極坐標(biāo)系袁志軍PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1極坐標(biāo)系袁志軍極坐標(biāo)系袁志軍2.平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P與坐標(biāo)與坐標(biāo)(a ,b)是是 _對應(yīng)的對應(yīng)的.P(a,b).xyOab 平面直角坐標(biāo)系是最簡平面直角坐標(biāo)系是最簡單最常用的一種坐標(biāo)系，單最常用的一種坐標(biāo)系，但不是唯一的一種坐標(biāo)系但不是唯一的一種坐標(biāo)系. 有時用別的坐標(biāo)系比較方有時用別的坐標(biāo)系比較方便便.還有什么坐標(biāo)系呢？還有什么坐標(biāo)系呢？1.與角與角終邊相同的角：終邊相同的角：= =+2+2k, ,kZZ一一一一第1頁/共42頁 思考：思考：右圖是某校園的平右圖是某校園的平面示意圖，假設(shè)某同學(xué)面示意圖，假設(shè)某同學(xué) 在在教學(xué)樓處，請回答下列問題：教學(xué)樓處，請回答下

2、列問題：（1）他向東偏北）他向東偏北60 方向方向走走120m后到達(dá)什么位置？后到達(dá)什么位置？ 該位置惟一確定嗎？該位置惟一確定嗎？（2）如果有人打聽體育館）如果有人打聽體育館和辦公樓的位置，他應(yīng)如何和辦公樓的位置，他應(yīng)如何描述？描述？ A B C D E50m450 600 120m60m教學(xué)樓教學(xué)樓體育館體育館實(shí)驗(yàn)樓實(shí)驗(yàn)樓辦公樓辦公樓圖書館圖書館第2頁/共42頁請分析上面這句話，他告訴了問路人什么請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？從 這 向 東 走 6 0 米 ！ 出發(fā)點(diǎn)方向距離在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點(diǎn)的位置。這種用一點(diǎn)的位置。這種用方向

3、方向和和距離距離表示平表示平面上一點(diǎn)的位置的思想，就是極坐標(biāo)的面上一點(diǎn)的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想基本思想. .思考：類比建立平面直角體系的過程，怎樣思考：類比建立平面直角體系的過程，怎樣建立用距離與角度確定平面上點(diǎn)的位置的體系？建立用距離與角度確定平面上點(diǎn)的位置的體系？第3頁/共42頁1 1、極坐標(biāo)系的建立：、極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)O，叫做，叫做極點(diǎn)極點(diǎn). 從極點(diǎn)從極點(diǎn)O點(diǎn)引一條射線點(diǎn)引一條射線OX，叫做，叫做極軸極軸.再選定一個再選定一個單位長度單位長度和和角的正方向角的正方向（通常（通常取逆時針方向）取逆時針方向）.這樣就建立了一個這樣就建立了一個平面

4、極坐標(biāo)系，平面極坐標(biāo)系，簡稱簡稱極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系.XO 第4頁/共42頁2 2、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定 對于平面上任意一點(diǎn)對于平面上任意一點(diǎn)M,M,用用 表示線段表示線段OMOM的長度的長度, ,用用 表示以射線表示以射線OXOX為始邊為始邊, ,射線射線OMOM為終邊所成的角為終邊所成的角, , 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M M的的極徑極徑, , 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M M的的極角極角, ,有序數(shù)對有序數(shù)對( ( , , ) )就叫做就叫做M M的的極坐標(biāo)極坐標(biāo)，記作，記作M M ( ( , , ) ) . .XOM 特別規(guī)定特別規(guī)定：當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M為極點(diǎn)時，它的極坐為極點(diǎn)時，它的

5、極坐標(biāo)標(biāo)為為_(0, ), 可為任意值可為任意值.一般地，不作特殊說明時，認(rèn)為一般地，不作特殊說明時，認(rèn)為 0 0， 可取任意實(shí)數(shù)可取任意實(shí)數(shù). .第5頁/共42頁例例1、 如圖，寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo)：如圖，寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo)：。Ox ABCDEFGA(4,0)B(3, ) 4C(2, ) 2D(5, )5 6E(4.5, )F(6, )4 3G(7, )5 3156 43 53 2 4 第6頁/共42頁例例2、在極坐標(biāo)系中描下列各點(diǎn)：、在極坐標(biāo)系中描下列各點(diǎn)：。Ox 156 43 53 2 4 545(3,0)(6,)(1,)(5,) E(4,),F2,6233、ABCD A AB BC CD D

6、E EF F第7頁/共42頁3.3.用點(diǎn)用點(diǎn)A, ,B, ,C, ,D,E,E分別表示教學(xué)樓分別表示教學(xué)樓, ,體育館體育館, ,圖圖 書館書館, ,實(shí)驗(yàn)樓實(shí)驗(yàn)樓, ,辦公樓的位置辦公樓的位置. .建立適當(dāng)?shù)慕⑦m當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系極坐標(biāo)系, ,寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo)寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo). . A B C D E50m450 600 120m60m解解: :以點(diǎn)以點(diǎn)A為極點(diǎn)為極點(diǎn), ,AB所在所在的射線為極軸的射線為極軸( (單位長單位長度為度為1 m),1 m),建立極坐標(biāo)系建立極坐標(biāo)系. .則點(diǎn)則點(diǎn)A, ,B, ,C, ,D, ,E的極坐的極坐 標(biāo)分別為標(biāo)分別為(0,0),A(O)x(60,0),BC(1

7、20,),3D(60 3,),23(50,).4E第8頁/共42頁 平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？ 若不唯一，那有多少種表示方法？若不唯一，那有多少種表示方法？ 坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？同一點(diǎn)同一點(diǎn)不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？探究：極坐標(biāo)系下的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況探究：極坐標(biāo)系下的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況(4,),(4,2 ),(4,4 ),(4,2 )6666練習(xí)：在同一個極坐標(biāo)中描出以下各點(diǎn)：它們所表示的點(diǎn)有什么？思考關(guān)系A(chǔ)BCD本題點(diǎn)M的極坐標(biāo)統(tǒng)一表達(dá)式：4 2k+6， 第9頁/共42頁極坐

8、標(biāo)系下的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況極坐標(biāo)系下的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況(1)(1)給定（給定（ , , ）, ,在在極坐標(biāo)極坐標(biāo)平面內(nèi)確定可唯一的一點(diǎn)平面內(nèi)確定可唯一的一點(diǎn) M(2)(2)給定平面上一點(diǎn)給定平面上一點(diǎn) M ，但卻有無數(shù)個極坐標(biāo)與之對應(yīng)，但卻有無數(shù)個極坐標(biāo)與之對應(yīng)原因在于：原因在于：極角有無數(shù)個極角有無數(shù)個一般地一般地, ,若若( (, ,) )是一點(diǎn)的極坐標(biāo)是一點(diǎn)的極坐標(biāo), ,則則( (, ,+2+2k)都可以作為它的極坐標(biāo)都可以作為它的極坐標(biāo). .如果限定如果限定 0, 02那么除極點(diǎn)外那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的平面內(nèi)的點(diǎn)點(diǎn)和和極坐標(biāo)極坐標(biāo)就可以就可以一一對應(yīng)一一對應(yīng)了了.特別強(qiáng)調(diào)

9、：特別強(qiáng)調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時），認(rèn)為一般情況下（若不作特別說明時），認(rèn)為 0.或或 ,第10頁/共42頁互化關(guān)系式Oxy ),( Mxy sin,cosyx極極坐坐標(biāo)標(biāo)化化直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)：)(tan,0222xxyyx 直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)化化極極坐坐標(biāo)標(biāo)：當(dāng)點(diǎn)不在第一象限內(nèi)時，是否還成立？原理是什么？互化前提第11頁/共42頁.,.,)(,)(，求求兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離，已已知知兩兩點(diǎn)點(diǎn)的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)化化成成極極坐坐標(biāo)標(biāo)的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)將將點(diǎn)點(diǎn)化化為為直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)；的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)將將點(diǎn)點(diǎn)2332213232511 MM第12頁/共42頁平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)(極點(diǎn)除外)

10、第13頁/共42頁 sin,cosyx極極坐坐標(biāo)標(biāo)化化直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)：)(tan,0222xxyyx 直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)化化極極坐坐標(biāo)標(biāo)：課堂小結(jié)課堂小結(jié)第14頁/共42頁思考思考: 極坐標(biāo)系中極坐標(biāo)系中, 點(diǎn)點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-10, ), 則下列各則下列各 坐標(biāo)中坐標(biāo)中, 不是不是M點(diǎn)的坐標(biāo)的是點(diǎn)的坐標(biāo)的是( ) 3課后思考課后思考410,3510,3510,3210,3A AB BC CD D第15頁/共42頁2.2.邊長為邊長為a的正六邊形的正六邊形OABCDE在極坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中 的位置如圖所示，求這個正六邊形各頂點(diǎn)的位置如圖所示，求這個正六邊形各頂點(diǎn) 的極坐標(biāo)。的極坐標(biāo)。A

11、BCxEDO解：解：O(0, 0)，C(2a, 0)5( ,)3A a( ,)3E a( 3 ,)6Da11( 3 ,)6Ba第16頁/共42頁(1)(2)(3)( , )(0, )AAAA 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)關(guān)于于極極軸軸對對稱稱的的點(diǎn)點(diǎn)為為_點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)關(guān)于于垂垂直直于于極極軸軸的的直直線線 對對稱稱的的點(diǎn)點(diǎn)為為_點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)關(guān)于于極極點(diǎn)點(diǎn)對對稱稱的的點(diǎn)點(diǎn)為為對對極極_坐坐標(biāo)標(biāo)平平面面中中任任_意意一一點(diǎn)點(diǎn)_( ,)( ,)( ,) (20, ),)6AlAl設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)，直直線線 為為過過極極點(diǎn)點(diǎn)且且垂垂直直于于極極軸軸 的的直直線線，分分別別求求點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)關(guān)于于極極軸軸、直直線線 、極極點(diǎn)點(diǎn) 的的對對稱稱Ex

12、Ex（限限定定點(diǎn)點(diǎn)的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)第17頁/共42頁變式變式: :在極坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中, ,若等邊三角形的兩頂點(diǎn)若等邊三角形的兩頂點(diǎn) 是是A(2, ) ,B(2, ) ,A(2, ) ,B(2, ) , 那么頂點(diǎn)那么頂點(diǎn)C C的坐標(biāo)可能是的坐標(biāo)可能是( )( )44533.(4,) .(2 3,)(2 3,)444.(2 3,).(3,)ABCD 或或 第18頁/共42頁4、負(fù)極徑的定義、負(fù)極徑的定義說明：一般情況下，極徑都是正值；在某些說明：一般情況下，極徑都是正值；在某些必要情況下，極徑也可以取負(fù)值必要情況下，極徑也可以取負(fù)值.對于點(diǎn)對于點(diǎn)M（ ， ）負(fù)極徑時的規(guī)定：負(fù)極徑時的規(guī)定：1

13、作射線作射線OP，使，使 XOP= 2在在OP的反向延長的反向延長 線上取一點(diǎn)線上取一點(diǎn)M， 使使 OM = OXPM第19頁/共42頁OXP= /4M四、2、負(fù)極徑的實(shí)例在極坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)M（3，/4）的位置1作射線OP，使XOP= /4 2在OP的反向延長線上取一點(diǎn)M，使OM= 3第20頁/共42頁說出下圖中當(dāng)極徑取負(fù)值時各點(diǎn)的極坐標(biāo)：A AB BC CD DE EO OX X26121112232345第21頁/共42頁四、3、關(guān)于負(fù)極徑的思考“負(fù)極徑”真是“負(fù)”的？ 根據(jù)極徑定義，極徑是距離，當(dāng)然是正的。現(xiàn)在所說的“負(fù)極徑”中的“負(fù)”到底是什么意思？ 把負(fù)極徑時點(diǎn)的確定過程，與正極徑時

14、點(diǎn)的確定過程相比較，看看有什么相同，有什么不同？第22頁/共42頁四、4、正、負(fù)極徑時，點(diǎn)的確定過程比較OXPOXP1作射線OP，使XOP= /4 2在OP的反向延長線上取一點(diǎn)M，使OM= 31作射線OP，使XOP= /4 2在OP的上取一點(diǎn)M，使OM= 3M畫出點(diǎn) （3，/4） 和（3，/4）給定,在極坐標(biāo)系中描點(diǎn)的方法：先按極角找到極徑所在的射線，后按極徑的正負(fù)和數(shù)值在這條射線或其反向延長線上描點(diǎn)。M第23頁/共42頁四、5、負(fù)極徑的實(shí)質(zhì) 從比較來看，負(fù)極徑比正極徑多了一個操作，將射線OP“反向延長”。OXPMOXPM 而反向延長也可以看成是旋轉(zhuǎn) ，因此，所謂“負(fù)極徑”實(shí)質(zhì)是管方向的。這與

15、數(shù)學(xué)中通常的習(xí)慣一致，用“負(fù)”表示“反向 ”。第24頁/共42頁負(fù)極徑小結(jié)：極徑變?yōu)樨?fù)，極角增加 。練習(xí)：寫出點(diǎn) 的負(fù)極徑的極坐標(biāo)（6， ）6答：（6， +）6或（6， +）611特別強(qiáng)調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時），認(rèn)為 0 。因?yàn)樨?fù)極徑只在極少數(shù)情況用。第25頁/共42頁五、極坐標(biāo)系下點(diǎn)的極坐標(biāo)OXPM探索點(diǎn)M（3，/4）的所有極坐標(biāo)1極徑是正的時候：423k，2極徑是負(fù)的時候：)423k，（第26頁/共42頁六、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況1給定（,）,就可以在極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的一點(diǎn)M。2給定平面上一點(diǎn)M，但卻有無數(shù)個極坐標(biāo)與之對應(yīng)。原因在于：極角有無數(shù)個。OXPM(,)第

16、27頁/共42頁一般地,若(,)是一點(diǎn)的極坐標(biāo),則(,+2k)、,+(2k+1)都可以作為它的極坐標(biāo).如果限定0,02或 ,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以一一對應(yīng)了.第28頁/共42頁2.在極坐標(biāo)系中,與(,)關(guān)于極軸對稱的點(diǎn)是( )A.(,) B.(,)C.(,) D.(,)CD題組三 1. 在極坐標(biāo)系中，與點(diǎn)(3, )重合的點(diǎn)是( )6A.(3, ) B. (3, ) C. (3, ) D. (3, ) 666565第29頁/共42頁3.在極坐標(biāo)系中,與點(diǎn)(8, )關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn) 的一個坐標(biāo)是 ( )6A.(8, ) B. (8, ) C. (8, ) D.(8, ) 65666

17、5A第30頁/共42頁3一點(diǎn)的極坐標(biāo)有否統(tǒng)一的表達(dá)式？小結(jié)1建立一個極坐標(biāo)系需要哪些要素極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向。2極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)有多少種表達(dá)式？無數(shù)，極徑有正有負(fù)；極角有無數(shù)個。有。（，2k+）第31頁/共42頁。Ox 156 43 53 2 4 A AB BC CD DE EF F若若極角取負(fù)值極角取負(fù)值，則上例中的，則上例中的A，B，C，D，E，F(xiàn)的的極坐標(biāo)又可以表示為極坐標(biāo)又可以表示為3, 2,76,631,225,34,2,3ABCDEF第32頁/共42頁Ox )| | M( , )Ox例如例如:M(-2, )5 6)5 6作射線作射線OP，使，使xOP=

18、M(-2, )5 6P P在射線在射線OP的反向延長線上取一點(diǎn)的反向延長線上取一點(diǎn)M ，使，使|OM|=| |當(dāng)極徑當(dāng)極徑 0時，點(diǎn)時，點(diǎn)M( , )的位置按如下規(guī)則確定的位置按如下規(guī)則確定：第33頁/共42頁。Ox 4 25 65 45 3 11 62 33 2ABCDE14,0113,62,251,353,4ABCDE第34頁/共42頁3 3、點(diǎn)的極坐標(biāo)的表達(dá)式的研究、點(diǎn)的極坐標(biāo)的表達(dá)式的研究XOM 如圖：如圖：OM的長度為的長度為4，4請說出點(diǎn)請說出點(diǎn)M的極坐標(biāo)的表達(dá)式？的極坐標(biāo)的表達(dá)式？54,4,44 5454,2,4,2,44kkkZ ( , )(- , + )( , 2k + )(- , +(2k+1) )小結(jié)小結(jié)表示同一點(diǎn)的表示同一點(diǎn)的極坐標(biāo)極坐標(biāo).第35頁/共42頁4 4、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況11給定（給定（ , , ）, ,就可以在就可以在極坐標(biāo)極坐標(biāo)平平面內(nèi)確定面內(nèi)確定唯一唯一的一點(diǎn)的一點(diǎn)M M22給定平面上一點(diǎn)給定平面上一點(diǎn)M M，但卻有，但卻有無數(shù)無數(shù)個極坐標(biāo)與之對個極坐標(biāo)與之對應(yīng)應(yīng)OXPM(,)33如果如果規(guī)定規(guī)定0,00,022或或 - -那么那么除極點(diǎn)除極點(diǎn)外外, ,平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以一一對應(yīng)一一對應(yīng)了了. .第3