高數答案第七章

1、高數答案第七章第七章 空間解析幾何與向量代數7.1向量及其線性運算必作題： P300-301 ：1， 3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19. 必交題：1、求點(a,b,c)分別關于各坐標面； 各坐標軸；坐標原點的對稱點的坐 標解：(1) xoy 面(a,b,-c ) ,yoz 面( -a,b,c ), xoz 面( a,-b,c ) ;(2) ox 軸 ( a,-b,-c ) , oy 軸( -a,b,-c ), oz 軸( -a,-b,c );(2 )關于原點( -a,-b,-c )。2、坐標面上的點與坐標軸上的點的坐標各有什么特征 , 指出下列各點的位置A(3,4,0)

2、, B(0,4,3),C(3,0,0),D(0, 1,0).解：xoy 面：z=0, yoz 面：x=0, xoz 面：y=0.ox 軸：y=0,z=0 , oy 軸：x=0,z=0 , oz 軸：x=0,y=0 ,A在xoy面上，B在yoz面上，C 在x軸上，D在y軸上。3、在z軸上求與點A( 4,1,7)和點B(3,5, 2)等 距離的點的坐標解：設 C (0, 0, z),有|AC|=|BC|，解得: z晉，所求點為(0,0,魯).vvvvv vvvv v v -4、設 u a b 2c,v a 3b c,試用 a,b,c 表示v v2u 3v.r v v v v解：2u 3v 5a 1

3、1b 7c.5、 已知兩點M/4八2,1)和M 2(3,0, 2),求向量MfM： 的模，方向余弦和方向角.解:JJJJUVM1M 21 cos2 ?cos1, 2,1 ,22 ，UJJULJVM1M 2cos2，方向余弦為1，方向角尋，cos0,cos1 ,cos2a的模*求a.2,方向余弦解:x, y,z ,1 y亦 所 2，2 T，所0，y7、設有向量1 , zUUJU unuPP2,則 o，丿2 ? 2晅，ao,1,V5PLP 2,它與X軸、y軸的夾角分別為-和-，如果已知34P(1,0,3),求 P2的坐標設P2的坐標為(x,y,z)， cos3 *，所以uuuv解:umvRP2y

4、,2，又 BP?1 2 (z 3)22，標為(2,邁2)x 2 ； y22,，所以解得z 2或zcos4X 1,y,z 3 ， 呂，所以4，所以P2的坐或者(2j2, 4).8、求平行于向量a 6,7, 6的單位向量. 解：a J36 49 36 11 ,與；平行的單位向量為1 6,7, 6,即為-,-,-，或者11八11111167611, 11,11 7.2數量積 向量積 混合積必作題：P309-310 : 1, 2, 3, 4? 6，7, 8, 9.必交題：1、已知向量a 1, 2,2與b 2,3,垂直，向量a 1,1, 2與d 2,2,平行，求和的值.解：a b , a t) 2 6

5、20 ,24.a Pb ,2、已知向量 a 2a 3a a,t a a 3a,a a 2a,分別 計算以下各式.mvvvvvvvvvv(ag)c (agb ；(a b) (b c)；(a b)gvvvvvv v v r r解：(age (aggb 8c 8b 8j 24kv v v v rrr rrrr r( (a b) (b e) (3i 4j 4k) (2i 3j 3k)j k231/Q v v v丿(a b)81132.1 2 03、已知OA v 3v,OUv v貳，求abo的面積. uuv uuv r v v解：OA OB3i 3j kABO的面積S 1|Oa OB|乎. 7.3曲面及

6、其方程必作題：P318-319 : 1、2、5、6、7、8、 9、10.必交題：1、一動點與兩定點A 2,3,1和B 4,5,6等距離， 求該動點的軌跡方程.解：設動點P(x,y,z)，因為|PA |PB，所以 (x 2)2 (y 3)2 (z 1)2 (x 4)2 (y 5)2 (z 6)2，解得動 點的軌跡方程為2x 2y 5z 623.2、指出下列方程在平面解析幾何和空間解析幾何中分別表示什么圖形 y x 1 ；2 2x2 y2 4 ；x y 1 ； x2 2y ；x2y2 0.解：直線；平面圓；援助面雙曲線；雙曲柱面拋物線；拋物柱面原點；Oz坐標軸3、說明下列旋轉曲面是怎樣形成的(z

7、a)2 x2 y2 .解：xOy坐標面上橢圓蘭工1繞Ox軸旋492 2轉形成，或者xOz坐標面上橢圓亍扌1繞Ox軸旋轉形成。（2）xOz坐標面上z a x繞Oz軸旋轉形成, 或者yOz坐標面上z a y繞Oz軸旋轉形成.4、指出下列方程表示什么曲面z342 x2 2x y 2z94 X2 y2 z2 ；2 2 2x y z 4.解：橢球面 橢圓拋物面 圓錐面 旋轉雙葉雙曲面5、建立單葉雙曲面蘭匸藝i與平面1645X 2Z 3 0的交線關于xoy面的投影柱 面與投影曲線方程解：將曲面與平面方程聯(lián)立，消去變量z得到 投影柱面暫手于1，投影曲線為2 2 2x y (x 3)116420z 06、畫出

8、下列各曲面所圍立體圖形 z X2 y2， z 1 ；z 6 x2 y2，z 0 ； z J2 x2y2，z x2 y2.解：略 7.4 空間曲線及其方程6, 7,必作題：P324-325 : 3, 4, 5,8.必交題：1、下列方程組各表示什么曲線?5x 12x 32 2X-乞149z 34y2z6z ；1 ?y2 z2 4x 8y(x 1)2（y解：直線（4）拋物線X2 y2 z2362)2 (z 1)225橢圓圓2、求由上半球面z J2 x2 y2x2 y2 ax 0及平面z 0所圍立體在 面和xoz坐標面的投影.解：在xOy平面投影（xi)2雙曲線,柱面 xoy坐標z 0在xOz平面投影

9、z a2 x2 , y 0 , x 01、將曲線的一般方程2 2 2x y z 9化為y x參數方程.cost解:z 3sin t 7.5 平面及 其方程必作題：P329-330 : 2, 4, 6, 7, 8. 必交題： 1、求滿足下面條件的平面方程過點3,0, 1且與向量 a 3, 7,5垂直； 過點1,0,1且與二向量a 2,1,1， V 1, 1,0 平行;過點5, 7,4且在三坐標軸上的截 距相等且不為零；過z軸，且與平面2x y丘0的夾角為亍解：(1)3(x 3) 7y 5(z 1) 0，即 3x 7y 5z 4v v a b2 1 11 1 0(x 1)y 3(z 1) 0 ，即

10、x y 3z 4設平面方程為x所以a 2，即x y z 2設平面方cos 2A B解得3Ja2 b2 后，r r r i j kr I 3k ,所以y z a，過點 5, 7,4 ,程為 Ax By 0,A 3B或B 3A ,所以方程為3BxBy 0，即 3x y 0，或者 Ax 3Ay0，即x 3y02、求兩平行平面1 :x y z1 0與2:2x 2y 2z 3 0之間的距離解：在1上任取 點（0,0,1），距離2 3 7.6空間直線及其方程必作題：P335-336 : 1、2、8 11、13、15、16.必交題求過點（024）且與兩平面3z 2平行的直線方程.方向向量1、2: y解：s

11、1,0,20,1, 33、2,3,14、7、2z 1和以直線方程為2、求直線L:y 3zy z0和平面0的夾角.解：s 1,1,31, 1, 1sin.4 16 4 1 1 12,4, 2 , n0，所以1, 1, 13、求點P(3, 1,2)到直線X y2x yZ 1 0的距離.z 4 0解：s 1,1, 12, 1,10, 3, 3在直線上任取一點uuuvM (1,0,2) , PM 2,1,0 ,uuuv rPM s 3, 6,6距離d第七章總復習必作題:P337-338:總習題七.必交題： 第七章模擬檢測題1、填空題（1）設2a 5b與a b垂直，2a 3b與a 5b垂 直，貝y（a,

12、b）=（2）已知 a （2,2,1）, b （8,4,1），貝y a 在 b 的 投影為；與a同方向的單位向量 為； b的方向余弦為1 ；2 2 1 .8,；cos3 3 3 79 ?空間曲線zz 241cos, cos9 92 2 x 2y 2在xOy面上的(X y)投影曲線的方程為.x2 y21z 0x 1與兩直線y 1 t及J山L都z 2 t121平行且過原點的平面方程為x y z 0(5) 點P(3,5,7)關于平面 2x 6y 3z 42 0的對稱點的坐為./ 9 713 109、( )49 49 491、選擇題（1）設ag） 3，a b （1,1,1），則向量 a與b的夾角為（D

13、）A-2C4(2)設兩直線Li:則此兩條直線(A );A.異面B.相交C.平行 D 重合(3) 通過x軸且垂直于平面 5x 4y 2z 3 0的平面方程為(B )；A z 2y 0B. y 2z 0C. x 2z 0 D z 2x 0(4) 平面 2x 4y 3z 3 0與平面 x y 2z 9 0 的夾角為(D );A.B . . C643D.(5)點W到直線Lt：3。的距離為(B )A.、.340 b11,34111.342113、計算題(1)求點 A(-1 ,2,0)在平面 x 2y z 1 0 上的投影.解：垂涎方程為寧字1 2x 1 y 2 z t1 2 1I，所以X代入平面方程解得

14、z |，即投影為5 2 2(品弓(2)設平面過點(0，1, 3)，且平行于直線y 2，又垂直于已知平面2 1 1x y 2z 1。，求此平面方程.解：法線向量n 2, 1,11,1,21,5,3 ,所求平面方程為(x 0) 5(y 1) 3(z 3)0，即 x 5y 3z 14(3)求直線寧 寧1繞z軸旋轉一周 所成曲面方程 解：S 2,3,1，cot 1=1V49 辰曲面方程為z (x 1)2 (y 3)2cot ， 即 13z2 (x 1)2 (y 3)2(4) 求以點A(3, 2, 1)為球心，且 與平面x 2y 3z 18相切的球面方程解：點A到平面的距離d r吟3 18屈，V1 4 9球面方程為(x 3)2 (y 2)2 (z 1)2 14.(5) 求空間曲線x z2 11在三個坐標面x y 1上的投影曲線方程. 2 2 亠解：在xOy平面的投影X y 1 ,在yOz平面 z 02 2的投影(z 1) y 1x 0在xOz平面的投影4、證明題(1)r r r3i 12j 6k 共面