第二章點、線、平面投影

1、l教學(xué)目標(biāo)：l1、熟練掌握點的三面投影規(guī)律及作圖方法熟練掌握點的三面投影規(guī)律及作圖方法 ；l2、熟練掌握各種位置直線的投影特性和作圖方熟練掌握各種位置直線的投影特性和作圖方法；掌握直線上的點的投影特性及定比關(guān)系；掌法；掌握直線上的點的投影特性及定比關(guān)系；掌握兩直線平行、相交、交叉三種相對位置的投影握兩直線平行、相交、交叉三種相對位置的投影特性特性;熟練掌握用直角三角形法求一般位置直線段熟練掌握用直角三角形法求一般位置直線段實長及其對投影面傾角的方法實長及其對投影面傾角的方法;掌握直角的投影定掌握直角的投影定理及其應(yīng)用。理及其應(yīng)用。 l3、特殊位置平面的投影特征并正確畫出其投影特殊位置平面的投影

2、特征并正確畫出其投影 。第二章第二章 點、線、平面的投影點、線、平面的投影 l教學(xué)重點教學(xué)重點：點、直線和平面的投影特征，以及點、直線和平面的投影特征，以及直線的定比性直線的定比性，判斷兩直線的相對位置，判斷兩直線的相對位置和平面內(nèi)和平面內(nèi)取點、線的方法取點、線的方法 l教學(xué)難點教學(xué)難點：直線的定比性；判斷兩直線的相對位置；平面內(nèi)取點、線的方法 第二章第二章 點、線、平面的投影點、線、平面的投影 2-1 2-1 點的投影點的投影HVXOZYWaaaAaxaza ay y正面投影：正面投影：aa水平投影：水平投影：a a側(cè)面投影：側(cè)面投影：aa一、點的三面投影一、點的三面投影a aa XOZYW

3、YH通常不畫出投影面的范圍通常不畫出投影面的范圍HVXOZYWaaaAaxazayHaaaVWXOZYWYHaxaywayHazaaoz, aax=aayW=zAaayHoyH、aayWoyWyAzAaaox, aaz=aayH=xAyAzAxA且且aaX=oayH=oayW=aaz=yAxAao o把三個投影面當(dāng)作空間直角坐標(biāo)面，投把三個投影面當(dāng)作空間直角坐標(biāo)面，投影軸當(dāng)作直角坐標(biāo)軸，則點的空間位置影軸當(dāng)作直角坐標(biāo)軸，則點的空間位置可用其（可用其（X、Y、Z）三個坐標(biāo)來確定，）三個坐標(biāo)來確定，點的投影就反映了點的坐標(biāo)值，其投影點的投影就反映了點的坐標(biāo)值，其投影與坐標(biāo)值之間存在著對應(yīng)關(guān)系與坐標(biāo)

4、值之間存在著對應(yīng)關(guān)系HaaaVWXOZYWYHaxayazayHVXOZYWaaaAaxaza ay y 1. 1. 點的正面投影和水平投影的連線垂直于點的正面投影和水平投影的連線垂直于OXOX軸，這兩個投影都反映空間點的軸，這兩個投影都反映空間點的 x 坐標(biāo)。坐標(biāo)。2. 2. 點的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于點的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZOZ軸，這兩個投影都反映空間點的軸，這兩個投影都反映空間點的 z 坐標(biāo)。坐標(biāo)。3. 3. 點的水平投影到點的水平投影到OXOX軸的距距離軸的距距離等于側(cè)面投影到等于側(cè)面投影到OZOZ軸的距離軸的距離, ,這兩這兩個投影都反映空間點的個投影都反映空間

5、點的y 坐標(biāo)。坐標(biāo)。二、 點在三面投影體系中的投影規(guī)律yAzAxAyAzAxA總結(jié)得出兩點總結(jié)得出兩點：1 1）點的每一個投影均反映兩個坐標(biāo)。）點的每一個投影均反映兩個坐標(biāo)。2 2）點的每一個坐標(biāo)都反映在兩個投）點的每一個坐標(biāo)都反映在兩個投影上。影上。根據(jù)點的投影規(guī)律，可由點根據(jù)點的投影規(guī)律，可由點A A的三個的三個坐標(biāo)值坐標(biāo)值 ( (Xa、Y、Za）畫出其三）畫出其三面投影，也可根據(jù)點的兩面投影作面投影，也可根據(jù)點的兩面投影作出第三面投影。出第三面投影。1 15 51 10 05 5aaa4545 x xz z Y YhY Yw 0 0AVHW45畫出點（畫出點（15，5，10）的三面投影及

6、空間位置）的三面投影及空間位置XOZYHYWaaaaaaA例例1 1 已知點已知點A A的正面與側(cè)面投影，求點的正面與側(cè)面投影，求點A A的水平投影。的水平投影。ZYHXYWOa a a 特殊位置點的投影特殊位置點的投影OXb bc cHVOXCcca bBb Aaa a 投影面上的點 投影軸上的點 與原點重合的點XZYHYWaa根據(jù)點的兩面投影求第三投影45a輔助線45bbbe eec ccdddfffgg g三、兩點的相對位置及重影點三、兩點的相對位置及重影點 1 1、空間兩點相對位置的判斷、空間兩點相對位置的判斷XOZY兩點中兩點中X X值大值大的點的點 在左在左兩點中兩點中Y Y值大值

7、大的點的點 在前在前 兩點中兩點中Z Z值大值大的點的點 在上在上XZYWYHOaaabbbaaabbbBA上-下左-右后-前后-前后-前兩點間的相對位置可用它們兩點間的相對位置可用它們同方向的坐標(biāo)差值來判斷同方向的坐標(biāo)差值來判斷左-右左-右上-下上-下VHc(c)ddCDa(b)abAB、重影點及可見性、重影點及可見性對對H H面的重影點面的重影點對對V V面的重影點面的重影點重影點：重影點：當(dāng)空間兩點位置恰好處在一當(dāng)空間兩點位置恰好處在一條垂直于某一投影面的投影線上，則條垂直于某一投影面的投影線上，則它們在該投影面上的投影必重合在一它們在該投影面上的投影必重合在一起，這兩點就叫做投影面的重

8、影點起，這兩點就叫做投影面的重影點可見性可見性的的判斷方法判斷方法：通過比較該：通過比較該兩點到該投影面的坐標(biāo)值大小來兩點到該投影面的坐標(biāo)值大小來決定，坐標(biāo)值大的為可見，坐標(biāo)決定，坐標(biāo)值大的為可見，坐標(biāo)值小的為不可見。值小的為不可見。假如兩個點在某個投影面上的假如兩個點在某個投影面上的投影重疊，那么可見點的投影投影重疊，那么可見點的投影名書寫照舊，而不可見那個點名書寫照舊，而不可見那個點的投影名外面加上括號。的投影名外面加上括號。課堂作業(yè)課堂作業(yè)1、根據(jù)點坐標(biāo)給出點的投影圖：、根據(jù)點坐標(biāo)給出點的投影圖：A（30，20，25）；）；B（20，15，0）；）；C（10，0，20）；）；D（0，5，

9、0）；）；E（0，10，5）；）；F(30，10，20)，并判斷，并判斷A、B的空間位置關(guān)系。的空間位置關(guān)系。2-2 2-2 直直 線線直線的投影一般仍為直線，特殊情況投影成為一點。直線的投影一般仍為直線，特殊情況投影成為一點。一、直線的投影一、直線的投影HABabDCc(d)初等幾何告訴我們，空間的任意兩點確定一條直線。oxzyHyWbabaabbabaabAB直線上兩點同面投影的連線可確定直線的投影直線上兩點同面投影的連線可確定直線的投影直線投影的畫法：直線投影的畫法：動畫動畫1 1、直線對投影面的相對位置、直線對投影面的相對位置（）投影面平行線：（）投影面平行線：平行于一個投影面而與其他

10、兩個投影平行于一個投影面而與其他兩個投影面傾斜的直線。面傾斜的直線。（）投影面垂直線：（）投影面垂直線：垂直于一個投影面而與其他兩個投影垂直于一個投影面而與其他兩個投影面平行的直線。面平行的直線。（）投影面傾斜的線：（）投影面傾斜的線：與三個投影面都處于傾斜位置的直與三個投影面都處于傾斜位置的直線。規(guī)定它與線。規(guī)定它與H H、V V、W W面形成的夾角分別為面形成的夾角分別為、2 2、特殊類直線的投影特性、特殊類直線的投影特性（）（）投影面平行線的投影特點投影面平行線的投影特點1 1） 在與其平行的投影面上的投影反映實長在與其平行的投影面上的投影反映實長, ,其與相鄰?fù)队捌渑c相鄰?fù)队拜S的夾角反

11、映直線對另外兩投影面的真實傾角；軸的夾角反映直線對另外兩投影面的真實傾角；2 2）另兩投影長度縮短）另兩投影長度縮短, ,且分別平行與相應(yīng)的投影軸。且分別平行與相應(yīng)的投影軸。 （）投影面垂直線的投影特點投影面垂直線的投影特點1 1） 在與其垂直的投影面上的投影積聚成一點在與其垂直的投影面上的投影積聚成一點; ;2 2） 另兩投影顯實長另兩投影顯實長, ,且分別垂直于相應(yīng)的投影軸且分別垂直于相應(yīng)的投影軸（）（）投影面傾斜線的投影特點投影面傾斜線的投影特點 1 1）直線的三個投影均為長度縮短的直線）直線的三個投影均為長度縮短的直線; ;2 2）直線的投影中不能反映直線的實長和傾角。）直線的投影中不

12、能反映直線的實長和傾角。二、直線對投影面的相對位置及投影特點二、直線對投影面的相對位置及投影特點 ( (各類直線的投影特性）各類直線的投影特性）特殊位特殊位置直線置直線一般位一般位置直線置直線babaaboxzyHyW投影面平行線投影面平行線水平線水平線VHWOXYZbabaabAB投影特性：投影特性：矩形矩形反映實長反映實長ABAB線上的各點到線上的各點到H H面上的距離都面上的距離都相等（所有的相等（所有的Z Z坐標(biāo)都相同坐標(biāo)都相同ab/OX，ab/OY，1 1、ab=ABab=AB2 2、在水平面上、在水平面上反映反映直線與正平面的真實夾角直線與正平面的真實夾角 、與側(cè)平面的真、與側(cè)平面

13、的真實夾角實夾角 角角3 3、a ab b/OX/OX，a ab b/OY/OY， a ab bABAB， a ab b AB ABoxzyHyWbabaaboxzyHyWbaabVHWOXYZABbaaba(b)a(b)投影特性：投影特性：1. a b 1. a b 積聚積聚 成一點成一點2. a2. ab b OX OX ，a a b b OYOY 3. a3. ab b = a = ab b =AB =AB投影面垂直線投影面垂直線鉛垂線鉛垂線一般位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性oxzyHyWbabaab1. 1. 直線的三個投影均為長度縮短的直線直線的三個投影均為長度縮短的直線;

14、 ;2. 2. 直線的投影中不能反映直線的實長和傾角。直線的投影中不能反映直線的實長和傾角。1 1） 在與其平行的投影面上在與其平行的投影面上的投影反映實長的投影反映實長, ,其與相鄰其與相鄰?fù)队拜S的夾角反映直線對另投影軸的夾角反映直線對另外兩投影面的真實傾角；外兩投影面的真實傾角；2 2）另兩投影長度縮短）另兩投影長度縮短, ,且且分別平行與相應(yīng)的投影軸。分別平行與相應(yīng)的投影軸。1 1） 在與其垂直的投影在與其垂直的投影面上的投影積聚成一點面上的投影積聚成一點; ;2 2） 另兩投影顯實長另兩投影顯實長, ,且且分別垂直于相應(yīng)的投影分別垂直于相應(yīng)的投影軸軸b ba a 一一般般位位置置 鉛垂

15、鉛垂 a a b b c c d d a a b b c c （d d） ( (c c ) ) ( (d d ) ) 利用直角三角形求一般位置直線求實長和夾角求一般位置線段的實長及其與H面的夾角a實長實長實長直角三角形ABC中：斜邊AB=AB實長直角邊BC=bc = Z直角邊AC=abZa角:ab與實長AB的夾角ZZZ中途返回請按“ESC”鍵直角三角形求一般位置線段的實長及其與V面的夾角實長直角三角形ABD中：斜邊AB=AB實長直角邊DA=ad = Y直角邊BD=ab角:ab與實長AB的夾角Y實長Y中途返回請按“ESC”鍵Y直角三角形求一般位置線段的實長及其與W面的夾角直角三角形ABD中：斜邊

16、AB=AB實長直角邊AE=ae = X直角邊BE=ab角: ab與實長AB的夾角實長XX中途返回請按“ESC”鍵直角三角形 例例1 1 已知已知 線段的實長線段的實長ABAB以及以及abab和和a a，求它的正面投影，求它的正面投影a ab b。aXa bAOBb0bb0bb0b b R=AB|zA-zB| 例例1 1 已知已知 線段的實長線段的實長ABAB以及以及abab和和a a，求它的正面投影，求它的正面投影a ab b。aXa bAOBb b ba|yA-yB|yA-yB|R=ABR=ab。a|zA-zB|a aab a b |yA-yB|ABABab|zA-zB|b Xa bABLb

17、bXaaBC例例3 3 已知線段已知線段ABAB的投影，試定出屬于線段的投影，試定出屬于線段ABAB的點的點C C 的的投影，投影， 使使BCBC 的實長等于已知長度的實長等于已知長度L L。cABzA-zBcab直線上的點具有兩個特性： 1 從屬性 若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。 2 定比性 屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點或判斷已知點是否在側(cè)平線上。 2.3 點與直

18、線相對位置ABbbaaXOccCcb Xa abcc 例例4 已知線段已知線段AB的投影圖，試將的投影圖，試將AB分成分成1：2兩段，求分點兩段，求分點C的投影。的投影。O 例例5 已知點已知點C在線段在線段AB上，求點上，求點C的正面投影。的正面投影。bXaabcccabcXOABbbaacCcHVO例例6 6：判斷點：判斷點K K是否在線段是否在線段ABAB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故點故點K不在不在AB上。上。應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理abka b k 一般位置線段在投影圖上反映不出線段的實長及對投一般位置線段在投影圖上反映不出線段的實長及對投影面的傾角。影面的

19、傾角。 1.幾何分析幾何分析 2.作圖要領(lǐng)作圖要領(lǐng) 用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩端點相對于該投影面的坐標(biāo)差作為另一條直角以線段的兩端點相對于該投影面的坐標(biāo)差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。 3.直角三角形直角三角形的四個要素的四個要素 實長、投影長、坐標(biāo)差及直線對投影面的傾角實長、投影長、坐標(biāo)差及直線對投影面的傾角。已知。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。四要素

20、中的任意兩個，便可確定另外兩個。共面共面直線直線異面直線異面直線兩直線相對位置兩直線相對位置的投影規(guī)律的投影規(guī)律兩直線相對位置兩直線相對位置的判別方法的判別方法四、兩直線的相對位置四、兩直線的相對位置（1）兩平行直線在同一投影面上的投影仍平行。）兩平行直線在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若兩反之，若兩直線在同一投影面上的投影相互平行，則該兩直線平行。直線在同一投影面上的投影相互平行，則該兩直線平行。（2）平行兩線段之比等于其投影之比。）平行兩線段之比等于其投影之比。XbaadbdccABCDXbaabdcdc1.平行兩直線OO2.相交兩直線 兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點屬于

21、兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點屬于兩直線。兩直線。 反之，若兩直線在同一投影面上的投影均相交，且交點屬反之，若兩直線在同一投影面上的投影均相交，且交點屬于兩直線，則該兩直線相交。于兩直線，則該兩直線相交。bXaabkcddckOOXDBACKbbaaccddkk3.交叉兩直線 凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。 XOBDACbb aa c cdd 211 (2 )21b Xa abc d dc11 (2 )2Oabcdc a b d 對于對于一般位置直線一般位置直線，只要有兩個同名投影互相只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平

22、行。平行，空間兩直線就平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 對于對于特殊位置直線特殊位置直線，只，只有兩個同名投影互相平行，空有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。間直線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：求出側(cè)面投影后可知：AB與與CD不平行。不平行。例例8 8、判斷圖中兩條直線是否平行。、判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影求出側(cè)面投影如何判斷？如何判斷？例題例題9 9、 判斷兩直線的相對位置判斷兩直線的相對位置baacddcbX11d1c1例題10：過線外一點A，作正平線AB與CD相交。aacdcdbb判斷重影點的可見性XOBDACbb aa c cdd 4 (3

23、)1(2)43341 2 12 判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。bbcddcXaa3(4)34121(2)例例16 16 判斷兩直線重影點的可見性判斷兩直線重影點的可見性O(shè)4.4. 垂直兩直線的投影垂直兩直線的投影AHBCacbcXbacba 互相垂直（相交或交叉）的兩直線其中一條為投影面互相垂直（相交或交叉）的兩直線其中一條為投影面平行線時，則兩直線在投影面上的投影必定互相垂直。平行線時，則兩直線在投影面上的投影必定互相垂直。 反之，若兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其反之，若兩直線在某一投影面上的投影成

24、直角，且其中一條直線平行于該投影面時，則空間兩直線一定垂直。中一條直線平行于該投影面時，則空間兩直線一定垂直。ObbaaOfeefX例例17 17 過點過點A A 作作EF EF 線段的垂線線段的垂線ABAB。例題例題18：已知矩形：已知矩形ABCD的一邊的一邊AB 平行于平行于H面，完成該矩形的兩面投影。面，完成該矩形的兩面投影。ccdabdab2-3 2-3 平平 面面 l平面是廣闊無邊的，幾何上常用確定平面的空間幾何元素表示平面，平面的投影也可以用確定該平面的幾何元素的投影來表示。在投影圖中表示平面有以下兩種方法。l(一)一般幾何元素來確定和表示：l1、不在同一直線上的三個點；l2、一直

25、線及線外一點；l3、相交二直線；l4、平行二直線；l5、平面圖形。l(二)跡線表示法 -平面與投影面的交線稱為平面的跡線。 一、平面的表示方法一、平面的表示方法l平面的表示法平面的表示法aabcbcbaacbcbaacbcaabcbc各種形式可相互轉(zhuǎn)換各種形式可相互轉(zhuǎn)換aabcbcdd(1)(2)(3)(4)(5)用平面的跡線表示平面用平面的跡線表示平面 返回返回二、平面對投影面的相對位置及其投影特性二、平面對投影面的相對位置及其投影特性 l1 1、平面與投影面的相對位置可以分為三種情況、平面與投影面的相對位置可以分為三種情況l（1 1）投影面垂直面；（）投影面垂直面；（2 2）投影面平行面；

26、（）投影面平行面；（3 3）投影面）投影面傾斜面。傾斜面。l2 2、投影面垂直面的投影特性、投影面垂直面的投影特性l（1 1） 在所垂直的投影面上的投影積聚為直線在所垂直的投影面上的投影積聚為直線; ;其積聚性其積聚性投影與投影軸的夾角反映了平面對另兩投影面的真實傾角。投影與投影軸的夾角反映了平面對另兩投影面的真實傾角。 l（2 2）另兩投影為縮小的類似形。）另兩投影為縮小的類似形。l3 3、投影面平行面的投影特性、投影面平行面的投影特性l（1） 在所平行的投影面上的投影反映實形;l（2） 另兩投影積聚為直線,且分別平行于相應(yīng)的投影軸。l4 4、投影面傾斜線的投影特性、投影面傾斜線的投影特性l

27、（1）三個投影均為縮小的類似形。l（2）各投影都不反映實形與傾角。 一般位置平面一般位置平面各種位置面的投影各種位置面的投影VHWOXYZPHoxzyHyWbcaPABCbcabcabca投影特性：投影特性：1. 1. abcabc積聚為一條線。積聚為一條線。2 . 2 . a a b b c c , , a a b b c c 為為 ABCABC的類似形。的類似形。3. 3. abcabc與與OX, OYHOX, OYH的夾角的夾角 、 角反映了平面角反映了平面ABCABC對正面和側(cè)面的真實對正面和側(cè)面的真實傾角。傾角。投影面垂直面投影面垂直面鉛垂面鉛垂面返回返回VHWOXYZQVQ oxz

28、yHyWbacbcabcabca投影特性：投影特性：1.1.a a b b c c 積聚為一條線。積聚為一條線。2.2.abc, aabc, a b b c c 為為 ABCABC的類似形。的類似形。ABC3.3.a a b b c c與與OX,OZ OX,OZ 的夾角的夾角, , 反映反映的是平面的是平面ABCABC對水平面和側(cè)面的真實傾角。對水平面和側(cè)面的真實傾角。投影面垂直面正垂面VHWOXYZ（一）投影面垂直面（一）投影面垂直面?zhèn)却姑鎮(zhèn)却姑嫱队疤匦裕和队疤匦裕?. 1. a a b b c c 積聚為一條線。積聚為一條線。2 . 2 . abcabc , , a a b b c c 為

29、為 ABCABC的類似形。的類似形。SWSABCbcaoxzyHyWbcabcabca3. 3. a a b b c c 與與OZ, OYwOZ, OYw的夾角的夾角反映反映、角反映的是平面角反映的是平面ABCABC與正面和水平面的真與正面和水平面的真實傾角實傾角 。投影面平行面投影面平行面水平面水平面l投影特性：投影特性：l1. 1. 水平投影水平投影abcabc反映反映 ABCABC實形。實形。 l2. 2. a a b b c c 、 a a b b c c 積聚為直線，且分別平行于積聚為直線，且分別平行于OXOX和和OYWOYW軸。軸。ZcYWXabbbaoYHacc返回返回投影面平行

30、面投影面平行面正平面正平面l投影特性：投影特性：l1.1.正面投影正面投影a a b b c c 反映反映 ABCABC實形實形 。l2. 2. abcabc 、a a b b c c 積聚為直線，且分別平行于積聚為直線，且分別平行于OXOX和和OZOZ軸。軸。cYabboYacbcaXZ投影面平行面投影面平行面?zhèn)绕矫鎮(zhèn)绕矫鎙投影特性：投影特性：l1. 1. 側(cè)面投影側(cè)面投影a a b b c c 反映反映 ABCABC實形。實形。l2. 2. abcabc 、a a b b c c 積聚為直線，且分別平行于積聚為直線，且分別平行于OYHOYH和和OZOZ軸。軸。 一般位置平面一般位置平面l投影特性：投影特性：l1.1.三個投影均為縮小的類似形。三個投影均為縮小的類似形。l2.2.各投影都不反映各投影都不反映實形與傾角。實形與傾角。 返回返回 r r p p r r q q 水平水平鉛垂鉛垂側(cè)垂側(cè)垂r