江蘇省蘇州市高中數(shù)學第一章計數(shù)原理1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理教學設計2新人教A版選修2-3

1、1。1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理一、 本節(jié)課教學內容的本質、地位、作用分析分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是人類在大量的實踐經(jīng)驗的基礎上歸納出的基本規(guī)律，它們不僅是推導排列數(shù)、組合數(shù)計算公式的依據(jù)，而且其基本思想方法也貫穿在解決本章應用問題的始終，在本章中是奠基性的知識。返璞歸真的看兩個原理，它們實際上是學生從小學就開始學習的加法運算與乘法運算的推廣.從思想方法的角度看，運用分類加法計數(shù)原理解決問題是將一個復雜問題分解為若干“類別”，然后分類解決，各個擊破；運用分步乘法計數(shù)原理是將一個復雜問題的解決過程分解為若干“步驟”，先對每個步驟進行細致分析,再整合為一個完整的過程。這樣做的目的

2、是為了分解問題、簡化問題。可見，理解和掌握兩個計數(shù)原理，是學好本章內容的關鍵。二、 教學目標分析1、 知識目標:使學生熟練掌握兩個原理的內容、區(qū)別，能夠靈活的應用兩個原理解決常見的計數(shù)問題。2、 能力目標：在教學過程中,凸顯兩個原理發(fā)現(xiàn)的原始過程,使學生深刻理解由特殊到一般的歸納推理思維，在應用原理解決問題時，體會一般到特殊的演繹推理思維,從而培養(yǎng)學生的抽象概括能力、邏輯思維能力以及解決實際問題時主動應用數(shù)學知識的能力。3、 德育滲透目標：通過探索與發(fā)現(xiàn)的過程，使學生親歷數(shù)學研究的成功和快樂，感悟數(shù)學樸實無華的內在美，學會提出問題、分析問題、解決問題、推廣結論進而完善結論的數(shù)學應用意識,激發(fā)學

3、生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，優(yōu)化學生的思維品質。三、教學過程【引入】展示世界杯圖片：2010南非世界杯是今年全球的一大體育盛事。32支球隊齊聚南非，觀眾席上，人山人海，彩旗飄飄；綠茵場上，群雄逐鹿，球技高超，真是一場難得的視覺盛宴??！通過小組賽、十六強賽，八強賽、四強賽、季軍賽、決賽，最終決出冠亞季軍，大家知道總共進行了多少場比賽嗎？生齊答：64場。正確！這個場數(shù)我們能否通過一一列舉出所有的場次，逐個數(shù)出呢？學生1：我覺得應該可以,但是方法數(shù)較大，操作起來繁瑣。沒錯.其實，在生活中，我們還會遇到很多類似的方法數(shù)的計算問題,這種問題我們稱之為計數(shù)問題。(板書)一、計數(shù)問題：計算完成一件事的方法數(shù)

4、的問題。 我們將通過本章的研究學習解決不通過逐個數(shù)來確定這種方法數(shù)的技巧方法?！拘抡n】今天我們先來研究解決計數(shù)問題的兩種最基本、最重要的方法:字幕：1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 首先，我們大家一起來研究問題1。（鏡頭指向幻燈片）【問題1】2010南非世界杯開賽前，中央電視臺某位記者通過網(wǎng)絡測試了解到觀眾最感興趣歐洲球隊和美洲球隊如下： 歐洲球隊 美洲球隊 德國 巴西 英格蘭 阿根廷 西班牙 烏拉圭 意大利 法國他決定從這些球隊中選擇一個跟蹤采訪，試問：他有幾種選擇方式？ 誰能解決這個問題？ ，你來試試！學生2：8種.很好,請問:這名記者要完成一件什么事?學生2：從這些球隊中選擇一個

5、跟蹤采訪。他怎么完成這件事？學生2：從歐洲球隊或美洲球隊中選一個。怎么計算方法數(shù)？學生2：把兩類球隊數(shù)相加即可,5+3=8。分析的不錯,請坐!其實，提出問題比解決問題更難能可貴,我們大家思考一下，能否舉一些生活中類似的例子嗎？【問題2】你能舉一些生活中類似的例子嗎?你能試著解決嗎?20秒學生3:暑假馬上到了，我想去看清華園，從滄州到北京有兩種交通工具供選擇：長途汽車、旅客列車，已知當天長途汽車有5班，旅客列車有3班。問共有多少種不同的選擇？相當不錯!你能解決嗎？學生3：能，5+3=8。 這個問題中，我們需要完成一件什么事?學生3:從滄州到北京.怎么完成這件事？學生3：坐汽車或火車都可以完成。怎

6、么計算?學生3：把兩類方法數(shù)相加即可。嗯，分析透徹，還有同學能舉嗎？學生4：咱們班共有男生30名,女生20名，從班上選出1名同學當班長，有多少不同的選法？也不錯,你能類似分析嗎？學生4:我需要完成一件事是:從班上選出1名同學當班長，只要從男生或女生中選出一人即可，所以，30+20=50。剛剛我們研究的這些問題雖然簡單,但體現(xiàn)出數(shù)學中的一個原理，拋開其實際意義,我們能否尋求共性,抽象出一個命題呢?大家可以討論一下.誰能試著分析一下【問題3】這些例子有哪些共性?你能試著歸納出一個一般的命題嗎?學生5：這些例子都是計數(shù)問題,即需要完成一件事，計算其方法數(shù)，都有兩類方案可以選擇,都用加法運算。很好!你

7、的抽象概括能力很強。你能把它敘述為一個命題嗎？學生5：做一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有 n=n+ m種不同的方法。相當不錯,你的語言表達能力也很強。好極了，我們把剛才那位同學敘述的內容整理一下，得到分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有n1種不同的方法,在第2類方案中有n2種不同的方法,那么完成這件事共有 n=n1+ n2種不同的方法。(板書）二、分類 n=n1+ n2原理是指在大量的觀察、實踐的基礎上，歸納總結出的具有普遍意義的基本規(guī)律，一般無須證明。我們看到:在這個原理中，大家要注意：“完成

8、一件事,“分類”，“加法”幾個關鍵詞。這個原理淺顯易懂，關鍵能夠靈活應用.以后在用這個原理解決問題時,大家要能夠用原理表達,要清楚完成一件什么事？怎么完成？分哪幾類？接著看下一個問題.【問題1的變式】2010南非世界杯是今年體育界的一大盛事。開賽前,中央電視臺某位記者通過網(wǎng)絡測試了解到觀眾最感興趣歐洲球隊、美洲球隊和亞洲球隊如下： 歐洲球隊 美洲球隊 亞洲球隊 德國 巴西 韓國 英格蘭 阿根廷 日本 西班牙 烏拉圭 意大利 法國他決定從這些球隊中選擇一個跟蹤采訪，試問：他有幾種選擇方式？這個問題你能解決嗎？學生8:能，5+3+2=10。不錯，這個問題對你有什么啟發(fā)呢？學生8：我覺得原理中的方案

9、的種類不一定是兩類，可以是三類。你能試著把原理推廣到三類嗎？【問題4】你能進一步推廣到有3類方案的情況嗎?m類方案呢？學生8：當然能，完成一件事有三類不同的方案，在第1類方案中有n1種不同的方法，在第2類方案中有n2種不同的方法，在第3類方案中有n3種不同的方法，那么完成這件事共有 n=n1+ n2+ n3種不同的方法.推廣1 完成一件事有三類不同的方案,在第1類方案中有n1種不同的方法，在第2類方案中有n2種不同的方法，在第3類方案中有n3種不同的方法，那么完成這件事共有 n=n1+ n2+ n3種不同的方法。我們當然還能進一步推廣到4類、5類、甚至m類.學生 ，你試試！推廣2 完成一件事有

10、m類不同的方案，在第1類方案中有n1種不同的方法,在第2類方案中有n2種不同的方法，在第m類方案中有nm種不同的方法,那么完成這件事共有 n=n1+ n2+nm種不同的方法。讓我們繼續(xù)我們的世界杯之旅.【問題5】世界杯開賽前，新浪網(wǎng)和搜狐網(wǎng)在網(wǎng)上分別進行了“本屆世界杯你最支持的球隊”的評選活動,位于前五位的結果如下: 新浪網(wǎng) 搜狐網(wǎng) 德國 巴西 巴西 阿根廷 西班牙 烏拉圭 意大利 西班牙 法國 荷蘭試問：如果你從這兩個網(wǎng)站的評選結果中挑選一支你最支持的球隊,有多少種選法？誰能試著分析一下你的思路。學生9:因為我要完成的事是挑選一支最支持的球隊,所以我從新浪網(wǎng)和搜狐網(wǎng)中選,但是巴西、西班牙兩個

11、網(wǎng)的結果都有,所以有種選擇。很好，我們能否直接用分類加法計數(shù)原理解答呢？學生9:不能！去掉重復的隊即可?！締栴}6】由此你能試著總結應用分類加法計數(shù)原理需要注意的問題嗎？學生9：分類需要注意“不能重復”?？偨Y的很好,當然我們在分類時除了不能重復之外，還不能遺漏，即“不重不漏”,這也是分類討論的數(shù)學思想的關鍵點。再來研究下一個問題?！締栴}7】2010年南非世界杯小組賽中, a小組成員有:南非、墨西哥、法國、烏拉圭，在小組賽前，你能計算前兩名的可能情況有多少種嗎? 學生10：12種.談談你的想法.學生10：如果第一名是南非，第二名可以是墨西哥或法國或烏拉圭，共三種方法；當然第一名還可能是墨西哥或法國

12、或烏拉圭，所以方法數(shù)為43=12.分析很精彩.我們可以用圖來展示這位同學的思想,這種圖示你能形象的給它命個名嗎?學生10：嗯,我覺得它形狀象樹，叫做“樹形圖”，可以嗎？ 很好，這種圖示我們在解決計數(shù)問題時十分常用，我們通常就稱之為“樹形圖”。學生11：我覺得還可以這樣考慮:我們要完成一件事是排出第一、第二名，那么我先選第一名,有4種方法，再選第二名有3種方法，所以共有43=12.這位同學的分析也很好.我們也能舉出生活中一些類似的例子。大家可以討論一下?！締栴}8】你能舉一些生活中類似的例子嗎？學生3:老師,我想改編一下剛才的例子，暑假來了，我要從滄州到北京旅游，若想中途參觀南開大學,已知從滄州到

13、天津有3種乘車方式，從天津到北京有2種乘車方式，試問：要從滄州到北京共有多少種不同的方法？ 你能解答嗎？學生3:種.這個問題中，要完成一件什么事？學生3：從滄州到北京。不太確切.學生3：從滄州先到天津,再到北京。你能指出所有的路線嗎？學生3：1a、1b、2a、2b、3a、3b。1是否是完成這件事的一種方法？學生3：不是。為什么？學生3：1不能完成這件事。學生4：老師，我也能改編我的例子，咱們班共有男生20名，女生10名,從班上選出1名男生和一名女生擔任節(jié)目主持人，有多少不同的選法？你能類似的分析一下嗎？學生4：我要我要完成從班上選出1名男生和一名女生的任務，先選男生，再選女生，共有種方法。還有

14、同學能從別的情景下舉例并解決嗎？學生12： 我有5件上衣，4條褲子,選出一件上衣和一條褲子進行搭配,有種選法？學生13: 食堂有米飯、饅頭、花卷3種主食，有6種炒菜，要選擇一種主食和一種炒菜，有種不同的選法?大家舉的例子漂亮極了！我相信大家一定能夠尋求共性,仿照分類加法計數(shù)原理抽象出一個一般命題？ 【問題9】這些例子有哪些共性？你能仿照分類加法計數(shù)原理試著歸納出一個一般的命題嗎？學生14：這些問題都需要完成一件事,計算其方法數(shù),都有兩個步驟，用乘法計算。很好，你能把它敘述為一個命題嗎？學生14：可以,完成一件事有兩個步驟，做第1步有n1種不同的方法，做第2步有n2種不同的方法，那么完成這件事共

15、有 n=n1n2種不同的方法。（板書）二、分步 n=n1n2 我們看到：在這個原理中，我們要注意：“完成一件事”，“分步”，“乘法幾個關鍵詞。步與步之間要相互獨立，分步要做到“步驟完整”，從剛才的討論可以看出,只有每一步都完成了，這件事才宣告完成。這個原理依然淺顯易懂，關鍵能夠靈活應用.以后在用這個原理解決問題時，要用原理表達，完成一件什么事？怎么完成？分哪幾步?【問題10】你能進一步推廣到有3個步驟的情況嗎？m個步驟呢？學生15：完成一件事有三個步驟，做第1步有n1種不同的方法,做第2步有n2種不同的方法，做第3步有n3種不同的方法，那么完成這件事共有 n=n1n2n3種不同的方法。推廣2

16、完成一件事有m個步驟,做第1步有n1種不同的方法，做第2步有n2種不同的方法，,做第m步有nm種不同的方法，那么完成這件事共有 n=n1n2nm種不同的方法。好，我們共同來解決一個例題。【例1】書架的第一層有4本不同的計算機書，第二層有3本不同的文藝書，第三層有2本不同的體育書。（1）從書架中任取1本書,有 9 種不同的取法；（2）從書架的第1，2，3層各取一本書，有 24 種不同的取法；（3）從書架中任取2本不同學科的書，有 26 種不同的取法。這個問題綜合應用了兩個原理，體現(xiàn)了“類中有步”、 “步中有類”思想。 學生16：（1）要完成從書架中取出1本書這件事,我分三類，即取出計算機書或文藝

17、書或體育書，由分類加法計數(shù)原理，有4+3+2=9種不同的取法 (2） 要完成從書架中第1，2，3層各取一本書的這件事，我分三步：先取一本計算機書，再取一本文藝書，最后取一本體育書，由分步乘法計數(shù)原理，有種不同的取法學生17：要完成從書架中任取2本不同學科的書這件事,先分三類：一本計算機書和一本文藝書，一本文藝書和一本體育書,一本體育書和一本計算機書,第一類又分為兩步，先取一本計算機書，再取一本文藝書，這樣共有種不同的取法學生18：我覺得還可以分兩類,即按照兩本書中是否有體育書分類，每類再分步，即有種不同的取法學生討論填充表格?？偨Y歸納兩個原理的區(qū)別和聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理聯(lián)系都需

18、要完成一件事,并計算其方法數(shù)區(qū)別一完成一件事情共有n類辦法，關鍵詞是“分類完成一件事情,共分n個步驟，關鍵詞是“分步”區(qū)別二每類方案中的每種方法都能獨立完成這件事情。只有每個步驟完成了，才能完成這件事情.區(qū)別三各類辦法相互獨立各個步驟相互依存課下大家可以分小組談論,探究如下問題?！咎骄刻骄繂栴}】(1）5名同學參加3個不同的體育項目，每人參加一項，不同的方法數(shù)有多少種？（2）5名同學爭奪3個不同的體育項目的冠軍，不同的方法數(shù)有多少種？隨堂練習：【布置作業(yè)、課下鞏固】書面作業(yè):課本63題閱讀作業(yè)：課本1112 研究與發(fā)現(xiàn)“子集的個數(shù)有多少”【反思小結、思想升華】 這節(jié)課我們以世界杯為主線，歸納出了兩個原理，并利用兩個原理解決了很多實際問題。當然要想圓滿解決引例中“世界杯總場數(shù)為64這個問題，還需要其它的計數(shù)知識,在研究完本章后就能順利解答。 細微的生活中總是蘊含著深刻的數(shù)學思想，我們在利用數(shù)學工具研究繽紛多彩的世界過程中,可以充分的享受無限的樂趣！或許這就是數(shù)學的魅力