高中生學(xué)習(xí)排列組合的認知困難_學(xué)位論文

1、在職攻讀碩士專業(yè)學(xué)位論文 高中生學(xué)習(xí)排列組合的認知困難院 系： 理工學(xué)院數(shù)學(xué)系 類 別： 教育碩士 領(lǐng) 域： 學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)） Dissertation of 2013 special master Code of university：10269 Student Number：61090601021East China Normal Universitythe Recognition Problems of Senior High School Students on Permutation and CombinationDepartment：Department of Mathematic

2、sSpecialty：Master of Education（Mathematics） Research Direction：Mathematics EducationFaculty Adviser：Li JunApplicant： Hou yanFinished in October, 2013華東師范大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明鄭重聲明：本人呈交的學(xué)位論文高中生學(xué)習(xí)排列組合的認知困難，是在華東師范大學(xué)攻讀碩士/博士（請勾選）學(xué)位期間，在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進行的研究工作及取得的研究成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不包含其他個人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已

3、在文中作了明確說明并表示謝意。 作者簽名： 日期： 年 月 日華東師范大學(xué)學(xué)位論文著作權(quán)使用聲明高中生學(xué)習(xí)排列組合的認知困難系本人在華東師范大學(xué)攻讀學(xué)位期間在導(dǎo)師指導(dǎo)下完成的碩士/博士（請勾選）學(xué)位論文，本論文的研究成果歸華東師范大學(xué)所有。本人同意華東師范大學(xué)根據(jù)相關(guān)規(guī)定保留和使用此學(xué)位論文，并向主管部門和相關(guān)機構(gòu)如國家圖書館、中信所和“知網(wǎng)”送交學(xué)位論文的印刷版和電子版；允許學(xué)位論文進入華東師范大學(xué)圖書館及數(shù)據(jù)庫被查閱、借閱；同意學(xué)校將學(xué)位論文加入全國博士、碩士學(xué)位論文共建單位數(shù)據(jù)庫進行檢索，將學(xué)位論文的標題和摘要匯編出版，采用影印、縮印或者其它方式合理復(fù)制學(xué)位論文。本學(xué)位論文屬于（請勾選）

4、（ ）1.經(jīng)華東師范大學(xué)相關(guān)部門審查核定的“內(nèi)部”或“涉密”學(xué)位論文*，于 年 月 日解密，解密后適用上述授權(quán)。（ ）2.不保密，適用上述授權(quán)。 導(dǎo)師簽名 本人簽名 年 月 日* “涉密”學(xué)位論文應(yīng)是已經(jīng)華東師范大學(xué)學(xué)位評定委員會辦公室或保密委員會審定過的學(xué)位論文（需附獲批的華東師范大學(xué)研究生申請學(xué)位論文“涉密”審批表方為有效），未經(jīng)上述部門審定的學(xué)位論文均為公開學(xué)位論文。此聲明欄不填寫的，默認為公開學(xué)位論文，均適用上述授權(quán)）。摘要 排列組合是高中數(shù)學(xué)中相對獨立的內(nèi)容，對學(xué)生分析問題、解決問題能力有較高要求，師生普遍反映難學(xué)難教。產(chǎn)生困難的原因很多，比如題目變化多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，思考過程容易出錯，

5、很難找到一個簡明而又全面的問題歸類方式；解答思路靈活，簡繁不一，答案檢驗也不容易；師生僅憑書面交流難以真正了解彼此的想法，更不用說糾正和改正錯誤了。筆者每每教此內(nèi)容，都特別上心，生怕產(chǎn)生的學(xué)習(xí)困難會減弱學(xué)生的興趣，有損學(xué)生的自信。 本研究在文獻研究的基礎(chǔ)上，通過對333名高二學(xué)生的測試與33名學(xué)生的訪談，意在揭示高中生學(xué)習(xí)排列組合時的常見認知錯誤，分析其產(chǎn)生原因，并基于實證研究，為改進排列組合教學(xué)提供具體建議。 本文中，筆者對排列組合問題提出了一個新的分類，先將排列組合問題分為選取模型和分配模型兩大類，再依次分為4和11個小類，希望通過新的分類，更清晰地梳理問題類型，幫助學(xué)生更容易地找到解決問

6、題的方法。 通過對測試結(jié)果的分析，筆者將學(xué)生常見的錯誤歸為三種類型：題意理解錯誤、模式選擇錯誤、操作技術(shù)錯誤。在這四大類錯誤中包含的具體錯誤情況共有11種。對于每種錯誤，筆者都根據(jù)學(xué)生的訪談內(nèi)容、文獻研究等對學(xué)生的出錯原因進行了分析。通過訪談，筆者還發(fā)現(xiàn)，在解決陌生問題、解決限制條件多的問題時學(xué)生普遍存在困難，而且很多學(xué)生不知道如何自我檢查答案。 針對學(xué)生普遍存在的困難和常見錯誤，筆者給教師提出如下教學(xué)建議：(1)幫助學(xué)生認識學(xué)習(xí)目的；(2)多采用直觀圖示的方法；(3)重視讀題過程，推敲問題特征，列式之后再次讀題，檢查是否有遺漏和重復(fù)；(4)利用學(xué)生錯誤，開展有意義的學(xué)習(xí)；(5)適當變式，如改

7、換背景和增加限制條件，提高學(xué)生的理解水平；(6)引導(dǎo)學(xué)生用“縮小數(shù)據(jù)”和“一題多解”的方法檢驗解法的正確性。 關(guān)鍵詞：排列組合，常見錯誤，高中生，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)viiAbstractPermutation and combination is a relatively independent part in the mathematics teaching in senior high school. Owing to its high requirements of students ability to analyze and solve the problems, teachers and s

8、tudents have difficulty in teaching and learning it. There are a lot of causes that lead to these difficulties, such as the wide variety of the exercises, the complex structure of the questions. Moreover, it is easy to make mistakes in the process of thinking and it is always hard to find a concise

9、and comprehensive way to classify the questions. With the various ways of thinking and flexible solutions, checking the answer is not an easy job. It is difficult for teachers and students to really understand each others ideas only by written communication, not to mention the correction of the mist

10、akes. I pay special attention to this part every time I teach it in case students lose their interests because of the difficulties the face, which may have a negative influence on students self- confidence.On the basis of document research, through the test of 333 students and the interview of 33 st

11、udents in senior 2, this research aims at revealing the common cognitive mistakes high school students make when learning permutation and combination, analyzing the causes of the mistakes and providing specific suggestions for the improvement of the teaching of permutation and combination based on t

12、he study of examples.In the paper, I reclassified the problems of permutation and combination. Firstly, I put the problems into 2 categories, namely the selection of the model and the allocation of the model. Then, these 2 categories are divided into 4 and 11 basic types respectively. Students are e

13、xpected to comb type of problem more clearly and find the solution to the problems more easily through the new classification. Through the analysis of the result of the test, the common mistakes students make are divided into 3 types: the misunderstanding of the questions, the wrong choice made when

14、 choosing the model and technical error operation. The 3 types of mistakes include 11 specific mistakes. In term of every mistake, the causes are analyzed according to records of the students interviews and literature research. Through the interviews, I find that students have widespread difficulty

15、in solving the strange problems and the problems which have many constraint conditions and many students dont know how to check the answer youself.As for the common mistakes and widespread difficulties students have , the teaching suggestions are put forward as follows: （1） help students have a clea

16、r picture of the purpose of learning; (2) adopt the graphical teaching method;（3）pay attention to the process of reading the instructions, think over the characteristics of the problems, write down the formula and then read the instructions again, check whether there are omissions or repetitions; (4

17、) carry out meaningful learning according to students mistakes; (5) make the appropriate changes such as changing and increasing the constraint conditions so as to improve students understanding; (6) guide the student to available “to reduce the data” and “more than a problem solution” the correctne

18、ss of the method of inspection exposed.Key words: permutation and combination, common mistakes, senior high school students, mathematics learning目錄摘要iABSTRACTii第一章引言11.1 研究背景11.2 研究問題31.3 研究意義4第二章文獻綜述52.1關(guān)于排列組合問題模型52.2課程中的排列組合知識及其要求72.3 關(guān)于排列組合常見錯誤類型及其成因112.4 關(guān)于排列組合教學(xué)13第三章研究的設(shè)計和實施153.1 研究對象153.2 測試題的

19、設(shè)計153.3 研究的實施與數(shù)據(jù)編碼20第四章數(shù)據(jù)整理與研究結(jié)果分析224.1 測試結(jié)果匯總分析224.2 “選取模型”測試題分析234.3 “分配模型”測試題分析37第五章研究結(jié)論和建議655.1 主要結(jié)論655.2 教學(xué)建議685.3 研究的局限性和可繼續(xù)研究的問題69附錄一：學(xué)生測試卷70附錄二：學(xué)生訪談提綱72參考文獻73致謝76第一章 引言1.1 研究背景 我國普通高中數(shù)學(xué)課程標準中指出：“計數(shù)問題是數(shù)學(xué)中的重要研究對象之一，分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實際問題提供了思想和工具”（第62頁）?！坝嫈?shù)原理”的

20、教學(xué)要求是“通過實例，總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理；能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題”（第63頁）。它要求教師“引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)計數(shù)原理分析、處理問題，而不應(yīng)機械地套用公式。同時，在這部分教學(xué)中，應(yīng)避免繁瑣的、技巧性過高的計數(shù)問題?！保ǖ?4頁）。上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標準指出“計數(shù)問題，與中學(xué)所討論的其他數(shù)學(xué)問題有不同的特點，要重視對具體問題的分析，重視數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)”（第80頁）?！芭帕薪M合”的教學(xué)要求是“通過實例分析，學(xué)習(xí)和掌握乘法原理和加法原理、排列和組合的概念及其計算，但所涉及的難題情境比較簡單”，“排列、組合問題中的限制條

21、件不超過兩個；不討論重復(fù)排列問題。解排列和組合的問題，限用常見方法（包括枚舉法）。會利用計算器求排列數(shù)和組合數(shù)”（第80頁）。以上是全國課程標準與上海課程標準對排列組合的課程教學(xué)要求，總的來說，既承認這部分內(nèi)容對提高學(xué)生思維品質(zhì)有幫助，又強調(diào)要嚴格控制課程難度?！芭帕薪M合”是高中教材中相對獨立的一個章節(jié)，很多學(xué)生（包括教師）覺得它和其他章節(jié)聯(lián)系不大，在高考中所占分值很少，對其不重視。其實，當今排列組合的應(yīng)用已經(jīng)超越了歷史上的自然數(shù)計數(shù)范疇，與計算機算法結(jié)合，在計算機科學(xué)、編碼和密碼學(xué)等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用。無論是從歷史文化角度看，還是從對培養(yǎng)人們邏輯思維的影響看，它都有著重要的教育價值。上海高三

22、年級的數(shù)學(xué)教材中有介紹排列組合的歷史，中國周代初期（公元前1035公元前879）的周易中有“四象”和“八卦”，宋代科學(xué)家沈括在夢溪筆談中討論了圍棋可能擺出的棋局數(shù)是“以一為基，三百六十一次三乘之”，意思是“用3連乘361次”，即（圍棋每格可有白子、黑子或空格三種可能，棋盤共有361個位置），而他也提到計算數(shù)值太大，無法表達。在西方，羅馬時代有人曾討論過從個東西中任意取兩個的組合數(shù)；12世紀印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅已經(jīng)知道從個東西中任意取個東西的組合數(shù)；法國數(shù)學(xué)家帕斯卡作為排列組合公式的發(fā)明者之一，在1321年用數(shù)學(xué)歸納法證明了 ，并指出這些組合數(shù)可以是二項式展開式的各對應(yīng)項的系數(shù)（參見上海教育出版社

23、2008年版的數(shù)學(xué)高中三年級第一學(xué)期（試用本）第82頁）。當今社會，排列組合也有其重要的應(yīng)用。在生產(chǎn)調(diào)度中，排列組合可用于計算各種可能的調(diào)度方案的數(shù)目；在科學(xué)實驗中，可用于計算各種配置方式的數(shù)目；在交通問題中，可用于計算可能路徑的數(shù)目。而組合數(shù)學(xué)更是涉及計算機科學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、心理學(xué)以及基因工程等前沿學(xué)科中的最新應(yīng)用，例如在基因工程中，每組基因密碼都是從四個堿基：腺嘌呤(A)，烏漂呤(G),胞嘧啶(C)和胸腺嘧啶(T)中可重復(fù)選取三個進行排列而成，而人類疾病的發(fā)生往往就是某些堿基的組合而形成的，所以堿基的組合研究在基因工程研究中是不能缺少的。當今高中數(shù)學(xué)課程中的排列組合看似獨立，其實，它涉及

24、集合、函數(shù)、方程、數(shù)列、幾何等多個領(lǐng)域，例如在數(shù)列中，對原數(shù)列每一項進行不同組合都會產(chǎn)生一個新的數(shù)列，產(chǎn)生新的性質(zhì)；在立體幾何中，可以用排列組合方法來統(tǒng)計某些立體圖形內(nèi)的頂點數(shù)、邊數(shù)、面數(shù)、異面直線對數(shù)、正交線面對數(shù)等等，比直接數(shù)數(shù)要便利，尤其是在很難畫清圖形的情況下；排列組合也為概率統(tǒng)計學(xué)習(xí)如二項分布、古典概率計算等提供了必要的基礎(chǔ)。所以，排列組合的學(xué)習(xí)不應(yīng)當是孤立的，在培養(yǎng)數(shù)學(xué)優(yōu)秀生時應(yīng)當重視其在思維訓(xùn)練中的重要價值。 排列組合問題內(nèi)容抽象、類型繁多、解法靈活，所以歷來是教師教學(xué)中比較困難的部分，也是廣大學(xué)生極易犯錯，卻很難糾正的一個學(xué)習(xí)主題?？偨Y(jié)一下，最常被提到的有以下幾個難點：(1)

25、從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型，需要較強的抽象思維能力；(2) 限制條件有時比較隱晦，需要我們對問題中的關(guān)鍵性詞（特別是邏輯關(guān)聯(lián)詞和量詞）準確理解；(3) 計算手段簡單，與舊知識聯(lián)系少，但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大；(4) 計算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗，要求我們搞清概念、原理，并具有較強的分析能力，采用縮小數(shù)據(jù)和一題多解等方法加以檢驗?；诖?，在學(xué)完基本的原理與公式后，更需要學(xué)生自我探究與感悟，達到真正的理解。同時，教師也要傾聽學(xué)生的想法，以便及時了解和幫助學(xué)生學(xué)習(xí)。荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾認為（張奠宙，李士锜，李俊，2003，第39頁）：(1) 數(shù)學(xué)起

26、源于現(xiàn)實,數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，而且每個學(xué)生有各自不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”。數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實。(2) 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個“再創(chuàng)造”的過程。學(xué)生不是被動地接受知識，而是在創(chuàng)造，把前人已經(jīng)創(chuàng)造過的數(shù)學(xué)知識重新創(chuàng)造一遍。弗賴登塔爾“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的基本出發(fā)點是“數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，也必須扎根于現(xiàn)實，并應(yīng)用于現(xiàn)實”。他所說的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”是客觀現(xiàn)實與人的數(shù)學(xué)認識的統(tǒng)一體，而且每個人都應(yīng)該有自己的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”。所以每個學(xué)生在做排列組合題時都會有自己的問題，而發(fā)展“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”就是應(yīng)該從了解學(xué)生的錯誤出發(fā)，找到其原因，讓其在這條道路上順暢地走下去。而教師

27、的另一作用是啟發(fā)學(xué)生自己想出更多的途徑，達到主動探究，主動學(xué)習(xí)。這樣，學(xué)生才能在比較中選擇最為合理的方法，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”過程。由此看來，排列組合無論是其歷史淵源、當今社會地位及高中數(shù)學(xué)教育中的作用都是不容小覷的，但教師難教、學(xué)生易錯也確實是我們面臨的難題，對排列組合學(xué)習(xí)中學(xué)生的錯誤及成因研究是很有必要的。1.2 研究問題 鑒于排列組合在高中數(shù)學(xué)及現(xiàn)實世界中的重要性，以及師生在這一章節(jié)的教與學(xué)均存在一定困難，所以筆者決定以高二學(xué)生對排列組合的認知錯誤為研究主題。具體來說，主要采取問卷測試和訪談的方法，深入了解學(xué)生在解排列組合題時的常見錯誤及主要原因。筆者主要關(guān)注以下兩個方面：1. 高中學(xué)

28、生在學(xué)習(xí)排列組合時有哪些常見錯誤？2. 導(dǎo)致高中生發(fā)生錯誤的主要原因有哪些？1.3 研究意義 解排列組合綜合題常常需要學(xué)生具備良好的語言理解能力、扎實的數(shù)學(xué)知識功底、過硬的計算能力等，因為計數(shù)結(jié)果龐大，學(xué)生往往無法檢查答案的正確性，思考時也容易出現(xiàn)錯誤，降低了學(xué)生做題的興趣。這不僅讓很多學(xué)生懼怕排列組合題，也給教師的教學(xué)帶來了很多阻礙。排列組合問題對學(xué)生分析問題、解決問題能力有較高要求，同一個答案可以有多種思考途徑到達，除了結(jié)論的對錯外，很難有其他嚴格證明的方式去驗證。教師自己解答題目不一定有困難，但是要發(fā)現(xiàn)學(xué)生思考中的問題卻是一個不小的挑戰(zhàn)。因此，對排列組合的教和學(xué)生的學(xué)進行深入研究并提出改

29、進建議是很有必要的。 雖然中外文獻中涉及排列組合知識和教學(xué)的為數(shù)不少，很多期刊論文也分析了學(xué)生常見的錯誤，但是國內(nèi)文章很少是基于實證研究的。本文希望能結(jié)合文獻研究與對學(xué)生的測試調(diào)查來找出學(xué)生在求解排列組合問題中的常見錯誤表現(xiàn)，確認、修改和補充已有文獻關(guān)于學(xué)生在排列組合學(xué)習(xí)中的主要困難，讓我們更加了解學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”。這是筆者想要了解的第一方面。通過測試和訪談的方式了解學(xué)生的真實想法是什么？到底是什么原因讓學(xué)生出現(xiàn)這些錯誤？學(xué)生希望教師做何教學(xué)改進？這是筆者想要了解的第二方面。最后，在上述研究的基礎(chǔ)上，筆者將對本主題的教學(xué)提出具體的有針對性的建議，以促進教師改進教學(xué)。第二章 文獻綜述本章主要從

30、四個方面著手，對相關(guān)文獻進行綜述。第一個方面是“關(guān)于排列組合問題模型”；第二個方面是“課程中的排列組合知識及其要求”；第三個方面是“常見的錯誤類型及其成因”；最后一個方面是“關(guān)于排列組合教學(xué)”。2.1 關(guān)于排列組合問題模型 由于排列組合問題常常是文字描述相近但卻可能分屬于完全不同的類型，因此教學(xué)中一般都采用分類講模型的辦法，所以，應(yīng)該對文獻中的問題歸類作一個梳理。 指導(dǎo)求解排列組合問題的文章較多。國內(nèi)常見的排列組合題型歸類主要有以下幾種：特殊元素與特殊位置問題、相鄰問題、相離問題、定序問題、分組分配問題、配對問題、多排問題（對象站成多排進行排隊）、環(huán)排問題、相同元素排列問題（參與排列的部分元素

31、完全相同）等等，每種問題都有相應(yīng)的解題策略。這種教法因為問題之間缺乏聯(lián)系，類型多而且要仔細地根據(jù)問題的特征來判斷，不容易準確記憶，學(xué)生普遍感覺難學(xué)。于是課程標準通過限制問題中最多只能出現(xiàn)兩個約束條件和不討論重復(fù)排列問題的辦法降低課程難度，而上述歸類中的多排問題、環(huán)排問題和相同元素排列問題都不在現(xiàn)行課標范圍內(nèi)。 相對國內(nèi)的分類，筆者發(fā)現(xiàn)Dubois(1984)的分法比較清晰。Dubois首先將排列組合問題分為三大類：選取模型（selection model），分配模型（distribution model）和分割模型（partition model），再將選取模型分為4個小類，分配模型分為6個小

32、類，下面作具體介紹。 選取模型借用了抽樣概念，它是指“從一個有m個元素的集合中選取n個元素”的問題。在選取模型下，分別對應(yīng)以下幾種可能性：表2-1 選取模型的四種可能性樣本有序樣本無序放回不放回 其中表示從m個元素中有放回地取n個元素的排列，表示從m個元素中取n個元素的排列，表示從m個元素中有放回地取n個元素的組合，表示從m個元素中取n個元素的組合。 分配模型則是借用映射的概念，它是指“將集合中的n個元素分配進m個容器”。在分配模型下Dubois(1984)提出6種基本模型：（1）不同元素在不同容器間的有序分配；（2）不同元素在相同容器間的有序分配；（3）不同元素在不同容器間的無序分配；（4）

33、不同元素在相同容器間的無序分配；（5）相同元素在不同容器間的分配；(因為元素相同，順序可忽略)（6）相同元素在相同容器間的分配。(順序可忽略)分割模型是指將一個有n個元素的集合分割為m個子集。其與分配模型有相似之處，屬于“不同元素在不同容器間的無序分配”,不同之處在于更強調(diào)每個容器內(nèi)的元素個數(shù)，可以有容器內(nèi)無元素，即空集，可以是各個容器內(nèi)元素個數(shù)平均或不平均。筆者發(fā)現(xiàn)，上述模型的敘述還有一個不足，既然選取模型的m個元素來自同一個集合，所以是不同的m個元素，這樣就可以像我們教材中那樣明確指出是“m個不同元素”，但是，分配模型若要包括（5）、（6）兩種情況的話，就不能說“將集合中的n個相同元素”進

34、行分配，否則會與集合的“互異性”有沖突。因此，在模型的敘述上還需要作修改，應(yīng)去掉集合的限制。 胡海霞(2006)在訪談4位在讀教育碩士時發(fā)現(xiàn)，教師們并不知曉上述Dubois的三種模型，他們有自己的歸類，如：簡單組合、簡單排列、全排列、均勻分組、有序均勻分組、有重復(fù)元素的排列等等。這樣的分類也是“經(jīng)驗性的，缺乏理論指導(dǎo)，比較凌亂”（胡海霞，2006）。我國20世紀80年代對排列組合的教學(xué)要求比較高，教學(xué)中常會出現(xiàn)有兩個限制條件的問題，這兩個限制條件還存在三種類型（胡蘭田，1985）：按照兩個限制條件，所有元素被分成兩個子集，若這兩個子集是“相離”關(guān)系時，兩個子集元素可獨立選取，互不干擾；是“包含

35、”關(guān)系時，可從里到外先后從各自的集合中選元素；是“相交”關(guān)系時，可任意從某一子集開始選，但需分為兩類來選元素，一類為不屬于的元素，另一類為中的元素。例如：問3000-8000之間有多少個沒有重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)。這里千位可用數(shù)字3,4,5,6,7，個位可選數(shù)1,3,5,7,9，它們有交集，所以兩個限制條件是“相交”關(guān)系，要對個位數(shù)字分“選用3,5,7”和“選用1,9”這兩種情況。不過，我國現(xiàn)行教材中已經(jīng)不講這種高難度的問題了。這是基于兩個限制條件對排列組合問題作的進一步分類，對解決兩個限制條件的問題很有指導(dǎo)意義。2.2 課程中的排列組合知識及其要求2.2.1 課程標準及考綱要求上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標

36、準（試行稿）和2012年上海高考數(shù)學(xué)考綱中對排列組合的要求總結(jié)如表2-2。表2-2 課程標準和考綱要求學(xué)習(xí)內(nèi)容考綱要求課程標準要求乘法原理掌握乘法原理通過實例分析，學(xué)習(xí)和掌握乘法原理和加法原理、排列和組合的概念及其計算，但所涉及的難題情境比較簡單。說明：排列、組合問題中的限制條件不超過兩個；不討論重復(fù)排列問題。解排列和組合的問題，限用常見方法（包括枚舉法）。會利用計算器求排列數(shù)和組合數(shù)排列與排列數(shù)掌握排列的概念及其計算。會用常見方法（包括枚舉法）解排列的問題。會利用計算器求排列數(shù)組合與組合數(shù)掌握組合的概念及其計算。會用常見方法（包括枚舉法）解組合的問題。會利用計算器求組合數(shù)加法原理掌握加法原理

37、 在上述課程標準和考綱中，都對兩個原理和排列組合的概念提出了掌握的要求，都提出要求學(xué)生運用常見方法解題，如枚舉法?？梢妼τ趯W(xué)生的要求是要掌握排列組合的基本原理和方法，不需要在問題情境和限制條件方面給學(xué)生增加太大難度。在上海高考中，排列組合往往與概率問題結(jié)合，一般只出現(xiàn)在一道小題中，2004年至2013年上海高考數(shù)學(xué)中的排列組合題(包括概率題)見表2-3。表2-3 2004-2013年上海高考數(shù)學(xué)考查的排列組合題(包括概率題)年份題目答案2004(文、理)若在二項式的展開式中任取一項，則該項的系數(shù)為奇數(shù)的概率是_。2005(文、理)某班有50名學(xué)生，其中15人選修A課程，另外35人選修B課程。從

38、班級中任選兩名學(xué)生，他們是選修不同課程的學(xué)生的概率是_。2006(文)有一個小組中有8名女同學(xué)和4名男同學(xué)，從中任意地挑選2名同學(xué)擔(dān)任交通安全宣傳志愿者，那么選到的兩名都是女同學(xué)的概率是_。(理)兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本。將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌?，左?本恰好都屬于同一部小說的概率是_。(文)(理)2007(文、理)有數(shù)字1,2,3,4,5，若從中任取三個數(shù)字，剩下兩個數(shù)字為奇數(shù)的概率為_。2008(文) 在平面直角坐標系中，從五個點：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三個，這三點能構(gòu)成三角形的概率是_。(理)在平面直角

39、坐標系中，從六個點：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三個，這三點能構(gòu)成三角形的概率是_。(文) (理)2009(文)若某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出3人作為上海世博會的志愿者，則選出的志愿者中男女生均不少于1人的概率是_。(理)某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會志愿者，若用隨機變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望=_。(文)(理) 2010(文)從一副混合后的撲克牌(52張)中隨機抽取2張，則“抽出的2張均為紅桃”的概率為_。(理) 從一副混合后的撲克牌(52張)中隨機抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B

40、為“抽得為黑桃”，則概率。(文)(理) 2011(文、理)隨機抽取的9個同學(xué)中，至少2個同學(xué)在同一月出生的概率是_。(默認每月天數(shù)相同)2012(文) 三位同學(xué)參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽，若每人只選擇一個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是_(理)三位同學(xué)參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽，若每人都選擇其中兩個項目，則有且僅有兩位同學(xué)選擇的項目相同的概率是_(文) (理)2013(文)盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7的七個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是_。(理)盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九個球，從中任意取出兩個，則這兩個球

41、的編號之積為偶數(shù)的概率是_。(文) (理) 2009年與2010年排列組合都與統(tǒng)計題相結(jié)合，其余年份均與概率一起以填空題的形式考查。筆者發(fā)現(xiàn)這些題目中除06年的理科題是元素的分配，其余都是對元素的選取。除11年和12年之外，元素都是不可重復(fù)使用，且元素都是進行有序操作，除06年理科題和09年文科題外，題目限制條件都只有一個。即高考中的題目涵蓋了選取模型和分配模型，既考慮了元素的可重復(fù)性和分配的有序性，又考慮了題目的限制條件，只是高考題型有降低考察難度，只考查無重復(fù)有序選取模型且只有一個限制條件的趨勢。2.2.2 教材要求 在上海的高中數(shù)學(xué)必修教材中，排列組合的知識結(jié)構(gòu)框架如下：圖2-1 上海教

42、材排列組合知識結(jié)構(gòu)框架 該教材主要介紹了排列和組合的基本概念和計算公式以及兩個計數(shù)原理。在排列中側(cè)重以例題涵蓋不相鄰問題、相鄰問題和特殊元素優(yōu)先考慮等問題，之后的內(nèi)容側(cè)重在有一個限制條件的排列組合混合題上。 同屬亞洲國家的新加坡，由Panpac Education出版社于2007年出版的高中選修教材其排列組合部分的教材內(nèi)容比上?，F(xiàn)行教材內(nèi)容多，兩套教材該內(nèi)容的具體目錄見表2-4。表2-4 上海與新加坡排列組合部分的教材目錄比較上海教育出版社（2008）新加坡Panpac教育出版社（2007）16.1 計數(shù)原理I乘法原理1.1 加法和乘法計數(shù)原理16.2 排列1.2 一排內(nèi)的排列16.3 計數(shù)原

43、理II加法原理(A) 排列不同的對象16.4 組合(B) 排列相同的對象(C) 排列與限制1.3 組合1.4 環(huán)形排列注：上海為必修教材，新加坡為選修教材 由表中目錄可見，新加坡教材比上教版教材增加了環(huán)形排列，這在上海的課標中不作要求。在順序上，新加坡教材將兩個計數(shù)原理放在一起在開始時便作了介紹，而上教版教材將計數(shù)原理與排列組合穿插進行教學(xué)。除了排列和組合知識以及加法原理和乘法原理，新加坡教材對元素的異同作了更為細致的分類，分為排列不同的對象和排列相同的對象，教材中對不相鄰問題、相鄰問題以及分組問題也在例題旁特別標明，知識結(jié)構(gòu)更加清晰。 枚舉法是介于直接數(shù)數(shù)和使用排列組合計數(shù)的一種方法，在上教

44、版和新加坡兩種教材中，計數(shù)原理和排列組合數(shù)簡單應(yīng)用的問題都用樹狀圖枚舉出所有結(jié)果，這部分上教版教材在排列中有3道題，組合中有1道題完全使用樹狀圖，這些題都處在起始位置。新加坡只有在乘法原理的引入處用了樹狀圖解答了1道題，但是在原理引入時使用了一次列表法。在之后的較難的排列組合問題中，上教版教材的13道例題中有2題使用了圖示，其余用的都是排列數(shù)、組合數(shù)公式，沒有再使用具體的樹狀圖或者列表法。新加坡教材8道例題中有4道用了具體的圖示和表格，這樣做有利于初學(xué)者，強調(diào)了從具體到抽象的過程。相比之下，上教版教材入門階段的直觀化方法次數(shù)用得比新加坡多，但總體上說方法比較單一，而且在引出兩個計數(shù)原理和排列數(shù)

45、、組合數(shù)公式后，太快扔掉了具體的直觀形象。2.3 關(guān)于排列組合常見錯誤類型及其成因人的計數(shù)能力是在不斷發(fā)展的，兒童時期的計數(shù)是具體化的，從最初的數(shù)數(shù)到借助一定方法有步驟地計數(shù)，再到使用排列組合數(shù)計數(shù)。學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合通常從直觀的“枚舉法”開始，“枚舉”是分析解答數(shù)學(xué)題的一種方法，它是根據(jù)問題的要求，把不重復(fù)的、不遺漏的有限情況一一列舉出來，達到解答問題的目的。它適用于枚舉數(shù)量不大的計數(shù)問題，但枚舉過程要求有縝密的思維，否則容易遺漏或重復(fù)。 高中生學(xué)習(xí)了排列組合，計數(shù)能力會有更大提高，但是也會有很多主觀與客觀的因素影響他們答題的準確率。 Batanero等人（Batanero, Godino,&

46、 Navarro-Pelayo，1997）對9所不同中學(xué)24個班級共720名14-15歲的學(xué)生做了組合推理方面的測試，這些學(xué)生中有352名學(xué)過組合學(xué)，348名沒有學(xué)過，并對其中的17名學(xué)生作了診斷性訪談。研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的錯誤類型有：“對問題陳述的誤解(改變了問題陳述中的數(shù)學(xué)模型、簡單問題復(fù)雜化、動詞意思理解錯誤)”、“分不清排列還是組合”、“分不清元素是否可重復(fù)使用”、“混淆對象異同性”、“相同元素只當做一個元素”、“列舉無系統(tǒng)性”、“憑直覺的錯誤解答”、“公式錯誤”、“樹狀圖的錯誤解釋（用樹狀圖分析題目時與題目條件不一致）”、“組合數(shù)性質(zhì)錯誤”等。但是他們并沒有繼續(xù)就這些錯誤的成因作具體分析

47、，他們統(tǒng)計錯誤類型是為了確定影響排列組合問題難度的主要因素。 國內(nèi)對于學(xué)生在排列組合學(xué)習(xí)中的錯誤及其成因的研究有很多，但基本是期刊上的短文章，一般會按問題類型，介紹正確的求解方法，或者羅列學(xué)生的典型錯誤，很少通過測試訪談等進行實證研究的。 筆者認為比較重要的論文有胡海霞的影響高中生組合推理的因素和徐娟的高中排列組合的教學(xué)研究與實踐。 胡海霞（2006）基于Batanero的研究，對國內(nèi)高中生作了類似的測試。通過對867名學(xué)過和未學(xué)過排列組合知識的高中生的測試，她將學(xué)生排列組合常見錯誤類型歸結(jié)為“與兩個基本原理和概念有關(guān)的錯誤”、“文字或語義理解上的錯誤”、“重復(fù)和遺漏”、“關(guān)于公式和計算的錯誤

48、”、“錯誤的直觀解答（學(xué)生憑直覺直接作答）”等，但她也沒有做詳細的錯因剖析。 徐娟（2006）在2006年對蘭州市的326位高中生進行了測試，其中理科班159人，文科班167人。設(shè)計了十道問卷調(diào)查題和三道測試題，問卷與測試內(nèi)容囊括了學(xué)生學(xué)習(xí)目的、概念掌握、原理應(yīng)用等方面。其調(diào)查是在學(xué)生剛學(xué)完排列組合后兩周，開始總復(fù)習(xí)時進行的，花時15分鐘。調(diào)查得到的主要錯誤類型有：“對問題陳述的誤解”、“順序錯誤”、“重復(fù)錯誤”、“混淆對象類型(元素異同)”、“混淆單元類型(容器異同)”、“混淆題目類型”和“錯誤的直觀解答”等。 比較她們兩位對于錯誤類型的總結(jié)，她們都提到了“題意本身的理解錯誤”和“重復(fù)錯誤”

49、，這兩種也是相關(guān)的期刊論文常常提到的。筆者認為，“題意本身的理解錯誤”其實是對于很多錯誤的一種涵蓋，還需要進一步細化。對于重復(fù)錯誤，劉明遠（2009）的排列組合中重復(fù)性錯誤的六種表現(xiàn)、歐陽尚昭（2003）的排列組合中幾種常見的“重復(fù)性”錯誤、應(yīng)朝偉（1990）的排列組合計算中的重復(fù)錯誤淺析等都對其做了詳細的剖析，這是學(xué)生在思考排列組合題時思維很容易出現(xiàn)的一個差錯。 在徐娟的調(diào)查分析中，她對研究得出的錯誤類型做了一定的成因分析，筆者將其列表如下。表2-5 錯誤類型及其成因分析（徐娟，2006）錯誤類型錯誤原因理解錯誤、概念錯誤問題書面陳述的復(fù)雜性與順序、重復(fù)有關(guān)的錯誤組合運算類型的多樣性混淆單元

50、類型、題目類型組合與重復(fù)排列之間的相似性和差異性無法抽象出模型知識遷移的困難性 徐娟對于錯誤原因的解釋比較籠統(tǒng)，但是也點出了學(xué)生的錯誤有客觀原因，如問題書面陳述的復(fù)雜性，也有主觀原因，如知識遷移的困難性等。尤其是她提到的最后一點“學(xué)生不能很好地進行知識遷移、類比解題”（第18頁），再次說明排列組合學(xué)習(xí)的困難性，學(xué)生不能靠記憶、套公式的方法解決新的問題，要靠自己的閱讀理解和分析解答。 在對于學(xué)生產(chǎn)生問題的原因解釋中，研究客觀原因，即排列組合知識特點和問題本身特點的研究較多，而對于學(xué)生認知方面的原因，即思考過程研究較少，這與學(xué)生難以用書面形式表達清楚自己的思維也有關(guān)。2.4 關(guān)于排列組合教學(xué) 徐娟

51、（2006）在其論文中除了對學(xué)生的排列組合錯誤類型做出分析外，還專門針對教師的教學(xué)做了研究。她對蘭州市的60位高中教師做了調(diào)查問卷，問卷包含10道題，主要包括排列組合教學(xué)的現(xiàn)狀、教學(xué)中存在的問題、教師教學(xué)的目的以及排列組合教學(xué)的思考等方面。她的調(diào)查結(jié)果是“基本上所有的教師都認為排列組合知識是高中階段的難點，有近40%的教師認為教學(xué)的主要任務(wù)是迎接高考的選拔”。而在教師的教學(xué)實踐中，有以下幾個問題：（徐娟，2006，第19-20頁）(1) 兩個原理與概念的講解不透徹。教師在講解過程中往往認為兩個原理的理解很容易，交代清楚后便進行習(xí)題訓(xùn)練，把重點放在解題方法上。學(xué)生在利用原理時出現(xiàn)了不會分類或有重

52、復(fù)或遺漏的情況。在區(qū)分排列與組合問題時，學(xué)生也出現(xiàn)了問題。(2) 忽視了讀懂題目，導(dǎo)致學(xué)生在求解問題時，不了解要解決的問題是什么或要達到什么目的，不知如何下手做題。(3) 忽視了教學(xué)過程中前后知識聯(lián)系的重要性。有些排列組合問題，如果直接從排列組合的角度著手，很難找到解題方向，可考慮引進集合，找到解題的突破口。部分教師可能自身缺乏高水平運用知識的能力。(4) 教師對學(xué)生解決問題的實際操作過程了解和重視不夠，導(dǎo)致教師不知道學(xué)生是怎么想的。(5) 題目的相似性與差異性困擾了學(xué)生，學(xué)生不能辨別清楚。教師在教學(xué)中滲透思想方法教學(xué)的不多，知識零散，難以進一步遷移。(6) 教師教學(xué)研究不夠，很多教師認為排列

53、組合教學(xué)需要改革，但做過教學(xué)研究的教師很少。 這些問題的存在的確會影響教學(xué)效果，同時也影響著學(xué)生的思考方式，導(dǎo)致學(xué)生解題錯誤。 其他文章基本上都是憑教學(xué)經(jīng)驗總結(jié)得到的成果，采用實證方法研究教學(xué)的極少。筆者歸納教師對于排列組合教學(xué)的主要策略有（范泳南，1996；何家立，2009）：1、講清加法原理與乘法原理的聯(lián)系與區(qū)別 加法原理與乘法原理是解排列組合應(yīng)用題的基礎(chǔ)，掌握它們有利于學(xué)生從原理的角度去思考問題。要解決這一問題，關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生理解加法原理中的“分類”與乘法原理中的“分步”，尤其讓學(xué)生明白乘法原理中的每一步都是相互獨立的。此外，應(yīng)該把加法原理和乘法原理的教學(xué)貫穿于整個章節(jié)。2、指導(dǎo)學(xué)生正確

54、判斷排列與組合問題 能判斷一個問題是排列問題還是組合問題是解決排列組合復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。要引導(dǎo)學(xué)生通過具體的實例，用比較直觀的方法如框圖與樹狀圖對問題進行分析，相互對比，使學(xué)生切實把握排列與組合的概念以及他們的區(qū)別。3、指導(dǎo)學(xué)生正確選擇分析對象 對于一個具體的復(fù)雜問題，要先考慮題中哪些具體對象應(yīng)看成“元素”，哪些作為“容器”，選對正確的分析角度。4、重視解題模型的分析與訓(xùn)練 解決排列組合問題必須重視解法的分析和訓(xùn)練，提高學(xué)生的解題能力。主要通過一般與特殊相結(jié)合、分析與判斷相結(jié)合、將復(fù)雜問題簡單化等方面來訓(xùn)練學(xué)生的思維。5、重視教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的滲透 主要是分類思想、特殊化思想、轉(zhuǎn)化思想和對應(yīng)思想的

55、滲透，促使學(xué)生思想認識發(fā)生“飛躍”，達到不但“學(xué)會”，而且“會學(xué)”的效果。第三章 研究的設(shè)計和實施 筆者希望通過測試尋找學(xué)生的常見錯誤，通過對排列組合題型的歸類，尋找錯誤之間的關(guān)系以及產(chǎn)生錯誤的原因，為教師的教學(xué)帶來更多的理論指導(dǎo)。本章主要介紹本研究的研究對象、測試題的設(shè)計以及研究的實施與數(shù)據(jù)編碼。3.1 研究對象本研究的測試對象是高二學(xué)生，測試是在他們高二下的期末考試剛結(jié)束時進行的。學(xué)生該學(xué)期剛學(xué)了排列組合，經(jīng)過期末考前復(fù)習(xí)又對知識加深了理解。筆者選取了自己所在的一所普通私立高中（以下簡稱為普通中學(xué)）和另一所市重點公立高中（以下簡稱為重點中學(xué)）的學(xué)生作為測試對象。普通中學(xué)共4個班參與測試，人數(shù)為171人，重點中學(xué)有5個班參與測試，人數(shù)為174人。 為了更清楚地了解學(xué)生的解題過程，在分析完測試卷后，筆者就試卷中一些比較特殊的回答和筆者還不了解的想