7差分方程模型

1、7.1 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型7.2 減肥計劃減肥計劃節(jié)食與運動節(jié)食與運動7.3 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型7.4 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長第七章第七章 差分方程模型差分方程模型7.1 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型問問 題題供大于求供大于求現(xiàn)現(xiàn)象象 商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定? 當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定?價格下降價格下降減少產(chǎn)量減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲價格上漲供不應求供不應求 描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律描述商品數(shù)

2、量與價格的變化規(guī)律.數(shù)量與價格在振蕩數(shù)量與價格在振蕩蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k時段商品數(shù)量；時段商品數(shù)量；yk第第k時段商品價格時段商品價格.消費者的需求關(guān)系消費者的需求關(guān)系)(kkxfy 生產(chǎn)者的供應關(guān)系生產(chǎn)者的供應關(guān)系減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)需求函數(shù)需求函數(shù)f與與g的交點的交點P0(x0,y0) 平衡點平衡點一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgy供應函數(shù)供應函數(shù)xy0fgy0 x0P0設(shè)設(shè)x1偏離偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0

3、321PPPP00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點是不穩(wěn)定平衡點gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲線斜率曲線斜率蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0點附近用直線近似曲線點附近用直線近似曲線)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩(wěn)定穩(wěn)定P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致方

4、程模型與蛛網(wǎng)模型的一致)(00 xxyykk 商品數(shù)量減少商品數(shù)量減少1單位單位, 價格上漲幅度價格上漲幅度)(001yyxxkk 價格上漲價格上漲1單位單位, (下時段下時段)供應的增量供應的增量考察考察 , 的含義的含義 消費者對需求的敏感程度消費者對需求的敏感程度 生產(chǎn)者對價格的敏感程度生產(chǎn)者對價格的敏感程度 小小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定有利于經(jīng)濟穩(wěn)定 小小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定有利于經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋xk第第k時段商品數(shù)量；時段商品數(shù)量；yk第第k時段商品價格時段商品價格.1經(jīng)濟穩(wěn)定經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1. 使使 盡量小，如盡量小，如

5、 =0 以行政手段控制價格不變以行政手段控制價格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經(jīng)濟實力控制數(shù)量不變靠經(jīng)濟實力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0 x0gf結(jié)果解釋結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直供應曲線變?yōu)樨Q直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推廣模型的推廣 生產(chǎn)者根據(jù)當前時段和前一時生產(chǎn)者根據(jù)當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產(chǎn)量段的價格決定下一時段的產(chǎn)量.)(00 xxyykk生產(chǎn)者管理水平提高生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應函數(shù)為設(shè)供應函數(shù)為需求函數(shù)不變需求函數(shù)不變, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二階線性常系數(shù)差分方程二階線性常系數(shù)差

6、分方程x0為平衡點為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即研究平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡點穩(wěn)定，即平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:12,12平衡點穩(wěn)定條件平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了122, 1模型的推廣模型的推廣7.2 減肥計劃減肥計劃節(jié)食與運動節(jié)食與運動背背景景 多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能

7、維持. 通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標.分分析析 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起. 飲食（吸收熱量）引起體重增加飲食（吸收熱量）引起體重增加. 代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少. 體重指數(shù)體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.模型假設(shè)模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量）體重增加正比于吸收的熱量每每8000千卡增加體重千卡增加體重1公斤；公斤；2）代

8、謝引起的體重減少正比于體重）代謝引起的體重減少正比于體重每周每公斤體重消耗每周每公斤體重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而異因人而異), 相當于相當于70公斤的人每天消耗公斤的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關(guān)；形式有關(guān)； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5公斤，每周吸收熱量不要小于公斤，每周吸收熱量不要小于10000千卡千卡.某甲體重某甲體重100公斤，目前每周吸收公斤，目前每周吸收20000千卡熱量，千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減

9、肥至體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75公斤公斤.第一階段：每周減肥第一階段：每周減肥1公斤，每周吸收熱量逐漸減公斤，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（少，直至達到下限（10000千卡）；千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標 2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃.1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃.減肥計劃減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案）給出達到目標后維持體重的方案.)()1()()1(kwkckwkw千卡）公斤/(80001 確定某甲的

10、代謝消耗系數(shù)確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每公斤體重消耗即每周每公斤體重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)體重體重c(k) 第第k周吸收熱量周吸收熱量 代謝消耗系數(shù)代謝消耗系數(shù)(因人而異因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100公斤不變公斤不變wcww025. 0100800020000wc 第一階段第一階段: w(k)每周減每周減1公斤公斤, c(k)減至下限減至下限10000千卡千卡1) 1()(kwkwk20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw第一階段

11、第一階段10周周, 每周減每周減1公斤，第公斤，第10周末體重周末體重90公斤公斤10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收熱量為吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃1)(1)1(kwkc10000mC)1 ()1 (1 )()1 ()(1nmnCkwnkw 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75公斤公斤 代入得以10000,80001,025. 0mC5050)(975. 0)(kwnkwnmmnCCkw)()1 (1）不運動情況的兩階段減肥計

12、劃）不運動情況的兩階段減肥計劃)() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1 () 1(nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75公斤公斤 5050)(975.0)(kwnkwn第二階段第二階段19周周, 每周吸收熱量保持每周吸收熱量保持10000千卡千卡, 體重按體重按 減少至減少至75公斤公斤.)19, 2 , 1(50975. 040)(nnwn19975. 0lg)40/25lg(n)028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取運動運動

13、t=24 (每周每周跳舞跳舞8小時或自行車小時或自行車10小時小時), 14周即可周即可.2）第二階段增加運動的減肥計劃）第二階段增加運動的減肥計劃根據(jù)資料每小時每公斤體重消耗的熱量根據(jù)資料每小時每公斤體重消耗的熱量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行車自行車(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周運動每周運動時間時間(小時小時)()() 1()() 1(kwtkckwkw基本基本模型模型6 .44)6 .4490(972. 075n14nmmnCCkwnkw)()1()(增加運動相當于提高代謝消耗系數(shù)增加運動相當于提高代謝消耗系數(shù)

14、 2）第二階段增加運動的減肥計劃）第二階段增加運動的減肥計劃)028. 0()025. 0(t提高提高12%減肥所需時間從減肥所需時間從19周降至周降至14周周減少減少25% 這個模型的結(jié)果這個模型的結(jié)果對代謝消耗系數(shù)對代謝消耗系數(shù) 很敏感很敏感. 應用該模型時要仔細確定代謝消耗系數(shù)應用該模型時要仔細確定代謝消耗系數(shù) (對不同的人對不同的人; 對同一人在不同的環(huán)境對同一人在不同的環(huán)境).3）達到目標體重）達到目標體重75公斤后維持不變的方案公斤后維持不變的方案)()() 1()() 1(kwtkckwkw每周吸收熱量每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)保持某常數(shù)C，使體重，使體重w不變不變wtCww

15、)(wtC)()(1500075025. 08000千卡C 不運動不運動)(1680075028. 08000千卡C 運動運動(內(nèi)容同前內(nèi)容同前)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk7.3 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式連續(xù)形式的阻滯增長模型的阻滯增長模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是穩(wěn)定平衡點穩(wěn)定平衡點(與與r大小無關(guān)大小無關(guān))離散離散形式形式x(t) 某種群某種群 t 時刻的數(shù)量時刻的數(shù)量(人口人口)yk 某種群第某種群第k代的數(shù)量代的數(shù)量(人口人口)若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即

16、討論平衡點的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點是平衡點kkyNrrx) 1( 1rb記) 1 ()1 (1Nyryyykkkk離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一階一階(非線性非線性)差分方程差分方程 (1)的平衡點的平衡點y*=N討論討論 x* 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性變量變量代換代換(2)的平衡點的平衡點brrx111*(1)的平衡點的平衡點 x*代數(shù)方程代數(shù)方程 x=f(x)的根的根穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似線性方程的近似線性方程x*

17、也是也是(2)的平衡點的平衡點1)(* xfx*是是(2)和和(1)的穩(wěn)定平衡點的穩(wěn)定平衡點1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不穩(wěn)定平衡點的不穩(wěn)定平衡點補充知識補充知識一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡點及穩(wěn)定性的平衡點及穩(wěn)定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡點及其穩(wěn)定性的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點平衡點bx11*穩(wěn)定性穩(wěn)定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（單調(diào)增）0 x1x1x2xx* 穩(wěn)定穩(wěn)定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不穩(wěn)定不穩(wěn)定另一

18、平衡另一平衡點為點為 x=01 rb1)0(bf不穩(wěn)定不穩(wěn)定b 23)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振蕩地）y0 xxy )(xfy 0 x1x2x*x2/114/b)1 (1kkkxbxx的平衡點及其穩(wěn)定性的平衡點及其穩(wěn)定性*xxk )1 (1kkkxbxx初值初值 x0=0.2數(shù)值計算結(jié)果數(shù)值計算結(jié)果bx11*b 3.57, 不存在不存在2n倍周期收斂子序列倍周期收斂子序列混沌現(xiàn)象混沌現(xiàn)象4倍周期收斂倍周期收斂混混 沌沌 現(xiàn)現(xiàn) 象象 “ “差之毫厘，失之千里差之毫厘，失之千里”混沌現(xiàn)象的一個典型特征混沌現(xiàn)象的一個

19、典型特征 對初始條件的敏感性對初始條件的敏感性 kxk xk 00.10000.100110.34300.343320.95140.952031.07621.0753211.13700.8442220.71651.1993231.26490.5540310.55241.0058321.22000.9901330.49531.0165設(shè)設(shè)x0=0.1000, x0=0.1001, 比較比較xk)1 (1kkkxbxxb =3.7 著名的著名的“蝴蝶效應蝴蝶效應” )1 (1kkkxbxx的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象b 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型 阻滯增長模型阻滯

20、增長模型( (微分方程形式、差分方程形式）微分方程形式、差分方程形式）有廣泛的應用有廣泛的應用. .)1 (1kkkxbxx基本模型基本模型 是很簡單的非線性差分方是很簡單的非線性差分方程程. 方程解的收斂性研究可以導出相當復雜和有趣的方程解的收斂性研究可以導出相當復雜和有趣的結(jié)果結(jié)果分岔理論和混沌現(xiàn)象分岔理論和混沌現(xiàn)象. 在混沌區(qū)域可以出現(xiàn)周期為在混沌區(qū)域可以出現(xiàn)周期為3,5,收斂的收斂的“窗窗口口”.7.4 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同不同年齡組的繁殖率和死亡率不同. 建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下

21、種群的增長規(guī)律.假設(shè)與建模假設(shè)與建模 種群按年齡大小等分為種群按年齡大小等分為n個年齡組，記個年齡組，記i=1,2,n 時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2, 以雌性個體數(shù)量為對象以雌性個體數(shù)量為對象. 第第i 年齡組年齡組1雌性個體在雌性個體在1時段內(nèi)的時段內(nèi)的繁殖率繁殖率為為bi 第第i 年齡組在年齡組在1時段內(nèi)的死亡率為時段內(nèi)的死亡率為di, 存活率存活率為為si=1- di1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假設(shè)假設(shè)與與建模建模xi(k)時段時段k第第i 年齡組的種群數(shù)量年齡組的種群數(shù)量)() 1(kLxkx)0()

22、(xLkxkTnkxkxkxkx)(),(),()(21按年齡組的分布向量按年齡組的分布向量預測任意時段種群預測任意時段種群按年齡組的分布按年齡組的分布Leslie矩陣矩陣(L矩陣矩陣)() 1(11kxbkxinii(設(shè)至少設(shè)至少1個個bi0)00000000121121nnnsssbbbbL穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學知識穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學知識nkk, 3 , 2,1 L矩陣存在矩陣存在正單特征根正單特征根 1， 若若L矩陣存在矩陣存在bi, bi+10, 則則 nkk, 3 ,2,1)0()(xLkxk11),(PdiagPLnP的第的第1列是列是x*)0()0, 0 , 1 ()(lim11xP

23、PdiagkxkkTnnssssssx11121212111*, 1特征向量特征向量*1)(limcxkxkk, c是由是由bi, si, x(0)決定的常數(shù)決定的常數(shù) 且且解解釋釋L對角化對角化11),(PdiagPLknkk*cx*)() 1xckxk)() 1()2kxkx穩(wěn)態(tài)分析穩(wěn)態(tài)分析k充分大充分大種群按年齡組的分布種群按年齡組的分布*1)(limcxkxkk 種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布稱穩(wěn)定分布, 與初始分布無關(guān)。與初始分布無關(guān)。 各年齡組種群數(shù)量按同一各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減，倍數(shù)增減， 稱固有增長率稱固有增長率Tnssssssx121211*, 1)() 1(kxkx