換元法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用及推廣

1、-作者xxxx-日期xxxx換元法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用及推廣【精品文檔】目 錄1. 引言2一、換元法研究的背景2二、換元法研究的意義2三、換元法研究的方法32. 換元法的發(fā)展脈絡(luò)33. 換元法的概念44. 換元法在中學(xué)解題中的應(yīng)用5一、換元法在方程中的應(yīng)用5二、換元法在方程組中的應(yīng)用7三、換元法在不等式中的應(yīng)用7四、換元法在數(shù)列中的應(yīng)用8五、換元法在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用9六、換元法在函數(shù)和三角函數(shù)中的應(yīng)用105. 換元法在中學(xué)解題中的常見錯(cuò)誤13一、“元”與“新元”選擇不合理；13二、將復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)混淆；14三、換元后沒(méi)有確定新元的取值范圍或者錯(cuò)誤的確定新元的范圍；156. 結(jié)論15參考文獻(xiàn)17

2、致謝18換元法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用及推廣王秀芳（閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)系；福建 福州 350108）1. 引言近年來(lái)，隨著數(shù)學(xué)思想越來(lái)越受到重視，關(guān)于換元法研究也取得了新的進(jìn)展. 本文研究換元法在中學(xué)解題中的應(yīng)用及其推廣.首先給出了換元法的概念整理了換元法的發(fā)展脈絡(luò)，然后著重講換元法在中學(xué)解題中的具體應(yīng)用以及在應(yīng)用的過(guò)程中常見的錯(cuò)誤分析，最后闡述換元法在生活中的推廣.一、換元法研究的背景 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中談及數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要使學(xué)生能夠熟練把握當(dāng)代生活所必要的數(shù)學(xué)的常識(shí)與技能，思想與活動(dòng)的經(jīng)歷.對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解認(rèn)識(shí)與思考，學(xué)會(huì)須要的數(shù)學(xué)思維方式是數(shù)學(xué)解題必不可少的.對(duì)生活也是有需要的.中學(xué)中常用的數(shù)學(xué)解決問(wèn)

3、題的方法有很多，例如:待定系數(shù)法，數(shù)學(xué)的不完全歸納法，類比的方法，配方法，換元法等，每一種方法都是必不可少的，其中換元法更是起著舉足輕重的地位，采用換元法能夠化繁為簡(jiǎn)使得看似不能解決的問(wèn)題變得可以操作.二、換元法研究的意義 學(xué)會(huì)換元法的使用是素質(zhì)教育的一項(xiàng)內(nèi)容.我們都知道素質(zhì)教學(xué)是針對(duì)全體的學(xué)生，并且是促進(jìn)學(xué)生全方面成長(zhǎng)的一種教育，而不是傳統(tǒng)教育下的死記硬背、復(fù)制、模仿，不是為了應(yīng)試教育而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)不是只存在數(shù)學(xué)課堂.推行和實(shí)施素質(zhì)教育是要在愉快教育的教學(xué)環(huán)境下突破過(guò)于強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)，應(yīng)試教育的圍墻學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，做到學(xué)懂會(huì)用、學(xué)以致用，更重要的是將數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)方法遷移到其他學(xué)科，社會(huì)生活和解

4、決實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中去. 換元法是培養(yǎng)學(xué)生能力的需求.換元法不僅是一種方法更滲透的是一種數(shù)學(xué)思想.在心理學(xué)知識(shí)的理論內(nèi)，思想活動(dòng)是存在于元認(rèn)知領(lǐng)域.它對(duì)整個(gè)認(rèn)知活動(dòng)起著計(jì)劃、監(jiān)督控制、適當(dāng)?shù)恼{(diào)整的作用.讓人們能夠意識(shí)到在學(xué)習(xí)活動(dòng)中我們?nèi)狈κ裁慈缓缶腿ヌ岣呤裁?，?duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)起著指導(dǎo)引領(lǐng)的作用.三、換元法研究的方法文獻(xiàn)研究法：查找國(guó)內(nèi)外有文獻(xiàn)，通過(guò)對(duì)不同專家學(xué)者文獻(xiàn)的分析比較不同國(guó)家、不同領(lǐng)域?qū)Q元法的不同觀點(diǎn)，作為本文的理論基礎(chǔ). 2. 換元法的發(fā)展脈絡(luò)1944年美國(guó)國(guó)籍，匈牙利的偉大教育家喬治波利亞怎樣解題.被翻譯成16中文字，銷售量爆表.著名的瓦爾登是一位偉大的數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)在瑞士的蘇黎世大學(xué)

5、主辦的會(huì)議中說(shuō)到：“每個(gè)大學(xué)生，每個(gè)學(xué)者，特別是每個(gè)老師都應(yīng)該讀一讀這本引人入勝的數(shù).”讀后發(fā)現(xiàn)波利亞關(guān)于怎樣解題深入的研究想法非常棒，特別是書中提及的解題思想對(duì)于廣大的中學(xué)生都是非常有實(shí)用價(jià)值的.1969年，日本著名數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏的數(shù)學(xué)的精神、思想與方法.以啟發(fā)性的實(shí)例為主要依據(jù)，系統(tǒng)地闡述了換元法在解題，探究“元”的數(shù)學(xué)思考.1975年，希拉里普特南( Putnam，1926)，美國(guó)邏輯學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家發(fā)表的數(shù)學(xué)、物質(zhì)與方法美國(guó)教育部、美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)和全美數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(huì)等組織舉辦的美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽.加拿大、瑞士、前蘇聯(lián)各國(guó)舉辦的數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽.奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽，把中學(xué)生的數(shù)

6、學(xué)競(jìng)賽命名為數(shù)學(xué)奧林匹克的是前蘇聯(lián)，采用這一名稱的原因是數(shù)學(xué)競(jìng)賽與體育競(jìng)技有著許多相似之處，兩者都崇尚奧林匹克運(yùn)動(dòng)精神.競(jìng)賽的成果使人們意外地發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽的強(qiáng)國(guó)往往也是體育競(jìng)技的強(qiáng)國(guó)，這給了人們一定的啟示.1994年，廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)校長(zhǎng)、黨總支書記肖學(xué)平.從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，榮獲“蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)”，從事教育科學(xué)研究，出版了中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想和方法等四部專著，發(fā)表了30余篇論文.被評(píng)為福建省優(yōu)秀校長(zhǎng)，使學(xué)校實(shí)現(xiàn)了跨越式發(fā)展，快速成為省一級(jí)達(dá)標(biāo)學(xué)校.聯(lián)系我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教育給出許多優(yōu)秀的例子.汪祖亨在1996年編寫的數(shù)學(xué)常用解題方法與技巧不僅總結(jié)出一系列的換元方法，并探討了結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)如

7、何進(jìn)行應(yīng)用.解恩澤、徐本順主編的數(shù)學(xué)思想方法，歐陽(yáng)維誠(chéng)、肖果能及張矗 合寫的初等數(shù)學(xué)思想方法選講中，則對(duì)換元法這一思想方法進(jìn)行了較為系 統(tǒng)的歸納闡述，為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)校本教研提供了很好的課例研究.李明振在2000年發(fā)表的數(shù)學(xué)方法與解題研究，也是把換元法與數(shù)學(xué)教育緊密結(jié)合在 一起的論著.有關(guān)換元法解題的專題文章(如用換元法證明不等式，求函數(shù)的值 域，因式分解等等)也相繼發(fā)表在“中學(xué)生數(shù)學(xué)”、“數(shù)學(xué)通報(bào)”、“高中數(shù) 學(xué)教與學(xué)”等各種數(shù)學(xué)雜志、報(bào)紙、期刊上.隨著全國(guó)仞、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的開展，換元思想方法的應(yīng)用越來(lái)越多，一些競(jìng)賽試題也被納入了中學(xué)生課外輔導(dǎo)的材料. 3. 換元法的概念表示未知數(shù)、變數(shù)的字母

8、統(tǒng)稱為“元”.廣義地說(shuō)，表示研究對(duì)象(如常數(shù)、代數(shù)式、函數(shù)、命題、集合、向量等)的文字符號(hào)都可以稱為“元”.解數(shù)學(xué)問(wèn)題，碰到直接解原問(wèn)題很困難不易下手的，或者由原問(wèn)題的條件難以直接得出結(jié)論的時(shí)候，往往需要引入一個(gè)或幾個(gè)“新元”代換問(wèn)題中原來(lái)的“元”，使得以“新元”為基礎(chǔ)的問(wèn)題的求解比原來(lái)的問(wèn)題容易，解決“新元”問(wèn)題以后將結(jié)果倒回去恢復(fù)原來(lái)的“元”，便可得原有問(wèn)題的結(jié)果.這種解決問(wèn)題的方法稱為換元法，又稱輔助元素法、變量代換法.換元法的基本思想是通過(guò)變量代換，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，使問(wèn)題發(fā)生有利的轉(zhuǎn)化，從而更為簡(jiǎn)單快速的解決原來(lái)的問(wèn)題.故換元的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化與化歸. 在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，教師要

9、有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的時(shí)候靈活的使用換元法.要針對(duì)不同的題型，不同的問(wèn)題來(lái)確定原題中的“元”，然后適當(dāng)?shù)倪x擇最有效的“新元”，兩者之間建立聯(lián)系.由于“元”的存在形式有很多，故在“新元”的選擇上是靈活多變和相對(duì)復(fù)雜的.但是在轉(zhuǎn)換的這個(gè)過(guò)程中，有三個(gè)特點(diǎn)是很明顯與確定的.第一，“新元”的存在使得新問(wèn)題會(huì)比原要解決的疑問(wèn)來(lái)的容易，是我們經(jīng)常在用的并且能夠借助舊的知識(shí)解決新的實(shí)際問(wèn)題的.第二，“新元”得到的新問(wèn)題是在舊問(wèn)題的基礎(chǔ)上一般化或者是特殊化得來(lái)的，而不是憑空產(chǎn)生于原有問(wèn)題沒(méi)有關(guān)聯(lián)的.第三，為了找到這樣的“新元”，我們要對(duì)原有的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，當(dāng)然也可以對(duì)條件換元或者是對(duì)結(jié)論換元（這主要是應(yīng)用

10、在邏輯命題的相關(guān)知識(shí)上）. 4. 換元法在中學(xué)解答問(wèn)題中的應(yīng)用一、換元法在方程中的應(yīng)用例題1.（第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題第2題）x取何值時(shí)滿足以下方程：（1）x+2x-1+x-2x-1=2；（2）x+2x-1+x-2x-1=1；（3）x+2x-1+x-2x-1=2；解： （1）將2x-1看成“元”，用“新元”y代替它，即2x-1=y則原方程轉(zhuǎn)化為： y+1+y-1=2需要引起重視的是換元后的得到新方程的變化范圍是：-1y1，又 y=2x-10， 02x-11，解得這個(gè)不等式的解為：12x1故，當(dāng)12x1時(shí)，方程x+2x-1+x-2x-1=2成立（2）將2x-1看成“元”，用“新元”y代替它，即2x

11、-1=y則原方程轉(zhuǎn)化為： y+1+y-1=2，得到的關(guān)于“新元”的方程是無(wú)解的，故原來(lái)方程也是無(wú)解.（3）將2x-1看成“元”，用“新元”y代替它，即2x-1=y則原方程轉(zhuǎn)化為：y+1+y-1=22當(dāng)y-1時(shí)，新元方程可以化為y=-4，即y=-4；當(dāng)y1時(shí)，新元方程可以化為y=4，即y=4；當(dāng)-1y1時(shí)，新元方程化為y+1-y+1=22，明顯無(wú)解 綜上所述，轉(zhuǎn)換后的新元方程的解為y=-4或y=4.又 y=2x-10， y=4，即原方程的解為：x=8.5這是代數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)的例題，下面給的例題2是將三角形式的方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式的方程.例題2.（第四屆的國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題第4題）解下列方程：cos2x+

12、cos22x+cos23x=1分析：這是一個(gè)二次三角形式的方程，直接解決是無(wú)法解決的，但是通過(guò)“換元法”就可以將無(wú)從下手的三角方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程.解： 將cos2x看成“元”，用“新元”y代替，則cos2x=y則有：cos2x+cos23x=121+cos2x+1-cos6x =1+12cos2x+4cos32x-3cos2x =1+y2y2-1 =2y3-y+1故，原有的方程轉(zhuǎn)化為：y2+1+y2y2-1=1，即y2y2+y-1=0 y1=0，y2=-1，y3=12所以，將新元方程得到的結(jié)果帶回原方程；（1）cos2x1=y1=0，2x1=2+k，即有x1=4+k2 k=0，1，2，；（2）

13、cos2x2=y2=-1，2x2=+2k，即有x2=2+ k k=0，1，2，；（3）cos2x3=y3=12，2x3=3+2k，即有x3=6+ k k=0，1，2，；綜上所述，以上三種數(shù)都是原方程的解.二、換元法在解方程組當(dāng)中的應(yīng)用換元法在方程組中的作用主要是用來(lái)簡(jiǎn)便計(jì)算量的.因?yàn)橛行┓匠探M如果用常規(guī)方法做也是可以行得通的，但是計(jì)算量就有點(diǎn)太大了，特別是在復(fù)雜一點(diǎn)的分式方程組或者是高次方程組中利用換元法就是特別明智的選擇.換元的目的就是將復(fù)雜的分式方程組化成簡(jiǎn)單的整式方程組，也是能夠把高次的方程組化成為低次的.： 解： 設(shè)a=13x-2y，b=12x-5y；則原來(lái)方程組可以轉(zhuǎn)化為：即有，代回

14、求解x和y的值，即有：解得，即為原方程的解.三、換元法在解不等式中的用法例題5. （第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽第2題）存在哪些值使得下面的不等式成立？4x21-1+2x22x+9解： 將1+2x看做“元”，用“新元”y替換，則1+2x=y；既有x=y2-12； 故，原不等式可以轉(zhuǎn)化為：y2-121-y20；故y2-121-y2y2+8；解得：y72故，01+2x72；即原不等式解得：-12x0，求fx=2asinx+cosx-sinxcosx-2a2的值的最大與最小分別是多少？解： 設(shè)sinx+cosx=t（t-2，2），故sinxcosx=t2-12；fx=gt=2at-t2-12-2a2=-12t

15、-2a2+12a0，t-2，2；（1）當(dāng)t=2a2時(shí)，有t=sinx+cosx=2sinx+4=2，x=2kx+4，kZ；fxmax=g2=-2a2+22a-12此時(shí)t=2a=-2時(shí)，有t=sinx+cosx=2sinx+4=-2,x=2kx-34，kZ；fxmin=g-2=-2a2-22a-12（2）當(dāng)t=2a-2時(shí)，有t=sinx+cosx=2sinx+4=-2，x=2kx-34，kZ；fxmax=g-2=-2a2-22a-12此時(shí)t=2a=2時(shí)，有t=sinx+cosx=2sinx+4=2,x=2kx+4，kZ；fxmin=g2=-2a2+22a-12（3）當(dāng)-2t2時(shí)， fxmax=g

16、2a=12綜上所述（再描述回答一遍即可，這里省略）分析：本例題將三角函數(shù)求值域問(wèn)題.運(yùn)用換元的方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上求值域，這一題不僅要顧及到換元后的取值變化的問(wèn)題.還結(jié)合了之前學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用分類的討論方法能夠進(jìn)一步處理問(wèn)題. 換元的方法有多種多樣但不是獨(dú)立的，它們之間互相聯(lián)系，在解題過(guò)程中學(xué)生應(yīng)該有選擇性使用.遇到問(wèn)題比較復(fù)雜的，這時(shí)要求學(xué)生要認(rèn)真的分析，能夠根據(jù)特點(diǎn)進(jìn)行合理的變換和換元，使原有的復(fù)雜、困難的問(wèn)題化為容易解決的問(wèn)題.學(xué)生要知道換元法是一種解決問(wèn)題策略，需要在充分觀察題設(shè)與結(jié)論的聯(lián)系后才可以有目的的選用，明確選擇哪一類換元不是隨意的.因 此，在運(yùn)用換元策略去解

17、題時(shí)千萬(wàn)不能生搬硬套.要在仔細(xì)觀察、具體分析之后尋找突破口,靈活合理地選擇換元“元”與“新元”. 5. 換元法在中學(xué)解題中的常見錯(cuò)誤 雖然換元法能夠簡(jiǎn)化計(jì)算，化高次方程為低次方程，但是如果早使用的時(shí)候如注意等價(jià)轉(zhuǎn)化與換元，那么就容易出現(xiàn)一些不容易發(fā)覺(jué)的錯(cuò)誤，常常表現(xiàn)在如下方面.一、“元”與“新元”選擇不合理；例題1 設(shè)x1-y2+y1-x2=1，求x+y的最值.錯(cuò)解： 1-y20，1-x20 ； y1，x1； 設(shè)x=cos，y=sin，0，2； coscos+sinsin=1；等式兩邊同時(shí)平方可得：sin2=0， =k2，kZ； x+y=cos+sin=2sin+4=2sink2+4，kZ；

18、x+y的最大值為1，最小值為-1；錯(cuò)誤分析：換元之后定義域范圍擴(kuò)大，混淆兩個(gè)變換式子的自變量，錯(cuò)誤的增加關(guān)系條件x2+y2=1.正解： 1-y20，1-x20 ； y1，x1；又 x1-y2+y1-x2=1 ； 0y1，00，則有y=t+1t 2， ymin=2；當(dāng) t=1t ，即t2=1，t0時(shí)，t=1； 將t=1代入t=x+4x=1時(shí)，此方程無(wú)解.故等號(hào)不成立即y沒(méi)有最小值.分析：本例題換“新元”時(shí)錯(cuò)誤的確定了“新元”t的取值范圍.正解：令t=x+4x， xR*， x+4x4， t4； y=t+1tt4， t2-ty+1=0t4；故解得：t=y-4+y22，y-4+y224；解得：y174

19、 ymin=174 因此，在使用換元法這種數(shù)學(xué)思想思考解決問(wèn)題的時(shí)候不是生搬硬套，要注意概念的理解，細(xì)節(jié)的處理，從本質(zhì)上把握換元法的每個(gè)步驟.做到靈活快捷的選用最優(yōu)的換元對(duì)象和新元，最大程度上簡(jiǎn)化計(jì)算量，化繁為簡(jiǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的高度.換元法的富有創(chuàng)造性的運(yùn)用不僅實(shí)用而且更直觀.換元不僅僅存在數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)間的運(yùn)用，也貫穿在數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí)、數(shù)學(xué)與生活之間.下面簡(jiǎn)要闡述數(shù)學(xué)在其他學(xué)科還有生活中的推廣. 6. 結(jié)論數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的外在表現(xiàn)，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)內(nèi)容.本文通過(guò)對(duì)換元法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用與相關(guān)推廣的研究.我認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)思維的形成與發(fā)展是一個(gè)復(fù)雜、漫長(zhǎng)的的思維認(rèn)知及內(nèi)化的過(guò)程.

20、在形成過(guò)程中，參與的思維的成分并不是只有換元思想一種而應(yīng)該是多樣的.也可以認(rèn)為：數(shù)學(xué)思維的形成實(shí)質(zhì)上是綜合素質(zhì)在培養(yǎng)與運(yùn)用的過(guò)程中螺旋上升的過(guò)程.往往解決問(wèn)題鑰匙是來(lái)自各方面思維經(jīng)驗(yàn)的正向遷移.通過(guò)對(duì)換元法的階段研究.針對(duì)換元的多變技巧和多樣的方法進(jìn)行梳理、對(duì)比、歸納以及分類.抓住換元法的基本解題類型與容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的知識(shí)點(diǎn)、面.從而幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維以及意識(shí)，有效的掌握使用換元法解決問(wèn)題的知識(shí)與技能，培養(yǎng)學(xué)生良好的分析與應(yīng)變解題能力.同時(shí)，在收集資料的過(guò)程中我發(fā)現(xiàn)：目前教師都比較重視講授表面層次上的換元技巧，注意是強(qiáng)調(diào)技巧，而不重視甚至忽略了滲透數(shù)學(xué)思想才是素質(zhì)教育的根本.這種本末倒置

21、的傳統(tǒng)教學(xué)還沒(méi)有完全轉(zhuǎn)換.只停留在技巧方面的教學(xué)不利于學(xué)生從本質(zhì)上把握換元法，會(huì)導(dǎo)致知識(shí)的建構(gòu)體系不完善，很難作為知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”.當(dāng)然，也不能夠單純的強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維，否則容易忽略表層的內(nèi)容，從而導(dǎo)致?lián)Q元法的解題過(guò)程流于形式，不能夠很好的服務(wù)于生活.因此在未來(lái)的教學(xué)中應(yīng)該在教授知識(shí)技能的同時(shí)要善于引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、學(xué)會(huì)思考，將數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的思想方法應(yīng)用在其他學(xué)科與生活中去，體現(xiàn)數(shù)學(xué)是門基礎(chǔ)的、是服務(wù)人類學(xué)習(xí)與人類生活密切相關(guān)的科學(xué).限于我還是一名大學(xué)本科學(xué)生，對(duì)課題的理論知識(shí)構(gòu)建相對(duì)薄弱，缺乏實(shí)際豐富的教學(xué)引導(dǎo)經(jīng)驗(yàn).導(dǎo)致對(duì)本次研究?jī)?nèi)容較為片.還有有許多的問(wèn)題需要繼續(xù)深入的研究與探討.總的來(lái)說(shuō)，從

22、本次課題研究可以知道，換元法應(yīng)用涉及的知識(shí)與技能、思想與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的面很廣，相對(duì)的處理技巧也是多樣的，我明白進(jìn)一步去研究換元法的任務(wù)是很有難度的.我對(duì)本次課題的部分研究還只是提出了一些常見的解題技巧與思考，缺少對(duì)解題理論的深 入探索、發(fā)現(xiàn)與探討.故在今后的學(xué)習(xí)教學(xué)中，會(huì)更加注重要在換元的思想理論的層面上，力求找到一、二個(gè)突破口，使這得本次研究顯得更加全面.目前，本人對(duì)換元法的應(yīng)用理論研究還處于嘗試發(fā)現(xiàn)的階段，真心期待未來(lái)會(huì)有更多的數(shù)學(xué)教育教學(xué)的工作者可以一起深入研究與實(shí)踐.靈活、有效地選用換元法創(chuàng)造性的解決實(shí)際問(wèn)題，為全面提高數(shù)學(xué)課程的教育教學(xué)質(zhì)量提供一份力量.確保學(xué)生們能夠在數(shù)學(xué)思維的熏陶、陶

23、冶中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、研究數(shù)學(xué)的思想、體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)、收獲數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).不斷引導(dǎo)學(xué)生，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思維的認(rèn)知，能夠自主自覺(jué)的進(jìn)行調(diào)節(jié)與監(jiān)控.如此一來(lái)，數(shù)學(xué)的教育教學(xué)就有希望從理論的層面上讓每個(gè)學(xué)生都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.參考文獻(xiàn)1盧春松. 淺析換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用J. 數(shù)理化學(xué)習(xí)(初版),2014,10:72+74.2陳正學(xué). 換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用J. 雅安教育學(xué)院學(xué)報(bào),2001,02:92-93.3馬文杰. 高一函數(shù)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤的實(shí)證研究D.華東師范大學(xué),2014.4孫靜. 新課標(biāo)下初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接研究D.山東師范大學(xué),2011.5劉道明. 換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的探究J. 數(shù)理化解題研究(初中版),2013,12:17.6陶能文. 初中方程教學(xué)研究D.東北師范大學(xué),2010.7王成營(yíng). 數(shù)學(xué)符號(hào)意義及其獲得能力培養(yǎng)的研究D.華中師范大學(xué),2012.8郝娟. 新課程背景下初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接問(wèn)題的研究與實(shí)踐D.陜西師范大學(xué),2010.9于萍. 新課標(biāo)下初高中數(shù)學(xué)銜接問(wèn)題研究D.曲阜師范大學(xué),2013.10賴寧. 關(guān)于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中一元二次方程的內(nèi)容研究D.西南大