華科微積分輔導(dǎo)書(shū)習(xí)題答案4

1、 微積分學(xué)同步輔導(dǎo)A類(lèi)題解答 第35頁(yè)習(xí)題4解答（編寫(xiě)：金建華）1、填空題：（1）= 。解 （用到，據(jù)臺(tái)勞公式）；（2）函數(shù)在 是單調(diào)減少。解 ，填0，2或（0，2）；（3）曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)是 。解 ， ，顯然在兩側(cè)變號(hào)，故所求點(diǎn)（4）曲線在區(qū)間 是凹的（即向上凹）。解 ，為所求（5）函數(shù)的極大值是 。解 在兩側(cè)變號(hào)，左正右負(fù)，為極大值點(diǎn)，極大值為。（6）函數(shù)的n階麥克勞林多項(xiàng)式是 。解 在的Taylor多項(xiàng)式由的展式來(lái)寫(xiě)：（7）曲線的斜漸近方程為 。解 ，故所求為。（8）拋物線在其頂點(diǎn)處的曲率為 。解 ，頂點(diǎn)處，。（9）= 。解 . （注，用更好：此時(shí)，分子=.）（10）若（n為正整數(shù)），則當(dāng)

2、n為奇數(shù)時(shí)，在=處 ，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，在處 。解 條件分式最終為正（極限的保號(hào)性）。于是偶時(shí)，極?。黄鏁r(shí)，與同號(hào).非極值.（11）曲線的拐點(diǎn)為 ，且該曲線在區(qū)間 上凹，在區(qū)間 下凹。解 ，令，得。當(dāng)時(shí)，曲線為凸的；當(dāng)時(shí)，曲線為凹的；拐點(diǎn)為（12）若在上二階可導(dǎo)，且，又知在（0，）內(nèi)取得極大值，則必有 。解 設(shè)在點(diǎn)極大，則，于是， ，于是 2選擇題（1） 函數(shù)和，在區(qū)間上滿足柯西定理的等于（ ）（A） （B）1 （C） （D）解 （A）（2） 羅爾定理中的三個(gè)條件：在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且是在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立的（ ）。（A）必要條件 （B）充分條件 （C）充要條件 （D）既非充分也非必要條件

3、。解 充分條件（B）（3）下列函數(shù)中在上滿足拉格朗定理?xiàng)l件的是（ ）（A） （B） (C) (D)。 解 在滿足（B）(4) 設(shè)為未定型，則存在是也存在的（ ）（A）必要條件 （B）充要條件 （C）充分條件 （D）既非充分也非必要條解 充分（C） （5）若在區(qū)間函數(shù)的，則在內(nèi)是（ ）（A）單調(diào)減少，曲線上凹 （B）單調(diào)減少，曲線下凹（C）單調(diào)增加，曲線上凹 （D）單調(diào)增加，曲線下凹解 對(duì)應(yīng)單增，對(duì)應(yīng)上凸，于是（D）形為右圖。 （6）設(shè)在（0，+）內(nèi)可導(dǎo)，且，若，則在（）內(nèi)有（ ）（A） （B）（C）單調(diào)趨向于+ （D）的符號(hào)不能確定解 注意在處，函數(shù)可能不連續(xù)，選（D）. 反例形為右圖。（7）

4、設(shè)=1，則在處（ ）（A）的導(dǎo)數(shù)存在，且 （B）的導(dǎo)數(shù)不存在（C）取得極小值 （D）取得極大值 解 極小值，同1（10），選（C）（8）函數(shù)有（ ）（A） 一個(gè)極大值和一個(gè)極小值 （B）兩個(gè)極大值（C）兩個(gè)極小值 （D） 一個(gè)極小值，無(wú)極大值 解 ， 一個(gè)極小值（D）圖形如右 （9）設(shè)在（-）上嚴(yán)格單調(diào)減少，在處有極值，則（ ）（A）在處有極小值（B）在處有極大值（C）在處有最小值（D）在處既無(wú)極大值，也無(wú)最小值解 ，故為極小值.（A） （10）曲線（ ）（A）有一個(gè)拐點(diǎn) （B）有兩個(gè)拐點(diǎn)（C）有三個(gè)拐點(diǎn) （D）無(wú)拐點(diǎn)解 ， 它在兩側(cè)變號(hào)，但為無(wú)定義點(diǎn)，故無(wú)拐點(diǎn)（D）（11）設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，

5、在開(kāi)區(qū)間（-1，1）上可導(dǎo)，且，則必有（ ） （A） （B） （C） （D）解 選（C）（12）若，則、的大小關(guān)系為（ ）（A）（B）（C）（D） 解 ，故選（C） （13）設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且=1，則（ ）（A）（B）（C）（D）解 與同號(hào)，故推出.結(jié)合，選（B） （14）曲線的漸近線有（ ）（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條解 時(shí)，故得一條垂直漸近線；時(shí)，非垂直漸近線，類(lèi)似也不是，再時(shí)，得水平漸近線。選（B）（15）設(shè)函數(shù)（ ） （A） （B）（C）或不存在 （D）不存在解 選（C）這是兩種情形：3求下列極限：（1） （2）（3） （4）解：使用洛必達(dá)法則要結(jié)合等式變形或等價(jià)變

6、形等化簡(jiǎn)手段。 （1）令 ，（分子化簡(jiǎn)用到：，下題也是）（2）（3）令 ，化簡(jiǎn)到分式后使用洛必達(dá)法則= （4）令 ，化簡(jiǎn)后使用洛必達(dá)法則 = 4已知在處有三階導(dǎo)數(shù)，且，求極限.解一：由在處Taylor公式，得：，于是 ；解二：由洛必達(dá)法則也可以。注意型條件的檢驗(yàn)。（注：最后一步極限只可使用導(dǎo)數(shù)定義，決不可以用洛必達(dá)！因?yàn)槿A導(dǎo)函數(shù)可以不存在）5證明下列不等式（1）當(dāng)時(shí)， 解：設(shè)，原不等式 在(0,1)內(nèi)單調(diào)減，且 在(0,1)內(nèi)單調(diào)減，又由，故在(0,1)內(nèi) （2）當(dāng)時(shí)， 解：作函數(shù) =，因?yàn)榈奈ㄒ获v點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)時(shí)，故是的極大值，也是最大值 ， 則，因即得. （3）當(dāng)時(shí)， 解：令， 因當(dāng)時(shí)

7、，故，從而 . （4）比較和的大小 解：因，故問(wèn)題在于比較與之大小， 令 則令 ，即得.6求下列函數(shù)的極值： （1） 解：= 0 在處取得極小值，且 ，在處取得極大值，且 （2） 解：=. ，在處取得極小值，且極小值為 ，在處取得極大值，且極大值為 （3） 解： 在處連續(xù)，從而在內(nèi)處處連續(xù). 在處，不可導(dǎo)，令0不存在極大值0極小值 由上面的表可知，的極大值為，極小值為.7已知有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的極大值與極小值. 解： 由 從中解得 即得 ， 在處取得極大值，且 在處取得極小值，且.8求在內(nèi)最大值和最小值. 解：=. ， 在內(nèi)最大值為，最小值為0.9求下列曲線的漸近線：（1） 解：為垂直漸近線.

8、為水平漸近線. （2） 解： 為垂直漸近線，為水平漸近線.10研究方程實(shí)根的個(gè)數(shù). 解：令，則=0極小值 （1）若，則在內(nèi)方程無(wú)根，在內(nèi)方程有一根. （2）若，則方程在與內(nèi)各有一根.（3）若，則極小值，在內(nèi)，在內(nèi)，即方程只有一個(gè)實(shí)根. （4）若，則極小值，從而在內(nèi)，方程無(wú)實(shí)根.11設(shè)滿足的實(shí)數(shù)，證明在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根. 解：設(shè) 在內(nèi)滿足Rolle定理?xiàng)l件： ，使得， 即在內(nèi)有滿足 12設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可微，試證存在，使得。證：首先由拉格朗日中值定理，得 使， 其次針對(duì)以及在上，由Cauchy中值定理知，存在使 兩式聯(lián)手即得。13設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使. 證：令，則在上滿足條件，則存在，使 即14設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可微，證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得. 證：令，將及在上應(yīng)用柯西中值定理，則有 即 15設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且.證明存在一點(diǎn)，使. 解：設(shè)在處取得最小值，則，由臺(tái)勞公式 ， 當(dāng)時(shí) 因 則有 ， 于是若時(shí)，；時(shí)，.由此可得.16由所圍成的曲邊三角形，在曲邊上求一點(diǎn)，使得過(guò)此點(diǎn)所作之切線與所圍成的三角形面積最大. 解：設(shè)過(guò)曲線上點(diǎn)處的切線方程為，將代入上式得 此切線與的交點(diǎn)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)分別為，切線與所圍成的三角形的面積為于是 = 及（舍去）因?yàn)?/p>