必修四_平面向量知識點梳理

1、 必修四必修四 平面向量平面向量知識點梳理知識點梳理知知識識網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)平面向量加法、減法加法、減法 數(shù)乘向量數(shù)乘向量坐標表示坐標表示兩向量數(shù)量積兩向量數(shù)量積零向量、單位向量、零向量、單位向量、共線向量、相等向量共線向量、相等向量向量平行的充要條件向量平行的充要條件平面向量基本定理平面向量基本定理兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式向量垂直的充要條件向量垂直的充要條件兩點的距離公式兩點的距離公式向量的概念向量的概念解決解決圖形圖形的平的平行和行和比例比例問題問題解決解決圖形圖形的垂的垂直和直和角度角度,長度長度問題問題向量的初步應(yīng)用向量定義：向量定義：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫

2、向量。重要概念：重要概念：（1）零向量：）零向量： 長度為長度為0的向量，記作的向量，記作0.（2）單位向量：）單位向量：長度為長度為1個單位長度的向量個單位長度的向量.（3）平行向量：）平行向量：也叫共線向量，方向相同或相反也叫共線向量，方向相同或相反的非零向量的非零向量.（4）相等向量：）相等向量：長度相等且方向相同的向量長度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：）相反向量：長度相等且方向相反的向量長度相等且方向相反的向量.一、平面向量概念一、平面向量概念幾何表示幾何表示 : 有向線段有向線段向量的表示向量的表示字母表示字母表示 : aAB 、等坐標表示坐標表示 : (x，y)若若 A(x

3、1,y1), B(x2,y2)則則 AB = (x2 x1 , y2 y1)一、平面向量概念一、平面向量概念a向量的模（長度）向量的模（長度）1. 設(shè)設(shè) = ( x , y ),則則2. 若表示向量若表示向量 (x1,y1)、B (x2,y2) ，則，則 ABa22yx 221221yyxx一、平面向量概念一、平面向量概念1.向量的加法運算向量的加法運算ABC AB+BC=三角形法則三角形法則OABC OA+OB=平行四邊形法則平行四邊形法則坐標運算坐標運算:則則a + b =重要結(jié)論：重要結(jié)論：AB+BC+CA= 0設(shè)設(shè) a = (x1, y1), b = (x2, y2)( x1 + x2

4、 , y1 + y2 )AC OC一、平面向量概念一、平面向量概念2.向量的減法運算向量的減法運算1）減法法則：）減法法則：OAB2）坐標運算）坐標運算:若若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )則則a b= 3 3.加加法減法運算律法減法運算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交換律：）交換律：2）結(jié)合律：）結(jié)合律：BA(x1 x2 , y1 y2)OAOB =一、平面向量概念一、平面向量概念練習(xí)_;_;_;_;_.ABBDBABCBCCAODOAOAOB 填空：AD BA ADBA CA ,120| | 3|oABa ADbDABababab 練習(xí)、如圖已知向

5、量，且，求和120oabADBCO|ba|DB|ba|AC|baDBbaAC3|AB|AD|ABCDADAB，故，由向量的加減法知，故此四邊形為菱形由于，為鄰邊作平行四邊形、解：以120oabADBCO33 3| |sin60322oAODODAD 由于菱形對角線互相垂直平分,所以是直角三角形，33|ba|3|ba|，所以3|AC|ADC60DAC120DABOO是正三角形，則所以，所以因為return4.實數(shù)實數(shù) 與向量與向量 的積的積定義定義：坐標運算：坐標運算：其實質(zhì)就是向量的伸長或縮短！其實質(zhì)就是向量的伸長或縮短！若若 = (x , y), 則則(x , y)= ( x , y)一、平

6、面向量概念一、平面向量概念則則|aaa. ba存在唯一實數(shù)存在唯一實數(shù) ，使得，使得結(jié)論結(jié)論: 設(shè)表示與非零向量同向的單位向量設(shè)表示與非零向量同向的單位向量.aaba與定理定理1:兩個非零向量兩個非零向量平行平行(方向相同或相反方向相同或相反)一、平面向量概念一、平面向量概念向量垂直充要條件的兩種形式向量垂直充要條件的兩種形式:0)2(0)1 (2121yyxxbabababa二、平面向量之間關(guān)系向量平行向量平行(共線共線)充要條件的兩種形式充要條件的兩種形式:0)0),(),(/)2(;)0(/) 1 (12212211yxyxbyxbyxabababba（3）兩個向量相等的充要條件是兩個向

7、量的）兩個向量相等的充要條件是兩個向量的坐標相等坐標相等. 即即: 那么那么 ),(11yxa),(22yxb 2121yyxxba且三、平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果如果 是同一平面內(nèi)的兩個是同一平面內(nèi)的兩個不共線不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量量 ，有且只有有且只有一對實數(shù)一對實數(shù) 使使21, ee,21a2211eea1、平面向量數(shù)量積的定義：、平面向量數(shù)量積的定義：bacos|ba 2、數(shù)量積的幾何意義：、數(shù)量積的幾何意義：|cos.aabab等于 的長度與在方向上的投影的乘積OABB1(四四) 數(shù)量積數(shù)量積abba）（1）（）（）（b

8、ababa2cbcacba ）（34、運算律、運算律:2121yyxxba3、數(shù)量積的坐標運算、數(shù)量積的坐標運算5、數(shù)量積的主要性質(zhì)及其坐標表示：、數(shù)量積的主要性質(zhì)及其坐標表示： 0012121yyxxbaba 反向時，當同向時，當時，當babababababa/.221212,) 3(yxaaaaaa 222221212121cos4yxyxyyxxbaba),(是兩個非零向量ba baba5babababa有：、證明對任意例 . 1結(jié)結(jié)論論顯顯然然成成立立。有有一一個個為為，若若證證明明, 0)1(:ba,bAB, aOA, 0ba)2( 作作都都不不為為，若若baOB 則則他他兩兩邊邊之

9、之差差，其其他他兩兩邊邊之之和和，大大于于其其邊邊小小于于不不共共線線時時，由由三三角角形形一一，當當 baABOAOBABOA bababa ABOAOBba 同同向向，則則，若若ABOAOBba 反反向向，則則，若若abOBAbababababa 或或共線時，共線時，、綜上所述：原命題成立綜上所述：原命題成立. |31|31|.,MNONOMbaCDCNBCBMCODABbOBaOAOADB，表示、，用，且交于與，中，已知平行四邊形CNDBMOA解解: baOBOABAbaBABCBM61616131babBMOBOM6161ba6561. |31|31|.,MNONOMbaCDCNBCB

10、MCODABbOBaOAOADB，表示表示、，用，用，且且交于交于與與，中，中，已知平行四邊形已知平行四邊形 CNDBMOACDODCNOCON3121)(baODODOD32326121ba3232baOMONMN6121例例3、 已知已知a=(3,-2) ， b=(-2,1)， c=(7,-4)，用用a、b表示表示c。解：解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b4.,OA OB 例例 如如圖圖不不共共線線(),APtAB tR ,.OA OBOP 用用表表示示:,APtAB 解解 OPOA

11、AP OAtAB ()(1).OAt OBOAt OAtOB O A B P (1).OPt OAtOB ()OPOAt OBOA APtAB 另解另解:可以試著將可以試著將,OA OBOP 用用， 表表示示出出來來. .APtAB 說明：說明：(1) 本題是個重要題型：設(shè)本題是個重要題型：設(shè)O為為平面上任一點，則：平面上任一點，則：A、P、B三點共線三點共線 (1).OPt OAtOB 或令或令 = 1 t， = t，則，則 A、P、B三點共線三點共線 (其中其中 + = 1).OPOAOB (2) 當當t = 時，時， 常稱常稱為為OAB的中線公式的中線公式(向量式向量式)121()2OP

12、OAOB 例例5.設(shè)設(shè)AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，求證：求證：A、B、D 三點共線。三點共線。 分析分析要證要證A、B、D三點共線，可證三點共線，可證 AB=BD關(guān)鍵是找到解：解：BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5bAB=2 BD A、B、D 三點共線三點共線AB BD且且AB與與BD有公共點有公共點B例例6.設(shè)非零向量設(shè)非零向量 不共線，不共線， 若若 試求試求 k. ba, bakc),(Rkbkad,/dc解：解： ,/dc由向量共線的充要條件得：由向量共線的充要條件得： ,dc即即 ),(bkabak又又 不共線不共線 ba

13、,由平面向量的基本定理由平面向量的基本定理 11kkk.1,2 ,1 ,22.abxababx例7 已知向量分別求出當與平行和垂直時實數(shù) 的值222,3)1(2 )/ /(2);27(2 )(2)22ababxababababx解：=（1+2x，4）,（時，3(1+2x)-4(2-x)=0,x=時，（1+2x)(2-x)+4 3=0.x=- 或解：設(shè)頂點解：設(shè)頂點D的坐標為（的坐標為（x，y），（），），（211321( AB)4 ,3(yxDC ，得，得由由DCAB )4 ,3()2 , 1(yx yx4231 22yx），的坐標為（的坐標為（頂點頂點22D 例例8 已知已知 ABCD的三個

14、頂點的三個頂點A、B、C的坐的坐標分別為（標分別為（2，1）、（）、（ 1，3）、（）、（3，4），求），求頂點頂點D的坐標的坐標例例9. 已知已知A(2，1)，B(1，3)，求線段，求線段AB中中點點M和三等分點坐標和三等分點坐標P，Q的坐標的坐標 .解：解：(1) 求中點求中點M的坐標，由中點公式可知的坐標，由中點公式可知 M( ，2)21(2) 因為因為 =(1，3)(2，1) =(3，2)ABOBOA 131 ( 2,1)(3,2)35 ( 1, )3OPOAAB 232 ( 2,1)(3,2)37 (0, )3OQOAAB 例例10.設(shè)設(shè)A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10

15、) 滿足滿足(1) 為何值時為何值時,點點P在直線在直線y=x上上?(2)設(shè)點設(shè)點P在第三象限在第三象限, 求求的范圍的范圍.APABAC 解解: (1) 設(shè)設(shè)P(x, y)，則，則 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以所以x=5+5，y=7+4. 21解得解得 =(2) 由已知由已知5+50,7+40 ,所以所以1. 例例1111（1 1）已知）已知 = =（4 4，3 3），向量），向量 是是垂直于垂直于 的單位向量，求的單位向量，求 . .abab./)2 , 1 (,102的坐標，求，且）已知（ababa.43)5 ,(),0 , 3(3的值求，的夾角為與，且）已知（k

16、bakba. 532222222).54,53()54,53(1kbb）；（，）或（，）（或）答案：（解解：設(shè)點 B 的坐標為（x,y） ， 則)2, 5(),(yxAByxOB ABOB x（x-5）+y（y-2）=0 即 x2+y2 5x 2y=0 又 ABOB x2+y2=（x-5）2+（y-2）2 即 10 x+4y=29 由、解得：272323272211yxyx或 點B的坐標為)23,27(或)27,23( )27,23(AB或)23,27(AB 例例13、已知已知ABC中，中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為邊上的高為AD。（1）求證：）求證：ABAC

17、；（2）求點）求點D和向量和向量AD的坐標；的坐標；（3）求證：）求證：AD2=BDDC解：（解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3) AB=(-3,-6) AC=(2,-1) ABAC=(-3)2+(-6)(-1)=0 ABAC（2）D(x,y) AD=(x-2,y-4) BC=(5,5) BD=(x+1,y+2) ADBC ADBC=0 5(x-2)+5(y-4)=0 又又B、D、C共線共線 5(x+1)-5(y+2)=0 x+y-6=0 x= D( , ) x-y-1=0 y= AD=( ,- )272527252323（3）AD=( ,- ) BD=( , ) DC=(

18、, ) |AD| = + = BDDC= + = AD =BDDC21294923232921492949492922例例13、已知已知ABC中，中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為邊上的高為AD。（1）求證：）求證：ABAC；（2）求點）求點D和向量和向量AD的坐標；的坐標；（3）求證：）求證：AD2=BDDC例例14.14.已知已知a a=(2,3),=(2,3),b b=(-4,7),=(-4,7),則則a a在在b b上的投影為（上的投影為（ ） A. A. B. B. C. C. D.D. 解析解析 設(shè)設(shè)a a和和b b的夾角為的夾角為，| |a a|co

19、s|cos= C1351356565|b|ba.56565137)4(73)4(22221121 )54,53(222）即（babbaabababa 120 180,0 21cosbaba3 32222babbaaba解：解：212121,60 ?2,32?.oe eaeebeeab 例16、設(shè)為兩個單位向量?且夾角為若求 與 的夾角解：解： 22222121211222244aeeeeee ee 222112144cos604 14 1 1172eeee 7a同理可得同理可得 7b22121211227232622a beeeeee ee 712cos277a bab =120. 0,(co

20、s ,sin ),aabcabc例17 若向量則 與 一定滿足( )以上都不對以上都不對 D. )()( C.0 B. A.cbcbcbab ).()(0)(1sincos, 12222cbcbcbcbcbcb 解解 答案答案 CABACABACABACBCABCABACABAC 例18(06陜西)已知非零向量與滿足1(+)=0且=則為( )2A,三邊均不相等的三角形, B直角三角形,C,等腰非等邊三角形, D等邊三角形,60 ,ABACAABACAABACABACAABACA 解析:+在的平分線上,由題意得的平分線垂直于邊BC,1故又=1 1cos=2故選D.ABC,(),ABCPA PBP

21、B PCPC PAABCABCD 例19(05湖南)已知P是所在平面上一點,若則P是的 外心, 內(nèi)心, 重心, 垂心.()0,:,PA PB PB PCPB PA PCPB CAPB CAPA BCPC ABP 解 析 :由得同 理 可 得故為 垂 心 ,選 D.ABCP減區(qū)間；的單調(diào)遞試求若記設(shè)例)(, 0. 1)( ),R( )2sin3,(cos ),1 ,cos2(20. xfxbaxfxxxbxa.32,6)( 32623622613626,0)62sin(2)2cos212sin23(22cos2sin31)(,2sin3cos2(1) 2的單調(diào)遞減區(qū)間為故即由xfxxxxxxxx

22、xbaxfxxba 解析解析 【例例2323】已知向量已知向量a a=(cos =(cos x x,sin ,sin x x),), b b=(cos ,-sin )=(cos ,-sin )，且，且x x . . (1) (1)求求a ab b及及| |a a+ +b b|;|; (2) (2)若若f f( (x x)=)=a ab b-|-|a a+ +b b| |，求，求f f( (x x) )的最大值和最小值的最大值和最小值. .23232x2x43，,2cos2sin23sin2cos23cos) 1 (xxxxxba解解 xxxxxxxxxxxxcos,4,3|,cos|22cos22)2sin23(sin2cos23cos2sin23sin2cos23cos22）（|ba|)-,(ba0 0|a a+ +b b|=2cos |=2cos x x. .(2)(2)由由(1)(1)可得可得f f( (x x)=cos 2)=cos 2x x-2cos -2cos x x=2cos=2cos2 2x x-2cos -2cos x x-1-1=2(cos =2(cos x x- )- )2 2- .- .x x ， cos cos x x11，當當cos cos x x= = 時，時，f