高考數(shù)學二輪復(fù)習 第二部分 專題四 數(shù)列 4.2.1 數(shù)列大題優(yōu)質(zhì)課件 理

1、14.24.2數(shù)列大題數(shù)列大題23451.求通項公式的常見類型(1)已知an與Sn的關(guān)系或Sn與n的關(guān)系,利用公式(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列求通項或轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列求通項.(3)由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式.形如an+1=an+f(n),利用累加法求通項.形如an+1=anf(n),利用累乘法求通項.62.數(shù)列求和的常用方法(1)公式法:利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式.(2)錯位相減法:適合求數(shù)列anbn的前n項和Sn,其中an,bn一個是等差數(shù)列,另一個是等比數(shù)列.(3)裂項相消法:即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和,通過累加抵消中間若干項的方法.(4)拆項分組法:先把數(shù)列的每一項拆成兩

2、項(或多項),再重新組合成兩個(或多個)簡單的數(shù)列,最后分別求和.(5)并項求和法:把數(shù)列的兩項(或多項)組合在一起,重新構(gòu)成一個數(shù)列再求和,適用于正負相間排列的數(shù)列求和.73.數(shù)列單調(diào)性的常見題型及方法(1)求最大(小)項時,可利用:數(shù)列的單調(diào)性;函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù).(2)求參數(shù)范圍時,可利用:作差法;同號遞推法;先猜后證法.4.數(shù)列不等式問題的解決方法(1)利用數(shù)列(或函數(shù))的單調(diào)性.(2)放縮法:先求和后放縮;先放縮后求和,包括放縮后成等差(或等比)數(shù)列再求和,或者放縮后裂項相消再求和.84 4. .2 2. .1 1等差、等比數(shù)列與數(shù)列等差、等比數(shù)列與數(shù)列 的通項及求和的通項及求和9考

3、向一考向二考向三考向四考向五等差、等比數(shù)列的通項及求和等差、等比數(shù)列的通項及求和例1Sn為等差數(shù)列an的前n項和,且a1=1,S7=28.記bn=lgan,其中x表示不超過x的最大整數(shù),如0.9=0,lg99=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求數(shù)列bn的前1000項和.解 (1)設(shè)an的公差為d,據(jù)已知有7+21d=28,解得d=1.所以an的通項公式為an=n.b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.所以數(shù)列bn的前1 000項和為190+2900+31=1 893. 10考向一考向二考向三考向四考向五解題心得對于等差、等比數(shù)列,求其通項及前n項和時

4、,只需利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式及求和公式求解即可.11考向一考向二考向三考向四考向五對點訓練對點訓練1已知等差數(shù)列an的公差不為零,a1=25,且a1,a11,a13成等比數(shù)列.(1)求an的通項公式;即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故a3n-2是首項為25,公差為-6的等差數(shù)列.12考向一考向二考向三考向四考向五可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的問題可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的問題例2已知等比數(shù)列an的前n項和為

5、Sn,a1=3,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)bn=log3an,求Tn=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+b2n-1b2n-b2nb2n+1.解 (1)3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,4S2=3S1+S3,4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3),即a3=3a2,公比q=3,an=a1qn-1=3n.(2)由(1)知,bn=log3an=log33n=n,b2n-1b2n-b2nb2n+1=(2n-1)2n-2n(2n+1)=-4n,Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)=-13考向一考

6、向二考向三考向四考向五解題心得無論是求數(shù)列的通項還是求數(shù)列的前n項和,通過變形、整理后,能夠把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式或求和公式解決問題.14考向一考向二考向三考向四考向五對點訓練對點訓練2設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構(gòu)成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項;15考向一考向二考向三考向四考向五求數(shù)列的通項及錯位相減求和求數(shù)列的通項及錯位相減求和例3(2017天津,理18)已知an為等差數(shù)列,前n項和為Sn(nN*),bn是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2

7、a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通項公式;(2)求數(shù)列a2nb2n-1的前n項和(nN*).解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因為q0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,聯(lián)立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,數(shù)列an的通項公式為an=3n-2,數(shù)列bn的通項公式為bn=2n.16考向一考向二考向三考向四考向五(2)設(shè)數(shù)列a2nb2n-1的前n項和為Tn,由a2n=6n-2,

8、b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,故Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述兩式相減,得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1解題心得求數(shù)列通項的基本方法是利用等差、等比數(shù)列通項公式,或通過變形轉(zhuǎn)換成等差、等比數(shù)列求通項;如果數(shù)列an與數(shù)列bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列,那么數(shù)列anbn的前n項和采用錯位相減法來求.17考向一考向二考向三考向四考向五對點訓練對點訓練3(2017湖南郴州二模,理17)已知等差數(shù)列an滿足:an+1an(nN*),a1=1,該數(shù)列的前三

9、項分別加上1,1,3后成等比數(shù)列,an+2log2bn=-1.(1)求數(shù)列an,bn的通項公式;(2)求數(shù)列anbn的前n項和Tn.解 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,且d0, 由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分別加上1,1,3后成等比數(shù)列,得(2+d)2=2(4+2d),解得d=2,an=1+(n-1)2=2n-1.an+2log2bn=-1,18考向一考向二考向三考向四考向五19考向一考向二考向三考向四考向五求數(shù)列的通項及裂項求和求數(shù)列的通項及裂項求和例4(2017山西臨汾二模,理17)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且對任意正整數(shù)n,都有3an=2Sn+3成立.(1)求數(shù)列an的

10、通項公式;解 (1)在3an=2Sn+3中,取n=1,得a1=3,且3an+1=2Sn+1+3,兩式相減,得3an+1-3an=2an+1,an+1=3an.a10,數(shù)列an是以3為公比的等比數(shù)列,an=33n-1=3n.20考向一考向二考向三考向四考向五(2)由(1)得bn=log3an=n,解題心得對于已知等式中含有an,Sn的求數(shù)列通項的題目,一般有兩種解題思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an.把數(shù)列的通項拆成兩項之差,求和時中間的項能夠抵消,從而求得其和.注意抵消后所剩余的項一般前后對稱.21考向一考向二考向三考向四考向五對

11、點訓練對點訓練4Sn為數(shù)列an的前n項和.已知an0,+2an=4Sn+3.(1)求an的通項公式;所以an是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,通項公式為an=2n+1.22考向一考向二考向三考向四考向五(2)由an=2n+1可知 23考向一考向二考向三考向四考向五涉及奇偶數(shù)討論的數(shù)列求和涉及奇偶數(shù)討論的數(shù)列求和例5已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1=2,S5=30.數(shù)列bn的前n項和為Tn,且Tn=2n-1.(1)求數(shù)列an,bn的通項公式;(2)設(shè)cn=(-1)n(anbn+lnSn),求數(shù)列cn的前n項和.d=2,an=2n.對數(shù)列bn:當n=1時,b1=T1=21-1=1,當n2時,

12、bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1,當n=1時也滿足上式.bn=2n-1.24考向一考向二考向三考向四考向五(2)cn=(-1)n(anbn+ln Sn)=(-1)nanbn+(-1)nln Sn. ln Sn=ln n(n+1)=ln n+ln(n+1).而(-1)nanbn=(-1)n2n2n-1=n(-2)n,設(shè)數(shù)列(-1)nanbn的前n項和為An,數(shù)列(-1)nln Sn的前n項和為Bn,則An=1(-2)1+2(-2)2+3(-2)3+n(-2)n,則-2An=1(-2)2+2(-2)3+3(-2)4+n(-2)n+1,-得3An=1(-2)1+(-2)2+(-2)3+(-2)n-n(-2)n+125考向一考向二考向三考向四考向五當n為偶數(shù)時,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+ln n+ln(n+1)=ln(n+1)-ln 1=ln(n+1);當n為奇數(shù)時,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+-ln n+ln(n+1)=-ln(n+1)-ln 1=-ln(n+1).由以上可知,Bn=(-1)nln(n+1).2