高數(shù)下冊公式總結(jié)

1、高數(shù)下冊公式總結(jié)（修改版）第八章向量與解析幾何向量代數(shù)定義定義與運算的幾何表 達在直角坐標(biāo)系下的表 示向量有大小、有方向.記作、.uuua或ABa axi ay j azk (ax,ay,az)rrraxprjxa,ayprjya,azprjza模向量a的模記作|a|aJax2 ay2az2和差cab c a bcabax bx,ay by,az bz單位向量a 0 ,則與a 向量為ea產(chǎn)la同向的單位(ax,ay,az)ea/ 2 2 2寸 axayaz方向余 弦設(shè)a與x, y,z軸的夾角分 別為，貝U方向余 弦分別為cos , cos , coscosea ( co2 cos +(ax-r

2、, cos as , cos ,2 2 coscosayaz-r,cos-raacos )1點乘 （數(shù)量 積）a b a bcos ,為向量a與b的夾角a baxbxabyazbz叉乘 （向量 積）c a b sin為向量a與b的夾角 向量c與a , b都垂直且a bijkaxayazbxbybzcab右手系定理與公式垂直a b a b 0a baxbx ayby azbz0平行a/b a b 0a/baxayaza / b bxbyQ交角余 弦兩向量夾角余弦a bC0Sa|b|axbxaybyazbzcos._,丄 2 o 2 c 2 h 2 k 2 h 27axayaz y bxbybz投

3、影向量a在非零向量b上 的投影/ a、 a b PM a cos（a b）時axbxaybyazbzPnba 厭 by2bz2平面直線法向量n A,B,C點M 0(X0, y,Zo)方向向量T m,n,p 點M（x。，y,z。）方程 名稱方程形式及特征方程名 稱方程形式及特征般 式Ax By Cz D 0一般式A,xB, y C ,z D,0A2x B2 y C 2z D 20點法 式A(x X。)B(y y) C(z z)0點向式xX0y y zzmnp三占八 、式x X1 yyizziX2Xiy2yiZ2zi0X3XiyayiZ3z.參數(shù)式xx0mtyyntzZ0pt截距 式x y z i

4、 a b c兩點式XX0yyZZ0XiX0yiy0ziZ0面面 垂直AiA2B, B2C,C20線線垂 直m, m2n,n2 p, p20面面 平行A1BiCiA2B2C2線線平 行miniPim2n2p2線面 垂直ABC m np線面平 行Am Bn Cp 0點面距離Mo(X0,yo,Z0)Ax By Cz D 0面面距離Ax By Cz Di 0Ax By Cz D20dAxo Byo Czo DdDi D2Ja2 b2 c2Ta2 b2 c2面面夾角線線夾角線面夾角n Ai, B Q n2 A2, B2,C251 mi,n 1, Pi52 m2,n2, P2s m, n, pn A,B,

5、C|AA BB2 CGImm門小2Pi P2|Am Bn Cpcin ：2 2 _ 2 2 2 _ 2PABlC1AB2C27； 222* 222斗 g ni pi 小n2P2lA 22小2/222* A B Cm n p空 間 曲 線x，y(t)，z(t)，(t)切向量T ( (t),(t), (t。)切“線”方程：x x y y z z(t0) (t0 ) (t0 )法平“面”方程：(t)(x x) (t)(y y) (t)(z 亦 0F(x,y,z) 0G(x,y,z) 0切向量rijkTFxFyFzGxGyGz p:(m, n, p)切“線”方程：x Xp y yp z zPmnp法平

6、“面”方程：m(x Xp) n(y yp) p(z Zp)0空 間 曲 面F (x, y, z) 0法向量rn ( Fx(x, y,Z0),Fy(X0,y,Z0),Fz(X0,y, z)切平“面”方程：Fx(X0,y,Z0)(x X0) Fx(x, y,z)(y y) Fx(x, y,Z0)(z Z0) 0 法“線“方程：x X0y y0z Z0Fx(x0, y, Z0)Fy(x0, y0, Z0)Fz(x, y,Z0)第十章重積分重積分積分類 型計算方法典型例 題(1)利用直角坐標(biāo)系X 型Df(x,y)dxdy :dx：f(x,y)dyY型f (x, y)dxdy c dy : f (x,

7、y)dx二重積 分If x,ydD（2）利用極坐標(biāo)系使用原則（1）積分區(qū)域的邊界曲線易于用極 坐標(biāo)方程表示（含圓弧,直線段）；（2）被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表示較 簡單（含（x2 y2）,為實數(shù)）平面薄 片的質(zhì)量0 X 0 Xf ( cos , sin ) d dD2()df ( cos , sin ) di()質(zhì)量=密計算步驟及注意事項1 . 畫出積分區(qū)域2 . 選擇坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)：域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸，被積函數(shù)度面積i:關(guān)于坐標(biāo)j變量易分離3 確定積分次序 原則：積分區(qū)域 分塊少，累次積分好算為妙4 確定積分限方法：圖示法先積一條線，后掃積分域二重積分If(x,y,z)dV空間立體物的 質(zhì)量質(zhì)量

8、= 密度 面積(1)利用直角坐標(biāo)投影法 投影法：f(x,y,z)dVD”dxdy ：；Xy：f(x,y,z)dz截面法：f (x, y,z)dV c dz D f(x, y,z)dxdycD zxcos(2)利用柱面坐標(biāo)y sinz z 相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標(biāo) 轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)適用范圍：CD積分區(qū)域表面用柱面坐標(biāo)表示時 方程簡單；如旋轉(zhuǎn)體D被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量 易分離如f (x2 y2)(3 ) 利用球面坐標(biāo)xcosr sin cosysinr sin sinz r cos2dV r sin drd d適用范圍：D積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方考試不作要求，考 研重點掌握程簡單;如，

9、球體，錐體.Q被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量 易分離女口，f（x2 y2 z2）22r2（ ，）21id id ri（,）f（rsin cos，rsin sings sin dr第十一章曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分積分類型計算方法典 型 例 題第一類曲線積 分I Lf（x, y）ds曲形構(gòu)件的質(zhì)量質(zhì)量=線密度弧長參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)(1)L:y y(x), a x bI：f(x，y(x)J y2(x)dx(2)L: x(t) (t) y(t) If( (t), (t)J 2(t)2(t)dt（1）參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分） L: x （t）（t：）y （t）平面第二類曲線積分I l Pdx

10、 Qdy變力沿曲線所做的功LPdx QdyP (t),(t) (t) Q (t),(t) (t)dtx(t)三維情形：y(t)(t：)z(t)Pdx Qdy Rdz P (t), (t), (t) (t) Q (t), (t), (t) (tR (t), (t), (t) (t)dt)（2）利用格林公式（轉(zhuǎn)化為二重積 分） 條件：L封閉，分段光滑，有向（左 手法則圍成平面區(qū)域D）P, Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)纟口論： Pdx Qdy （）dxdyLd x y滿足條件直接應(yīng)用 應(yīng)用：有瑕點，挖洞不是封閉曲線，添加輔 助線（3）利用路徑無關(guān)定理（特殊路徑 法）等價條件：衛(wèi)上xyLPdx Qdy 0 L

11、 Pdx Qdy與路徑無關(guān)， 與起點、終點有關(guān) Pdx Qdy具有原函數(shù)u（x,y） （特殊路徑法，偏積分法，湊微分法）(4)兩類曲線積分的聯(lián)系IPdx Qdy (Pcos Qcos )ds第一類曲面積 分If(xy,z)ds 曲面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度面積投影法:z z(x, y)投影到xoy面If(x,y,z)dSf(x,y,z(x,y)屮 z； z：dxdyD(y類似的還有投影到y(tǒng)oz面和zox面的公 式第二類曲面積 分IPdydz Qdzdx Rdx(y(1)投影法d PdydzP(x(y,z),y,z)dydzDyz:x x(y,z),為的法向量與x軸的 夾角前側(cè)取“ +” , co

12、s 0 ；后側(cè)取“”,cos 0d QdzdxQ(x,y(x,z),z)dzdxDzx:y y(x,z),為的法向量與y軸 的夾角右側(cè)取“ +”，cos 0 ；左側(cè)取“”，cos0d RdxdyR(x, y, z(x, y)dxdyDxy:z z(x,y),為的法向量與z軸的 夾角上側(cè)取“ +”，cos 0 ；下側(cè)取“”，cos 0流體流向曲面一側(cè)的流量（2）高斯公式條件：封閉，分片光滑，是所圍 空間閉區(qū)域的外側(cè)P, Q, R具有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)纟吉論：a Pdydz Qdzdx Rdxdy（P R）dVuxyz應(yīng)用：滿足條件直接應(yīng)用應(yīng)用：不是封閉曲面，添加輔 助面(3)兩類曲面積分之間的聯(lián)系

13、Pdydz Qdzdx Rdx(y(Pcos Qcos Rcos )dS轉(zhuǎn)換投影法：zzdydz ()dxdy dzdx ()dxdyxy所有類型的積分：定義：四步法一一分（任意分割）、勻（任意取點）、 和（求和）、精（求極限）；性質(zhì)：對積分的范圍具有可加性，具有線性性；第十二章級數(shù)若級數(shù)收斂，各項同乘同一非零常數(shù)仍收斂兩個收斂級數(shù)的和差仍收斂 注：一斂、一散之和必發(fā)散._ 用收斂定義，lim sn存在n去掉、加上或改變級數(shù)有限項不改變其收斂性若級數(shù)收斂則對這級數(shù)的項任意加括號后所成 的級數(shù)仍收斂，且其和不變。常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)推論如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散則原來級數(shù)也發(fā)散 注：收斂級數(shù)去括號后未必收斂（必要條件）力仃果級數(shù)收斂 則|im Un 0n 0萊布尼茨判別法比較判別法比較判別法的極限形式比值判別法根值判別法若 Un Un 1 且 lim Un 0，則 (1) n 1 U n 收斂nn 1un和vn都是正項級數(shù)，且 unvn.若 vn收斂，則-H-*un也收斂；若 un發(fā)散，則 vn也發(fā)散.Vn都是正項級數(shù)，且|im匕 n Vn,Un與vn同斂或同散；若IU n也收斂；如果I則若Vn收Vn發(fā)散,Un也發(fā)散。Un是正項級數(shù)，lim Un 1nUn