2020-2021高中數(shù)學(xué) 第七章 隨機(jī)變量及其分布 7.3.1 離散型隨機(jī)變量的均值素養(yǎng)檢測(cè)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

1、2020-2021高中數(shù)學(xué) 第七章 隨機(jī)變量及其分布 7.3.1 離散型隨機(jī)變量的均值素養(yǎng)檢測(cè)新人教a版選擇性必修第三冊(cè)2020-2021高中數(shù)學(xué) 第七章 隨機(jī)變量及其分布 7.3.1 離散型隨機(jī)變量的均值素養(yǎng)檢測(cè)新人教a版選擇性必修第三冊(cè)年級(jí)：姓名：十一離散型隨機(jī)變量的均值(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.(多選題)設(shè)0p1,隨機(jī)變量的分布列如下,則下列結(jié)論正確的有()012pp-p2p21-pa.e隨著p的增大而增大b.e隨著p的增大而減小c.ppd.p的值最大【解析】選bc.由題意e=p2+2(1-p)=(p

2、-1)2+1,由于0p1,所以e隨著p的增大而減小,a錯(cuò),b正確;又p-p2=p(1-p),d錯(cuò).2.今有兩臺(tái)獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá),每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85,設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)臺(tái)數(shù)為x,則e(x)為()a.0.765b.1.75c.1.765d.0.22【解析】選b.x的取值為0,1,2,所以p(x=0)=0.10.15=0.015,p(x=1)=0.90.15+0.10.85=0.22,p(x=2)=0.90.85=0.765,e(x)=00.015+10.22+20.765=1.75.3.已知隨機(jī)變量x的分布列是x123pa則e=()a.b.c.d.【解析】選c.由分

3、布列的性質(zhì)可得+a=1,得a=,所以,e=1+2+3=,因此,e=e=2e+=2+=.4.已知拋物線y=ax2+bx+c(a0)的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè),其中a,b,c-3,-2,-1,0,1,2,3,在這些拋物線中,記隨機(jī)變量=“|a-b|的取值”,則的數(shù)學(xué)期望e()為()a.b.c.d.【解析】選a.由于對(duì)稱軸在y軸左側(cè),故-0,故a,b同號(hào),基本事件有3372=126.的可能性有0,1,2三種,p=,p=,p=.故期望值為0+1+2=.5.設(shè)離散型隨機(jī)變量x的分布列如表,則e(x)=2的充要條件是()x123pp1p2p3a.p1=p2b.p1=p3c.p2=p3d.p1=p2=p3【解析】

4、選b.由題設(shè)及數(shù)學(xué)期望的公式可得p1=p3,則e(x)=2的充要條件是p1=p3.6.已知甲口袋中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球,乙口袋中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球,現(xiàn)從甲,乙口袋中各隨機(jī)取出一個(gè)球并相互交換,記交換后甲口袋中紅球的個(gè)數(shù)為,則e()=()a.b.c.d.【解析】選a.的可能取值為2,3,4.=2表示從甲口袋中取出一個(gè)紅球,從乙口袋中取出一個(gè)白球,故p=.=3表示從甲、乙口袋中各取出一個(gè)紅球,或從甲、乙口袋中各取出一個(gè)白球,故p=+=.=4表示從甲口袋中取出一個(gè)白球,從乙口袋中取出一個(gè)紅球,故p=.所以e()=2+3+4=.二、填空題(每小題5分,共10分)7.甲、乙兩人同時(shí)參加當(dāng)?shù)匾粋€(gè)勞動(dòng)實(shí)踐

5、活動(dòng),該活動(dòng)有任務(wù)需要完成,甲、乙完成任務(wù)的概率分別為0.7,0.8,且甲、乙是否完成任務(wù)相互獨(dú)立互不影響.設(shè)這兩人中完成任務(wù)的總?cè)藬?shù)為x,則e(x)=.【解析】x的可能取值為0,1,2,且p=0.06,p=0.7+0.8=0.38,p=0.80.7=0.56,故e(x)=00.06+10.38+20.56=1.5.答案:1.58.袋中裝有5個(gè)同樣大小的球,編號(hào)為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球,記被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)為,則e等于.【解析】因?yàn)榇醒b有5個(gè)同樣大小的球,編號(hào)為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球,記被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)為,所以的可能取值為3,4,5,p(

6、=3)=0.1,p(=4)=0.3,p(=5)=0.6,所以e()=30.1+0.34+0.65=4.5.答案:4.5三、解答題(每小題10分,共20分)9.為了釋放學(xué)生壓力,某校高三年級(jí)一班進(jìn)行了一個(gè)投籃游戲,期間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽(每人各投一次為一輪).在相同的條件下,每輪甲、乙兩人站在同一位置,甲先投,每人投一次籃,兩人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;兩人都命中或都未命中,兩人均得0分.設(shè)甲每次投籃命中的概率為,乙每次投籃命中的概率為,且各次投籃互不影響.經(jīng)過(guò)1輪投籃,記甲的得分為x,求x的分布列及期望.【解析】由題意,隨機(jī)變量x的可能取值為-1,0,1,則p

7、(x=-1)=,p(x=0)=+=,p(x=1)=,所以隨機(jī)變量x的分布列為:x-101p則期望為e=-1+0+1=-.10.不透明箱中裝有3個(gè)白球和m個(gè)黑球.規(guī)定取出一個(gè)白球得2分,取出一個(gè)黑球得1分.現(xiàn)從箱中任取2個(gè)球,假設(shè)每個(gè)球被取出的可能性都相等,記隨機(jī)變量x為取出的2個(gè)球所得分?jǐn)?shù)之和.(1)若p=,求m的值;(2)當(dāng)m=2時(shí),列出x的分布列并求其期望.【解析】(1)由題意,當(dāng)取出的2個(gè)球都是白球時(shí),此時(shí)隨機(jī)變量x=4.可得p(x=4)=,即=6,即m2+5m-6=0,解得m=1.(2)由題意,隨機(jī)變量x所有可能的取值為2,3,4,可得p(x=2)=,p(x=3)=,p(x=4)=,所

8、以隨機(jī)變量x的分布列為:x234p所以e(x)=2+3+4=.(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.已知隨機(jī)變量x的分布列如下,e(x)=7.5,則ab的值是()x4a910p0.30.1b0.2a.1.8b.2.4c.2.8d.3.6【解析】選c.由題意得:0.3+0.1+b+0.2=1,解得:b=0.4,又e=40.3+0.1a+90.4+100.2=7.5,解得:a=7,所以ab=70.4=2.8.2.某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn),一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4,0.5,0.6,且此人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)

9、互不影響,設(shè)表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值.則e()等于()a.1.48b.0.76c.0.24d.1【解析】選a.隨機(jī)變量的所有可能取值是1,3,其中=3表示三個(gè)景點(diǎn)都游覽了或都沒(méi)有游覽,p(=3)=0.40.50.6+0.60.50.4=0.24,p(=1)=1-0.24=0.76,所以的分布列為13p0.760.24e()=10.76+30.24=1.48.3.(多選題)袋內(nèi)有大小完全相同的2個(gè)黑球和3個(gè)白球,從中不放回地每次任取1個(gè)小球,直至取到白球后停止取球,則()a.抽取2次后停止取球的概率為b.停止取球時(shí),取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球的概率為c.取球次

10、數(shù)的期望為2d.取球3次的概率為【解析】選bd.設(shè)取球次數(shù)為,可知隨機(jī)變量的可能取值有1,2,3,則p=,p=,p=.對(duì)于a選項(xiàng),抽取2次后停止取球的概率為p(=2)=,a選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于b選項(xiàng),停止取球時(shí),取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球的概率為p+p=+=,b選項(xiàng)正確;對(duì)于c選項(xiàng),取球次數(shù)的期望為e=1+2+3=,c選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于d選項(xiàng),取球3次的概率為p=,d選項(xiàng)正確.4.甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定先連勝2局者直接贏得比賽,若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.記x為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù),則x的數(shù)學(xué)期望是()a.b.c

11、.d.【解析】選c.用ak表示“第k局甲獲勝”,bk表示“第k局乙獲勝”,則p(ak)=,p(bk)=,k=1,2,3,4,5.x的所有可能取值為2,3,4,5,且p(x=2)=p(a1a2)+p(b1b2)=p(a1)p(a2)+p(b1)p(b2)=,p(x=3)=p(b1a2a3)+p(a1b2b3)=p(b1)p(a2)p(a3)+p(a1)p(b2)p(b3)=,p(x=4)=p(a1b2a3a4)+p(b1a2b3b4)=p(a1)p(b2)p(a3)p(a4)+p(b1)p(a2)p(b3)p(b4)=,p(x=5)=1-p(x=2)-p(x=3)-p(x=4)=.故x的分布列為

12、x2345pe(x)=2+3+4+5=.二、填空題(每小題5分,共20分)5.已知x的分布列為x-101p且y=ax+3,e=,則a=.【解析】因?yàn)閑(x)=(-1)+0+1=-,且y=ax+3,所以e(y)=ae(x)+3=,即-a+3=,解得a=4.答案:46.已知甲盒中僅有一個(gè)球且為紅球,乙盒中有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球,從乙盒中隨機(jī)抽取i(i=1,2)個(gè)球放在甲盒中(每個(gè)小球被取到的可能性相同),放入i個(gè)球后,甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)為i(i=1,2),則e+e的值為.【解析】甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)1的取值為1,2,則p=,p=.則e=1+2=;甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)2的值為1,2,3,則p=,p=

13、,p=.則e=1+2+3=.所以e+e=+=.答案:7.(2020浙江高考)一個(gè)盒子里有1個(gè)紅1個(gè)綠2個(gè)黃四個(gè)相同的球,每次拿一個(gè),不放回,拿出紅球即停,設(shè)拿出黃球的個(gè)數(shù)為,則p(=0)=;e()=.【解析】由題知,隨機(jī)取出紅球的概率為,隨機(jī)取出綠球的概率為,隨機(jī)取出黃球的概率為,的取值情況共有0,1,2,p(=0)=+=,p(=1)=+=,p(=2)=+=,所以e()=1+2=1.答案:18.某學(xué)校組織教師進(jìn)行“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”知識(shí)競(jìng)賽,規(guī)則為:每位參賽教師都要回答3個(gè)問(wèn)題,且對(duì)這3個(gè)問(wèn)題回答正確與否相互之間互不影響,若每答對(duì)1個(gè)問(wèn)題,得1分;答錯(cuò),得0分,最后按照得分多少排出名次,并分一、二、三

14、等獎(jiǎng)分別給予獎(jiǎng)勵(lì).已知對(duì)給出的3個(gè)問(wèn)題,教師甲答對(duì)的概率分別為,p.若教師甲恰好答對(duì)3個(gè)問(wèn)題的概率是,則p=;在前述條件下,設(shè)隨機(jī)變量x表示教師甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù),則x的數(shù)學(xué)期望為.【解析】因?yàn)榻處熂浊『么饘?duì)3個(gè)問(wèn)題的概率是,所以p=,解得:p=;由題意,隨機(jī)變量x的可能取值分別為:0,1,2,3;所以p(x=0)=,p(x=1)=+=,p(x=2)=+=,p(x=3)=,因此,e=0+1+2+3=.答案:三、解答題9.(10分)甲、乙兩名射箭選手最近100次射箭所得環(huán)數(shù)如表所示.甲選手100次射箭所得環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)78910次數(shù)15243625乙選手100次射箭所得環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)78910次數(shù)10204030以甲、乙兩名射箭選手這100次射箭所得環(huán)數(shù)的頻率作為概率,假設(shè)這兩人的射箭結(jié)果相互獨(dú)立.(1)若甲、乙各射箭一次,所得環(huán)數(shù)分別為x,y,分別求x,y的分布列并比較e,e的大小;(2)甲、乙相約進(jìn)行一次射箭比賽,各射3箭,累計(jì)所得環(huán)數(shù)多者獲勝.若乙前兩次射箭均得10環(huán),且甲第一次射箭所得環(huán)數(shù)為9,求甲最終獲勝的概率.【解析】(1)x的分布列為x78910p0.150.240.360.25則e(x)=70.15+80.24+90.36+100.