理學(xué)D微積分學(xué)基本定理計(jì)算PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1理學(xué)理學(xué)D微積分學(xué)基本定理計(jì)算微積分學(xué)基本定理計(jì)算第一節(jié)、定積分概念第一節(jié)、定積分概念第三節(jié)、可積條件第三節(jié)、可積條件本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：第二節(jié)、牛頓第二節(jié)、牛頓-萊布尼茲公式萊布尼茲公式第四節(jié)、定積分的性質(zhì)第四節(jié)、定積分的性質(zhì) 第五節(jié)、第五節(jié)、微積分學(xué)基本定理微積分學(xué)基本定理-定積分計(jì)算定積分計(jì)算 定積分*第六節(jié)、可積性理論補(bǔ)敘第六節(jié)、可積性理論補(bǔ)敘 第1頁(yè)/共38頁(yè)二、定積分的換元法二、定積分的換元法 一、變限積分與原函數(shù)的存在性一、變限積分與原函數(shù)的存在性微積分學(xué)基本定理定積分計(jì)算（續(xù)）三、定積分的分部積分法三、定積分的分部積分法四、泰勒公式的積分型余項(xiàng)四、泰勒公式的積分型余項(xiàng)

2、第2頁(yè)/共38頁(yè))(tfy tbaoy)(xx一、變限函數(shù)與原函數(shù)的存在性，上可積在設(shè),baf上可導(dǎo)，在,ba)(x則,)(上連續(xù)在若baxf,d)(xattf定理定理1. （2）.,上連續(xù)在ba（1）)(x變上限函數(shù)記)(x.,bax而且有).()()(xfdttfxddxxa第3頁(yè)/共38頁(yè)xaxxattfttfxxxd)(d)()()(證明：證明：, ,baxxxxxxttfd)(,x.,Mm,)(xf.,xxxxxx或)(可積若xf)(連續(xù)若xf（1）.0lim0 x，顯然.,上連續(xù)在ba)(x即第4頁(yè)/共38頁(yè), 0, ,xbaxxx且則有xxxxttfxd)(1, )(fxxx)(

3、lim0)(lim0fx).(xf)(x(2) .,xxxxxx或xfttfxxxxxx)(d)()()(證畢證畢.第5頁(yè)/共38頁(yè)上可導(dǎo)，在,ba)(x則,)(上連續(xù)在若baxf定理定理1. (2) ,d)(xattf)(x.,bax而且有原函數(shù)的存在性定理).()()(xfdttfxddxxa第6頁(yè)/共38頁(yè)上的一個(gè)原在是連續(xù)函數(shù)設(shè),)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba證明證明:根據(jù)定理 1,)(d)(的一個(gè)原函數(shù)是xfttfxa故CttfxFxad)()(定理定理2.函數(shù) , 則第7頁(yè)/共38頁(yè)證明證明:故的一個(gè)原函數(shù)是,)(d)(xfttfxaCttfxFxad)()(

4、,ax 令因此得, )(aFC )()(d)(aFxFttfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFttfba記作)(xFab)(xFabxxfd)(證畢證畢.第8頁(yè)/共38頁(yè)u 微積分學(xué)基本定理u 微積分學(xué)基本公式小小 結(jié)結(jié)牛頓牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理)()(d)(aFbFxxfba.,d)()(baxttfxxa第9頁(yè)/共38頁(yè)?d)(dd)(xattfx、2xexxsin的原函數(shù)如何表示？?jī)珊瘮?shù)第10頁(yè)/共38頁(yè)1) 定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2) 變限積分求導(dǎo):bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf)()

5、(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx第11頁(yè)/共38頁(yè))sin(2cosxex0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21例例2. 確定常數(shù) a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax時(shí),0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c第12頁(yè)/共38頁(yè)例例3(1)123)1ln(xtdtt)1ln(23xx(2)321xxtdtxxxx

6、21312232321213xxxx(3) 設(shè)函數(shù))(xyy 是由方程xytdtyx022cos所確定求.y解：解：方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得：) 1)(cos212yxyyyyxyscxyy2)(01)(cos22第13頁(yè)/共38頁(yè) .0 xFtdtfxxFx求解解 xtdtfxxF0 xtdtfx0 )(0 xtdtfxxF xtdtf0 xfx第14頁(yè)/共38頁(yè) ttf txfxd)()(0,0)(,),0)(xfxf且內(nèi)連續(xù)在設(shè)證明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) . 證證:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfx

7、fxd)()(0)(tx0.)0)(內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，（在xF只要證0)( xF 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x第15頁(yè)/共38頁(yè)定理定理2. （積分第二中值定理）設(shè)函數(shù)f1）若函數(shù)g在 上可積，,ba, 0g在 上單調(diào)減，且,ba則存在, ,ba使xxfagxxgxfabad)()(d)()(2）若函數(shù)g, 0g在 上單調(diào)增，且,ba則存在, ,ba使xxfbgxxgxfbbad)()(d)()(證略！證略！第16頁(yè)/共38頁(yè)推論推論. 設(shè)函數(shù)f若函數(shù)g在 上可積，,ba在 上單調(diào)，,ba則存在, ,ba使xxfagxxgxfabad)()(d)()(xxfbgbd)()(

8、證明：證明：不妨設(shè)函數(shù)g在 上單調(diào)減，令,ba)()()(bgxgxh則h為非負(fù)、遞減函數(shù)，由定理2-1）知，存在, ,ba使xxfahxxhxfabad)()(d)()(xxfbgagdxbgxgxfabad)()()()()()(即整理即得。第17頁(yè)/共38頁(yè)定理定理3. 設(shè)函數(shù), ,)(baCxf函數(shù))(tx滿(mǎn)足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t證證: 所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù), 因此積分都存在 ,且它們的原函數(shù)也存在 .,)()(的一個(gè)原函數(shù)是設(shè)xfxF是的原函數(shù) , 因此有則baxxfd)()()(aFbF)(F)(F

9、tfd)(t)(tF)(tf)(t)(t則第18頁(yè)/共38頁(yè)f1) 當(dāng) , 即區(qū)間換為，時(shí),定理 1 仍成立 .2) 必需注意換元必?fù)Q限換元必?fù)Q限 , 原函數(shù)中的變量不必代回 .3) 換元公式也可反過(guò)來(lái)使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不換限tfd)(t)(ttfd)(t)(t4）如果定理?xiàng)l件中只假設(shè)為可積函數(shù)，但還要求是單調(diào)函數(shù)，則結(jié)論仍然成立。說(shuō)明說(shuō)明第19頁(yè)/共38頁(yè)).0(d022axxaa解解: 令,sintax 則,dcosdttax ;0,0tx時(shí)當(dāng).,2tax時(shí) 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a2

10、0ttdcos222xayxoyaS且第20頁(yè)/共38頁(yè).d12240 xxx解解: 令, 12 xt則,dd,212ttxtx,0時(shí)當(dāng)x,4時(shí)x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t且 第21頁(yè)/共38頁(yè)21ln11edxxx21ln1) 1(lnexxdxln122e1) 13(2 換元必?fù)Q限換元必?fù)Q限不換元?jiǎng)t不換限不換元?jiǎng)t不換限第22頁(yè)/共38頁(yè), ,)(aaCxf設(shè)證證:(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(則xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf則xxfad)(0 xxfa

11、d)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa時(shí))()(xfxf時(shí))()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令第23頁(yè)/共38頁(yè)xdxxxI222sin1cos. 1xdxxI222sin1xdxx222sin1cos解解xdxx220sin1cos2)narctan(si2x022xdxxI21. 2解解xdxxI11xdxx21xdx232105225x12) 124(52第24頁(yè)/共38頁(yè)定理定理4. , ,)(, )(1baCxvxu設(shè)則)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(證證:)()()()( )()(xvx

12、uxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上積分兩端在,ba第25頁(yè)/共38頁(yè).darcsin210 xx解解: 原式 =xx arcsin021210 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x02112231第26頁(yè)/共38頁(yè)20dcosttn20dcosxxn20dsinxxInn證證: 令20dcosxxn,22143231nnnn n 為偶數(shù), 13254231nnnn n 為奇數(shù),2xt則20dsinxxn022d)(sinttn令,si

13、n1xun,sin xv 則,cossin) 1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin) 1(xxxnn0第27頁(yè)/共38頁(yè)2022dcossin) 1(xxxnInn2022d)sin1 (sin) 1(xxxnn2) 1(nInnIn) 1( 由此得遞推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所證結(jié)論成立 .0I1I22mI2232mm42mI214312mI1222mm32 mI3254第28頁(yè)/共38頁(yè)06sin xdx206sintdt解：解：26sin xdx第二項(xiàng)

14、用換元積分法：令dtdxtx2則26sin xdx206)2(sindtt206costdt206sinxdx206sin2xdx16522143652一般：一般：0sin xdxn20sin2xdxn第29頁(yè)/共38頁(yè))(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn1）佩亞諾）佩亞諾(Peano)型型 余項(xiàng)余項(xiàng))()(0nnxxoxR四、泰勒公式的積分型余項(xiàng)四、泰勒公式的積分型余項(xiàng)2）拉格朗日）拉格朗日(Lagrange)型余項(xiàng)型余項(xiàng)10) 1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR第30頁(yè)/共38頁(yè)3）積分型余項(xiàng)）積分型余項(xiàng)1

15、)(nIxf內(nèi)有區(qū)間若階的連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,dttxtfnxRnxxnn)( )(!1)(0)1(4）柯西）柯西(Cauchy)型余項(xiàng)型余項(xiàng)1)(nIxf內(nèi)有區(qū)間若階的連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,1000)1()()1)(!1)(nnnnxxxxxfnxR第31頁(yè)/共38頁(yè) 基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限配元不換限邊積邊代限思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.提示提示: 令, txu_d)(sindd0100ttxxx則ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin第32頁(yè)/共38頁(yè),0) 1 (,)(1fCtf,lnd)(31xttfx).(ef求解法解法131d)(lnxttfx) 1 ()(

16、3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131)(ef解法解法2 對(duì)已知等式兩邊求導(dǎo),xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)()(1fuufefeeuu1131d31思考思考:若改題為xttfxlnd)(313?)(ef提示提示: 兩邊求導(dǎo), 得331)(xxfexxfef1d)()(得第33頁(yè)/共38頁(yè), 1 ,0)(連續(xù)在xf ,3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部積分分部積分)第34頁(yè)/共38頁(yè)P(yáng)229 3；4奇數(shù)題 ; 5； 6 ;7 第35頁(yè)/共38頁(yè)1. 證明 證：2dsin)(xxxxx