排列組合問(wèn)題題型方法總結(jié)

1、排列組合問(wèn)題題型方法總結(jié)排列組合常用方法題型總結(jié)【知識(shí)內(nèi)容】1. 基本計(jì)數(shù)原理加法原理分類(lèi)計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它有”類(lèi)辦法， 在第一類(lèi)辦法中有種不同的方法，在第二類(lèi)辦 法中有種方法，在第類(lèi)辦法中有“種不同的方法.那么完成這件事共有 N = + 叫 + +mH 種不 同的方法.又稱加法原理.乘法原理分步計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個(gè) 子步驟，做第一個(gè)步驟有“種不同的方法，做第 二個(gè)步驟有“種不同方法，,做第個(gè)步驟有 叫種不同的方法.那么完成這件事共有 N = 叫X” X. .5”種不同的方法.又稱乘法原理.加法原理與乘法原理的綜合運(yùn)用如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這

2、件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類(lèi) 計(jì)數(shù)原理.如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件審 才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、 組合問(wèn)題的基本思想方法，這兩個(gè)原理十分重要必須認(rèn)真學(xué)好，并正確地靈活加以應(yīng)用.2. 排列與組合排列：一般地，從“個(gè)不同的元素中任取m（m n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列， 叫做從“個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素的一個(gè)排列.（其中被取的對(duì)象叫做元素） 排列數(shù)：從個(gè)不同的元素中取出加伽W”）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同 元素中取出川個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)A

3、：表示.排列數(shù)公式：A；： =”（一 1）（”-2）.（“-? +1）,/eN+ ,并且加 W.全排列：一般地，“個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做“個(gè)不同元素的一個(gè)全排列. 的階乘：正整數(shù)由1到的連乘積，叫作“的階乘，用川表示.規(guī)定：0! = 1組合：一般地，從個(gè)不同元素中，任意取出“I （用W “）個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè) 元素中任取山個(gè)元素的一個(gè)組合.組合數(shù)：從“個(gè)不同元素中，任意取出加個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè) 不同元素中，任意取出加個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)C；表示.組合數(shù)公式：c；y 5 2）（”-川+ 1）=._ 也，心疋N+，并且ml】!（“一】）！組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)仁C

4、； = C：-ra :性質(zhì)2: C：4=C：+C：I（規(guī)定C=l）排列組合綜合問(wèn)題解排列組合問(wèn)題，首先要用好兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類(lèi)還是 分步，是排列還是組合，同時(shí)要掌握一些常見(jiàn)類(lèi)型的排列組合問(wèn)題的解法：1. 特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素； 位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位JL;2. 分類(lèi)分步法：對(duì)于校復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，常需要分類(lèi)討論或分步計(jì)算，一定要做 到分類(lèi)明確，層次清楚，不重不漏.3. 排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.4. 捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先

5、將相鄰的元素“捆成一個(gè)”元素，與其它 元素進(jìn)行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列.5. 插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空.6. 插板法：個(gè)相同元素，分成m（m n）組，每組至少一個(gè)的分組問(wèn)題把個(gè)元 素排成一排，從”-1個(gè)空中選L1個(gè)空，各插一個(gè)隔板，有.7. 分組、分配法：分組問(wèn)題（分成幾堆，無(wú)序）.有等分、不等分、部分等分之別.一 般地平均分成“堆（組），必須除以“！，如果有加堆（組）元素個(gè)數(shù)相等，必須除以 m !8. 錯(cuò)位法：編號(hào)為1至“的個(gè)小球放入編號(hào)為1到“的“個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè) 小球，要求小球與盒子的編號(hào)都不同，這種排列稱為錯(cuò)位排列，特別當(dāng)

6、“ =2, 3, 4, 5 時(shí)的錯(cuò)位數(shù)各為1, 2, 9, 44.關(guān)于5、6、7個(gè)元素的錯(cuò)位排列的計(jì)算，可以用剔除法 轉(zhuǎn)化為2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)元素的錯(cuò)位排列的問(wèn)題.1. 排列與組合應(yīng)用題，主要考查有附加條件的應(yīng)用問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題通常有三種途 徑： 元素分析法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； 位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； 間接法：先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組 合數(shù).求解時(shí)應(yīng)注意先把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問(wèn)題：再通過(guò)分析確定運(yùn)用分類(lèi)計(jì) 數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時(shí)

7、重復(fù)和遺漏；最后列出 式子計(jì)算作答.2. 具體的解題策略有： 對(duì)特殊元素進(jìn)行優(yōu)先安排； 理解題意后進(jìn)行合理和準(zhǔn)確分類(lèi)，分類(lèi)后要驗(yàn)證是否不重不漏； 對(duì)于抽出部分元素進(jìn)行排列的問(wèn)題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重覆； 對(duì)于元素相鄰的條件，采取擁綁法；對(duì)于元素間隔排列的問(wèn)題，采取插空法或隔板法; 順序固定的問(wèn)題用除法處理；分幾排的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為直排問(wèn)題處理； 對(duì)于正面考慮太復(fù)雜的問(wèn)題，可以考慮反面. 對(duì)于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問(wèn)題，需要構(gòu)造模型.【排列組合題型總結(jié)】直掛法勺.特殊元素法例1用1, 2, 3, 4, 5, 6這6個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位 數(shù)各有多少個(gè)(1)數(shù)字1不排在個(gè)

8、位和千位(2)數(shù)字1不在個(gè)位，數(shù)字6不在千位。分析：(1)個(gè)位和千位有5個(gè)數(shù)字可供選擇；，其余2位有四個(gè)可供選擇；，由乘法原理：瑟右=2402.特殊位置法（2）當(dāng)1在千位時(shí)余下三位有=60, 1不在千位時(shí)，千位有種選法，個(gè)位有劃科,余下的有爲(wèi)，共有況A；坷二m2所以總共有192+60=252二 間接法 當(dāng)直接法求解類(lèi)別比校大時(shí)，應(yīng)采用間接法。如上例中（2）可用間接法Eg有五張卡片，它的正反面分別寫(xiě)0與1, 2與3, 4與5, 6與7, 8與9,將它們?nèi)?意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？分析：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)個(gè)，其中o在百位的有個(gè)，這是不合題意的。故共可

9、組成不同的三位教C； x 2 x _cj x 2 x A一彳32Eg三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排女生必須全排在一起有多少種排法（捆綁法）女生必須全分開(kāi)（插空法須排的元素必須相鄰兩端不能排女生兩端不能全排女生如果三個(gè)女生占前排，五個(gè)男生站后排，有多少種不同的排法 插空法當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。例3 在一個(gè)含有8個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目 順序，有多少中插入方法？分析：原有的8個(gè)節(jié)目中含有9個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個(gè)，故有xAio=100中插入方法。捆綁法 當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。1.四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中

10、，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有,2,某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其 中有一所學(xué)校人數(shù)校多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天科的連續(xù)兩天捆綁看成 一天作為一個(gè)整體來(lái)選有；9其余的就是19所學(xué)校選28天進(jìn)行排列）閣板法 名額分配或相同物品的分配問(wèn)題，適宜采閣板用法例5某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由12人組成籃球隊(duì)，這12個(gè)人由8個(gè)班的學(xué)生組成，每班至 少一人，名額分配方案共 種。分析：此例的實(shí)質(zhì)是12個(gè)名額分配給8個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，可在12個(gè)名額種的11個(gè)空當(dāng)中插入7塊閘板，一種插法對(duì)應(yīng)一

11、種名額的分配方式,五平均分推問(wèn)題eg 6本不同的書(shū)按一下方式處理，各有幾種分發(fā)？平均分成三堆，平均分給甲乙丙三人一堆一本，一堆兩本，一對(duì)三本甲得一本，乙得兩本，丙得三本(一種分組對(duì)應(yīng)一種方案一人的一本，一人的兩本，一人的三本分析：1,分出三堆書(shū)(a1,a2) , (a3,a4), (a5, a6)由順序不同可以有心二6種，而C：CC；這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書(shū)平均分成三堆方式有 人； 曰5種2,六本不同的書(shū)，平均分成三堆有x種，平均分給甲乙丙三人就有xAs種C6C4C23, C：C；C； 5, A；C：C；C；合并單元格解決染色問(wèn)題Eg如圖1, 一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地

12、圖著色，要求相鄰區(qū)域不 得使用同一 顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種(以數(shù)字作答)。分析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、4、5.下面分情況討論：(i) 當(dāng)2、4顏色相同且3、5顏色不同時(shí)，將2、4合并成一個(gè)單元格，此時(shí)不同的著色方法相當(dāng)于4個(gè)元素(ii) 當(dāng)2、4顏色不同且3、5顏色相同時(shí)，與情形(i )類(lèi)似同理可得種著色法.(iii) 當(dāng)2、4與3、5分別同色時(shí)，將2、4； 3、5分別合并，這樣僅有三個(gè)單元格Q 3從4種顏色中選3種來(lái)著色這三個(gè)單元格，計(jì)有G A科方法.由加法原理知：不同著色方法共有2=48+24=72 （種）練習(xí)1 (天津卷(文)將3種作物種植12345在如圖的5塊試驗(yàn)田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物, 不同的種植方法共種(以數(shù)字作答)(72)2.某城市中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃6分為個(gè)部分(如圖3),現(xiàn)要栽種4種顏色的 花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種 同一樣顏色的話，不同的栽種方法有 種（以數(shù)字作答）.（120）3. 如圖4,用不同的5種顏色分別為ABCDE五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色, 但同一種顏色