shí)，獵狗追到B點(diǎn)，這樣追下去，似乎獵狗永遠(yuǎn)也追不到兔子，為何？三、自變量x無(wú)限增大時(shí)函數(shù)的極限 x無(wú)限增大包括三種情況：。 如果在的過(guò)程中，函數(shù)值無(wú)限地接近于確定的常數(shù)A，則A就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限。定義2 設(shè)f: 是一函數(shù)，其中 ，若存在常數(shù)，滿足關(guān)系：，使得當(dāng)時(shí)，恒有。那么稱A是f(

15、x)當(dāng)時(shí)的極限，記作或這時(shí)，我們說(shuō)，當(dāng)時(shí)，f(x)極限存在。當(dāng)時(shí)，定義中的改為就可得的定義當(dāng)時(shí)，定義中改為就可得的定義定義的幾何意義：對(duì)，總能在x軸上找到一點(diǎn)X，使得函數(shù)的圖形在直線右邊的部分與直線左邊的部分位于平面帶形內(nèi)定理4 證明：必要性 設(shè) ，由定義可知： 對(duì)于 ，當(dāng)時(shí)，即當(dāng) 或時(shí) 充分性，設(shè) 對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 對(duì)于，當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)時(shí)恒有 成立 。例5 證明：因 要使 ，只要 ，即 于是對(duì)于，取，當(dāng)時(shí)，就有 成立 小結(jié)：數(shù)列的極限實(shí)際上是一元函數(shù)當(dāng)自變量無(wú)限增大時(shí)極限的一種特殊情形，數(shù)列極限是自變量n“離散地”取正整數(shù)無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)。而一元函數(shù)當(dāng)自變量無(wú)限增大時(shí)的極限是自變量x“

16、連續(xù)地”取實(shí)數(shù)無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)，一個(gè)是“離散變量”，一個(gè)是“連續(xù)變量”。第三講 極限（二）教學(xué)目的和要求：深刻理解函數(shù)極限的定義，掌握用定義證明函數(shù)極限的方法、熟悉函數(shù)極限的性質(zhì)。知識(shí)點(diǎn)：定義，函數(shù)極限的性質(zhì)重點(diǎn)：定義難點(diǎn)：定義，用定義證明函數(shù)的極限教學(xué)方式：多媒體，講授教學(xué)思路：利用函數(shù)極限的幾何意義，詳細(xì)、形象、深刻地講解定義，適當(dāng)?shù)卦黾佑枚x證明函數(shù)極限的例題，讓學(xué)生熟練地掌握用定義證明極限的方法。教學(xué)過(guò)程：一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限x趨于有三種情況：x從的右側(cè)趨于，即為；x從左側(cè)趨于x0，記為；x從左、右趨于x0，記作。如果在的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于確定的數(shù)值

17、A，那么A叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限。在的過(guò)程中，無(wú)限接近于A，就是能任意小，要多小有多小，可小于任意給定的正數(shù)，即，而無(wú)限接近A是在的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的，所以對(duì)于任意給定的正數(shù)，只要充分接近于的x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)滿足不等式即可。而充分接近的x可表示為，其中是某個(gè)正數(shù)。適合不等式的全體x，就是的去心鄰域，則體現(xiàn)了x與的接近程度。定義1 設(shè)：是一函數(shù)，若存在一個(gè)常，滿足關(guān)系：，使得當(dāng)時(shí)，恒有 則稱A是當(dāng)時(shí)的極限，記作或此時(shí)，也稱當(dāng)時(shí)，存在極限。注意：在時(shí)的極限只與在的去心鄰域的值有關(guān)，與在處是否有定義或在處的值的大小無(wú)關(guān)。因?yàn)闃O限是考慮時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)，與在處的狀態(tài)無(wú)關(guān)。幾何意義：對(duì)于任意給定的，總能找到一個(gè)，

18、使得函數(shù)f的圖形在寬為2的豎直帶形內(nèi)的部分全落在長(zhǎng)方形內(nèi).例1 證明（C為常數(shù)）證明：因，對(duì)于，可任取一正數(shù)（此處與無(wú)關(guān)），當(dāng)時(shí)，能使不等式 成立。例2 證明證明：因 要使對(duì)于，取，當(dāng)時(shí)，就有不等式 成立例3 證明。證明：因，要使，即要對(duì)于，即，當(dāng)時(shí)，就有不等式 成立。分析：用定義驗(yàn)證的關(guān)鍵是對(duì)于任給，在不等式中視為未知數(shù)，從中解出，取即可。如從不等式中不易解出可設(shè)法將適當(dāng)放大為，再?gòu)闹薪獬?，再取即可。? 證明：當(dāng)時(shí)，。證明：因要使只要或，且，而可用得證。對(duì)于，即，當(dāng)時(shí)，不等式：成立，例5 證明證明：因，而，可限定，則，于是得到放大的不等式要使，只要，即，于是對(duì)于，取，當(dāng)時(shí)，就有 成立，。例

19、6 證明證明：因，而，可限定，即，則，于是得到放大的不等式：要使，只要，即。于是對(duì)于，取，當(dāng)時(shí)就有 ，。例7 證明。證明：因，而，可限定，則，（因）于是得到放大的不等式要使，只要，即，于是對(duì)于，取，當(dāng)時(shí)，就有 成立，。類似可以定義，時(shí)函數(shù)的極限：設(shè)函數(shù)：常數(shù)），若存在數(shù)，滿足關(guān)系：，使得當(dāng)時(shí)恒有 則稱A為當(dāng)?shù)淖髽O限，記作或同樣可定義當(dāng)?shù)挠覙O限，記作或定理1 注意：時(shí)，的極限為A的充要條件是的左、右極限存在并且相等，如果左、右極限有一個(gè)不存在，或都存在但不相等，則不存在。例8 設(shè)， 證明不存在。證明：因?yàn)?故不存在。思考題：設(shè)， 是否存在？與是否有關(guān)系？在函數(shù)極限不存在的情況中，有一種比較特別：

20、設(shè)：是任一函數(shù)，若，使得當(dāng)時(shí)，恒有 則稱當(dāng)時(shí)，的極限為無(wú)窮大，記作或類似地，有和等。二、函數(shù)極限的性質(zhì)：定理2 若存在，則極限唯一。證明：依照數(shù)列極限唯一性的證明方法。定理3 （局部有界性）若存在，則與，使得都有。證明：設(shè)，由極限定義，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，有從而，。定理4 （局部保界性）如果，且（或），則，當(dāng)時(shí)，有（或）。證明：設(shè)，取正數(shù)，由的定義，對(duì)于此，當(dāng)時(shí)，不等式 即 成立。故 。類似可證明的情形。定理5 （局部保序性）若，當(dāng)時(shí)，且，那么。證明：反證法，設(shè)，取則，當(dāng)時(shí)，有 有 有 矛盾。小結(jié)：極限的作用就是描述因變量y隨自變量x在一定的變化過(guò)程中的終極狀態(tài)（或變化趨勢(shì)），它是分析數(shù)學(xué)中最基本的概

21、念之一，是研究若干數(shù)學(xué)問(wèn)題最基本的方法之一，極限概念的理解對(duì)后面學(xué)習(xí)函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、積分都是至關(guān)重要的。第四講 極限的運(yùn)算法則教學(xué)目的和要求：熟練掌握極限的運(yùn)算法則，以及極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，進(jìn)一步熟練用定義證明極限存在的方法。知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)及數(shù)列極限的運(yùn)算法則，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則。重點(diǎn)：函數(shù)極限的運(yùn)算法則，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則。難點(diǎn)：極限的運(yùn)算。教學(xué)方式：多媒體、講授教學(xué)思路：通過(guò)對(duì)極限四則運(yùn)算法則的證明進(jìn)一步熟悉用“定義”證明極限存在，通過(guò)一些典型例題的計(jì)算盡可能多地掌握函數(shù)極限的計(jì)算方法以及兩個(gè)準(zhǔn)則的運(yùn)用。教學(xué)過(guò)程：定理1 （四則運(yùn)算法則）設(shè)，則1）2）3）此定理對(duì)于等情形也成立。證

22、明：2）因 由，對(duì)于正數(shù)，存在，當(dāng)時(shí)，有 又 ，對(duì)于正數(shù)M，及，存在，當(dāng) 時(shí)有 。取，當(dāng)時(shí)，上述三個(gè)不等式同時(shí)成立于是 。3）因?qū)τ谡龜?shù)，存在，當(dāng)時(shí)，有，即 ，在內(nèi)有界。設(shè) ，對(duì)于正數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，從而 再由（2）可知，定理2 （復(fù)合運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)的極限存在且等于，又，則復(fù)合函數(shù)，當(dāng)時(shí)的極限也存在，且。證明：因?yàn)椋?，使得?dāng)時(shí)，恒有 又由于 ，故對(duì)于上式的，使得當(dāng)時(shí)，恒有 設(shè)在的的心領(lǐng)域內(nèi)，取，則當(dāng)時(shí)恒有 ，即，從而有。定理表明：求可通過(guò)變量代換求，化為求的極限問(wèn)題。例1 求。解：原式例2 求解：原式一般地對(duì)于多項(xiàng)式，則。有理函數(shù)：有 如果，則不能用法則。例3 求解：當(dāng)時(shí)，分子、分母的

23、極限為零，不能用運(yùn)算法則，對(duì)這類極限通常是將函數(shù)式作適當(dāng)變形，消去分子、分母中趨于零的因式后，再用運(yùn)算法則。原式例4 求解：（略）以上兩例中的極限式稱為型的未定式。例5 求解：當(dāng)時(shí)，分子、分母的極限都是，不可用運(yùn)算法則，以除分子、分母就可以了。原式。例6 求解：（略）例7 求解：原式。此例中的極限式稱為型未定式，可化為型未定式。例8 求解：由極限的復(fù)合運(yùn)算法則，設(shè) 關(guān)于數(shù)列，也有類似的極限運(yùn)算法則。定理3 設(shè)，則1）2）3） 例9 求。解： 。極限的運(yùn)算法則提供了求極限的方法，但前提是極限存在，而且需要利用一些已知極限的結(jié)果。極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：準(zhǔn)則I（夾逼原理）如果數(shù)列、及滿足下列條件：1）

24、2），那么數(shù)列的極限存在，且。證明：因?yàn)椋蓴?shù)列極限的定義有，當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有，取 ，則當(dāng)時(shí)，有，同時(shí)成立。又 ，當(dāng)時(shí)，有 ，即 。于是 。上述準(zhǔn)則對(duì)函數(shù)也成立。準(zhǔn)則I（夾逼原理）如果1）當(dāng)時(shí)，有成立2），那么：存在，且等于A。準(zhǔn)則 （單調(diào)有界準(zhǔn)則）單調(diào)增加（減少）有上（下）界的數(shù)列必定收斂。單調(diào)增加數(shù)列： 單調(diào)減少數(shù)列： 單調(diào)增加、單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。我們知道：收斂數(shù)列一定有界，但有界數(shù)列不一定收斂。準(zhǔn)則表明：如果數(shù)列不僅有界，而且是單調(diào)的，則數(shù)列的極限存在，也就是說(shuō)數(shù)列一定收斂。例10 計(jì)算下列極限1） 2）解：1）因 而 有 又 ，由夾逼原理 。2）因 而 ，。例11 證明數(shù)列

25、收斂，并求其極限。證明：先證明其單調(diào)性（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)時(shí)，有，設(shè)當(dāng)時(shí)，有，則 ，即當(dāng) 時(shí)，有 。所以，對(duì)一切自然數(shù)，故數(shù)列是單調(diào)增加的，再證其有界（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)時(shí)，設(shè)， 則 。所以，對(duì)一切自然數(shù)n，都有，故數(shù)列有上界2。根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，存在。設(shè) ，由 ，當(dāng)時(shí)，兩邊求極限得 解之得：， 顯然，不能為負(fù)。思考題：1）求 2）小結(jié)：直接用運(yùn)算法則和準(zhǔn)則求極限一般較容易，難點(diǎn)在于對(duì)函數(shù)式的變形，為了達(dá)到好的學(xué)習(xí)效果，務(wù)必要有針對(duì)性地做適量的練習(xí)，通過(guò)練習(xí)歸納、總結(jié)行之有效的方法，熟練法則、準(zhǔn)則的運(yùn)用。第五講 兩個(gè)重要極限教學(xué)目的和要求：深刻理解兩個(gè)重要極限的意義，能熟練運(yùn)用兩個(gè)重要極限的結(jié)果，求解

26、與之相關(guān)的極限問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)：兩個(gè)重要極限。重點(diǎn)：兩個(gè)重要極限。難點(diǎn)：的證明。教學(xué)方式：多媒體、講授。教學(xué)思路：通過(guò)兩個(gè)重要極限的證明，加深對(duì)它們的理解。在與之相關(guān)的例題與練習(xí)之中，進(jìn)一步熟練運(yùn)算法則、準(zhǔn)則的運(yùn)用，解題力爭(zhēng)做到簡(jiǎn)潔、明了。教學(xué)過(guò)程： 一、證明：設(shè)，作單位圓，由圖可知：的面積扇形AOB面積0，則稱是關(guān)于的k階無(wú)窮小。例6 當(dāng)時(shí)，比較下列無(wú)窮小的階。1） 2）3） 4）解：2）由于所以，當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，即類似可得（1）、（3）、（4）：當(dāng)時(shí)，。例7 設(shè)，求A，使當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小。解：因 而 ，所以取，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，例8 證明當(dāng)時(shí)，證明：令，則，當(dāng)時(shí)，于是 當(dāng)時(shí)，例9 證明當(dāng)

27、時(shí)，證明：因?yàn)?當(dāng)時(shí)，定理6 與是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件是：因此 。證明：必要性： 設(shè)則因此 即：充分性： 設(shè) 則因此 定理7 設(shè)，且存在，則 也存在，且=。證明 = =此定理稱為等價(jià)無(wú)窮小的替換定理。例10 求 解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以 例11 求解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故 原式=例12 求 解：因?yàn)楫?dāng) 時(shí)，故 原式=注意：等價(jià)替換只能對(duì)分子分母中的無(wú)窮小因子進(jìn)行，而 小結(jié)：無(wú)窮小，無(wú)窮大都是變量，是自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù)值的兩種變化趨勢(shì)，對(duì)他們的認(rèn)識(shí)一定要有動(dòng)態(tài)的眼光。第八講 習(xí)題課教學(xué)目的與要求：加強(qiáng)對(duì)本部分內(nèi)容全局性的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)基本概念的認(rèn)識(shí)和理解，進(jìn)一步熟練極限的運(yùn)算，間斷點(diǎn)的判別。知識(shí)點(diǎn)

28、：函數(shù)，極限，連續(xù)重點(diǎn)：極限，連續(xù)難點(diǎn)：極限的運(yùn)算教學(xué)方式：多媒體，講授，課堂練習(xí)教學(xué)思路：用框圖對(duì)本部分內(nèi)容作一概述，使學(xué)生對(duì)內(nèi)容的條理更加明確，列舉一些綜合性較強(qiáng)的例題，加強(qiáng)極限的運(yùn)算，間斷點(diǎn)的判別，以及對(duì)函數(shù)連續(xù)性的認(rèn)識(shí)。教學(xué)過(guò)程：一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、舉例例1 設(shè)， 1）求 及其定義域；2）可以復(fù)合成形如的函數(shù)嗎？解：1）因的定義域是（），值域是（），而的定義域是（），的值域在的定義域內(nèi)，故有意義，因而即 。從上式看出的定義域是（）。2）由于的值域是，的定義域是，它們無(wú)公共部分，不能復(fù)合成形如的函數(shù)。例2 試證函數(shù)沒(méi)有周期。證明：反證法 設(shè)的周期為T，由 有即 。取 ，得 ，從而 矛盾。例

29、3 設(shè) 且 求 。解：由已知，有， 即例4 ：判定函數(shù) 的奇偶性。解：，是偶函數(shù)。例5 求。解：原式=。例6 求。解： 因?yàn)?。故 原式=。例7 設(shè) 試證：存在，并求此極限值。解：由已知 且 即 設(shè) 則 所以 是單調(diào)增加的，又從而有上界，根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，存在。令，則有 即 解得：，而 ，。思考題：設(shè) ，且，證明存在，并求此極限。提示：用歸納法證明單調(diào)減少，且有下界。例8： 求解：原式=，例9 求 例10 求解：原式=當(dāng) 時(shí)，原式= 。當(dāng)時(shí)，原式= 不存在。例11 求 例12 求 例13 求解：當(dāng) 時(shí)，所以。思考題：求 。例14 解：當(dāng)時(shí)，原式=。例15. 討論函數(shù)的連續(xù)性，并判斷間斷點(diǎn)的類型

30、。解：顯然的間斷點(diǎn)為（）及，在（，）內(nèi)其余的點(diǎn)都連續(xù)。而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故 ，是第一類（可去）間斷點(diǎn)。當(dāng)（）時(shí)，故 是第二類（無(wú)窮）間斷點(diǎn)。例16討論函數(shù)的連續(xù)性。解：當(dāng)時(shí)， 是的第二類（無(wú)窮）間斷點(diǎn)。當(dāng)時(shí)， 是的第一類（跳躍）間斷點(diǎn)。于是在（，0） （0，1） （1，）上是連續(xù)的。例17討論函數(shù)的連續(xù)性，并判斷間斷點(diǎn)的類型。解，若， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， ，0是的第一類間斷點(diǎn)，其中是可去間斷點(diǎn)，是跳躍間斷點(diǎn)。在（，-1），（-1，0），（0，1），（1，）上連續(xù)。思考題：求的間斷點(diǎn)，并指出類型。提示：，。小結(jié)：函數(shù)是研究變量間的關(guān)系，而極限是討論變量的變化趨勢(shì)，連續(xù)是討論變量的變化狀態(tài)，對(duì)這些概

31、念的認(rèn)識(shí)一定要用動(dòng)態(tài)的方法，要有大局觀。第三章 導(dǎo)數(shù)與微分第一講 導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目的與要求：1、掌握導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的極限表示的各種形式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義。2、知道可導(dǎo)與連續(xù)間的關(guān)系。3、熟記8個(gè)簡(jiǎn)單初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，并會(huì)應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的物理、幾何意義，導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系，8個(gè)初等函數(shù)的求導(dǎo)公式。重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義，及它的幾種極限表示式難點(diǎn)：分段函數(shù)的可導(dǎo)問(wèn)題教學(xué)方式：講授為主教學(xué)思路：從引例出發(fā)引出導(dǎo)數(shù)概念，明確指出導(dǎo)數(shù)的幾種極限形式，左、右導(dǎo)數(shù)的表示式，以加深對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念的理解。例題以加深導(dǎo)數(shù)定義的題目為主，求導(dǎo)例題等為輔，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題為輔。教學(xué)過(guò)程：一、導(dǎo)數(shù)的定義引例

32、1：直線運(yùn)動(dòng)的速度一汽車一天行車8小時(shí)，走了240公里，平均每小時(shí)走30公里，但這僅是平均速度，8小時(shí)期間，有時(shí)速度超過(guò)30公里，但有時(shí)會(huì)小于30公里。我們現(xiàn)在關(guān)心瞬時(shí)速度。設(shè)物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，已知位移隨時(shí)間變化規(guī)律為S=S（t），當(dāng)時(shí)間從t0t0+t，物體在t時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的距離為：但這段時(shí)間里平均速度為：但當(dāng)t很小時(shí)，t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度應(yīng)有：且t越小近似程度越好，于是規(guī)定引例2： 平面曲線的切線的斜率設(shè)C是一條連續(xù)的平面曲線y=f(x)（如圖）如何定義曲線在M(x0,y0)處的切線，其斜率為多少？設(shè)想在曲線C上任取一點(diǎn)N(x0+x，f(x0+x)作割線MN，當(dāng)x0時(shí)，點(diǎn)N沿曲線C趨向M，割

33、線MN在轉(zhuǎn)動(dòng)，繞點(diǎn)是M點(diǎn)，它的根限位置在MT，定義MT為曲線C在點(diǎn)M處的切線，因此當(dāng)x0割線MN的斜率趨向于切線MT的斜率k，因此以上兩個(gè)引例顯然屬于兩個(gè)不同的領(lǐng)域，一個(gè)是物理問(wèn)題，一個(gè)是數(shù)學(xué)問(wèn)題，但解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)型式卻一樣，都是用函數(shù)的改變量除以自變量的改變量在自變量的改變量趨于零過(guò)程中的極限值來(lái)表示，抽象成數(shù)學(xué)概念。定義1：設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義，在鄰域內(nèi)自變量x0有增量x，相應(yīng)地函數(shù)有增量y=f(x0+x)-f(x0)，若 （1）存在，則稱函數(shù)f(x)在x0 可導(dǎo)，并稱此極限為f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作，否則極限不存在，則稱f在x0不可導(dǎo)，若為，則稱f在x0處導(dǎo)

34、數(shù)為無(wú)窮大，記作。關(guān)于定義：1若f(x)在x0處可導(dǎo)，即差商極限式（1）極限存在，故可導(dǎo)的充要條件是差商式左、右極限存在且相等，于是定義分別稱為f(x)在x0處的左、右導(dǎo)數(shù)，因此就有：“f(x)在x0可導(dǎo) f(x)在x0的左、右導(dǎo)數(shù)存在，且”2導(dǎo)數(shù)的幾種極限表式：設(shè)f(x)在x0的鄰域U(x0)有定義，可導(dǎo)的定義有： （1） （2）特別當(dāng) 或 （3）3y=f(x)在區(qū)間I上每一點(diǎn)都可導(dǎo)，此時(shí)都有存在，這樣 為I上的新函數(shù)，叫f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且二、幾個(gè)求導(dǎo)公式（1） （C為常數(shù)）（2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 證：（1） （2）當(dāng)a=e有（4）當(dāng)a=e 類似 例1 研究函數(shù)在x=0處的可導(dǎo)性。解：所以 ，故f(x)在x=0不可導(dǎo)。（但f(x)在x=0處連續(xù)）。例2研究函數(shù)在x=0處的可導(dǎo)性。解：因?yàn)樗?從f(x)的圖象看在點(diǎn)（0，0）處有切線x=0，因此f(x)在某點(diǎn)x0處存在一定對(duì)應(yīng)f(x)在x0的切線，但f(x)