大學(xué)計(jì)算方法與數(shù)值分析復(fù)習(xí)試題

1、2013計(jì)算方法復(fù)習(xí)務(wù)必通過本提綱例子和書上例子掌握如下書本內(nèi)容：1. 會(huì)平方根法求解方程組2. 會(huì)求Lagrange, Newton插值多項(xiàng)式和余項(xiàng)3. 會(huì)Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式，迭代矩陣及其譜半徑，收斂性。4. 會(huì)高斯-勒讓德公式求積分5. 會(huì)寫非線性方程根的Newton 迭代格式6. 會(huì)用改進(jìn)的歐拉公式求解初值問題7. 會(huì)求最佳平方逼近多項(xiàng)式8. 會(huì)計(jì)算求積公式的代數(shù)精度9. 會(huì)寫插值基函數(shù)10. 會(huì)三次樣條函數(shù)的概念11. 會(huì)計(jì)算差商12. 了解矩陣范數(shù)第一章、緒論(一)考核知識(shí)點(diǎn)誤差的來源類型；絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限，相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限，有效數(shù)字

2、；誤差的傳播。(二) 復(fù)習(xí)要求1.了解數(shù)值分析的研究對(duì)象與特點(diǎn)。2.了解誤差來源與分類,會(huì)求有效數(shù)字; 會(huì)簡單誤差估計(jì)。3.了解誤差的定性分析及避免誤差危害。例題例1. 設(shè)x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有2位有效數(shù)字。例2. 為了提高數(shù)值計(jì)算精度, 當(dāng)正數(shù)充分大時(shí), 應(yīng)將改寫為 。例3. 的相對(duì)誤差約是的相對(duì)誤差的1/3 倍.第二章、插值法(一)考核知識(shí)點(diǎn)插值多項(xiàng)式，插值基函數(shù)，拉格朗日插值多項(xiàng)式，差商及其性質(zhì)，牛頓插值多項(xiàng)式，差分與等距插值；分段線性插值；樣條函數(shù)，三次樣條插值函數(shù)；(二) 復(fù)習(xí)要求1.了解插值的概念。2.掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余項(xiàng)公

3、式。3.了解均差的概念及基本性質(zhì)，掌握牛頓插值法。4.了解差分的概念，會(huì)牛頓前插公式、后插公式。5.了解埃爾米特(Hermite)插值及其余項(xiàng)公式。6.知道高次插值的病態(tài)性質(zhì),會(huì)分段線性插值和分段埃爾米特插值及其誤差和收斂性。7.會(huì)三次樣條插值,知道其誤差和收斂性。例題例1. 設(shè)f(x)=x3+x2-3,則差商f3,32,33,34=1.例2.例2. 設(shè)l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3為互異節(jié)點(diǎn)的三次插值基函數(shù),則= 例3. 已知列表函數(shù) 1 2 3 4 0 5 6 3試求滿足上述插值條件的3次Newton插值多項(xiàng)式，并寫出插值余項(xiàng)。解： 牛頓插值公式是

4、首先構(gòu)造重節(jié)點(diǎn)的差商表：nxy一階二階三階01012-5-5 23-6-1 2 3439 5 1所以，要求的Newton插值為： 插值余項(xiàng)是：例4 已知函數(shù)y=f(x)的觀察數(shù)據(jù)為xk2045yk5131試構(gòu)造f(x)的拉格朗日多項(xiàng)式Pn (x)，并計(jì)算f(1)。解 先構(gòu)造基函數(shù) 所求三次多項(xiàng)式為P3(x)= P3(1)第三章、函數(shù)逼近與曲線擬合(一)考核知識(shí)點(diǎn)勒讓德多項(xiàng)式；切比雪夫多項(xiàng)式；最佳平方逼近; 曲線擬合；正交多項(xiàng)式曲線擬合;最小二乘法，法方程組，線性擬合、二次擬合、多項(xiàng)式擬合。(二) 復(fù)習(xí)要求1.了解函數(shù)逼近的基本概念,了解范數(shù)和內(nèi)積空間。2.了解正交多項(xiàng)式的概念,了解切比雪夫多項(xiàng)

5、式和勒讓德多項(xiàng)式以及它們的性質(zhì),知道其他常用正交多項(xiàng)式。3.理解最佳平方逼近的概念,掌握最佳平方逼近多項(xiàng)式的求法,了解用正交多項(xiàng)式做最佳平方逼近的方法。4.了解曲線擬合的最小二乘法并會(huì)計(jì)算,了解用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合。5.了解最小二乘三角逼近與快速傅里葉變換。例題1. 定義內(nèi)積，試在中尋求對(duì)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式.解 ， ， ，法方程為，解得，。所求的最佳平方逼近多項(xiàng)式為。2. 設(shè)，試在中求在區(qū)間 -1，1 上的最佳平方逼近元。解:設(shè)3. 給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試用三次多項(xiàng)式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù).解 ， 法方程 的解為， 得到三次多項(xiàng)式誤差平方和為

6、 第四章、數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)(一)考核知識(shí)點(diǎn)代數(shù)精度；插值型求積公式，牛頓柯特斯公式，復(fù)合求積公式，求積公式的誤差，步長的自動(dòng)選擇，龍貝格求積公式，高斯型求積公式。(二點(diǎn)、三點(diǎn))高斯勒讓德求積公式。(二) 復(fù)習(xí)要求1.了解數(shù)值求積的基本思想、代數(shù)精度的概念、插值型求積公式及其代數(shù)精度、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性。2.掌握牛頓-柯特斯公式及其性質(zhì)和余項(xiàng)。3. 掌握復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式及其余項(xiàng)。4.了解龍貝格(Romberg)求積算法，知道外推法。5.會(huì)高斯求積公式,了解高斯-勒讓德求積公式和高斯-切比雪夫求積公式。例題1. 試確定參數(shù)A,B,C及a,使數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度,并

7、問代數(shù)精度是多少?它是否是Gauss公式?解 令公式對(duì)f(x)=1,x,x2,x3,x4都精確成立,則有4=A+B+C, 0=Aa-Ca, 16/3=Aa2+Ca2, 0=Aa3-Ca364/5=Aa4+Ca4,解得:A=C=10/9,B=16/9,a=(12/5)1/2容易驗(yàn)證公式對(duì)f(x)=x5仍精確成立，故其代數(shù)精度為5，是Gauss公式。2. 求積公式具有3次代數(shù)精度.3. 用兩點(diǎn)高斯-勒讓德公式求積分解:4. 分別用拋物線公式和三點(diǎn)高斯公式計(jì)算積分，并比較它們的精度，準(zhǔn)確值為0.478267254解：設(shè)由拋物線（辛普森）公式由三點(diǎn)高斯公式而故與準(zhǔn)確值比較知：Simpson公式的計(jì)算結(jié)

8、果無有效數(shù)字；三點(diǎn)高斯公式有兩位有效數(shù)字。5.試?yán)煤瘮?shù)在節(jié)點(diǎn)，其中,h1/4，k0,1,2,3,4上的值,分別用復(fù)化Simpson公式和復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分,(保留小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)). 解：0 0 0.251 1/4 0.246152 1/2 0.235293 3/4 0.219184 1 0.2000 則 6. 用兩點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式求積分。 (10分)解：兩點(diǎn)Gauss-legrende求積公式為：所以7. 試確定參數(shù)A,B,C及a,使數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度,并問代數(shù)精度是多少?它是否是Gauss公式?解 令公式對(duì)(x)=1,x,x2,x3,x4都精確成立,

9、則有4=A+B+C, 0=Aa-Ca, 16/3=Aa2+Ca2, 0=Aa3-Ca364/5=Aa4+Ca4解得:A=C=10/9,B=16/9,a=(12/5)1/2容易驗(yàn)證公式對(duì)(x)=x5仍精確成立，故其代數(shù)精度為5，是Gauss公式。第五章、解線性方程組的直接方法(一)考核知識(shí)點(diǎn)高斯消去法，列主元消去法；矩陣三角分解法；平方根法；追趕法；(二) 復(fù)習(xí)要求1.了解矩陣基礎(chǔ)知識(shí)，了解向量和矩陣的幾種范數(shù)。2.掌握高斯消去法，掌握高斯列主元素消去法。4.掌握直接三角分解法，了解平方根法，會(huì)追趕法，了解有關(guān)結(jié)論。5.了解矩陣和方程組的性態(tài)，會(huì)求其條件數(shù)。例題1.設(shè)矩陣A=,當(dāng)a取_值時(shí),A可

10、以唯一分解為GGT,其中G為下三角矩陣。解：令得.2.分別用順序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脫爾分解)求解線性方程組2.解：1) Gauss消去法，回代 x3=3, x2=2, x1=12) 直接三角分解法(杜利脫爾分解)：=LU解Ly=b得y=(14,-10,-72)T解，Ux=y得x=(1,2,3)T例4.3.用追趕法求解三對(duì)角方程組解：4.平方根法求解對(duì)稱正定方程組 解: 其次解 Ly=b其次解 LTx=y第六章、解線性方程組的迭代法(一)考核知識(shí)點(diǎn)迭代法的基本概念，雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法，超松弛迭代法，共軛梯度法，迭代解數(shù)列收斂的條件。(二) 復(fù)習(xí)要求1.了解迭代法

11、及其收斂性的概念。2.掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。例題1.對(duì)于方程組分別寫出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的計(jì)算公式，并考察求解的收斂性。解：Jacobi迭代計(jì)算公式的分量形式為，雅可比迭代矩陣為=, =， ， Gauss-Seidel迭代計(jì)算公式的分量形式為，高斯-賽德爾迭代矩陣為=，2. 設(shè)線性方程組(1)寫出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式);(2)討論這兩種迭代法的收斂性.(3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法計(jì)算時(shí),預(yù)估誤差|x*-x(10)| (取三

12、位有效數(shù)字).解: (1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分別為 (2)因?yàn)锳是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,但不是正定矩陣,故Jacobi法收斂,SOR法當(dāng)01時(shí)收斂.(3)由(1)可見|B|=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,經(jīng)計(jì)算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是|x(1)-x(0)| =1/2,所以有3.討論的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收斂性其中，解：Jacobi迭代法的迭代矩陣則Jacobi迭代收斂Gauss-Seidel迭代矩陣Gauss-Seidel迭代發(fā)散4.已知方程組，其中，(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形

13、式；(2)討論上述兩種迭代法的收斂性。解：（1）Jacobi迭代法： Jacobi迭代矩陣： 收斂性不能確定 （2）Gauss-Seidel迭代法： Gauss-Seidel迭代矩陣： 該迭代法收斂 第七章、非線性方程求根(一)考核知識(shí)點(diǎn)對(duì)分法；不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂性；迭代收斂的加速方法；埃特金加速收斂方法；斯特芬森迭代法；牛頓法；弦截法與拋物線法。(二) 復(fù)習(xí)要求1.了解求根問題和二分法。2.了解不動(dòng)點(diǎn)迭代法，及不動(dòng)點(diǎn)存在性和迭代收斂性；了解收斂階的概念和有關(guān)結(jié)論。3.了解加速迭代收斂的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4.掌握牛頓法及其收斂性、了解簡化牛頓法和牛頓法，下山法, 了解重根情形。5.掌

14、握弦截法，了解拋物線法。例題1.對(duì)于方程在附近，（1）試建立收斂的簡單迭代格式；（2）用牛頓迭代法求其根，；（3）試寫出其弦截法公式。解：（1）令，將原方程改為 得迭代函數(shù)。因?yàn)椋缘袷綖椋?）牛頓迭代格式為 取， ， （3）取 2 選擇填空題：為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是( )(A) (B)(C) (D)迭代公式解：在(A)中,=1.076故迭代發(fā)散。應(yīng)選擇(A)。可以驗(yàn)證在(B)，(C)， (D)中，j(x)滿足，迭代收斂。3.用Newton法求方程在區(qū)間內(nèi)的根, 要求。解 此方程在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)

15、根，而且在區(qū)間（2，4）內(nèi)。設(shè)則 ， Newton法迭代公式為， 取，得。 第八章、矩陣特征值問題計(jì)算(一)考核知識(shí)點(diǎn)冪法及反冪法；正交變換與矩陣QR分解與舒爾分解；QR算法(二) 復(fù)習(xí)要求1.了解特征值和特征向量的概念和性質(zhì)。2.掌握乘冪法，了解其加速收斂技術(shù), 會(huì)反冪法。3.了解豪斯霍爾德方法。4.了解QR方法。例題1.用冪法求矩陣按模最大的特征值及相應(yīng)的特征向量，取，精確至7位有效數(shù)字。解：設(shè)，則，=v2=(99.997059,33.2991174)T2=max(v2)= 99.997059u2=(1,0.3330009675)Tv3=(99.9990029,33.29970087)T3

16、=max(v3)= 99.9990029u3= (1,0.333000329)Tv4=(99.99900098,33.29970029)T4=max(v3)= 99.99900098u4= (1,0.333000330)T因?yàn)?，所?第九章、微分方程數(shù)值解法(一)考核知識(shí)點(diǎn)歐拉法, 后退歐拉法；梯形公式; 改進(jìn)歐拉法；龍格庫塔法，局部截?cái)嗾`差。(二) 復(fù)習(xí)要求1.掌握歐拉法和改進(jìn)的歐拉法，知道其局部截?cái)嗾`差。2. 知道龍格庫塔法的基本思想。知道二階、三階龍格庫塔法。掌握四階龍格庫塔法，知道龍格庫塔法的局部截?cái)嗾`差。例題例1 用歐拉法解初值問題,取步長h=0.2。計(jì)算過程保留6位小數(shù)。解h=0.2, f(x)=yxy2。首先建立歐拉迭代格式 當(dāng)k=0，x