【校本】數(shù)學(xué)思維訓(xùn)（高年級）

1、數(shù)學(xué)思維訓(xùn)高年段前 言 趣味數(shù)學(xué)是我校開發(fā)校本教材的內(nèi)容之一，是十幾位一線教師的教學(xué)智慧的結(jié)晶。趣味數(shù)學(xué)共分三本，分別適宜低、中、高三個學(xué)段學(xué)生的探究學(xué)習(xí)，它以小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)各學(xué)段的教學(xué)目標(biāo)為基準(zhǔn)又略高于數(shù)學(xué)課本的一套集趣味性、娛樂性和知識性于一體的益智數(shù)學(xué)校本教材。在每一本每一講里，設(shè)置了適合不同年級小朋友學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)趣題，通過典型事例剖析、思路點撥、動手動腦訓(xùn)練，讓小朋友們可以由淺入深地接受新知識、新內(nèi)容。書中運用簡單的數(shù)學(xué)原理，從不同的視角出發(fā)，采用多種思維方式把一些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)演繹得妙趣橫生，讓你在娛樂中輕松地學(xué)習(xí)。趣味數(shù)學(xué)將寓教于樂的教學(xué)理念移植到單調(diào)枯燥的數(shù)學(xué)教學(xué)中。力求讓孩子在

2、趣味化、生活化的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，自主地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。趣味數(shù)學(xué)精心創(chuàng)設(shè)輕松、活潑的教學(xué)情境，使教學(xué)活動源于孩子生活，源于孩子好奇之事。力求引導(dǎo)孩子積極運用自己已有的生活經(jīng)驗去探索、去發(fā)現(xiàn)、去體驗。對學(xué)生進行無痕的引導(dǎo)，降低學(xué)生接受的難度，通過學(xué)生的探究和發(fā)現(xiàn)感受到有趣有用的數(shù)學(xué)，并讓孩子將所學(xué)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于日常生活中，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識生活化，使學(xué)生感到生活中處處有數(shù)學(xué)，體會探究數(shù)學(xué)的價值，鍛煉數(shù)學(xué)智慧，提高解決問題的方法。更重要的是體會我們古代先人的光輝的數(shù)學(xué)成就和學(xué)習(xí)探究科學(xué)的不懈精神，從而更親近數(shù)學(xué)。編寫本教材目的就是希望為擴大學(xué)生的視野，拓寬知識，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、感受數(shù)學(xué)之美、訓(xùn)練

3、數(shù)學(xué)思維、為學(xué)生提供了一個最佳舞臺。讓學(xué)生親身體悟“數(shù)學(xué)有趣，數(shù)學(xué)有用，數(shù)學(xué)不難”，故名趣味數(shù)學(xué)。小學(xué)趣味數(shù)學(xué)編寫組目錄第一講 趣味數(shù)字因數(shù)和倍數(shù)第2講 愉快的小組活動最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)第三講 玩積木長方體和正方體的表面積第四講 參觀工廠長方體和正方體的體積第5講 趣味計算分?jǐn)?shù)加、減法的簡便算法第6講 “角色”的區(qū)分分?jǐn)?shù)加、減法的應(yīng)用題第7講 妙算奇偶數(shù)的巧用第8講 愉快的周末解決問題的策略第9講 圖紙中的學(xué)問 比例尺第10講 事物間奇妙的聯(lián)系比例的應(yīng)用第11講 帶符號的數(shù)負(fù)數(shù)第12講 生活中的好幫手百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題第13講 聰聰游圖形王國圓柱與圓錐（一）第14講 聰聰游圖形王國圓柱與圓錐（二

4、）第十五講 快樂的打工體驗解決問題的策略第一講 趣味數(shù)字因數(shù)和倍數(shù)在數(shù)字王國里住著很多數(shù)，1、2、3最特別的數(shù)有2、3、4、5、8、9。今天，讓我們一起去研究他們的奧妙吧！自主探究探究類型之一例1：四位數(shù)6A2B能同時被2、3、5整除，這樣的四位數(shù)有多少個？能同時辦被2和5整除的數(shù)，個位上必須是0，再結(jié)合能被3整除的數(shù)的特征，即可列舉出符合要求的數(shù)思路點撥嘗試解答探究類型之二例2：一個兩位數(shù)，它既是2的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)，并且要最大。（1） 這個兩位數(shù)是多少？（2） 這個兩位數(shù)的因數(shù)有多少個？它所有的因數(shù)的和是多少？ 是2的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)，說明這兩個數(shù)末尾只能是（ ），然后再確定這兩個數(shù)，

5、求所有因數(shù)的和，先要找出所有的因數(shù)。思路點撥：嘗試解答探究類型之三例3：在613后面補上三個數(shù)字組成一個六位數(shù)，使它分別能被3、4、5整除，符合這些條件的六位數(shù)中最小的一個是多少？思路點撥：能被5整除的數(shù)的特征是該數(shù)的末位是0或5，而能被4整除的數(shù)的特征是單該數(shù)的末兩位能被4整除.嘗試解答探究類型之四例4：判斷36192能不能分別被8或9整除。如果一個數(shù)的末三位數(shù)能被8整除，那么它必須能被8整除；如果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么它必須能被9整除。思路點撥：嘗試解答大膽闖關(guān)1、 在四位數(shù)5（ ）8（ ）的（ ）內(nèi)填什么數(shù)字，才能使它既能被3整除又含有因數(shù)5？2、 在568后面補上三

6、個數(shù)字，組成一個六位數(shù)。是它分別能被3、4、5整除。符合這些條件的六位數(shù)中，最小的一個是多少？3、 判斷39262、147600、349200哪些能被8或9整除。(請分別寫出來)今天你學(xué)得怎么樣？學(xué)生評價教師評價家長意見數(shù)學(xué)萬花筒如何培養(yǎng)自己堅持學(xué)習(xí)的好習(xí)慣每天堅持學(xué)習(xí)的最好方法就是把學(xué)習(xí)變成一種習(xí)慣。一個行為科學(xué)研究的結(jié)論：一個人一天的行為中大約只有5%是屬于非習(xí)慣性的，而剩下的95%的行為都是習(xí)慣性的。當(dāng)花上一段時間把你的學(xué)習(xí)計劃變成自己的習(xí)慣之后，你就會發(fā)現(xiàn)自己離目標(biāo)越來越近。你可能聽到過21天左右能形成一個新的習(xí)慣的說法，這只是一個大概的情況。但這個周期根據(jù)不同的人和習(xí)慣而變化，周期從

7、幾天到幾個月不等。不管這個周期要多長時間，一般都要經(jīng)歷過三個階段：第一階段：此階段的特征是“刻意，不自然”，需要十分刻意提醒自己改變，會覺得有些不自然，不舒服。第二階段：此階段的特征是“刻意，自然”，你已經(jīng)覺得比較自然，比較舒服了，但是一不留意，你還會回復(fù)到從前。因為，還需要刻意提醒自己改變第三階段：此階段的特征是“不經(jīng)意，自然”，其實這就是習(xí)慣，這一階段被稱為“習(xí)慣性的穩(wěn)定期”，一旦跨入此階段，你已經(jīng)完成了自我改造，這項習(xí)慣已成為你生命中的一個有機組成部分，它會自然地不停地為你效勞。以下幾個建議可以幫助你更好的養(yǎng)成習(xí)慣：1、每天的時間要適度，找到適合自己強度的時間。你需要根據(jù)自己的實際情況來

8、調(diào)整每天的學(xué)習(xí)計劃。你以前從來沒有連續(xù)學(xué)習(xí)一個小時以上，就不要制訂一個每天學(xué)習(xí)2或3個小時的學(xué)習(xí)計劃。你可以把它變?yōu)槊刻鞂W(xué)習(xí)半個小時或一個小時。再把半小時或一個小時的學(xué)習(xí)時間拆分為每次10分鐘或20分鐘，這樣更容易每天堅持下去。2、把每天的學(xué)習(xí)計劃放在首要位置。你可以每天早上提前起來10分鐘或半小時用來完成學(xué)習(xí)計劃。盡量把每天的學(xué)習(xí)計劃放在第一件要做的事情上。你可以充分利用早上的時間來完成你的學(xué)習(xí)計劃。3、充分利用零散時間完成你的計劃。有的時候你會發(fā)現(xiàn)自己很忙，無法拿出整段的學(xué)習(xí)時間來學(xué)習(xí)。這時你可以學(xué)習(xí)利用零散的時間段來完成你的計劃。如上下班坐車的時間，午飯時間，排隊的時間等一些小塊的時間。

9、第二講 愉快的小組活動最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)希望小學(xué)開展了豐富多彩的興趣小組，有體育小組、剪紙小組、毛筆字小組、拼圖小組同學(xué)們積極參加了這些活動，我們一起去看一看吧自主探究探究類型之一例1：五年級三個班分別有36人、30人、42人參加課外體育活動，現(xiàn)在要把參加的人分成人數(shù)相等的小組，且各班同學(xué)不能打亂，那么每組最多有多少人？此時一共可以分成多少個小組？要將三個班的人數(shù)分成人數(shù)相等的小組，每組的人數(shù)與三個班的人數(shù)之間是什么關(guān)系呢？同時還要考慮每組的人數(shù)要最多。思路點撥嘗試解答探究類型之二例2：王老師為同學(xué)們準(zhǔn)備了一張長方形的紙。長75厘米，寬6分米?，F(xiàn)在要把它裁成邊長為整厘米數(shù)、面積相等的小正方

10、形紙片，恰無剩余。如果要使裁出的小正方形面積最大，可以裁成多少塊？ 思路點撥：根據(jù)題目的條件思考，原長方形的長與寬和小正方形邊長之間是什么關(guān)系呢？并且要考裁得的小正方形的面積最大？嘗試解答探究類型之三例3：興趣小組李老師問同學(xué)們：“有一種長20厘米、寬16厘米的塑料扣板，如果用這種扣板拼成一個正方形，最少需要多少塊？”思路點撥：用若干這樣的扣板拼成一個正方形，這個正方形的邊長應(yīng)該是長方形長和寬的倍數(shù)，并且要考慮使長方形的扣板塊數(shù)最少。嘗試解答探究類型之四例4：小明、小紅、小華三位同學(xué)去圖書館看書。小明每2天去一次，小紅每3天去一次，小華每4天去一次。1月1日，他們?nèi)饲『迷趫D書館相會，問最少再

11、過多少天他們?nèi)擞衷趫D書館相會？思路點撥：從第一次三人在圖書館相會到下一次再相會，相隔的天數(shù)應(yīng)該是2、3、4的公倍數(shù)。由于問最少多少天，所以相隔的天數(shù)應(yīng)是2、3、4的最小公倍數(shù)。嘗試解答大膽闖關(guān)1、某廠召開職工代表大會，三個車間分別有72人，45人，81人參加，現(xiàn)在大會要編成若干組進行討論交流，編組時各車間人員不打亂，而且每組人數(shù)要相等，每組最多有幾人？要編成多少組？2、有一種地板板磚，長20厘米，寬15厘米，至少需要多少塊這樣的地板磚才能拼成一個實心的正方形？3、1路、2路和3路車同時從車站出發(fā)。1路車每隔10分鐘發(fā)一輛，,2路車每隔15分鐘發(fā)一輛，3路車每隔20分鐘發(fā)一輛。當(dāng)這三條路線的車

12、同時發(fā)車后，至少要過多少分鐘才又有這三條路線的車同時發(fā)車？今天你學(xué)得怎么樣？學(xué)生評價教師評價家長意見數(shù)學(xué)萬花筒“1”為什么不是質(zhì)數(shù)？全體自然數(shù)可以分為三類1、只能被“1”和它本身整除的數(shù)叫質(zhì)數(shù)，如2、3、5、7、11。2、除了“1”和它本身以外，還能被其他數(shù)整除的數(shù)叫合數(shù)，如4、6、8、9。3、“1”既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。有人要問，“1”也只能被1和它本身整除，為什么不能算質(zhì)數(shù)呢？而且“1”算作質(zhì)數(shù)后，全體自然數(shù)分成質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩類，豈不是更簡單嗎？這要從分解質(zhì)因數(shù)談起。比如，1001能被哪些數(shù)整除，其實質(zhì)是將1001分解質(zhì)因數(shù)，有1001=7X11X13，而且只用這一種分解結(jié)果，知道了100

13、1除了被1和它本身整除以外，還能被7、11、13整除，若把“1”也算作質(zhì)數(shù)，那么1001分解質(zhì)因數(shù)就會出現(xiàn)下面一些結(jié)果：1001=7X11X131001=1X7X11X131001=1X1X7X11X13也就是說，分解式中可隨意添上幾個因素“1”。這樣做，一方面對求1001的因素毫無必要，另一方面分解質(zhì)因數(shù)結(jié)果不唯一，又增添了不必要的麻煩。因此“1”不算作質(zhì)數(shù)。第三講 玩積木長方體和正方體的表面積聰聰和明明是一對雙胞胎姐妹，星期天，他們在玩積木，爸爸說：“積木里面有著很多數(shù)學(xué)問題呢，今天你們邊玩積木邊比賽做數(shù)學(xué)題好嗎？”聰聰和明明很高興的參與了。自主探究探究類型之一例1：爸爸拿出兩個長5厘米、

14、寬4厘米、高3厘米的長方體積木，你們能拼出一個表面積最小的大長方體嗎？這個大長方體的表面積是多少？思路點撥怎樣拼表面積最小呢？嘗試解答探究類型之二例2：聰聰和明明順利地就做出來了，這時爸爸拿出19個棱長為2厘米的小正方體積木堆成如圖的形狀。聰聰、明明你們能求出它的表面積嗎？ 思路點撥：可按上下，左右，前后的順序數(shù)出共有多少個小正方形，即可求得表面積。想一想，還有別的好辦法嗎？嘗試解答探究類型之三例3：聰聰和明明都做對了題目，他們還要爸爸出題。于是爸爸拿出一個棱長是5厘米的正方體，然后在它的每個面的中央都挖去一個棱長為1厘米的小正方體，那么所得物體的表面積是多少平方厘米？思路點撥：在正方體的一個

15、面的中央挖去一個小正方體（如圖），可以看出，增加了（ ）個小正方體的面。所以，原來正方體的六個面各挖去一個小正方體后，表面積共增加了（ ）平方厘米。嘗試解答探究類型之四例4：聰聰和明明兩姐妹前三題都做對了，爸爸說最后一題定勝負(fù)。這時，爸爸拿出一個正方體積木，棱長是4厘米。如果把這個正方體切成若干個棱長是2厘米的小正方體（如圖），那么，這些小正方體表面積之和是多少？思路點撥：思路一：用小正方體的表面積乘以塊數(shù)，得到所有小正方體表面積的和。思路二：將原來正方體切開后，原來的六個面仍是索求表面積的一部分，而每切一刀，就增加2個正方形的剖面，現(xiàn)在一共切了3刀，表面積就比原來增加了236（個）正方形的表

16、面積。用原來正方體的表面積加上增加的面積，就得到所有小正方體表面積的和。同學(xué)們一定有了不小的收獲吧！那就讓我們到闖關(guān)室里轉(zhuǎn)一圈吧！嘗試解答大膽闖關(guān)1、把兩個長5厘米，寬2厘米，高1厘米的長方體拼成一個表面積最大的長方體。這個長方體的表面積是多少？2、14個棱長為1厘米的小正方體堆成如圖的形狀，求它的表面積。3、有一個棱長是3厘米的正方體，從它的每條棱上挖去一個棱長是1厘米的小正方體，所得物體的表面積是多少平方厘米？今天你學(xué)得怎么樣？學(xué)生評價教師評價家長意見數(shù)學(xué)萬花筒卡文迪許第一個算出地球的重量地球是人類居住的星球。地球到底有多重？人類能用什么方法“稱一稱”地球這個“龐然大物”呢？18世紀(jì)末，英

17、國科學(xué)家卡文迪許經(jīng)過深入研究，認(rèn)為萬有引力定律是唯一可“稱”地球的方法辦法。可是，在實驗室里采用這個辦法是極為困難的。當(dāng)時沒有精密的測量儀器，測量中“失之毫厘”，結(jié)果就會“謬以千里”。怎樣才能提高儀器的測量度呢？卡文迪許冥思苦想，茶飯不思。一天，他看見幾個小孩用鏡子發(fā)射太陽光柱，小鏡子稍稍一動，遠處的光斑就有了很大的位移。卡文迪許大受啟發(fā)，根據(jù)這個原理改進測量地球的儀器。使靈敏度大大提高。他終于在1798年第一個“稱”出地球的重量，它的數(shù)值是60萬億億噸。這一數(shù)值，與當(dāng)今數(shù)學(xué)家用最先進的儀器，測量出地球重量59.8萬億億噸，誤差僅為0.2萬億億噸，可謂相差無幾。第四講 參觀工廠長方體和正方體的

18、體積周末，小林到爸爸的鋼鐵場里玩，一進車間，小林就看到爸爸和很多叔叔在工作。小林是個肯動腦筋的孩子。他一邊看著爸爸和叔叔在工作，一邊思考自主探究探究類型之一例1：為了給鐵塊降溫，小林看到王叔叔把一個棱長為3分米的正方體燒紅的鐵塊放進了一個長15分米，寬12分米的長方體水箱中，水箱中原來水深10分米。王叔叔問：“你能知道水箱中現(xiàn)在水深多少分米嗎？”（不考慮熱脹冷縮現(xiàn)象）思路點撥思路一：正方體鐵塊放入水中后，水面上升，上升部分的水的體積與鐵塊的體積相等。因此，只要求出上升部分水的高度，就可以求出現(xiàn)在水的深度。思路二：用水箱中水和鐵塊的體積之和，除以水箱的底面積就可以求出現(xiàn)在水的深度。嘗試解答探究類

19、型之二例2：小林看到爸爸拿著一塊棱長為6厘米的正方體鋼坯，準(zhǔn)備將其鍛造成橫截面是9平方厘米的長方體零件。爸爸說：“小林你能知道，我要做的零件有多長嗎？”思路點撥：把正方體鋼胚鍛造成長方體鋼材，雖然形狀發(fā)生了變化，但體積沒有變，正方體鋼坯的體積就是長方體鋼材的體積。嘗試解答探究類型之三例3：爸爸拿出一個長方體木塊，從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長方體后，便成為一個正方體，此時表面積減少了120平方厘米。問小林：“原來長方體木塊的體積是多少立方厘米？”思路點撥：從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長方體，可以假設(shè)從上面截去高為5厘米的長方體。表面積減少了120平方厘米，就是減少高為五

20、5厘米的長方體四個相等的側(cè)面，先求出一個側(cè)面的面積，再求出長方體的長和寬。高比長和寬多5厘米。嘗試解答探究類型之四例4：從長為13厘米，寬為9厘米的長方形紙板的四角去掉邊長為3厘米的正方形，然后沿虛線折疊成長方體容器，這個容器的體積是多少立方厘米？思路點撥：根據(jù)題目條件畫出圖形，然后確定長方體容器的長、寬、高，再求出體積大膽闖關(guān)1、一個長方體空水箱，長5分米，寬,4分米。先倒入73升水，再浸入一塊棱長為3分米的正方體鐵塊，這時水面離箱口1分米，這個水箱的容積是多少升？2、在一個長60厘米，寬38厘米的長方體容器內(nèi)浸沒著一塊長方體鋼塊，當(dāng)取出鋼塊時，容器中的水面下降了5厘米。如果長方體鋼塊的底面

21、積是570平方厘米，求鋼塊高多少厘米？3有一個長、寬、高分別是40厘米、30厘米、20厘米的長方體木塊，最多能鋸成多少個棱長為4厘米的小正方體？今天你學(xué)得怎么樣？學(xué)生評價教師評價家長意見數(shù)學(xué)萬花筒齊白石的故事爭畫記建國伊始，齊白石用心制作了兩方印章送毛澤東。毛澤東不久在中國南海設(shè)宴，請郭沫若作陪，答謝齊白石。三人飲過一杯酒，毛澤東又端起酒杯，向齊白石道：“剛才請白老喝酒，是感謝您為我制印，這一杯是感謝您為我作畫?！饼R白石一怔，不知何時給毛澤東作過畫。毛澤東讓秘書把花取來，展開掛到墻上。是一副全綾裝裱的立軸，畫著一棵郁郁蔥蔥李子樹，樹上落著一群毛絨絨小鳥，樹下佇立著一頭憨厚的老牛，老牛正側(cè)著腦袋

22、望著小鳥出神。齊白石見畫后好不驚詫，這畫是他練筆的“廢品”，他沒留神，在給毛澤東送印時用作包裝紙了。想不到毛澤東居然把這廢畫裝裱了。齊白石要拿回去，給毛澤東另畫，毛澤東卻道大可不必，這畫就不錯。齊白石發(fā)急，站起身想自己摘畫，卻被郭沫若攔住，說此畫應(yīng)是齊白石送郭的，畫上標(biāo)著郭的名字。齊白石不解郭沫若笑說：這樹上畫了五只鳥，樹上五鳥，這不是我的名字嗎？原來，郭沫若名開貞，字尚武，“尚武”諧“上五”，故有此說。且慢！毛澤東揮揮手，要如此說，畫上也標(biāo)有本人的名字嘛！請問，白老畫的是什么樹？李子樹。李子樹畫得茂盛嗎？茂盛。這不就是敝人之名嗎？當(dāng)年八路軍撤離延安時，毛澤東曾對人說，離開者得勝也。于是取名李

23、德勝。齊白石聽至此也樂了，誠懇道：如此說來，拙畫還有點意思，那么，勞駕二位在卷首上賞賜幾個字，如何？毛澤東提筆新來：丹青意造本無法，這是借用蘇東坡的句子：“我書意造本無法”。郭沫若接題，寫的是：畫圣胸中常有詩，套的是陸游句：“此老胸中常有詩”。上下句成為對仗工整的一聯(lián)。最終，此畫還是被齊白石帶回了家。以后不知下落。第五講 趣味計算分?jǐn)?shù)加、減法的簡便算法樂樂很喜歡做計算題，聽說今天朱老師要講分?jǐn)?shù)的計算題，樂樂可開心啦！他想：“我們小組今天一定拿第一名?！弊灾魈骄刻骄款愋椭焕?：用簡便方法計算運用加法的交換律和結(jié)合律，把能夠湊成整數(shù)的先加，可以使計算簡便。思路點撥嘗試解答探究類型之二例2：簡便計

24、算： 思路點撥：在同一級運算中，靈活、合理調(diào)整運算順序，就可以使計算簡便。嘗試解答探究類型之三例3：用簡便方法計算： 思路點撥：在添加括號或去掉括號的時候，括號前面是“”號，括號內(nèi)的加號要變成減號，減號變要變加號；括號前面是“+”號，括號內(nèi)的符號不變。嘗試解答探究類型之四例4：計算思路點撥：本題的特點：分子都是1，后一個分?jǐn)?shù)的分母,是前一個分?jǐn)?shù)分母的2倍，也就是前一個分?jǐn)?shù)值是后一個分?jǐn)?shù)值的2倍。嘗試解答大膽闖關(guān)1、 用簡便方法計算下面各題。 今天你學(xué)得怎么樣？學(xué)生評價教師評價家長意見數(shù)學(xué)萬花筒蘋果樹下的例行散步1884年春天，年輕的數(shù)學(xué)家阿道夫.赫維茨從哥廷根來到哥尼斯堡擔(dān)任副教授，年齡還不到

25、25歲，在函數(shù)論方面也有出色的研究成果。希爾伯特和閩可夫斯基很快就和他們的新老師建立了密切的關(guān)系。他們這三個年輕人，每天下午5時準(zhǔn)必定相會去蘋果樹下散步。希爾伯特后來回憶道：“日復(fù)一日的散步中，我們?nèi)悸耦^討論當(dāng)前數(shù)學(xué)的實際問題；相互交換我們對問題新近獲得的理解，交流彼此的想法和研究計劃?！痹谒麄?nèi)酥校站S茨有著廣泛“堅實的基礎(chǔ)知識，又經(jīng)過很好的整理”，所以他是理所當(dāng)然的帶頭人，并使其他兩位心悅誠服。當(dāng)時希爾伯特發(fā)現(xiàn)，這種數(shù)學(xué)方法比鉆在昏暗的教室或者圖書館里啃書本不知要好多少倍，這種例行的散步一直持續(xù)了整整八年半之久。以這種最悠然而有趣的學(xué)習(xí)方式，他們探索了數(shù)學(xué)的每一個角落，考察著數(shù)學(xué)世界的

26、每一個王國，希爾伯特后來回憶的道：“那時從沒有想到我們竟會把自己帶到那么遠！”三個人就這樣“結(jié)成了終身的友誼”。正如徐利治教授所指出的，良師益友間的相互切磋討論對希爾伯特的成長發(fā)展也起了十分重要的作用，可以說那段時間是希爾伯特才、學(xué)、識獲得迅速成長的重要階段，假如沒有這段經(jīng)歷，那么希爾伯特在1900年竟能在許多重要領(lǐng)域中一次提出那么多著名難題，倒是不易想象的了。第六講 “角色”的區(qū)分分?jǐn)?shù)加、減法的應(yīng)用題分?jǐn)?shù)在應(yīng)用題中充當(dāng)?shù)摹敖巧焙芏嘧?。有時候表示與單位“1”相對應(yīng)的分率，有時候又代表著具體的量。同學(xué)們，你能準(zhǔn)確地區(qū)分它們嗎？自主探究 探究類型之一例1：一堂40分鐘的體育活動課，做準(zhǔn)備活動用了

27、2/15小時，老師講解用了2/5小時，其余是小豬活動時間，小組活動時間是多少小時？思路點撥我們把這40分鐘時間分成三部分，要求小組活動時間，必須從這一節(jié)課的時間中去掉準(zhǔn)備活動和老師講解用的時間。還要注意把這40分鐘化成小時再參與計算。嘗試解答探究類型之二例2：修路隊修一段長8/9千米的公路，第一天修了全長的3/8，第二天和第三天各修了全長的1/4，三天能修完這條路嗎？ 本題把全場的公路長看著單位“1”，要知道三天有沒有修完這條公路，可以把這三天分別修了全長的幾分之幾加起來，然后與“1”比較。思路點撥：注意這三天一共修了全長的幾分之幾不能與8/9千米比較。嘗試解答探究類型之三例3：學(xué)校舉行作文競

28、賽，設(shè)有一、二、三等獎。獲一、二等獎的人數(shù)占獲獎總?cè)藬?shù)的5/8，獲二、三等獎的人數(shù)占獲獎總?cè)藬?shù)的7/12。請問：獲二等獎的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的幾分之幾？先求出甲、乙、丙單獨做一小時各能完成這份工作的幾分之幾，再把它們加起來。思路點撥：甲要6小時完成，1小時能完成這份工作的1/6，那么乙、丙呢？嘗試解答探究類型之四例4：歡歡和樂樂幫王阿姨摘西紅柿，歡歡比樂樂多摘了4千克的西紅柿。如果歡歡把自己摘的西紅柿給樂樂5/4千克，現(xiàn)在歡歡比樂樂多摘多少千克西紅柿？思路點撥：我們可以畫線段圖去分析，要注意的是，歡歡給樂樂5/4千克，歡歡就少5/4千克，而樂樂卻多了5/4千克。嘗試解答大膽闖關(guān)1、 一塊4/5公頃的

29、土地，1/5面積是樹林，1/8面積種植了各種花卉，其余種草坪，總面積的幾分之幾是草坪 ？ 2、 一個長方形，它的周長的一半正好是1/2米。已知長是3/10米，長與寬多多少米？3、生產(chǎn)一批玩具，上旬、中旬、下旬分別完成計劃的1/3、2/5和7/12，,超額完成了計劃的幾分之幾？4、一項工作，甲單獨做8天完成，乙單獨做6天完成。如果兩人合作一天，能完成這項工作的幾分之幾？兩人合作3天能把這項工作全部完成嗎？ 今天你學(xué)得怎么樣？學(xué)生評價教師評價家長意見數(shù)學(xué)萬花筒糊涂的數(shù)學(xué)家維納（1894-1964年）是最早為美洲數(shù)學(xué)贏得國際榮譽的大數(shù)學(xué)家，關(guān)于他的軼事多級了。維納最有名的數(shù)字故事是有關(guān)搬家的事。一次

30、維納喬遷，妻子熟悉維納的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他。她還找了一張便條，上面寫著新區(qū)的地址，并且新居的房門鑰匙換下舊房的鑰匙。第二天維納帶著紙條和鑰匙上班去了。白天恰有一人問他一個數(shù)學(xué)問題，維納把答案寫在那張紙條的背面遞給人家。晚上維納習(xí)慣性的回到舊居。他很吃驚，家里沒人。從窗子望進去，家具也不見了。掏出鑰匙開門，發(fā)現(xiàn)根本對不上齒。于是使勁拍了幾下門，隨后在院子里踱步。突然發(fā)現(xiàn)街上跑來一個小女孩。維娜對他講：“小姑娘，我真不走運。我找不到家啦了，我的鑰匙插不進去?！毙∨⒄f道：“爸爸，沒錯。媽媽讓我來找你。”有一次維納的一個學(xué)生看見維納正在郵局寄東西，很想自我介紹一番。扎麻省理工學(xué)院真正

31、能與維納直接說得上幾句話、握握手，還是十分難得的。但這位學(xué)生不知道怎樣接近他為好。這時，只見維納來來回回踱著步，陷于沉思之中。這位學(xué)生更擔(dān)心了，生怕打斷了先生的思維，而損失了某個深刻的數(shù)學(xué)思想。但他最終還是鼓足勇氣，靠近這個偉人：“早上好，維娜教授！”維納猛地一抬頭，拍了一下前額，說道：“對，維納！”原來維納正欲往郵簽上寫寄件人姓名，卻忘記了自己的名字第七講 妙 算奇偶數(shù)的巧用數(shù)學(xué)俱樂部中的陳老師說：“請大家在紙條上寫兩個數(shù)，一個偶數(shù)，另一個數(shù)是奇數(shù)，左、右手中各一張。先把左手里的數(shù)乘3，右手里的數(shù)乘2，再把所得的兩個積相加，最后把得到的和是奇數(shù)還是偶數(shù)告訴我，我就能知道你左手握的是奇數(shù)還是偶

32、數(shù)！”聰明的小朋友，你覺得陳老師的話有道理嗎？自主探究探究類型之一例1：若五個連續(xù)偶數(shù)的和是320，這五個偶數(shù)分別是多少？思路點撥相鄰的兩個偶數(shù)之間相差2，可以用算術(shù)方法，也可以用方程解答。嘗試解答探究類型之二例2：有12張卡片，每張上面寫著一個一位數(shù)，其中三張寫著1，三張寫著3，三張寫著5，三張寫著,7，你能否從中選出5張卡片，使它們上面的數(shù)字之和為20？為什么？ 思路點撥：奇數(shù)個奇數(shù)之和是（ ），12張卡片上的數(shù)都是奇數(shù)，從中任意取5個數(shù)，它們的和必為（ ）。嘗試解答探究類型之三例3：桌上放著7只茶杯，杯口全部朝下，小林每次任意將4只茶杯進行翻轉(zhuǎn)，問翻轉(zhuǎn)若干次，能否將茶杯全部變?yōu)楸诔希?/p>

33、思路點撥：杯子翻奇數(shù)次，杯口與原來的狀態(tài)相（ ）；而翻動偶數(shù)次，與原來的狀態(tài)相（ ）。嘗試解答探究類型之四例4：水果店的老板將蘋果包裝在兩種盒子里，每個大盒子裝12個蘋果，每個小盒子裝5個蘋果，恰好裝完,。如果蘋果一共是99個，盒子個數(shù)大于10，這兩種盒子各有多少個？思路點撥：根據(jù)每個大盒子裝幾個蘋果，不管大盒子個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，由12偶偶，12奇=偶，可知大盒子所裝蘋果只數(shù)是偶數(shù)。根據(jù)99大盒子所裝蘋果總個數(shù)=小盒子所裝蘋果個數(shù)可知，小盒子所裝蘋果個數(shù)總數(shù)是奇數(shù)，且能被5整除。嘗試解答大膽闖關(guān)1、7個連續(xù)奇數(shù)的和是357，這7個連續(xù)的奇數(shù)分別是多少？2、有一列數(shù)：1、2、4、7、11、18

34、、29、，這列數(shù)排列的規(guī)律是，從第三個數(shù)開始，每個數(shù)都是前兩個數(shù)的和。問：在前50個數(shù)中（包括第50個數(shù)），有多少個奇數(shù)？3、有6只杯子全部口朝下地置于桌上，每次翻動其中的5只杯子，你認(rèn)為能否經(jīng)過若干次翻動，將杯口全部翻成朝上？如果能，需要幾次？今天你學(xué)得怎么樣？學(xué)生評價教師評價家長意見數(shù)學(xué)萬花筒自然數(shù)和偶數(shù)一樣多走進劇場，你想知道觀眾和座位是不是一樣多，你不必一個個去數(shù)，只要掃視一下劇場，立刻就知道了?？刹皇菃幔慨?dāng)你看到今天劇場滿座，而且還有站著看戲的人，那么，就可以斷定觀眾比座位多；如果劇場有空位子，那就是座位比觀眾多。我們不管劇場有多少個座位，也不管有多少個觀眾，只要劇場滿座，那么，可肯

35、定每一個觀眾坐到一個座位；也就是說，座位和觀眾一個對一個地對應(yīng)起來。因為一一對應(yīng)的兩組東西，他們的個數(shù)是一樣的，所以我們說：這時觀眾和座位一樣多。有人要問：自然數(shù)和偶數(shù)哪一種個數(shù)多？可能你一定會回答：當(dāng)然自然數(shù)比偶數(shù)多。而且知道是多倍。不是嗎？如果從自然數(shù)1到100算，自然數(shù)有100個，而偶書卻只有50個。且慢，我們不妨用上面的例子一一對應(yīng)的方法比較一下。對每個一個自然數(shù)，只要將那個自然數(shù)乘2就得到與它相對應(yīng)的偶數(shù)，比如說，1可以找到2，2可以找到是4，3可以找6，101可以找202，。這就是說，偶數(shù)絕不比自然數(shù)少。另外，對每一個偶數(shù)，你也能夠找到和它對應(yīng)的自然數(shù)，只要將兩個偶數(shù)除2就可以了。

36、比如說，100找50，,50找25,6找3,4找2。這說明，自然數(shù)也不比偶數(shù)少。這樣一來就只有一個結(jié)論了：自然數(shù)和偶數(shù)一樣多。而且你可以證明，自然數(shù)和奇數(shù)也一樣多。第八講 愉快的周末解決問題的策略陽春四月，陽光明媚，鮮花怒放，世博園里綠意盎然，一派春色無限。踏著這美好的時光，在一個周末的上午，熊貓貝貝和小伙伴們一起，高高興興地來到世博園，他們今天來到這里，除了享受這春天的美景外，還要開展豐富多彩的活動呢！下面，就讓我們跟著熊貓貝貝和小伙伴們一起，開始這愉快的周末活動吧自主探究探究類型之一例1：熊貓貝貝和小盆小伙伴們來到公園的露天廣場，只見金絲猴老師正帶領(lǐng)一群猴寶寶在做測量物體質(zhì)量的實驗。金絲侯

37、老師的天平邊有1克、2克，5克的砝碼各一個，現(xiàn)在砝碼只能放在天平一邊的托盤上。用這臺天平最多能稱出多少種不同的質(zhì)量？思路點撥可以分類考慮這個問題：1、 天平的一邊只放一個砝碼；2、 天平的一邊放兩個砝碼；3、 天平的一邊放三個砝碼。答：用這臺天平最多能稱出（ ）種不同的質(zhì)量。嘗試解答探究類型之二例2：做完了實驗，熊貓貝貝和小伙伴們高興地往前走。它們來到一個三岔路口，看到小黃馬正在進行慈善義賣呢。大家一起涌上前去，紛紛挑選自己喜愛的物品。貝貝選中了一本少兒版的水滸傳，用去了它所帶錢的一半還多3元，這時他身上還剩12元。你知道貝貝身上帶了多少錢嗎？ 思路點撥：貝貝買書用去它所帶錢的一半還多三元，剩

38、下12元，說明剩下的12元比它所帶錢的一半少（ ）元。嘗試解答探究類型之三例3：買完了物品，熊貓貝貝和小伙伴們來到公園的游船碼頭，它和其他的47位伙伴一起劃船玩，一共租用了10條船，正好坐滿。每只大船能坐6人，每只小船能坐4人。思路點撥：假設(shè)10條船全是大船，那么一共可以坐60人，實際只有48人，多了12人，一條小船當(dāng)成大船，會多做2人，要多12人，就要把6條小船當(dāng)成大船。嘗試解答探究類型之四例4：劃了好一會兒船，大家感到有些累了，就來到岸邊休息一下。岸邊的大象叔叔正在檢查零件，看到熊貓貝貝就想考考他們。他說：“這里一共有13個零件，其中12個合格零件是一樣重的，另一個是次品，稍微輕一些，現(xiàn)在

39、我這里只有一架天平秤，砝碼不知被我扔丟到哪里去了，至少稱幾次就可以確保找出次品？”思路點撥：找次品一般要先把所有的零件先分組，找出較輕的那一組，然后再把較輕的那一組再進行分組。你能想出兩種方法嗎？嘗試解答大膽闖關(guān)1、工程隊要在某小區(qū)鋪設(shè)95米長的燃?xì)夤艿?，倉庫中有10米和15米長的兩種管道足夠多，管子不能截斷。一共可以有幾種不同的鋪設(shè)方法？2、明明和濤濤都喜歡集郵，他們共收集了60張郵票。如果明明給濤濤12張，那么兩人的郵票張數(shù)就相同相等。明明和濤濤原來各有多少張郵票？3、 一輛公共汽車共載客35人，其中有一部分客人在中途下車，每張票價8元，剩下的客人到終點下車，每張郵票15元。售票員共收到票

40、款420元。你知道中途下了多少客人嗎？今天你學(xué)得怎么樣？學(xué)生評價教師評價家長意見數(shù)學(xué)萬花筒“雞兔同籠”問題的多策略解答“雞兔同籠”問題是我國古代的數(shù)學(xué)名題之一。它最早出自我國古代的一部算書孫子算經(jīng)。書中的題目是這樣的：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？我們在把握了這類問題的特征后，就能夠采用多種解決問題的策略，巧妙地進行解答。下面舉一個簡單的例子進行說明。例：雞兔同籠共有8個頭，26只腳，雞兔各有幾只？第一種：畫圖的策略。（如下圖）用8個圓圈表示雞兔共有8個頭，如果全是雞，每個圓圈就畫兩只腳，共計16只腳，一共少了10只腳，每只雞比每只兔少2只腳，所以在每個圓圈上去補兩只

41、腳，看補出幾只就是兔子的數(shù)量，剩下的就是雞了，也就是5只兔子3只雞。四條腿的是兔，兩條腿的是雞。這樣我們就容易看出雞有3只，兔有5只。第二種：列舉的策略。因為每只兔比每只雞多2條腿，所以我們可以從較少只數(shù)的兔開始列舉并進行適當(dāng)?shù)墓烙?，找出問題的答案。即：1、如果是一只兔和7只雞，那么就公有：147218（只）腳。顯然比26條腿差很多，所以增加兔的只數(shù)；3、如果是5只兔和3只雞，那么就共有：5432=26（只）腿。這樣就正好列舉出正確的答案：雞有3只，兔有5只。第三種：列表的策略。如以下表格：雞87654321兔01234567腳1618202224262830顯來，當(dāng)5只兔子3只七雞共計26只

42、腳就滿足條件了，這種方法在解答數(shù)目較大的此類問題時比較麻煩，但在省略部分情況后也很實用。第四種：假設(shè)的策略?？梢苑殖蓛煞N情況：第一種假設(shè)全是雞，那么就有82=16（只）腳，這樣就多出2616=10（只）腳，一只兔比一只雞多2只腳，,也就有102=5（只）兔，雞就有85=3（只），如解答（1）；第二種假設(shè)全是兔子的話，那么就有48=32（只）腳，這樣就少了3226=6（只）腳，一只雞比一只兔少了2只腳，也就是有62=3（只）雞，兔子就是83=5（只），如解答這種（2）。解答（1）:28=16(只） 解答（2）：48=32（只） 2616=6（只） 3216=6（只） 42=2（只） 42=2（只

43、） 102=5（只）兔 62=3（只）雞 85=3（只）雞 83=5（只）兔這種策略解答的主要特征是：如果假設(shè)全是兔子，則解出來的是雞的只數(shù)；如果假設(shè)全是雞的話，則解出來的就是兔子的只數(shù)。第五種：代數(shù)的策略。即列方程解答這類問題。一般可以用兩種方法解答：（1） 解：設(shè)有X只兔，則就有（8-X）只雞，列方程為4X+2（8-X）=26。解答略。（2） 解：設(shè)有Y只雞，那就有（8-Y）只兔。列方程為2Y+4（8-Y）=26。解答略。聰明的同學(xué)，你能運用上面介紹的多種策略解答孫子算經(jīng)中的“雞兔同籠”問題嗎？第九講 圖紙中的學(xué)問 比例尺 樂樂的爸爸是個建筑設(shè)計師，每天都與圖紙打交道，樂樂好奇地問爸爸:“

44、根據(jù)圖紙怎么能把大樓蓋好，把鐵路鋪好呢？”爸爸說:“這就要用到比例尺方面的知識啦。自主探究探究類型之一例1：連淮揚鎮(zhèn)鐵路是江蘇中部貫通南北的重要通道，該線北起連云港，經(jīng)淮安市、揚州市，至鎮(zhèn)江市，預(yù)計2019年建成通車。樂樂在一幅比例尺是1:400000的規(guī)劃圖上，量得連淮揚鐵路全長77厘米，如果一列火車每小時行280千米，那么行完全程需要幾小時？ 根據(jù)圖上距離和比例尺先求出連淮揚鎮(zhèn)鐵路實際全長是多少千米，在求出時間思路點撥嘗試解答探究類型之二例2：在比例尺是1:5000000的地圖上量得北京到南京的距離是23.2厘米，在一幅比例尺是1/4000000的地圖上，北京到南京的距離是多少厘米？ 先求

45、出北京到南京的實際距離，再根據(jù)實際距離和比例尺1:4000000，求出圖上距離。思路點撥：嘗試解答探究類型之三例3：如圖是實驗小學(xué)六(2)班和外國語小學(xué)六(2)班教室的平面圖，如果是實驗小學(xué)六(2)班有30人，外國語小學(xué)六(2)班有60人，請你測量有關(guān)數(shù)據(jù)，并計算哪間教室擠一些。實驗小學(xué)六(2)班教室平面圖外國語小學(xué)六(2)班教室平面圖 思路點撥：判斷哪間教室址可以通過人均面積來比較。嘗試解答探究類型之四例4：一個圓柱體的精密儀器，按照10:1做成模型，模型底面直徑是4厘米，高是1厘米，求該精密儀器的體積。 10:1表示什么意思？你能求出該精密儀器的實際高度和底面直徑的長嗎？思路點撥：嘗試解答

46、大膽闖關(guān)4、 在比例尺是1:200000的地圖上，量得甲、乙兩地間的距離是10.2厘米。如果把甲、乙兩地畫在比例尺是1:300000的地圖上，甲、乙兩地間的距離是多少厘米？ 5、 在比例尺是1:3000000的地圖上，量得A、B兩地的距離是45厘米，如果甲、乙兩列客車同時從A、B兩地相對開出，經(jīng)過10小時相遇，甲客車每小時行76千米，乙客車每小時行多少千米？ 6、 在比例尺為1:50000000的地圖上，量得甲乙兩地的距離是8厘米，歡歡上午10時乘一架飛機從甲地飛往乙地，下午2時到達，這架飛機平均每小時飛行多少千米？ 今天你學(xué)得怎么樣？學(xué)生評價教師評價家長意見數(shù)學(xué)萬花筒數(shù)學(xué)家哈雷英國天文學(xué)家和

47、數(shù)學(xué)家哈雷生逢以新思想為基礎(chǔ)的科學(xué)革命時代，1673年進牛津大學(xué)王后學(xué)院。1676年到南大西洋的圣赫勒納島測定南天恒星的方位，完成了載有341顆恒心精確位置的南天星表，記錄到一次水星凌日，還作過大量的鐘擺觀測(南半球鐘擺旋轉(zhuǎn)的方向與北半球相反)。1678年哈雷被選為皇家學(xué)會成員，并榮獲牛津大學(xué)碩士學(xué)位。1684年，他到劍橋向牛噸請教行星運動的力學(xué)解釋，在哈雷研究取得進展的鼓舞下，牛頓擴大了他對天體力學(xué)的研究。哈雷具有處理和歸算大量數(shù)據(jù)的才能。1686年，他公布了世界上第一部載有海洋盛行風(fēng)分布的氣象圖;1693年，發(fā)布了布雷斯勞城人口死亡率表，首次探討了死亡率和年齡的關(guān)系;1701年，他根據(jù)航海

48、羅盤記錄，出版了大西洋和太平洋的地磁圖;1704年，他晉升為牛津大學(xué)幾何學(xué)教授。17 05年，哈雷出版了彗星天文學(xué)論說，書中闡述了13371698年出現(xiàn)的24顆彗星的運行軌道。他指出，出現(xiàn)在1531、1607和1682年的三顆彗星可能是同一顆彗星的三次回歸，并預(yù)言他將于1758年重新出現(xiàn)，這個預(yù)言被證實了，這顆慧星也得到了名字一一哈雷彗星。1716年，他設(shè)計了觀測金星凌日的新方法，希望通過這種觀測能精確測定太陽視差并由此推算出日地距離;1718年，哈雷發(fā)表證明恒星行有空間運動的資料;1720年，他繼任為第二任格林威治天文臺臺長。哈雷還發(fā)現(xiàn)了天狼星、南河三和大角這三顆星的自行，以及月球長期加速現(xiàn)象。 第十講 事物間奇妙的聯(lián)系比例的應(yīng)用 日常生活和學(xué)習(xí)活動中有許多事物相互之間有一定的聯(lián)系，一個量發(fā)生變化，另一個量也隨之變化。比如:學(xué)習(xí)過程中，學(xué)習(xí)同樣多的內(nèi)容，學(xué)習(xí)效率高，花的時間就少;反之自主探究探究類型之一例1：解比例(1) 7/4.2=x+7/9 (2) (5+x):4=9:2 (3) X/5=2x+1/12.5 (4)3x+1.5/7x-5=5/6根據(jù)比例的基本性質(zhì)去解比例 思路點撥嘗試解答探究類型之二例2：植樹節(jié)時，歡歡和樂樂參加了光明學(xué)校舉行的植樹小能手比賽，兩人一共植樹45棵，歡歡植樹棵樹的1/2