安徽省江南十校高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題帶答案

1、2016年安徽省“江南十?！备呷?lián)考數(shù)學(xué)試題（理科）注意事項：1.本試卷分第i卷（選擇題）和第ii卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答第i卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.3.回答第ii卷時,將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回. 第i卷一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1）已知集合，則中的元素個數(shù)為(a) (b) (c) (d)（2）若復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部

2、為(a) (b) (c) (d)（3）“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的(a)充分不必要條件 (b)必要不充分條件(c)充要條件 (d)既不充分也不必要條件（4）已知是雙曲線的一條漸近線，是上的一點(diǎn)，是的兩個焦點(diǎn)，若，則到軸的距離為(a) (b) (c) (d) （5）在平面直角坐標(biāo)系中，滿足的點(diǎn)的集合對應(yīng)的平面圖形的面積為；類似的，在空間直角坐標(biāo)系中，滿足，的點(diǎn)的集合對應(yīng)的空間幾何體的體積為(a) (b) (c) (d) （6）在數(shù)列中，為的前項和.若，則數(shù)列 的前項和為(a) (b) 開始結(jié)束否是輸出輸入 (c) (d)（7）設(shè)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則(a) (b)(c) (d)（8）執(zhí)行如圖所示的程序

3、框圖，如果輸入的，則輸出的(a) (b) (c) (d)（9）已知函數(shù)的最小正周期為，且對，有成立，則的一個對稱中心坐標(biāo)是(a) (b) (c) (d)（10）若滿足約束條件則的取值范圍為(a) (b) (c) (d) （11）某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖的下半部分曲線為半圓弧，則該幾何體的表面積為側(cè)視圖正視圖俯視圖(a) (b) (c) (d) （12）已知函數(shù)存在極小值，且對于的所有可能取值，的極小值恒大于，則的最小值為 (a) (b) (c) (d) 第卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題第21題為必考題，每個試題考生都必須做答，第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答.二

4、.填空題：本大題共4小題，每小題5分.（13）年月日我國全面二孩政策實(shí)施后，某中學(xué)的一個學(xué)生社團(tuán)組織了一項關(guān)于生育二孩意愿的調(diào)查活動.已知該中學(xué)所在的城鎮(zhèn)符合二孩政策的已婚女性中，歲以下的約人，歲至歲的約人，歲以上的約人.為了解不同年齡層的女性對生育二孩的意愿是否存在顯著差異，該社團(tuán)用分層抽樣的方法從中抽取了一個容量為的樣本進(jìn)行調(diào)查，已知從歲至歲的女性中抽取的人數(shù)為人，則 .（14）的展開式中，的系數(shù)為 .（15）橢圓的右頂點(diǎn)為，經(jīng)過原點(diǎn)的直線交橢圓于 兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為 .（16）已知為數(shù)列的前項和，若存在唯一的正整數(shù)使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說

5、明，證明過程和演算步驟.(17)(本小題滿分12分)如圖，平面四邊形中，求（）；（）的面積.(18)(本小題滿分12分)如圖，多面體中，四邊形是邊長為2的正方形，四邊形為等腰梯形，平面平面.（）證明：平面;（）若梯形的面積為，求二面角的余弦值.cbfeda(19)(本小題滿分12分)第31屆夏季奧林匹克運(yùn)動會將于2016年8月5日21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行.下表是近五屆奧運(yùn)會中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（單位：枚）.第30屆倫敦第29屆北京第28屆雅典第27屆悉尼第26屆亞特蘭大中國3851322816俄羅斯2423273226（）根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)完成近五屆奧運(yùn)會兩國代表團(tuán)

6、獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度（不要求計算出具體數(shù)值，給出結(jié)論即可）；（）甲、乙、丙三人競猜今年中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)中的哪一個獲得的金牌數(shù)多（假設(shè)兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)不會相等），規(guī)定甲、乙、丙必須在兩個代表團(tuán)中選一個，已知甲、乙猜中國代表團(tuán)的概率都為，丙猜中國代表團(tuán)的概率為，三人各自猜哪個代表團(tuán)的結(jié)果互不影響.現(xiàn)讓甲、乙、丙各猜一次，設(shè)三人中猜中國代表團(tuán)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.中國俄羅斯12345(20)(本小題滿分12分)已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸.（）求線段的長；（）設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)和的動直線交于點(diǎn)和

7、，交于點(diǎn)，若直線、的斜率依次成等差數(shù)列，試問：是否過定點(diǎn)？請說明理由. (21)(本小題滿分12分)已知函數(shù).（）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（）設(shè)函數(shù)，討論的零點(diǎn)個數(shù)；若存在零點(diǎn)，請求出所有的零點(diǎn)或給出每個零點(diǎn)所在的有窮區(qū)間，并說明理由（注：有窮區(qū)間指區(qū)間的端點(diǎn)不含有和的區(qū)間）.請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，做答時請寫清題號.(22)(本小題滿分10分) 選修4-1 :幾何證明選講如圖，過外一點(diǎn)作的兩條切線，其中為切點(diǎn)，為的一條直徑，連并延長交的延長線于點(diǎn).（）證明：；（）若,求的值.(23)(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)

8、系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知在極坐標(biāo)系中，圓的方程為（）求在平面直角坐標(biāo)系中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）已知為圓上的任意一點(diǎn)，求面積的最大值.(24)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)，記的解集為.（）求；（）已知,比較與的大小.2016年安徽省“江南十?！备呷?lián)考數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)（1）b【解析】，中有3個元素，故選b（2）a【解析】由，得，的實(shí)部為，故選a（3）c【解析】的定義域為，關(guān)于原點(diǎn)對稱當(dāng)時，故為奇函數(shù)；反之，當(dāng)為奇函數(shù)時，又，故所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充要條件，故選c（4）c【解析】，不妨設(shè)的方程為，設(shè)由得，故到軸的距離為，

9、故選c（5）b【解析】所求的空間幾何體是以原點(diǎn)為球心，為半徑的球位于第一卦限的部分，體積為，故選b（6）c【解析】的前項和為，故選c（7）d【解析】，故選d（8）b【解析】第一次運(yùn)行后；第二次運(yùn)行后；第三次運(yùn)行后；第四次運(yùn)行后；第五次運(yùn)行后；第六次運(yùn)行后；此時不滿足，輸出，故選b（9）a【解析】由的最小正周期為，得.因為恒成立，所以，即，由，得，故.令，得，故的對稱中心為，當(dāng)時，的對稱中心為，故選a（10）b【解析】作出可行域，設(shè)直線，平移直線，易知當(dāng)過與的交點(diǎn)時，取得最大值；當(dāng)與拋物線相切時取得最小值由，消去得：，由，得，故，故選b（11）d【解析】由三視圖可知該幾何體是一個正三棱柱和一個半

10、圓柱的組合體，三棱柱的兩個側(cè)面面積之和為，兩個底面面積之和為；半圓柱的側(cè)面積為，兩個底面面積之和為，所以幾何體的表面積為，故選d（12）a【解析】因為存在極小值，所以方程有兩個不等的正根故由得，分析易得的極小值點(diǎn)為， 因為，所以設(shè)，則的極小值恒大于等價于恒大于因為，所以在單調(diào)遞減故，解得，故，故選a（13）【解析】由題意可得，故（14）【解析】的系數(shù)為（15）【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由對稱性可得，因為在中，故，易得，代入橢圓方程得：，故，所以離心率（16）或【解析】時， 整理得，又，故不等式可化為：設(shè)，由于，由題意可得，解得或 (17) 【解析】（）在中，由正弦定理得：， 2分在中，由余弦

11、定理得： 4分所以 6分（）因為，所以因為 8分所以 12分（18）【解析】（）設(shè)的交點(diǎn)為，則為的中點(diǎn)，連接由，得所以四邊形為平行四邊形，故 3分又平面,平面pmocbfeda所以平面 6分（）方法一：因為平面平面，交線為，所以平面，作于，連平面，又平面，,故為二面角的平面角. 8分取中點(diǎn)，連接，因為四邊形為等腰梯形，故因為所以.由，得 因為所以，故 10分所以故二面角的余弦值為 12分方法二：取中點(diǎn)，連接，因為四邊形為等腰梯形，故，又平面平面，交線為，故平面，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.因為所以, 因此 8分設(shè)平面的法向量為由，得，令，則因為，

12、所以平面，故平面的法向量為 10分于是由題意可知，所求的二面角的平面角是銳角，故二面角的余弦值為 12分 (19) 【解析】（）兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖如下中國俄羅斯12345682 814 3 7 62 3分通過莖葉圖可以看出，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值高于俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值；俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)比較集中，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)比較分散。 6分（）解：的可能取值為，設(shè)事件分別表示甲、乙、丙猜中國代表團(tuán)，則 故的分布列為 10分 12分(20) 【解析】（）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)，得，故，的方程為 2分在第一象限的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為，則 故在點(diǎn)處的切線斜率為，切線的方程

13、為令得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為故線段的長為 5分（）恒過定點(diǎn)，理由如下：由題意可知的方程為，因為與相交，故由，令，得，故設(shè)由 消去得：則， 7分直線的斜率為，同理直線的斜率為直線的斜率為 因為直線、的斜率依次成等差數(shù)列，所以 即 10分整理得：， 因為不經(jīng)過點(diǎn)，所以所以，即故的方程為，即恒過定點(diǎn) 12分(21) 【解析】（）當(dāng)時， 易知在上單調(diào)遞增，且， 2分因此，當(dāng)時，；當(dāng)時，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 5分（）由條件可得， （i）當(dāng)時，無零點(diǎn)（ii）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增若，即時，在上有一個零點(diǎn)若，即時，有一個零點(diǎn)若，即時，在上有一個零點(diǎn) 8分（iii）當(dāng)時，令，得；令，得所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，若，即時，無零點(diǎn)若，即時，有一個零點(diǎn)若，即時，在有一個零點(diǎn)； 10分設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，即時，故設(shè)，則，所以在單調(diào)遞減，即時，因為時，所以，又，在上有一個零點(diǎn)，故有兩個零點(diǎn)綜上，當(dāng)時，在和上各有一個零點(diǎn)，共有兩個零點(diǎn)；當(dāng)時，有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，無零點(diǎn)；當(dāng)時，在上有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，在上有一個零點(diǎn)。 12分(22) 【解析】（）連接、，因為、為圓的切線，所以垂直平分又為圓的直徑，所以，所以又為的中點(diǎn)，