理解傅里葉級數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1理解傅里葉級數(shù)理解傅里葉級數(shù)10.5.6 小結(jié)10.5.1 三角級數(shù)與三角函數(shù)系的正交性 10.5.2 以 為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 10.5.3 區(qū)間 上函數(shù)的傅里葉級數(shù) 2, 10.5.4 正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 10.5.5 以 為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) l 2第1頁/共27頁10.5.1 三角級數(shù)與三角函數(shù)系的正交性 函數(shù)項級數(shù) )sincos(210nxbnxaannn稱為三角級數(shù)， 其中 ), 2 , 1(,0nbaann是常數(shù) 稱函數(shù)族 ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx為三角函數(shù)系 第2頁/共27頁三角函數(shù)系的正交性是指： 三角函數(shù)系

2、中 任何兩個不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間 , 上 的積分等于零 即 0cosnxdx1,2,n 0sinnxdx1,2,n 0cossinnxdxkx,1,2,k n 0sinsinnxdxkx,1,2,k n kn0coscosnxdxkx,1,2,k n kn第3頁/共27頁,212dxnxdx2cos1,2,n nxdx2sin1,2,.n 10.5.2 以 為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 2通常，由下述公式確定的 ), 2 , 1(,0nbaann稱為函數(shù) )(xf的傅里葉系數(shù) ,)(10dxxfa第4頁/共27頁,cos)(1nxdxxfan1,2,n ,sin)(1nxdxxfbn1,2,.n

3、 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf將傅里葉系數(shù)值代入 展開式的右端 )(xf得到的三角級數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa稱為函數(shù) )(xf的傅里葉級數(shù) 第5頁/共27頁定理1（收斂定理，狄利克雷充分條件）設(shè) )(xf是周期為 2的周期函數(shù) 如果它滿足 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷 點 在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點 則 )(xf的傅里葉級數(shù)收斂 并且： (1) 當(dāng) x是 )(xf的連續(xù)點時 級數(shù)收斂于 ; )(xf(2) 當(dāng) x是 )(xf的間斷點時 級數(shù)收斂于 .)0()0(21xfxf第6頁/共27頁例1 設(shè) )(xf是周期為 2的周期函數(shù) 它在

4、 , ) 上的表達(dá)式為 ,0 1 0 1)(xxxf將 )(xf展開成傅里葉級數(shù) 解 所給函數(shù) )(xf滿足收斂定理的條件，函數(shù)在點 xk(0, 1,2,)k 處不連續(xù) 在其它點處連續(xù)， 從而由收斂定理知道 )(xf的傅里葉級數(shù)收斂，并且當(dāng) xk時收斂于 第7頁/共27頁0) 11(21)0()0(21xfxf當(dāng) xk時級數(shù)收斂于 . )(xf傅里葉系數(shù)計算如下 1( )cosnaf xnxdx0011( 1)cos1 cos0nxdxnxdx(0,1,2,)n nxdxxfbnsin)(100sin11sin) 1(1nxdxnxdx第8頁/共27頁00cos1cos1nnxnnx 1cos

5、cos1 1nnn2(1 ( 1) )nn 6, 4, 2, 0 , 5 , 3 , 1 4nnn于是 )(xf的傅里葉級數(shù)展開式為 ) 12sin(121 3sin31sin4)( xkkxxxf第9頁/共27頁10.5.3 區(qū)間 上函數(shù)的傅里葉級數(shù) , 例2 將函數(shù) 0, 0,)(xxxxxf展開成 傅里葉級數(shù) 解 將函數(shù) )(xf延拓成以 2為周期的函數(shù) , )(xF易知，函數(shù) )(xF滿足收斂定理的條 件，傅里葉系數(shù)為 00d2d)(1d)(1xxxxfxxFa2022x第10頁/共27頁dcos)(1dcos)(1xnxxfxnxxFan020cossin2dcos2nnxnnxxx

6、nxx224212(21)(cos 1)02nkknnnk),2,1(k0dsin)(1dsin)(1xnxxfxnxxFbn所以，函數(shù) )(xf的傅里葉級數(shù)展開式為 22411( )(coscos3cos5)235f xxxx).(x第11頁/共27頁10.5.4 正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 一、正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 定理2 對于周期為 2的奇函數(shù) , )(xf其傅里葉 級數(shù)為正弦級數(shù)，即傅里葉系數(shù)為 0 (0,1, 2,),nan,sin)(20nxdxxfbn(1, 2,)n 周期為 2的偶函數(shù) , )(xf其傅里葉級數(shù)為 余弦級數(shù)，即傅里葉系數(shù)為 第12頁/共27頁,cos)(20nxdxxfa

7、n(1, 2,)n 0nb (1, 2,).n 例3 將周期函數(shù) tEtusin)(展開成傅里葉級數(shù)，其中 E為正常數(shù) 解 不妨將 )(tu看成是 2為周期的函數(shù)， 滿足 收斂定理，先計算傅里葉系數(shù) 0(1, 2 ,)nbn4dsin2d)(2000EttEttua第13頁/共27頁0d2sin01ttEa00dcossin2dcos)(2tnttEttntuan0d) 1sin() 1sin(ttntnE242(41)021Enkknk),2,1(k從而函數(shù) )(tu的傅里葉級數(shù)是一個余弦級數(shù) 122cos14142)(kkxkEEtu第14頁/共27頁)6cos3514cos1512cos

8、3121(4tttE. )(t二、區(qū)間 上的函數(shù)的傅里葉級數(shù)0, 0, 將一個定義在 上的函數(shù))(xf進(jìn)行拓展)0 ,(),(0, 0, 0(),()(xxfxxxfxF這樣構(gòu)造的函數(shù) )(xF在 ),(上是一個奇 函數(shù)，按這種方式拓展函數(shù)定義域的過程稱為奇延拓。第15頁/共27頁同理，構(gòu)造函數(shù) 為 )(xF)0 ,(),(, 0),()(xxfxxfxF按這種方式拓展函數(shù)定義域的過程稱為偶延拓 例4 將函數(shù) )0(1)(xxxf分別展開成 正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 解 先展開成正弦級數(shù) 對函數(shù) )(xf作奇延拓， 再作周期延拓，滿足收斂定理的條件 按公式計算傅里葉系數(shù) 第16頁/共27頁00dsi

9、n) 1(2dsin)(2xnxxxnxxfbn02cossincos2nnxnnxnnxx)coscos1 (2nnn22212112nkknkk),2, 1(k從而可得正弦級數(shù) 第17頁/共27頁221(2)sinsin2sin3sin4)234xxxxx )0( x其中在端點 , 0 x處，級數(shù)的和為0 再把函數(shù)展開成余弦級數(shù) 對函數(shù) )(xf作奇 延拓，再作周期延拓，滿足收斂定理的條件 按公式計算傅里葉系數(shù)2)2(2d) 1(20200 xxxxa0dcos) 1(2xnxxan第18頁/共27頁02sincossin2nnxnnxnnxx) 1(cos22nn2421(21)02nk

10、knk),2, 1(k從而可得余弦級數(shù) 2241111coscos3cos5235xxxx (0)x第19頁/共27頁10.5.5 以 為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) l 2定理3 設(shè)周期為 l 2的周期函數(shù) )(xf滿足收斂 定理條件，則它的傅里葉級數(shù)當(dāng) x是 )(xf的連 續(xù)點時，有 01( )(cossin)2nnnanxnxf xabll其中 ),2, 1(,dsin)(1),2, 1,0(,dcos)(1nxlxnxflbnxlxnxflallnlln第20頁/共27頁例5 設(shè) )(xf是周期為4的周期函數(shù) 它在 2,2)上的表達(dá)式為 20 02 0)(x k x xf將 )(xf展開成傅

11、里葉級數(shù)，其中 k為非零 常數(shù) 解 這里 2l 02sin2cos212020 xnnkdxxnkankkdxdxa2002021021第21頁/共27頁22001sincos222nn xkn xbkdxn 2 1, 3, 5, (1 cos)0 2, 4, 6, knknnnn 于是 ) 25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf(,0, 2, 4,)xx 且在點 0, 2, 4,x 處 )(xf的傅里葉級數(shù) 收斂于 .2k第22頁/共27頁例6 將函數(shù) )20()(xxxf展開成 （1）正弦級數(shù)； （2）余弦級數(shù) 解 （1）將 )(xf先作奇延拓，再作周期延拓，計算傅里葉系數(shù)得 ),2, 1,0(0nanxxnxbnd2sin222022022cossin22nxnxxnn第23頁/共27頁),2, 1() 1(4cos41nnnnn從而可得正弦級數(shù) ,2sin) 1(4)(11xnnxfnn)20( x（2）將 )(xf先作偶延拓，再作周期延拓， 計算傅里葉系數(shù)得 2d22200 xxaxxnxand2cos2220第24頁/共27頁22022sincos22nxnxxnn 1) 1(422nn