型線積分和面積分課件

1、2009年5月型線積分和面積分1第第6 6節(jié)第一型線積分和面積分節(jié)第一型線積分和面積分第一型（對弧長的）曲線積分的計算第一型（對弧長的）曲線積分的計算第一型（對面積的）曲面積分的計算第一型（對面積的）曲面積分的計算( Line integrals and Surface integrals of the first type (or Line integrals with respect to arc length and surface integrals with respect to area ) 2009年5月型線積分和面積分2定理定理由第由第1節(jié)，節(jié)，1. 第一型曲線積分的定義：第一

2、型曲線積分的定義：.ds其其中中叫叫做做弧弧長長元元素素2. 性質(zhì)：性質(zhì)：3. 可積性：可積性：12max,ndsss ( )( , )cf x y ds ( )( , , ) zfydxs 01lim(,)niiiidif x y zs 01lim(,)niiidif x ys ( ,)( , )( )( ),( , ).cf xyf xy zcf x y ds （ ）當當在在光光滑滑曲曲線線弧弧或或上上連連續(xù)續(xù)時時 對對弧弧長長的的曲曲線線積積分分存存在在與定積分類似與定積分類似( , , )f x y z ds （ ）（ ）2009年5月型線積分和面積分3注意：注意：)(,)(. 121

3、LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲線積分記為曲線積分記為上對弧長的上對弧長的在閉曲線在閉曲線函數(shù)函數(shù)2009年5月型線積分和面積分41. 對弧長曲線積分的計算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上具有一階連續(xù)導數(shù)上具有一階連續(xù)導數(shù)在在其中其中的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè)基本思路基本思路:計算定積分計算定積分轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 化化求曲線積分求曲線積分2

4、009年5月型線積分和面積分5證證:01 ,nttt 設(shè)設(shè)為為上上的的一一個個分分割割. .1, iiitts 相相應(yīng)應(yīng)曲曲線線有有一一分分割割，記記上上的的弧弧長長為為1, iiitt dtttsiitti 1)()(22 22()()iiit由積分中值定理由積分中值定理0011lim( ,()lim(,)()niniiddiLiiif x yfsfsdMs 0212(),lim)()()niiiiiift maxmaxiitds 記記，22( , )( )( )( )f x yC Ltt ，連連續(xù)續(xù)22 ( ),( )( )( )ftttt dt 可積可積)()()(),(22ttttf

5、oxyAB1nA iA1iA 2A1AL()()iiiixy ，( ,)iiiM x y2009年5月型線積分和面積分6注xdydsdxyo(2) (2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計算公式相當于因此上述計算公式相當于“換元法換元法”. . (3)( , ),.f x yx y中中不不彼彼此此獨獨立立 而而是是相相互互有有關(guān)關(guān)的的(1). 定定積積分分的的下下限限 一一定定要要小小于于上上限限., 0 iits從而要求從而要求表示弧長，總是正的，表示弧長，總是正的，(4)對稱性對稱性 .平面曲線積分參照二重積分情況，平面曲線積分參照二重積分情況，空間曲

6、線積分參照三重積分情況空間曲線積分參照三重積分情況2009年5月型線積分和面積分7._)432(, 13412222 dsyxxyayxll則則其其周周長長記記為為為為橢橢圓圓設(shè)設(shè)例例dsyxdsyxxyll)43()432(2222 解解12431342222 yxyx又又dsdsyxIll12)43(22 .1212adsl 12a2009年5月型線積分和面積分8特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 3):( )(.L rr .sin

7、,cos),(22 drrrrfdsyxfL 2009年5月型線積分和面積分9推廣推廣: :)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf2009年5月型線積分和面積分10 LdsyxI)(計計算算例例1解解.)(;)3 , 2()0 , 2()(;)0 , 2()0 , 0()(222的的上上半半圓圓周周是是之之間間的的直直線線段段與與是是之之間間的的直直線線段段與與是是RyxLiiiBALiiLi ()Lxy ds 320(2) 1yx dy 3021(2)2y dy 0 x ( ):2,(03),iiL xy2201x

8、y dx 20 xdx 2 ()Lxy ds 0y ( ):0,(02),iL yx 2009年5月型線積分和面積分11( )sin ,( )cos ,x tRty tRtdsRdt ():cos ,sin (0)iiiL xRt yRtt 20()(cossin )2Lxy dsRtRt RdtR 2009年5月型線積分和面積分12形形的的整整個個邊邊界界。第第一一象象限限內(nèi)內(nèi)所所圍圍成成的的扇扇軸軸在在及及xxyayxLdseLyx ,:22222oxL2 :y=x2223:ayxL L1: y=0y例例解解1:0(0),Lyxa 0,y 2:cos ,sinLxat yat dsdx d

9、sadt 3:(02),Lyxxa 1,y 2dsdx (0)4t 22123()xyLLLeds 22xyLeds 0axe dx 40ae adt 22202axedx 2(1)4aaaee 2009年5月型線積分和面積分13解解 在極坐標系下在極坐標系下它在第一象限部分為它在第一象限部分為利用對稱性利用對稱性 , , 得得14dLIxs 2404cos da 22 2a 22:cos2,L ra 22404cos()()drrr 1:cos2(0)4Lra 222222,()().cydscxyaxy 求求其其中中 為為雙雙紐紐線線例例422cos2ra 2009年5月型線積分和面積分1

10、4例例5 . 0,22222zyxazyxdsxI為圓周為圓周其中其中求求解法一解法一由對稱性由對稱性, 知知.222 dszdsydsx2221()3Ixyzds 故故 dsa32.323a ),2(球面大圓周長球面大圓周長 dsa222(1)(1)(1) ?Ixyzds 進一步進一步222(2223)xyzxyzds dsa)3(2).3(22 aa 2009年5月型線積分和面積分15解法二解法二得得代代入入將將2222)(azyxzxy 0)2(223:222zyxaxzxL),cos31(sin2sin22,cos32ttaztaxztax )cos31(sin2)(ttazxy 則則

11、）（,)2(2232222222axzxazzxx 化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程2203222co23s3Lx datadtsa 2009年5月型線積分和面積分162. 幾何與物理意義(1)( , ),x yL 當當表表示示的的線線密密度度時時( , );Lmx y ds ;,1),()2( LdsLyxf弧弧長長時時當當,),(),()3(處處的的高高時時柱柱面面在在點點上上的的表表示示立立于于當當yxLyxf(,)( , ).L A BSf x y ds 柱柱面面面面積積dxyyxfba 21),(zxoy( , )zf x y sLABab2009年5月型線積分和面積分17(4),xy曲曲線

12、線弧弧對對 軸軸及及 軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量2222( , ),( , ).() ( , ),xyLLoLIxx y ds Iyx y dsIxyx y ds 曲線弧的重心坐標曲線弧的重心坐標)5( , )( , ),.( , )( , )LLLLxx y dsyx y dsxyx y dsx y ds2009年5月型線積分和面積分18解解由對稱性由對稱性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx參參數(shù)數(shù)方方程程為為,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 .233 2009

13、年5月型線積分和面積分19tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 2009年5月型線積分和面積分20例例2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為的方程為cos,sin,xatyat (02 ),zktt (1) 求它關(guān)于求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心求它的質(zhì)心 .解解: 設(shè)其密度為設(shè)其密度為 (常數(shù)常數(shù)).22() dzLIxys 220a 22dakt 2222 aak (2) L的質(zhì)量的質(zhì)量dLms 222ak 而而dLxs 22aak 20

14、cos dtt 0 (1)xyzOak2009年5月型線積分和面積分21dLys 22aak 20sindtt 0 dLzs 22kak 20dtt 2222kak故質(zhì)心坐標為故質(zhì)心坐標為( 0 , 0 ,)k 2009年5月型線積分和面積分22例例322222()()zLIxyxyz ds 解解(1)22222 22222223 2030322222()8(2)3kaak tak dtaaka ttaakak 222zcossin ,(02 ),( , , )1.2( , , ).xatyat zkttx y zxyzzIx y z設(shè)螺旋線，設(shè)螺旋線，線密度，線密度，求（ ）關(guān)于 軸的轉(zhuǎn)動慣

15、量求（ ）關(guān)于 軸的轉(zhuǎn)動慣量（ ）它的重心（ ）它的重心2009年5月型線積分和面積分23( , , )( , , )( , , );,LLLxx y z dsyx y z dszx y z dsxyzmmm 2222222 222022223 232220238( , , )(2)3)()LLkx y z dsxyz dsak tak dtaak a ttmak ak 解解(2)222 2220222222( , , )()2(2)Lkt ak tak dtk azkay z dskx 22222222222322222( , , )2(23(2)34)8(2)3Lzx y z dsk ak

16、akmak akzkaakk 2009年5月型線積分和面積分242222 200222 222002222220022 220() sinsin ()2sin2cos2coscos ()42cosdtak tdtt ak tk ttdtk tdtk ttt ak tktdtk 22232222222263( , , )48(2)43Lxx y z dsk a akmakakkakax 22 2222022222 22220( , , )cos (4co)s (Lxx y z dsaak dta akt ak tdtkkt ak ta a 2009年5月型線積分和面積分2522222322222

17、22( , , )48632)4(3Lyx y z dsk a akmakakaakyk 22222 222 202220( , ,sin()sin(Lyx y z dsaak dttak ttaka atkdt 2222 200222 22200222202222220022 222() cos()2cos42sin42sin 2ssin()cos4indtak tdtak tk tttak tdtkk tdtkk ttktdktt 22224k a ak 2009年5月型線積分和面積分26小結(jié)1 1、對弧長曲線積分的計算、對弧長曲線積分的計算2 2、對弧長曲線積分的應(yīng)用、對弧長曲線積分的應(yīng)

18、用2009年5月型線積分和面積分27一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲線形構(gòu)件已知曲線形構(gòu)件L的線密度為的線密度為),(yx , ,則則L的質(zhì)量的質(zhì)量M= =_；2 2、 Lds= =_；3 3、 對對_的曲線積分與曲線的方向無關(guān)；的曲線積分與曲線的方向無關(guān)；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _ . .二二、 計計算算下下列列求求弧弧長長的的曲曲線線積積分分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其其中中L為為圓圓周周222ayx , ,直直線線xy 及及x軸軸在在第第一一象象限限內(nèi)內(nèi)所所圍圍成成的的扇扇形形的的整整個個邊邊界界；練習題練習題2009年5月型線積分和面積分28 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L為折線為折線ABCD, ,這里這里DCBA, 依次為點依次為點(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 L