旋轉(zhuǎn)曲面的面積課件

1、旋轉(zhuǎn)曲面的面積10.4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積旋轉(zhuǎn)曲面的面積 通過對不均勻量（如曲邊梯形的面積，變速直線通過對不均勻量（如曲邊梯形的面積，變速直線運動的路程）的分析，采用運動的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、分割、近似代替、求和、取極限取極限”四個基本步驟確定了它們的值，并由此抽象四個基本步驟確定了它們的值，并由此抽象出定積分的概念，我們發(fā)現(xiàn)，定積分是確定眾多的不出定積分的概念，我們發(fā)現(xiàn)，定積分是確定眾多的不均勻幾何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量均勻幾何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通過定積分來求值呢？可以通過定積分來求值呢？ 一一 定積分的元素法定積分的元素法( (或微

2、元法或微元法) )旋轉(zhuǎn)曲面的面積 為了說明微元法，我們先來回顧一下曲邊梯形面積轉(zhuǎn)化為定積分的計算過程。step1. 分割：任意劃分a,b為n個小區(qū)間 niiiiAAnixx11),1( ,則step2. 近似： ,1iiixx )( iiixf 計算)1(ni 微元法旋轉(zhuǎn)曲面的面積step3. 求和： niiixfA1)( step4. 取極限： niiixfA10)(lim badxxfA)( 即分析：分析：在上述問題注意到在上述問題注意到: 所求量所求量(即面積即面積)A滿足：滿足：1。與區(qū)間與區(qū)間a,b及及a,b上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)函數(shù)f(x)有關(guān)有關(guān);2。對對a,b具有可加性，具有可加性，

3、; 1iniAA 即即3。)( ,)( iiiixoAfA 且且誤誤差差為為局局部部量量 實際上，引出實際上，引出A的積分表達式的關(guān)鍵步驟是第的積分表達式的關(guān)鍵步驟是第二步，因此求解可簡化如下：二步，因此求解可簡化如下：微元法旋轉(zhuǎn)曲面的面積step1:選取積分變量及積分區(qū)間（如x屬于a,b）step2:取微區(qū)間x,x+dx 求出 )( )(局部量dxxfA 稱為面積元素并記 )( dxxfdA step3: badxxfA)( 計算這種方法稱為定積分的元素法元素法或微元法微元法。微元法旋轉(zhuǎn)曲面的面積 一般的，如果某一實際問題中所求量Q符合條件:1。Q是與某一變量是與某一變量x的變化區(qū)間的變化區(qū)

4、間a,b有關(guān)的量；有關(guān)的量；2。Q對于對于a,b區(qū)間具有可加性；區(qū)間具有可加性；3。局部量局部量.)(iiixfQ 那么，將Q用積分來表達的步驟如下:step1. 選取積分變量及積分區(qū)間選取積分變量及積分區(qū)間 ,:bax 如如step2. 取微區(qū)間取微區(qū)間x,x+dx，求出，求出 )(dxxfQ dxxfdQ)( 并并記記step3. badxxfA)( 計算計算微元法旋轉(zhuǎn)曲面的面積求的步驟求的步驟分分割割用分點用分點bxxxxann 110將將區(qū)間分成區(qū)間分成 n 個小區(qū)間個小區(qū)間11, iiiiixxxxx 以以直直線線代代曲曲把在小區(qū)間上的局部量把在小區(qū)間上的局部量iU 用某個函數(shù)用某個

5、函數(shù) f ( x) 在在),(1iiiixx 的值與的值與ix 之積代替之積代替iiixfU )( 求求和和 把局部量的近似值累加得到總量的近似值把局部量的近似值累加得到總量的近似值, 即即 niiiniixfUU11)( 設(shè)量非均勻地分布設(shè)量非均勻地分布 a ,b 上上旋轉(zhuǎn)曲面的面積ixni max1 nibaiidxxfxfU10)()(lim 由此可知，若某個非均勻量在區(qū)間由此可知，若某個非均勻量在區(qū)間 a,b 上滿足兩個條件：上滿足兩個條件： （1） 總量在區(qū)間上具有總量在區(qū)間上具有可加性可加性，即把區(qū)間分成幾個小區(qū)間時總量就，即把區(qū)間分成幾個小區(qū)間時總量就等于各個小區(qū)間上的局部量之和

6、，等于各個小區(qū)間上的局部量之和，（2）局部量可用）局部量可用iixf )(近似表示近似表示它們之間只相差一個它們之間只相差一個ix 的的高階無窮小高階無窮小不均勻量就可以用定積分來求得不均勻量就可以用定積分來求得這是建立所求量的積分式的基本方法這是建立所求量的積分式的基本方法求極限旋轉(zhuǎn)曲面的面積1 求微元求微元寫出典型小區(qū)間寫出典型小區(qū)間 ,badxxx 上的局部量上的局部量 U 的近似值的近似值dxxfdU)( 這就是局部量的微元這就是局部量的微元2 求積分求積分即把微元即把微元 dU在區(qū)間在區(qū)間 a , b 上上 dxxf)(作積分表達式，作積分表達式，求它在求它在 a , b 上的定積分

7、，即上的定積分，即 badxxfU)(這就是這就是微元法微元法 “無限積累無限積累”起來起來 ，相當(dāng)于把相當(dāng)于把 旋轉(zhuǎn)曲面的面積例例C y f xa b設(shè)曲線 : = ( )在 , 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),求弧長解解:（圖一）1xa,b。 取積分變量 i-1i2222x xxSM Mxy1xyx 。 取微區(qū)間 , +,則（）21dsy dx記弧長微元23 S=1aby dx。yxo1iMiM1M2M1nMnBM0AMaxxxb旋轉(zhuǎn)曲面的面積取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ， 22( ) 1dSf xfx dxxdxx xyo旋轉(zhuǎn)曲面的面積為旋轉(zhuǎn)曲面的面

8、積為 221baSfxfx dx)(xfy 二二 旋轉(zhuǎn)曲面的面積旋轉(zhuǎn)曲面的面積旋轉(zhuǎn)曲面的面積 222Sy txtyt dt旋轉(zhuǎn)曲面的面積 222sinSrrrd旋轉(zhuǎn)曲面的面積1R例 、 求 半 徑 為的 球 面 面 積 。22()yRxRxRx解：球面可看作由半圓繞 軸旋轉(zhuǎn)而成，于是2222221RRxARxdxRx24 R旋轉(zhuǎn)曲面的面積2(sin )(02)(1cos )xa tttyatx例 、求擺線繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的表面積。22202(1 cos )Aatxy dt解22022(1 cos )|sin|2tat2643a旋轉(zhuǎn)曲面的面積例例3 3.3;2;1)0(sincos000

9、33體積及表面積體積及表面積體體它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)它的弧長它的弧長它所圍成的面積它所圍成的面積求求星形線星形線已知已知 ataytaxa aoyx旋轉(zhuǎn)曲面的面積解解.10A設(shè)面積為設(shè)面積為由對稱性由對稱性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L設(shè)設(shè)弧弧長長為為由對稱性由對稱性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a 旋轉(zhuǎn)曲面的面積.,30VS 體體積積為為設(shè)設(shè)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的表表面面積積為為由對稱性由對稱性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 旋轉(zhuǎn)曲面的面積作業(yè)作業(yè) P255P255：1 1，2 2，3.3.dAdttytxtyAttyytxxdxxfxfdxxfAxxbxaxxf