《一次函數(shù)》典型例題解析與點(diǎn)評(píng)(共9頁(yè))

1、一次函數(shù)典型例題解析與點(diǎn)評(píng) 一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛、內(nèi)容豐富的課題之一，通過(guò)學(xué)習(xí)一次函數(shù)，可有助于構(gòu)造方程、深入理解函數(shù)的變化，使以后的學(xué)習(xí)、研究更加方便 本專題的基本要求是會(huì)根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；能用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題；會(huì)畫(huà)一次函數(shù)的圖像，并掌握其性質(zhì)，所以我們從一些基礎(chǔ)問(wèn)題、最值問(wèn)題、一次函數(shù)的應(yīng)用、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題和定點(diǎn)問(wèn)題這幾個(gè)方面來(lái)闡述例題已知直線l1：y3x4與直線l2：yx4相交于點(diǎn)A，其中直線l1與x軸交于點(diǎn)C，現(xiàn)沿著x軸將直線l1在x軸以下的部分向上翻折到x軸的上半部，翻折后與直線l2交于點(diǎn)B (1)求射線lCB（不含端點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式及定義域

2、； (2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (3)求ABC的面積【解答】(1)由y3x4知，C（，0） 【技巧】題中所求交點(diǎn)坐標(biāo)是利用兩個(gè)函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組求解，這種情況在“正反比例”中已做強(qiáng)調(diào)而求面積的題目一般是通過(guò)構(gòu)造特殊的圖形，或者利用割補(bǔ)法來(lái)求解 另外，以下知識(shí)點(diǎn)在一些教材需等高中才能講授，作為本書(shū)閱讀者可提前了解 已知兩直線l1：yk1xb1，l2：yk2xb2 (1)若l1l2，則k1k2，或l1、l2兩直線同時(shí)平行y軸；反之亦然 (2)若l1l2，則k1k21，或l1、l2中一條直線斜率為0，一條直線斜率不存在（兩直線分別為平行于x軸，y軸）；反之亦然 在本題中，l1、l2為互相垂直例題2已知

3、abc 0，abc0，b0，c0時(shí)，y1【解答】【技巧】本題考查的是一次函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像所經(jīng)過(guò)的象限判斷出斜率和截距的情況，即ba0，（c）a0；再結(jié)合不等式的性質(zhì)，推出a、b、c的大小，從而得證反過(guò)來(lái)根據(jù)x的取值范圍，再利用函數(shù)圖像也能求出y的取值范圍例題3如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)ykxb(kb0，b0，m是常數(shù))的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，4)，B(a，b)，其中，過(guò)點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為C，過(guò)點(diǎn)B作y軸垂線，垂足為D，連接AD、DC、CB (1)若ABD的面積為4，求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (2)求證：DC平行于AB；(3)當(dāng)ADBC時(shí)，求直線AB的函數(shù)解析式【解答】(1)將點(diǎn)A代入y得：m

4、4，所以y由ABD的面積為4，點(diǎn)B(a，b)代入函數(shù)解析式得方程組：【技巧】注意斜率公式：k；兩點(diǎn)間距離公式：d本題首先用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)關(guān)系式，然后通過(guò)已知條件的面積以及關(guān)于點(diǎn)B的函數(shù)關(guān)系式找到兩個(gè)等量關(guān)系，再構(gòu)造方程組從而解出點(diǎn)B的坐標(biāo)，求證DC與AB的平行，由于在直角坐標(biāo)系中本題完全可撇除通過(guò)平行的判定來(lái)證明，這里我們從直線的斜率上判斷，原因在題1的技巧貼士中已經(jīng)給出第(3)問(wèn)求函數(shù)關(guān)系式，選擇待定系數(shù)法，通過(guò)ADBC，在直角坐標(biāo)系中構(gòu)造直角三角形，通過(guò)求邊的長(zhǎng)度找到等量關(guān)系【點(diǎn)評(píng)】 幾何問(wèn)題是一次函數(shù)中常見(jiàn)的題型，它經(jīng)常以一次函數(shù)的翻折旋轉(zhuǎn)、一次函數(shù)的性質(zhì)定義、由面積求一次函數(shù)

5、解析式等形式出現(xiàn)在解題之前要熟記一次函數(shù)的定義、性質(zhì)、特點(diǎn)等基本知識(shí)，特別是類似一次函數(shù)斜率k0等問(wèn)題對(duì)于翻折旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，還請(qǐng)了解以下內(nèi)容 正因?yàn)槿绱?，題1中l(wèi)1：y3x4關(guān)于x軸對(duì)稱可直接表達(dá)為y3x4，當(dāng)然也可以取l1上一點(diǎn)（2，2），則該點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2，2)，求出經(jīng)點(diǎn)C（，0）與(2，2)的解析式即lBC 這種“取點(diǎn)”方法間接解決了函數(shù)yf(x)關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)yg(x)的求法，即取yf(x)上的一些點(diǎn)，這些點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)比較容易求出，并且這些點(diǎn)都在yg(x)上，有了這些點(diǎn)，利用“待定系數(shù)法”等技巧可以表達(dá)出yg(x) 對(duì)于面積問(wèn)題，通過(guò)題1、題3、題4的講解我們知道，在一次函數(shù)中

6、，要么用割補(bǔ)法，如題1，要么數(shù)形結(jié)合，直接用公式，如題4，以BD為底，ABD的高為4b例題5已知f(x)是一次函數(shù)(1)若ff(x1)4x7，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)若f(1)1，且f(2)2，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式【解答】【技巧】首先設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式為f(x)kxb(k0)，比較左右兩邊的系數(shù)構(gòu)造方程組求解，先設(shè)出一次函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)兩次代換得到一個(gè)新的函數(shù)，再利用兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等構(gòu)造出方程組，從而解出k和b的值，如對(duì)于f(f(x)，現(xiàn)標(biāo)記為f1(f2(x)，先計(jì)算出f2(x)，再將f2(x)視為一個(gè)整體代入f1(x)例題在直角坐標(biāo)系xOy，x軸上的動(dòng)點(diǎn)M(x，0)到定點(diǎn)P(5，5

7、)，Q(2，1)的距離分別為MP和MQ，那么當(dāng)MPMQ取最小值時(shí)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)【解答】如圖所示，作點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q（2，1） 設(shè)直線PQ的解析式為ykxb，將點(diǎn)P(5，5)，Q（2，1）代入解析式得 ，解得k2，b5，則直線PQ的解析式為y2x5 令y0，則x2.5即為所求 下面證明點(diǎn)M(2.5，0)使MPMQ取最小值 在x軸上任取點(diǎn)M，連接MP、MQ、PQ因?yàn)辄c(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，所以x軸為線段QQ的垂直平分線 由此可得MQMQ，因?yàn)镸PMQPQ，兩點(diǎn)間距離線段最短，所以MPMQ的最小值即MPMQ的最小值為PQ 則PQ與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M【技巧】本題關(guān)鍵在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求兩定

8、點(diǎn)距離之和的最小值，即利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，由于點(diǎn)P、點(diǎn)Q分布在x軸的同側(cè)，所以利用對(duì)稱的知識(shí)首先將其中一點(diǎn)Q找到它的對(duì)稱點(diǎn)Q，因?yàn)镸點(diǎn)在x軸上，那么我們可以理解其為直線PQ與x軸的交點(diǎn) 還請(qǐng)注意，找到了M點(diǎn)，還需證明M使MPMQ取最小值，因此本題分兩步：首先找出M，接著證明M即為所求例題設(shè)f(x)mx（1x），其中m0，記f(x)在0x1的最小值為g(m)，求g(m)及其最大值，并作yg(m)的圖像【解答】 所以g(m)在00，所以y隨x的增大而增大，所以當(dāng)x44時(shí)，ymax3820，即生產(chǎn)M型號(hào)的時(shí)裝44套時(shí)，該廠利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3820元【技巧】(1)求解自變量的取值范圍的時(shí)候，

9、我們要運(yùn)用到題設(shè)中所給的條件“兩種型號(hào)的時(shí)裝共用A種布料70米，B種布料52米”，確定出兩個(gè)不等關(guān)系，找出相應(yīng)的范圍，注意不等式是可以取得等號(hào)的(2)通過(guò)5種方案分別計(jì)算求出利潤(rùn)并比較找出最大值，我們發(fā)現(xiàn)利潤(rùn)y與x的函數(shù)關(guān)系為y5x3600(x40，41，42，43，44)，y隨x的增大而增大，因此x取最大值的時(shí)候可以得到y(tǒng)max3820【點(diǎn)評(píng)】 以上5題主要涉及函數(shù)的迭代問(wèn)題、最值問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 迭代問(wèn)題，就是將里面的函數(shù)看成一個(gè)整體代入外面的函數(shù)中，從內(nèi)到外，逐層推算這就要考同學(xué)們對(duì)函數(shù)定義的理解了，將外面函數(shù)中的x用里面函數(shù)的函數(shù)值代替再運(yùn)算就可以了再次強(qiáng)調(diào)對(duì)于f(f(x)的計(jì)算，現(xiàn)

10、標(biāo)記為f1(f2(x)，先計(jì)算出f2(x)，再將f2(x)視為一個(gè)整體代入f1(x)，同理，f1(f2(f3(x)也是如此，從內(nèi)到外，先算f3，再將f3作為整體代入計(jì)算f2，最后將f2作為整體代人f1 最值問(wèn)題分為兩個(gè)方面，一個(gè)是兩點(diǎn)間線段最短另一個(gè)是分段函數(shù)，需要進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)增減性，畫(huà)出函數(shù)圖像，得到在定義域中函數(shù)值取到的最大值或最小值 題6的做法在專題6中還會(huì)出現(xiàn)，至于題7的最值則要在確定g(m)的基礎(chǔ)上才能確定對(duì)于題6，請(qǐng)千萬(wàn)牢記，本題要有兩個(gè)步驟：首先找出M，接著證明M即為所求，第一個(gè)步驟是確定存在性，到底有沒(méi)有滿足條件的M點(diǎn)，第二步則是證明唯一性 而實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，如題8和題

11、9，這兩題是一次函數(shù)與不等式相結(jié)合的應(yīng)用問(wèn)題首先根據(jù)題目中的條件確定出不等關(guān)系，找出相應(yīng)的自變量的范圍，確定出幾種方案，再對(duì)各種方案求出因變量進(jìn)行比較，得出最佳方案例題10 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA12cm，OB6cm點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始沿OA邊向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BO邊向點(diǎn)O以1cm/s的速度移動(dòng)如果點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間(0t6)，則： (1)設(shè)POQ的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)解析式； (2)當(dāng)POQ的面積最大時(shí)，將POQ沿直線PQ翻折后得到PCQ，試判斷點(diǎn)C是否落在直線AB上，并說(shuō)明理由【解答】(1)由題意得，BQtOP，CQ6t

12、，所以yt23t(0t6) (2)已知坐標(biāo)A(12，0)，B(0，6)，所以直線AB為yx6 由(1)得，當(dāng)y取最大值時(shí)，t3，所以CQ3，OP3，即POQ是等腰直角三角形 將POQ沿直線PQ翻折，可得到邊長(zhǎng)為3的正方形OPCQ，得點(diǎn)C坐標(biāo)(3，3)，代入yx6不成立，即點(diǎn)C沒(méi)有落在直線AB上，【技巧】本題是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(1)要求y關(guān)于t的函數(shù)解析式，只要求出OQ、OP的長(zhǎng)度（包含未知數(shù)t）即可；(2)先求出當(dāng)POQ的面積最大時(shí)t的值，從而求得OQ3和OP3，然后不難求出C點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，3)，代入一次函數(shù)yx6即可例題11已知函數(shù)f(x)(m2)x2m3(1)求證：無(wú)論m取何實(shí)數(shù)，這些函數(shù)的

13、圖像恒過(guò)某一定點(diǎn)(2)當(dāng)x在1，2內(nèi)變化時(shí)，y在4，5內(nèi)變化，求實(shí)數(shù)m的值【解答】(1)令yf(x)(m2)x2m3，則有(x2)m2x3y0【技巧】本題是一個(gè)定點(diǎn)問(wèn)題(1)由“無(wú)論m取何實(shí)數(shù)時(shí)，這些函數(shù)的圖像恒過(guò)某一定點(diǎn)”可知，這個(gè)定點(diǎn)與m的取值無(wú)關(guān)所以只需變換一次函數(shù)解析式，把含有m的項(xiàng)合并，轉(zhuǎn)換成amb，其中a0，b0即可(2)對(duì)f(x)(m2)x2m3，還需討論m2的取值范圍，確定一次函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)后，方可利用題設(shè)所給出的x、y范圍的端點(diǎn)值代入一次函數(shù)的解析式，最終求得m【點(diǎn)評(píng)】 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與定點(diǎn)問(wèn)題是一次函數(shù)實(shí)際運(yùn)用中最多也是最實(shí)用的兩類問(wèn)題， 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題就是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)

14、或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開(kāi)放性題目解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題其中數(shù)形結(jié)合是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題最主要的方法，在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)”探究題的基本思路，這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì) 例如題10，其特點(diǎn)是有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，而且它們分別在兩條不同的射線上運(yùn)動(dòng)，解答問(wèn)題的關(guān)鍵是認(rèn)為點(diǎn)P、Q是“靜止”的，不要被“運(yùn)動(dòng)”二字所迷惑，只要將POQ的面積表達(dá)出來(lái)即可要求面積最大，可利用配方法，即，確定了點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)后進(jìn)一步求出點(diǎn)C的坐標(biāo) 對(duì)于題10，再做以下幾點(diǎn)說(shuō)明，這些規(guī)律對(duì)于解題很有幫助，所以請(qǐng)牢記！ (1)求最值問(wèn)題，可能會(huì)涉及一元二次方程中的“配方法”（專題2中已作說(shuō)明）以及函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題（如題7的分段函數(shù)） (2)在最值的情況下，題中所形成的圖形往往是“特殊”的（如題11中等腰直角三角形POQ，專題3題8技巧貼士中所提及的正方形） (3)本題也屬于翻折情況將本問(wèn)題引申：若三角形POQ是任意三角形（不一定是直