自然數(shù)集基數(shù)理論管理論文

1、自然數(shù)集基數(shù)理論管理論文 摘要:自然數(shù)集擴(kuò)充后,其基數(shù)理論起了相應(yīng)變化,定義與法則都需作調(diào)整以適應(yīng)數(shù)學(xué)教學(xué)與應(yīng)用的需要. 1994年11月國(guó)家技術(shù)監(jiān)督局發(fā)布的中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn),物理科學(xué)和技術(shù)中使用的數(shù)學(xué)符號(hào)中,將自然數(shù)集記為 N=0,1,2,3, 而將原自然數(shù)集稱為非零自然數(shù)集 N+(或N*)=1,2,3,. 自然數(shù)集擴(kuò)充后,文1中的自然數(shù)的基數(shù)理論以及其他一些與自然數(shù)有關(guān)的理論問(wèn)題隨之起變化,這給數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用產(chǎn)生一定影響.為此,我們將自然數(shù)的基數(shù)理論討論如下. 1對(duì)自然數(shù)的來(lái)源的認(rèn)識(shí) 由于自然數(shù)的概念是建立在基數(shù)理論1之上的,基數(shù)是由集合對(duì)等而來(lái).最初人類對(duì)物品的計(jì)數(shù),是將物品與

2、人的手指(腳趾)數(shù)形成映射關(guān)系,物品既然存在“多少”,也就存在“有”或“沒(méi)有”,“沒(méi)有”即可認(rèn)為是空集,其計(jì)數(shù)應(yīng)當(dāng)是零.這就是說(shuō),零與非零自然數(shù)是人類認(rèn)識(shí)同步的客觀現(xiàn)象,而并非是6世紀(jì)才有零的概念.也許這就是將零補(bǔ)充到自然數(shù)集的緣由之一.事實(shí)上,國(guó)外許多文獻(xiàn)和專家早就主張將零作為第一個(gè)自然數(shù). 2自然數(shù)的新概念 自然數(shù)擴(kuò)充后,包含了空集的基數(shù),要去掉原有自然數(shù)定義中“非空”的限制條件,即定義1有限集合的基數(shù)叫做自然數(shù).根據(jù)對(duì)等的概念,可以建立N與N+的一一映射關(guān)系f: N=0,1,2,3,N+=1,2,3,4, 由此可見(jiàn),N與N+有相同的基數(shù),即|N|=|N+|. 3自然數(shù)的四則運(yùn)算 自然數(shù)加

3、法、乘法運(yùn)算義定只要去掉原有定義中的“非空”二字即可,亦即 定義2設(shè)有有限集合A和B,且AB=(A,B分離).若記AB=C,集合A,B,C的基數(shù)分別是a,b和c,那么c叫做a與b的和,記作 a+b=c. a和b叫做加數(shù).求兩個(gè)數(shù)的和的運(yùn)算叫做加法. 定義3設(shè)有m(m1)個(gè)相互對(duì)等,且兩兩分離的有限集合A1,A2,A3,Am,它們的基數(shù)都是n.又設(shè)A=Umi=1Ai,A的基數(shù)記作 a,即有a=n+n+nm個(gè),這個(gè)a就叫做n乘以m的積,記作a=nm,或a=n.m,或a=nm.n稱為被乘數(shù),m稱為乘數(shù).求兩個(gè)數(shù)積的運(yùn)算叫做乘法. 對(duì)于數(shù)0,1,補(bǔ)充義定:n和0的積是0,n和1的積是n,即n.0=0,

4、n.1=1. 在上述定義里,加法、乘法的交換律、結(jié)合律,乘法對(duì)于加法的分配律仍然成立. 關(guān)于減法運(yùn)算的定義,除了去掉“非空”二字外,集合B可以是A本身,即 定義4設(shè)有有限集合A和B,BA,若記A-B=C,且A,B,C的基數(shù)分別記作a,b,c,那么c叫做a,b的差,記作 a-b=c. a叫做被減數(shù),b叫做減數(shù).求兩個(gè)數(shù)差的運(yùn)算叫做減法. 除法是乘法的逆運(yùn)算,在原定義中要限定“除數(shù)非零”即可. 定義5設(shè)a,b(b0)是兩個(gè)自然數(shù),如果存在一個(gè)自然數(shù)c,使得bc=a,那么c叫做a除以b所得的商,記作 ab=c,或ab=c. a稱為被除數(shù),b稱為除數(shù).求兩個(gè)數(shù)商的運(yùn)算叫做除法. 4自然數(shù)的有關(guān)性質(zhì) (

5、1)自然數(shù)的有序性決定了自然數(shù)可以比較大小,即 定義6如果兩個(gè)有限集合A,B的基數(shù)分別為a,b,那么 1當(dāng)AA,AB時(shí),ab; 2當(dāng)BB,AB時(shí),a 3當(dāng)AB時(shí),a=b. 自然數(shù)有反身律:a=a;對(duì)稱律:若a=b,則b=a;傳遞律:若ab,bc,則ac. 自然數(shù)從小到大的排序?yàn)?0,1,2,3,. (2)自然數(shù)的單調(diào)性反映了不等量關(guān)系中的運(yùn)算性質(zhì),擴(kuò)充后的自然數(shù)其單調(diào)性有了局部性改變,即 若ab,則 1a+cb+c; 2當(dāng)c0時(shí),acbc, 當(dāng)c=0時(shí),ac=bc. 對(duì)于與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)論證與原理,應(yīng)隨自然數(shù)擴(kuò)充后作相應(yīng)調(diào)整.如數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟應(yīng)是 1驗(yàn)證n=0時(shí),命題成立; 2假設(shè)n=k-1時(shí)成立,則n=k時(shí)命題成立. 自然數(shù)的其他理論2,本文不再贅述. 參考文獻(xiàn) 1麻紹芯.算術(shù)原理M.武漢:湖北科學(xué)技術(shù)出版社,1993. 2胡炳生.關(guān)于擴(kuò)充自然數(shù)集的幾個(gè)理論問(wèn)題J.數(shù)學(xué)通報(bào),19