概率分布-正態(tài)分布PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1概率分布概率分布-正態(tài)分布正態(tài)分布引子：引子：第1頁/共58頁表表5-1 某醫(yī)院某醫(yī)院1402例分娩孕婦體重頻數(shù)分布例分娩孕婦體重頻數(shù)分布 第2頁/共58頁0.000.020.040.060.0848-56-64-72-80-體重（kg）體重頻率密度 作圖作圖:以體重測量值為以體重測量值為橫軸橫軸，以頻率與組距的，以頻率與組距的比值為比值為縱軸縱軸作出直方圖。作出直方圖。1. 由于該直方圖的縱軸由于該直方圖的縱軸表示在每個組段內(nèi)單位表示在每個組段內(nèi)單位長度所占有的頻率，相長度所占有的頻率，相當(dāng)于當(dāng)于頻率密度頻率密度，因此將，因此將此圖稱為此圖稱為頻率密度圖頻率密度圖。 圖圖5-1 體重

2、頻率密度圖體重頻率密度圖 2. 面積面積=頻率頻率由于頻率的總和為由于頻率的總和為1，所以該曲線下橫軸上所以該曲線下橫軸上的面積為的面積為1 。 .第3頁/共58頁0.000.020.040.060.0848-56-64-72-80-體重（kg）體重頻率密度若將各直條頂端的中點順次連接起來若將各直條頂端的中點順次連接起來，得一條折線。當(dāng)樣得一條折線。當(dāng)樣本量本量n越來越大時，折線就越來越接近一條光滑的曲線越來越大時，折線就越來越接近一條光滑的曲線。 圖5-1 體重頻率密度圖 圖5-2 概率密度曲線示意圖 第4頁/共58頁推推 斷：斷：測得一個孕婦體重在測得一個孕婦體重在54-68kg54-68

3、kg的概率有多大？的概率有多大？孕婦體重在哪個范圍內(nèi)算是正常的呢？孕婦體重在哪個范圍內(nèi)算是正常的呢？故對連續(xù)性隨機變量而言：故對連續(xù)性隨機變量而言：變量某區(qū)間取值的概率變量某區(qū)間取值的概率 = = 正態(tài)曲線該變量區(qū)間的面正態(tài)曲線該變量區(qū)間的面積積第5頁/共58頁密度第6頁/共58頁 正態(tài)分布正態(tài)分布( normal distribution)：是：是描述連續(xù)型描述連續(xù)型隨機變量最重要的分布。其分布曲線叫正態(tài)分布隨機變量最重要的分布。其分布曲線叫正態(tài)分布曲線，呈中間高，兩邊低，左右基本對稱的曲線，呈中間高，兩邊低，左右基本對稱的“鐘鐘型型”曲線，曲線，近似于數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布，近似于數(shù)學(xué)上的正態(tài)分

4、布，又稱高斯又稱高斯分布（分布（Gauss distribution）。第7頁/共58頁正態(tài)分布正態(tài)分布( (normal distribution)德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，這一公式被的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面。認為是正態(tài)分布的首次露面。正態(tài)分布在十九世紀前葉由正態(tài)分布在十九世紀前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布高斯分布( (Gauss distribution)。德莫佛德莫佛高高 斯斯第8頁/共58頁10馬克的錢幣馬克的錢幣 第9頁/共58頁醫(yī)學(xué)研究中許多正常人的生理，生化指標(biāo)、醫(yī)學(xué)研究中許多正常

5、人的生理，生化指標(biāo)、測量誤差等多呈正態(tài)分布或近似正態(tài)分布。測量誤差等多呈正態(tài)分布或近似正態(tài)分布。許多非正態(tài)分布資料，當(dāng)樣本含量足夠大時許多非正態(tài)分布資料，當(dāng)樣本含量足夠大時，也可以用正態(tài)分布作為它的極限分布形式，也可以用正態(tài)分布作為它的極限分布形式。有時也可將非正態(tài)分布資料轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布有時也可將非正態(tài)分布資料轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布來處理。來處理。正態(tài)分布在醫(yī)學(xué)研究中的重要作用：正態(tài)分布在醫(yī)學(xué)研究中的重要作用：醫(yī)學(xué)研究中：醫(yī)學(xué)研究中：第10頁/共58頁正態(tài)分布的密度函數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)，即正態(tài)曲線的函數(shù)表達式：即正態(tài)曲線的函數(shù)表達式：XeXfX,21)(222/)( 式中，式中，為總體均數(shù)，為總體均

6、數(shù)，為總體標(biāo)準(zhǔn)差，為總體標(biāo)準(zhǔn)差，為圓周率，為圓周率，e為為自然對數(shù)的底，僅自然對數(shù)的底，僅x為變量。為變量。 當(dāng)當(dāng)x確定后，確定后， f(x)為為X相應(yīng)的縱坐標(biāo)高度，則相應(yīng)的縱坐標(biāo)高度，則X服從參數(shù)服從參數(shù)為為和和2的正態(tài)分布（的正態(tài)分布（ normal distribution)，記作，記作XN（ ，2 ）。）。 第11頁/共58頁第12頁/共58頁XeXfX,21)(222/)(總體均總體均數(shù)數(shù)總體標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差（一）正態(tài)分布的兩個參數(shù)：（一）正態(tài)分布的兩個參數(shù)： 和和 是正態(tài)分布的是正態(tài)分布的兩個參數(shù)兩個參數(shù)， 和和決定了決定了x的概率分布；習(xí)慣上用的概率分布；習(xí)慣上用 N (, 2)

7、表示均數(shù)為表示均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。的正態(tài)分布。第13頁/共58頁 當(dāng)給定不同的當(dāng)給定不同的 x 值后，就可以根據(jù)此方程求得相應(yīng)的值后，就可以根據(jù)此方程求得相應(yīng)的縱坐標(biāo)高度（頻數(shù)），并可繪制出正態(tài)曲線的圖形，縱坐標(biāo)高度（頻數(shù)），并可繪制出正態(tài)曲線的圖形，記記作作XN(,2) ：正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線：高峰位于中間，兩側(cè)逐漸下降并完全對：高峰位于中間，兩側(cè)逐漸下降并完全對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交的稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交的“鐘型鐘型”曲線。曲線。第14頁/共58頁當(dāng)當(dāng)固定不變時，固定不變時，越大，曲線沿橫軸越大，曲線沿橫軸越向右移動；反之，越向右移動；反之， 越小，則曲

8、線沿橫軸越向左移越小，則曲線沿橫軸越向左移動，所以動，所以叫正態(tài)曲線叫正態(tài)曲線N（, 2）的）的位置參數(shù)位置參數(shù)， 。1. 位置參數(shù)：位置參數(shù)： 圖圖5-4 正態(tài)分布位置隨參數(shù)正態(tài)分布位置隨參數(shù)變換示意圖變換示意圖第15頁/共58頁=1=1.5=22. 形狀參數(shù)形狀參數(shù)： 圖圖5-6 正態(tài)分布形態(tài)隨參數(shù)正態(tài)分布形態(tài)隨參數(shù)變換示意圖變換示意圖 當(dāng)當(dāng)固定不變時，固定不變時，越大，曲線越平闊；越大，曲線越平闊； 越小，曲線越尖峭，越小，曲線越尖峭， 叫叫正態(tài)曲線正態(tài)曲線N（, 2）的）的形形狀參數(shù)狀參數(shù)。 第16頁/共58頁（二）（二）正態(tài)分布圖形的特征正態(tài)分布圖形的特征：1. 對稱性：關(guān)于對稱性：

9、關(guān)于x=對稱對稱2. 集中性：集中性： 正態(tài)曲線在橫軸上方，正態(tài)曲線在橫軸上方， 當(dāng)當(dāng)x=時時, f (x)取最大值，即均數(shù)位于曲線的最高處。取最大值，即均數(shù)位于曲線的最高處。3. 對對頻率密度正態(tài)分布圖，橫軸上頻率密度正態(tài)分布圖，橫軸上曲線下的面積為曲線下的面積為1。4. 是正態(tài)曲線的位置參數(shù)，決定曲線在橫軸上的位置是正態(tài)曲線的位置參數(shù)，決定曲線在橫軸上的位置； 增大曲線沿橫軸向右移，增大曲線沿橫軸向右移， 減小曲線沿橫軸向左減小曲線沿橫軸向左移。移。5.是正態(tài)曲線的形狀參數(shù)，是正態(tài)曲線的形狀參數(shù)，越大數(shù)據(jù)越分散，曲線越越大數(shù)據(jù)越分散，曲線越“矮胖矮胖”，越小數(shù)據(jù)越集中，曲線越越小數(shù)據(jù)越集中

10、，曲線越“瘦高瘦高” 。第17頁/共58頁第18頁/共58頁 為了應(yīng)用方便，常將正態(tài)概率函數(shù)中的為了應(yīng)用方便，常將正態(tài)概率函數(shù)中的 x 作如作如下變量代換，令：下變量代換，令： Z稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。把稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。把u代入概率密度函數(shù)代入概率密度函數(shù) ，得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：，得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)： 相對于正態(tài)變量相對于正態(tài)變量 x，Z 沒有度量單位。根據(jù)沒有度量單位。根據(jù) u 的不同取值，可繪出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形。的不同取值，可繪出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形。xZueZu,21)2/j(2第19頁/共58頁任意正態(tài)分布曲線任意正態(tài)分布曲線 XN(,2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

11、曲線XN(0,1) 將一般正態(tài)分布曲線的將一般正態(tài)分布曲線的 的位置平移到原點，再的位置平移到原點，再以標(biāo)準(zhǔn)差以標(biāo)準(zhǔn)差為橫軸單位，這樣就把原來個別的正態(tài)分布為橫軸單位，這樣就把原來個別的正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為一般的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為一般的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N（0，1），亦稱為），亦稱為Z分布分布（或（或 分布分布）。）。 第20頁/共58頁第21頁/共58頁正態(tài)曲線下的面積分布有一定的規(guī)律性：正態(tài)曲線下的面積分布有一定的規(guī)律性： 因正態(tài)曲線下累計頻數(shù)的總和等于因正態(tài)曲線下累計頻數(shù)的總和等于 100% 或或 1，則，則：橫軸上曲線下的面積（概率）就等于橫軸上曲線下的面積（概率）就等于 100% 或或 1；均

12、數(shù)兩側(cè)的面積（概率）各占均數(shù)兩側(cè)的面積（概率）各占 50%。第22頁/共58頁實際工作中常需了解橫軸上某一區(qū)間曲線下面積實際工作中常需了解橫軸上某一區(qū)間曲線下面積占總面積的百分比，以便估計該區(qū)間的頻數(shù)占總頻數(shù)占總面積的百分比，以便估計該區(qū)間的頻數(shù)占總頻數(shù)的百分比（即頻數(shù)分布情況）。這就需要采用定積分的百分比（即頻數(shù)分布情況）。這就需要采用定積分的辦法，的辦法，對函數(shù)式對函數(shù)式 (1) 或或 (2) 定積分，算得從定積分，算得從 - 到到 x，或從或從 - 到到 Z 的累計面積（概率）。的累計面積（概率）。 .x圖 6 正態(tài)分布(左)及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下(右)的累計面積dxexFxx)2/()(22

13、21)(ZdZZ2221)(jeZZ/第23頁/共58頁 由于引入了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量由于引入了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量 Z 值，只需對標(biāo)準(zhǔn)正值，只需對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)公式求定積分，求其曲線下從態(tài)公式求定積分，求其曲線下從 -到任意到任意Z 值的值的累計面積，并制成專用的累計面積，并制成專用的 Z 值表（見附表）；這值表（見附表）；這樣樣對于其它任意的正態(tài)分布對于其它任意的正態(tài)分布N(, 2) ，都可以通過，都可以通過變量代換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量代換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，通過查表就完成其，通過查表就完成其概率計算問題。概率計算問題。第24頁/共58頁1. 左半側(cè)左半側(cè) Z 值對應(yīng)面積的查法：值對應(yīng)面積的查法：第25頁/

14、共58頁1. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布區(qū)間（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布區(qū)間（-1， 1 ）的面積占總面積的）的面積占總面積的68.26% 2. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布區(qū)間（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布區(qū)間（-1.96，1.96）的面積占總面積的）的面積占總面積的95% 3. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布區(qū)間（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布區(qū)間（-2.58，2.58）的面積占總面積的）的面積占總面積的99% 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積規(guī)律標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積規(guī)律第26頁/共58頁舉例：舉例： 當(dāng)當(dāng) Z = -1.96時，左側(cè)的累計面積時，左側(cè)的累計面積= 0.025（該區(qū)間累（該區(qū)間累計頻數(shù)占總例數(shù)的計頻數(shù)占總例數(shù)的 2.5%），記作），記作 P(Z1.96) = 0.025 。

15、當(dāng)當(dāng) Z = 1.96時，時， 左側(cè)累計面積為左側(cè)累計面積為 0.975，可記作，可記作 P(Z1.96)=0.975， 此時此時P(Z1.96)=0.025 。2.左半側(cè)左半側(cè)Z 值對應(yīng)面積的查法：值對應(yīng)面積的查法：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是以 0 為中為中心左右對稱，所以該表只計算曲線下一半的面積即可心左右對稱，所以該表只計算曲線下一半的面積即可 。第27頁/共58頁舉例：舉例：求求 Z = - 0.5 -1.5之間的面積。之間的面積。 查表找出查表找出 Z = -0.5 時的對應(yīng)面積為時的對應(yīng)面積為 0.3085，再，再查出查出 Z = -1.5 時的對應(yīng)面積時的對應(yīng)面積 0.066

16、8，相減即可。，相減即可。 即：即：P(Z = - 0.5 -1.5)= P(Z = - 0.5) - P(Z = -1.5) = 0.3085- 0.0668 = 0.24173. 查任意兩個查任意兩個 Z 值間的面積：值間的面積：第28頁/共58頁的面積到 u（1）曲線下橫軸上的總面積為）曲線下橫軸上的總面積為100%（2）表中曲線下面積為）表中曲線下面積為(- ，Z)（3）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積以）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積以0為對稱，即為對稱，即如區(qū)間如區(qū)間(- ，-1.96)與區(qū)間與區(qū)間(1.96，+ ) 的面積相等。的面積相等。小結(jié)小結(jié):F(F(Z)1F()1F(Z) )對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線

17、對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線第29頁/共58頁4. 求一般正態(tài)分布求一般正態(tài)分布N(,2)曲線下的面積：曲線下的面積： 先求先求 u 值：值： 根據(jù)根據(jù) Z 值在表中查出相應(yīng)的面積值值在表中查出相應(yīng)的面積值當(dāng)總體均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時，就用樣本均數(shù)當(dāng)總體均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時，就用樣本均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來代替計算。和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來代替計算。 所以對正態(tài)分布或近似正態(tài)分布資料，只要求出所以對正態(tài)分布或近似正態(tài)分布資料，只要求出均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，便可就其頻數(shù)分布作出概略估計了。均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，便可就其頻數(shù)分布作出概略估計了。,sxxZxZ未知：已知：,第30頁/共58頁舉例舉例：已知已知 120 名名 12 歲男孩身

18、高均數(shù)為歲男孩身高均數(shù)為 143 cm，標(biāo)，標(biāo)準(zhǔn)差為準(zhǔn)差為 5.8 cm，試估計該地，試估計該地 12 歲男孩身高在歲男孩身高在 135 cm 以下者有多少人？以下者有多少人？ 答：答：1. 首先計算首先計算 Z 值：值：3. 據(jù)概率計算人數(shù)據(jù)概率計算人數(shù)：身高在身高在 135 cm 以下者有：以下者有：1208.38% =10人人 2. 查查 Z 值表：值表： 當(dāng)當(dāng) u = -1.38 時，左側(cè)尾部面積時，左側(cè)尾部面積 0.0838，即身高，即身高在在 135cm 以下者占總?cè)藬?shù)的以下者占總?cè)藬?shù)的 8.38%。38. 18 . 5143135sxxZ第31頁/共58頁常用的正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

19、分布曲線下面積規(guī)律常用的正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積規(guī)律正態(tài)分布正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布面積規(guī)律面積規(guī)律 1.64 01.6490.00%1.9601.9695.00%2.5802.5899.00%第32頁/共58頁第33頁/共58頁（一）（一） 制定醫(yī)學(xué)參考值范圍制定醫(yī)學(xué)參考值范圍 參考值范圍參考值范圍（reference range)：指所謂：指所謂“正常人正常人”的解剖的解剖、生理、生化等指標(biāo)的波動范圍。、生理、生化等指標(biāo)的波動范圍。制定方法：制定方法：制定參考值范圍時，首先要確定一批樣本含量足夠制定參考值范圍時，首先要確定一批樣本含量足夠大的大的“正常人正常人”。所謂。所謂

20、“正常人正常人”不是指不是指“健康人健康人”，而是指排除了影響所研究指標(biāo)的疾病和有關(guān)因，而是指排除了影響所研究指標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的同質(zhì)人群，必須是隨機選擇的大樣本。素的同質(zhì)人群，必須是隨機選擇的大樣本。而后根據(jù)指標(biāo)的實際用途確定而后根據(jù)指標(biāo)的實際用途確定單側(cè)或雙側(cè)界值單側(cè)或雙側(cè)界值，根，根據(jù)研究目的和使用要求選定適當(dāng)?shù)陌俜纸缰担Ｓ脫?jù)研究目的和使用要求選定適當(dāng)?shù)陌俜纸缰?，常?5%。 .第34頁/共58頁單側(cè)臨界值單側(cè)臨界值：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布單側(cè)尾部面積等于：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布單側(cè)尾部面積等于時所對時所對應(yīng)的正側(cè)變量值，記作應(yīng)的正側(cè)變量值，記作Z Z。雙側(cè)臨界值雙側(cè)臨界值：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)尾部面積之和

21、等于：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)尾部面積之和等于時時所對應(yīng)的正側(cè)變量值，記作所對應(yīng)的正側(cè)變量值，記作Z Z/2/2。第35頁/共58頁以不同的方法計算參考值范圍：以不同的方法計算參考值范圍：（1）正態(tài)分布法：正態(tài)分布法：適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布資料適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布資料表表5-2 常用參考值范圍的制定常用參考值范圍的制定 雙側(cè)界值單側(cè)下限單側(cè)上限sZX2a/sXaZsZX a第36頁/共58頁 解析解析： 1. 分布近似正態(tài)分布近似正態(tài)2. 過高過低均為異過高過低均為異常常3. 求上、下界值求上、下界值正態(tài)分布法求參考值范圍正態(tài)分布法求參考值范圍設(shè)定雙側(cè)界值設(shè)定雙側(cè)界值)/(39.1372 .10

22、96. 14 .11796. 1lgsx上界：上界：)/(41.972 .1096. 14 .11796. 1lgsx下界：下界：所以，該地健康女性血紅蛋白的所以，該地健康女性血紅蛋白的95%參考值范圍是（參考值范圍是（97.41,137.39）g/l。第37頁/共58頁 解析解析： 1. 分布近似正態(tài)分布近似正態(tài)2. 僅過低為異常僅過低為異常3. 求下界值求下界值正態(tài)分布法求參考值范圍正態(tài)分布法求參考值范圍單側(cè)下限單側(cè)下限下界：下界：所以，該地健康成年男子第一秒肺通氣量的所以，該地健康成年男子第一秒肺通氣量的95%參參考值范圍為不低于考值范圍為不低于3.05（L）。）。 05L. 37 .

23、064. 12 . 464. 1SX第38頁/共58頁（2）百分位法：百分位法：特別適用于偏態(tài)分布資料以及資料特別適用于偏態(tài)分布資料以及資料 中一端或兩端無確切數(shù)值的資料。中一端或兩端無確切數(shù)值的資料。如如95%參考值范圍：參考值范圍： 雙側(cè)界值雙側(cè)界值單側(cè)下限單側(cè)下限單側(cè)上限單側(cè)上限P 2.5和和P 97.5P 5 P 95)%(LxxfnxfiLP計算公式：計算公式：第39頁/共58頁（二）估計頻數(shù)分布（二）估計頻數(shù)分布 解析解析：1. 分布近似正態(tài)分布近似正態(tài)， X= 3200g ，S=350g。2. 轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求u 值值查查u值表值表 說明說明標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下 (-，-2）的面積為）的面積為2.28%，故本，故本題正態(tài)曲線題正態(tài)曲線(-，2500g）的比例為）的比例為2.28% ，即，即X1.96所以可認為小蘗堿含量不正常。所以可認為小蘗堿含量不正常。第48頁/共58頁 某地某地1998年抽樣調(diào)查了年抽樣調(diào)查了100名名18歲男