(完整)小學(xué)奧數(shù)之方陣問題—例題習(xí)題及含答案,推薦文檔

1、- 6 -知識(shí)導(dǎo)航方陣問題學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個(gè)正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。核心公式：一、實(shí)心方陣1. 方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問題的核心）=每邊數(shù)每邊數(shù)2. 方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)4）13. 方陣外一層每邊人數(shù)比內(nèi)一層每邊人數(shù)多 24. 去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)21 5、每層數(shù)=（每邊數(shù)-1）4二、空心方陣1、外邊人數(shù)=總?cè)藬?shù)4層數(shù)+層數(shù)2、總數(shù)=最外層人數(shù) 2 - 最內(nèi)層人數(shù) 2=（最外層每邊數(shù)-層數(shù)）層數(shù)4=（最外層數(shù)+最內(nèi)層數(shù)）層數(shù)2 3、內(nèi)層數(shù)=外層數(shù)-8

2、4、每層數(shù)=（每邊數(shù)-1）45、實(shí)心方陣的總?cè)藬?shù)是一個(gè)完全平方數(shù)，空心方陣的總?cè)藬?shù)是 4 的倍數(shù)。例 1 四年級(jí)同學(xué)參加廣播操比賽，要排列成每行 8 人，共 8 行方陣。排列這個(gè)方陣共需要多少名同學(xué)？解題分析 這是一道實(shí)心方陣問題，求這個(gè)方陣?yán)镉卸嗌倜瑢W(xué)，就是求實(shí)心方陣中布點(diǎn)的總數(shù)。排列成每行 8 人點(diǎn)，共 8 行，就是有 8 個(gè) 8 點(diǎn)。求方陣?yán)镉卸嗌倜瑢W(xué)，就是求 8 個(gè)8 人是多少人？解：88=64（人）答：排列這個(gè)方陣，共需要 64 名同學(xué)。例 2 有一堆棋子，剛好可以排成每邊 6 只的正方形。問棋子的總數(shù)是多少？最外層有多少只棋子？解題分析 依題意可以知道：每邊 6 只棋子的正方形

3、，就是棋子每 6 只 1 排，一共有 6 排的實(shí)心方陣。根據(jù)方陣問題應(yīng)用題的解題規(guī)律，求實(shí)心方陣總數(shù)的數(shù)量關(guān)系，總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)每邊人數(shù)，從而可以求出棋子的總數(shù)是多少只。而最外層棋子數(shù)則等于每邊棋子數(shù)減去1 乘以行數(shù) 4，即（6-1）4 只。解：（1）棋子的總數(shù)是多少？66=36（只）（2）最外層有多少只棋子？（6-1）4=20（只）答：棋子的總數(shù)是 36 只，最外層有 20 只棋子。例 3.三年級(jí)一班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式,排成一個(gè)方陣,最外層一周的人數(shù)為 20 人,問方陣最外層每邊的人數(shù)是多少?這個(gè)方陣共有多少人?分析:根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可知:每邊人數(shù)=四周人數(shù)4+1,可以求出這個(gè)方陣

4、最外層每邊的人數(shù),那么這個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。解:(1)方陣最外層每邊的人數(shù):204+1=5+1=6(人) (2)整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù):66=36(人)答:方陣最外層每邊的人數(shù)是 6 人,這個(gè)方陣共有 36 人。例 4:學(xué)校學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是 60 人，問這個(gè)方陣共有學(xué)生多少人?解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。方陣最外層每邊人數(shù)：604+1=16（人） 整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：1616=256（人）?！眷柟?1 】某校五年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣，

5、最外一層的人數(shù)為60人.問方陣外層每邊有多少人？ 這個(gè)方陣共有五年級(jí)學(xué)生多少人？解析：根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。解：方陣最外層每邊人數(shù)：6041=16（人） 整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：1616=256（人）答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人?！眷柟?2 】晶晶用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個(gè).晶晶擺這個(gè)方陣共用圍棋子多少個(gè)？解析： 方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè).知道最外面一層每邊放14個(gè)，就可以求第二層及第三層每邊個(gè)數(shù).知道各層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出各

6、層總數(shù)。解法1：最外邊一層棋子個(gè)數(shù)：（14-1）4=52（個(gè)） 第二層棋子個(gè)數(shù)：（14-2-1）4=44（個(gè)）第三層棋子個(gè)數(shù)：（14-22-1）4=36（個(gè)）.擺這個(gè)方陣共用棋子：52+4436132（個(gè)）解法2：還可以這樣想：中空方陣總個(gè)數(shù)=（每邊個(gè)數(shù)一層數(shù)）層數(shù)4進(jìn)行計(jì)算。（14-3）34=132（個(gè)）答：擺這個(gè)方陣共需132個(gè)圍棋子?！眷柟?3】一個(gè)正方形的隊(duì)列橫豎各減少一排共 27 人，求這個(gè)正方形隊(duì)列原來有多少人？解析：依據(jù)：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)21 可知每邊的人數(shù)是：(27 +1) 2 = 14 （人）原人數(shù)是： 14 14 = 196 （人）【鞏固 4】小紅用棋子

7、擺成一個(gè)正方形實(shí)心方陣用棋子 100 枚，最外邊的一層共多少枚棋子？解析：這要用到方陣的公式逆運(yùn)算，100 必然是一個(gè)數(shù)的平方數(shù)因?yàn)?0 10 = 100 （人），并且是實(shí)心的方陣，所以最外層有 10 人。例 5 一堆棋子排成一個(gè)實(shí)心方陣，共有 8 行 8 列，如果去掉一行一列，要去掉多少只棋子？還剩下多少只棋子？解題分析排成方陣的棋子，無論排在任何地方，都既是其中一排的棋子，也是其中一行的棋子，所以，無論去掉哪一行和哪一列，總會(huì)有一只棋子被重復(fù)去掉 1 次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少只棋子，就是要求出比原來方陣中 2 行的棋子數(shù)少 1 只。另外，要求出剩下多少只棋子，就要先求出棋子的總

8、數(shù)，然后減去去掉的棋子數(shù)，就是剩下的棋子數(shù)。解：（1）去掉多少只棋子？82-1=15（只）（2）還剩多少只棋子？88-15=49（只）答：要去掉 15 只棋子，還剩下 49 只棋子。例 6 育英小學(xué)四年級(jí)的同學(xué)排成一個(gè)實(shí)心方陣隊(duì)列，還剩下 5 人，如果橫豎各增加一排，排成一個(gè)稍大的實(shí)心方陣，則缺少 26 人。育英小學(xué)四年級(jí)有多少人？解題分析 排成一個(gè)實(shí)心方陣隊(duì)列，還剩下 5 人，說明是多出 5 人，如果橫豎各增加一排后，缺少 26 人，說明橫豎各增加一排所需要的人數(shù)是 5 人與 26 人的和，那么（5+26）人相當(dāng)原來方陣中兩排的人數(shù)多 1 人，從（5+26）人中減去角上的 1 人，再除以 2

9、，就可求出原來方陣中一排的人數(shù)。因此，可求出原來方陣中的人數(shù)，然后加上剩下的 5 人，就可求出四年級(jí)的總?cè)藬?shù)是多少人。解：（1）原來方陣中每排有多少人？（5+26-1）2=15（人）（2）四年級(jí)共有多少人？1515+5=230（人）答：育英小學(xué)四年級(jí)有 230 人。例 7：參加中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一個(gè)正方形隊(duì)列。如果要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少 33 人。問參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員有多少人？解析：如下圖表示的是一個(gè)五行五列的正方形隊(duì)列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是 5，去一行、一列則一共要去 9 人，因而我們可以得到如下公式：去掉一行、

10、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)21解 ：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。原題中去掉一行、一列的人數(shù)是 33，則去掉的一行（或一列）人數(shù) (33 +1) 2 = 17 人方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總?cè)藬?shù)為17 17 = 289 （人）【鞏固】 參加軍訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，他們排成了一個(gè)七行七列的正方形隊(duì)列，如果去掉一行一列，請(qǐng)問：要去掉多少名學(xué)生？還剩下多少名學(xué)生？解析：如上圖表示的是一個(gè) 4 行 4 列的實(shí)心正方形隊(duì)列，從圖中可以看出正方形隊(duì)列的特點(diǎn)：（1） 正方形隊(duì)列每行、每列的人數(shù)相等，因此總?cè)藬?shù)每行人數(shù)每列人數(shù)。（2） 去掉橫豎各一排時(shí)，有且只有 1 人是同時(shí)屬于被減去的一行

11、和一列的，如圖中點(diǎn) a所示。因此去掉的總?cè)藬?shù)原每行人數(shù)21，或去掉的總?cè)藬?shù)減少后每行人數(shù)21。本題中所求，即去掉的人數(shù)72113（人）或去掉的人數(shù)（71）2113（人） 還剩的人數(shù)（71）（71）36（人） 或還剩的人數(shù)7713491336（人）答：如果去掉一行一列，要去掉 13 名學(xué)生，還剩下 36 名學(xué)生。例 8 同學(xué)們排成一個(gè)三層的空心方陣。已知最內(nèi)層每邊有 6 人，這個(gè)方陣共有多少人？解題分析 要求出這個(gè)方陣有多少人，就要先示出這個(gè)方陣最外層每邊多少。已知最內(nèi)層每邊有 6 人，又知道這個(gè)空心方陣有 3 層，根據(jù)方陣問題應(yīng)用題特點(diǎn)，可以求出這個(gè)方陣最外層每邊有 6+（3-1）2 人，即

12、10 人。又根據(jù)方陣問題應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系：空心陣總?cè)藬?shù)=（外邊人數(shù)-層數(shù)）層數(shù)4，即可求出這個(gè)方陣共有多少人。解：6+（3-1）2-334=84（人）答：這個(gè)方陣共有 84 人。例 9.明明用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣,如果最外層每邊有圍棋子 15 個(gè),明明擺這個(gè)方陣最里層一周共有多少棋子?擺這個(gè)三層空心方陣共用了多少個(gè)棋子?分析:(1)方陣每向里面一層,每邊的個(gè)數(shù)就減少 2 個(gè),知道最外面一層,每邊放 15 個(gè),可以求出最里層每邊的個(gè)數(shù),就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。(2)根據(jù)最外層每邊放棋子的個(gè)數(shù)減去這個(gè)空心方陣的層數(shù),再乘以層數(shù),再乘以 4,計(jì)算出這個(gè)空心方陣共用棋子多少個(gè)。解:(1)

13、最里層一周棋子的個(gè)數(shù)是:(15-2-2-1)4=40(個(gè)) (2)這個(gè)空心方陣共用的棋子數(shù)是:(15-3)34=144(個(gè))答:這個(gè)方陣最里層一周有 40 個(gè)棋子;擺這個(gè)空心方陣共用 144 個(gè)棋子。例 10：解放軍戰(zhàn)士排成一個(gè)每邊 12 人的中空方陣，共四層，求總?cè)藬?shù)？解法 1：這樣想：把中空方陣的總?cè)藬?shù)，看作中實(shí)方陣總?cè)藬?shù)減去空心方陣人數(shù)。（1）中實(shí)方陣總?cè)藬?shù)：1212=144（人）（2）第四層每邊人數(shù)：12-2（4-1）=6（人）（3）空心方陣人數(shù)：（6-2）（6-2）=16（人）（4）中空方陣人數(shù)：144-16=128（人） 答：總?cè)藬?shù)是 128 人。小結(jié)：中空方陣總?cè)藬?shù)=外邊人數(shù)外邊

14、人數(shù)-（內(nèi)邊人數(shù)-2）（內(nèi)邊人數(shù)-2）解法 2：這樣想：把中空方陣分成四個(gè)相等的長(zhǎng)方形。（1） 每個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=外邊人數(shù)-層數(shù) 12-4=8（人）（2） 每個(gè)長(zhǎng)方形的寬是層數(shù)：4 人（3）總?cè)藬?shù)：844=128（人） 答：總?cè)藬?shù)是 128 人。小結(jié)：中空方陣總?cè)藬?shù)=（每邊人數(shù)-層數(shù)）層數(shù)4【鞏固】學(xué)校開展聯(lián)歡會(huì)，要在正方形操場(chǎng)四周插彩旗。四個(gè)角上都插一面，每邊插 7 面。一共要準(zhǔn)備多少面旗子？解析：依據(jù)求外層個(gè)數(shù)的公式：（邊數(shù)-1）4(7 -1) 4 = 24 （面）例11：一個(gè)街心花園如右圖所示.它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成.已知從每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有9棵花.問大

15、三角形邊上栽有多少棵花？整個(gè)花園中共栽多少棵花？解析： 從已知條件中可以知道大三角形的邊長(zhǎng)是小三角形邊長(zhǎng)的2倍.又知道每個(gè)小三角形的邊上均勻栽9株，則大三角形邊上栽的棵數(shù)為： 9 2 -1 = 17 （棵）。又知道這個(gè)大三角形三個(gè)頂點(diǎn)上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角形三條邊上共栽花： (17 -1) 3 = 48 （棵）。.再看圖中畫斜線的小三角形三個(gè)頂點(diǎn)正好在大三角形的邊上.再計(jì)算大三角形栽花棵數(shù)時(shí)已經(jīng)計(jì)算過一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為：9 - 2 = 7 （棵）解：大三角形三條邊上共栽花： (9 2 -1 -1) 3 = 48 （棵） 中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：

16、(9 - 2) 3 = 21（棵） 整個(gè)花壇共栽花： 48 + 21 = 69 （棵）答：大三角形邊上共栽花48棵，整個(gè)花壇共栽花69棵。例 12.玲玲家的花園中,有一個(gè)如下圖那樣,由四個(gè)大小相同的小等邊三角形組成的一個(gè)大三角形花壇,玲玲在這個(gè)花壇上種了若干棵雞冠花,已知每個(gè)小三角形每邊上種雞冠花 5 棵,問大三角形的一周有雞冠花多少棵?玲玲一共種雞冠花多少棵?分析:(1)由圖可知大三角形的一條邊是由兩條小三角形的邊組成的,而在大三角形一條邊的中間那棵花,是兩條小三角形的邊所共用的,所以如果小三角形每邊種花 5 棵,那么大三角形每邊上種花的棵數(shù)就是 52-1=9 棵了,又由于大三角形三個(gè)頂點(diǎn)上

17、的 3 棵花,都是大三角形的兩條邊所共用的,所以大三角形一周種花的棵數(shù)等于大三角形三邊上種花棵數(shù)的和減去三個(gè)頂點(diǎn)上重復(fù)計(jì)算的 3 棵花,即:93-3=24,就是大三角形一周種花的棵數(shù)。(2) 三角形各條邊上種雞冠花棵數(shù)的總和,等于里邊小三角形一周上種花的棵數(shù),加上大三角形一周種花的棵數(shù),再減去重復(fù)計(jì)算的 3 棵花(因?yàn)槔镞呅∪切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)上的三棵花,也分別是外邊大三角形每條邊上的一棵花)。解:(1)大三角形一周上種花的棵數(shù)是:(52-1)3-3=24(棵) (2)小三角形一周種雞冠花的棵數(shù)是:(5-1)3=12(棵)(3) 玲玲一共種雞冠花的棵數(shù)是:24+12-3=33(棵)答:大三角形一周

18、種雞冠花 24 棵;玲玲一共種雞冠花 33 棵。例 13.有楊樹和柳樹以隔株相間的種法,種成 7 行 7 列的方陣,問這個(gè)方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵?方陣中共有楊樹,柳樹各多少棵?分析:根據(jù)已知條件柳樹和楊樹的種法有如下兩種,假設(shè)黑點(diǎn)表示楊樹,白點(diǎn)表示柳樹觀察圖(1)(2)不管是柳樹種在方陣最外層的角上還是楊樹種在方陣最外層的角上,方陣中除最里邊一層外其它層楊樹和柳樹都是相同的。因而楊樹和柳樹的棵數(shù)相等,即最外層楊,柳樹分別為(7-1)42=12(棵)。當(dāng)柳樹種在方陣最外層的角上時(shí),最內(nèi)層的一棵是柳樹;當(dāng)楊樹種在方陣最外層的角上時(shí), 最內(nèi)層的一棵是楊樹,即在方陣中,楊樹和柳樹總數(shù)相差 1

19、 棵。解:(1)最外層楊柳樹的棵數(shù)分別為:(7-1)42=12(棵) (2)當(dāng)楊樹種在最外層角上時(shí),楊樹比柳樹多 1 棵:楊樹:(77+1)2=25(棵) 柳樹:77-25=24(棵)(3)當(dāng)柳樹種在最外層角上時(shí),柳樹比楊樹多 1 樹柳樹(77+1)2=25(棵)楊樹 77-25=24(棵)答:在圖(1)(2)兩種方法中,方陣最外層都有楊樹 12 棵,柳樹 12 棵,方陣中總共有楊樹 25棵,柳樹 12 棵,方陣中總共有楊樹 25 棵,柳樹 24 棵,或者有楊樹 24 棵,柳樹 25 棵。例14. 小紅把平時(shí)節(jié)省下來的全部五分硬幣先圍成一個(gè)正三角形，正好用完，后來又改圍成一個(gè)正方形，也正好用完

20、。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價(jià)值是多少？- 7 -解一設(shè)正方形每邊x枚硬幣，三角形每邊y枚硬幣，一共有n枚硬幣，根據(jù)公式可得方程組：n=4x4n=3y-3n=60y- x=5，因?yàn)槊棵队矌?分，所以總價(jià)值3元。注釋 這里圍成的三角形和正方形都指的是空心的。解二根據(jù)數(shù)字特性法：硬幣能圍成正三角形硬幣的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)硬幣的價(jià)值可以三等分根據(jù)選項(xiàng)選擇c。例15.要在一塊邊長(zhǎng)為48米的正方形地里種樹苗，已知每橫行相距3米，每豎列相距6米，四角各種一棵樹，問一共可種多少棵樹苗?（）解析根據(jù)公式：棵數(shù)=總長(zhǎng)間隔+1。邊長(zhǎng)為48米，每橫行相距3米，共有483+1=

21、17行； 邊長(zhǎng)為48米，每橫行相距6米，共有486+1=9列；可得：179=153（棵），一共可種樹苗153棵?！眷柟獭客瑢W(xué)們做早操，排成一個(gè)正方形的方陣，從前、后、左、右數(shù)，小明都是第5個(gè)，這個(gè)方陣共有多少人？解析：如圖，實(shí)心圓表示小明的位置，可以知道，這個(gè)隊(duì)列每行都是9人。解：每行每列數(shù)： 5 2 -1 = 9 （人） 共有： 9 9 = 81 （人）練 一 練1. 某校少先隊(duì)員可以排成一個(gè)四層空心方陣如果最外層每邊有 20 個(gè)學(xué)生,問這個(gè)空心方陣最里邊一周有多少個(gè)學(xué)生?這個(gè)四層空心方陣共有多少個(gè)學(xué)生?2. 六一兒童節(jié)前夕,在校園雕塑的周圍,用 204 盆鮮花圍成了一個(gè)每邊三層的方陣求最外

22、面一層每邊有鮮花多少盆?- 8 -3. 三年級(jí)(1)班的學(xué)生參加體操表演,排成隊(duì)形正好是由每 7 個(gè)人為一邊的 6 個(gè)三角形組成的一個(gè)正六邊形,求正六邊形一周共有多少名學(xué)生?三(1)班參加體操表演的共有多少人?4. 現(xiàn)有松樹和柏樹以隔株相間的種法,種成 9 行 9 列的方陣,問這個(gè)方陣最外層有松樹和柏樹各多少棵?方陣中共有松樹柏樹各多少棵?練 一 練 答 案(1)(20-23-1)4=42(個(gè)) (20-4044=256(個(gè))(2)最外層每邊人數(shù)=總數(shù)4層數(shù)+層數(shù)20443+3=20(盆)(3)76-6=36(人)712-62-5=67(人)(4)最外層松柏各是:(9-1)42=16(棵)共有

23、松柏樹是:(99+1)2=41(棵)81-41=40(棵)答:柏樹41棵,松樹40棵,或松樹41棵,柏樹40棵。例 16：小明用圍棋子擺了一個(gè)五層中空方陣，一共用了 200 枚棋子，請(qǐng)問：最外邊一層每邊有多少枚棋子？解析 1：利用“相鄰兩層之間，每層的總數(shù)相差 8”的特點(diǎn)，可知最外層共有棋子數(shù)：（200+8+82+83+84）556（個(gè)）最外層每邊的棋子數(shù)：564+115（個(gè)）解析 2：如練習(xí)中的圖，把棋子分成相等的四部分。每一部分的棋子數(shù)：200450（個(gè)）每一部分每排的棋子數(shù)：50510（個(gè)） 最外層每邊的棋子數(shù)：10515（個(gè)） 綜合列式為：20045515（個(gè)）答：最外邊一層每邊有 1

24、5 枚棋子?！眷柟獭坑涡嘘?duì)伍中，手持鮮花的少先隊(duì)員在一輛彩車的四周圍成每邊三層的方陣，最外邊一層每邊 12 人，請(qǐng)問：彩車周圍的少先隊(duì)員共有多少人？解析 1：請(qǐng)同學(xué)們自己畫一個(gè)圖，下圖是一個(gè)三層中空方陣的示意圖，不難發(fā)現(xiàn)，有如下特點(diǎn)：- 9 -（1） 外層每邊點(diǎn)的個(gè)數(shù)都比相鄰內(nèi)層的每邊點(diǎn)的個(gè)數(shù)多 2；（2） 每相鄰兩層之間，點(diǎn)的總數(shù)相差 8 個(gè)。最外層隊(duì)員的總數(shù)：12 4 - 4 = 44 （人） 三層共有隊(duì)員的總數(shù)： 44 + (44 - 8) + (44 - 8 2) = 44 + 36 + 28 =108 （人）解析 2：如下圖可分成相等的四部分，每一部分的人數(shù)：（123）39327（人

25、）三層共有隊(duì)員數(shù)：274108（人） 答：彩車周圍的少先隊(duì)員共有 108 人。這個(gè)問題還有別的解法，請(qǐng)同學(xué)們自己試著做一下。例 17.有一列士兵排成若干層的中空方陣，外層共有 68 人，中間一層共有 44 人，則該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是（）。a. 296 人 b. 308 人 c. 324 人 d. 348 人答案b解一最外層 68 人，中間一層 44 人，則最內(nèi)層為 4426820 人（成等差數(shù)列）。因此一共有：68-20817（層），總?cè)藬?shù)為 447308。解二中間一層共 44 人，總?cè)藬?shù)是44層數(shù)，是 44 的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)直接鎖定 b。例 18. 有一隊(duì)學(xué)生，排成一個(gè)中空方陣，最外層的人數(shù)

26、共 48 人，最內(nèi)層人數(shù)為 24 人，則該方陣共有多少人。a. 120 b. 144 c. 176 d. 194答案b解一設(shè)最外層每邊 x 人，最內(nèi)層每邊 y 人，根據(jù)公式：4x-4=484y-4=24 x=13- 23 -y=7因此外層每邊 13 人，內(nèi)部空心部分每邊 7-25 人，根據(jù)“逆向法思維”：共有 132-52=144人。解二總?cè)藬?shù)（48+24）層數(shù)236層數(shù)，是 36 的倍數(shù)，直接鎖定 b。解三根據(jù)公式：相鄰兩圈相差 8，因此很容易得到這幾圈分別為 48、40、32、24，直接加起來即可。例 19. 軍訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個(gè) 7 行 7 列的正方形隊(duì)列，如果去掉一行一列

27、，要去掉多少人？還剩下多少人？分析與解：如下圖：方法一：去掉的一行一列的人數(shù)為：（人） 剩下的人數(shù)為： （人）方法二：去掉后剩下的是 6 行 6 列的正方形隊(duì)列，即（人） 去掉的人數(shù)為： （人）例 20. 光明小學(xué)四年級(jí)原準(zhǔn)備排成一個(gè)正方形隊(duì)列參加廣播操表演，由于服裝不夠，只好橫豎各減少一排，這樣共需去掉 27 人，問四年級(jí)原來準(zhǔn)備多少人參加表演？分析與解：此題剛好是例 1 的逆向題，根據(jù)正方形隊(duì)列的特點(diǎn)可知： 原每行人數(shù)=（去掉一行一列的人數(shù)+1）2即：原來每行人數(shù)是 （人）原來準(zhǔn)備參加表演的人數(shù)： （人）答：四年級(jí)原準(zhǔn)備 196 人參加表演。例 21. 參加中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排

28、成了一個(gè)正方形隊(duì)列。如果要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少 33 人。問參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員有多少人?分析 如下圖表示的是一個(gè)五行五列的正方形隊(duì)列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等;最外層每邊人數(shù)是 5，去一行、一列則一共要去 9 人，因而我們可以得到如下公式：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)2-1 解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。原題中去掉一行、一列的人數(shù)是 33，則去掉的一行(或一列)人數(shù)=(33+1)2=17方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總?cè)藬?shù)為 1717=289(人)例 22. 軍訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個(gè) 7 行 7 列的正方形隊(duì)列，如

29、果去掉一行一列，要去掉多少人？還剩下多少人？分析與解：如下圖：方法一：去掉的一行一列的人數(shù)為：（人） 剩下的人數(shù)為： （人）方法二：去掉后剩下的是 6 行 6 列的正方形隊(duì)列，即（人） 去掉的人數(shù)為： （人）例 23. 光明小學(xué)四年級(jí)原準(zhǔn)備排成一個(gè)正方形隊(duì)列參加廣播操表演，由于服裝不夠，只好橫豎各減少一排，這樣共需去掉 27 人，問四年級(jí)原來準(zhǔn)備多少人參加表演？分析與解：此題剛好是例 1 的逆向題，根據(jù)正方形隊(duì)列的特點(diǎn)可知：原每行人數(shù)=（去掉一行一列的人數(shù)+1）2即：原來每行人數(shù)是 （人） 原來準(zhǔn)備參加表演的人數(shù)： （人）答：四年級(jí)原準(zhǔn)備 196 人參加表演。例 24. 正方形舞廳四周均勻地裝

30、彩燈，如果四個(gè)角都裝一盞，且每邊 12 盞，那么這個(gè)舞廳四周共裝彩燈多少盞？分析與解：如下圖：方法一：從圖（1）可以看出，角上的四盞燈各屬于兩行，所以彩燈總數(shù)應(yīng)為： （盞）方法二：按圖（2）把彩燈分成相等的四部分，因此彩燈總數(shù)為： （盞）答：這個(gè)舞廳四周共裝彩燈 44 盞。例 25. 游行隊(duì)伍中，手持鮮花的少先隊(duì)員在一輛彩車的四周圍成每邊三層的方陣。最外層每邊12 人，問彩車周圍的少先隊(duì)員共有多少人？分析與解：方法一：這是一個(gè)只有 3 層的中空方陣，最外層每邊有 12 人，最外層一共有（人），第二層每邊少 2 人，即第二層每邊 10 人，第二層共有（人），比第一層總數(shù)少 8 人，同理，第三層總

31、數(shù)是 （人）三層共有隊(duì)員的總數(shù)： （人）方法二：如下圖，可把隊(duì)員分成人數(shù)相等的四部分，每一部分的人數(shù)： （人）三層共有隊(duì)員數(shù)： （人）方法三：從 12 行 12 列的中實(shí)方陣中減去中間的空心方陣，就是隊(duì)員人數(shù)： （人）例 26. 小明用圍棋子擺了一個(gè)五層的空心方陣，共用了 200 個(gè)棋子，問最外邊一層每邊有多少個(gè)棋子？分析與解：方法一：利用相鄰兩層之間，每層的總數(shù)相差 8 的特點(diǎn)?？芍钔鈱庸灿衅遄訑?shù)： （個(gè)）最外層每邊的棋子數(shù)： （個(gè)）方法二：如下圖，把棋子分成相等的四部分，每一部分的棋子數(shù)為：（個(gè)），每一部分每排的棋子數(shù)為： （個(gè)）最外層每邊的棋子數(shù)為： （個(gè)）列綜合算式： （個(gè)）答：最外

32、層每邊有棋子 15 個(gè)。練習(xí)題：1. 運(yùn)動(dòng)員入場(chǎng)式要求排成一個(gè) 9 行 9 列的正方形方陣，如果去掉 2 行 2 列，要減少多少運(yùn)動(dòng)員？2. 學(xué)校為慶?！笆弧?，用盆花擺了一個(gè)中實(shí)方陣，最外一層有 36 盆花。求這個(gè)方陣共有花多少盆？3. 一個(gè)由圓片擺成的中實(shí)方陣，最外一層有 12 個(gè)圓片，把 4 個(gè)這樣的中實(shí)方陣拼成一個(gè)大的中實(shí)方陣，那么最外層應(yīng)該有多少個(gè)圓片？4. 有一個(gè)用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有 16 個(gè)圓片，如果把內(nèi)層的圓片取出來， 在外層再擺一層，變成一個(gè)新的中空方陣，應(yīng)再增加多少圓片？5. 解放軍進(jìn)行排隊(duì)表演，組成一個(gè)外層有 48 人，內(nèi)層有 16 人的多層中空方陣，這個(gè)

33、方陣有幾層？一共有多少人？【練習(xí)題答案】1. 運(yùn)動(dòng)員入場(chǎng)式要求排成一個(gè) 9 行 9 列的正方形方陣，如果去掉 2 行 2 列，要減少多少運(yùn)動(dòng)員？（人）（人）（人）答：要減少 32 名運(yùn)動(dòng)員。2. 學(xué)校為慶祝“十一”，用盆花擺了一個(gè)中實(shí)方陣，最外一層有 36 盆花。求這個(gè)方陣共有花多少盆？（盆）（盆）答：這個(gè)方陣共有花 100 盆。3. 一個(gè)由圓片擺成的中實(shí)方陣，最外一層有 12 個(gè)圓片，把 4 個(gè)這樣的中實(shí)方陣拼成一個(gè)大的中實(shí)方陣，那么最外層應(yīng)該有多少個(gè)圓片？（個(gè)）答：最外層應(yīng)該有 28 個(gè)圓片。4. 有一個(gè)用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有 16 個(gè)圓片，如果把內(nèi)層的圓片取出來， 在外層再

34、擺一層，變成一個(gè)新的中空方陣，應(yīng)再增加多少圓片？（個(gè)）（個(gè)）（個(gè)）答：應(yīng)再增加 16 個(gè)圓片。5. 解放軍進(jìn)行排隊(duì)表演，組成一個(gè)外層有 48 人，內(nèi)層有 16 人的多層中空方陣，這個(gè)方陣有幾層？一共有多少人？（層）（人）答：這個(gè)方陣有 5 層，一共有 160 人。例 27 某小學(xué)四年級(jí)的同學(xué)排成一個(gè)四層空心方陣還多 15 人，如果在方陣的空心部分再增加一層又少 21 人。這個(gè)小學(xué)四年級(jí)的學(xué)生一共有多少人？解題分析 排成四層空心方陣多 15 人，在方陣的空心部分增加一層 21 人，說明增加這一層的人數(shù)就是從外向內(nèi)第五層的人數(shù)是（15+21）人，根據(jù)每相鄰兩層的人數(shù)相差 8 人，可分別求出每層人數(shù)

35、，然后霜加，再加上多的 15 人，就可求出四年級(jí)的總?cè)藬?shù)。解：（1）從外向內(nèi)第五層有多少人？15+21=36（人）（2） 從外向內(nèi)第四層有多少人？36+8=44（人）（3） 從外向內(nèi)第三層有多少人？44+8=52（人）（4） 從外向內(nèi)第二層有多少人？52+8=60（人）（5） 最外層有多少人？60+8=68（人）（6） 四年級(jí)一共有多少人？44+52+60+68+15=239（人）答：四年級(jí)的學(xué)生一共有 239 人。例 28 一些解放軍戰(zhàn)士組成一個(gè)長(zhǎng)方陣，經(jīng)一次隊(duì)列變換后，增加了 6 行，減少了 10 列，恰組成一個(gè)方陣，一個(gè)人也不多，一個(gè)人也不少。則原長(zhǎng)方形陣共有（）人。解析設(shè)該正方形陣每邊

36、 x 人，則原長(zhǎng)方形陣為（x-6）行，（x+10）列。x2=（x-6）（x+10）x=15，因此共有 152=225 人，選擇 b。例 29. 有若干人，排成一個(gè)空心的四層方陣?，F(xiàn)在調(diào)整陣形，把最外邊一層每邊人數(shù)減少 16人，層數(shù)由原來的四層變成八層，則共有（）人。a. 160 b. 1296 c. 640 d. 1936答案c解析設(shè)調(diào)整前最外層每邊 x 人，調(diào)整后每邊 y 人，根據(jù)“逆向法思維”：x-y=16x2-（x-8）2=y2-（y-16）2 x=44y=28因此：442-（44-8）2=640（人）。課后作業(yè)1、若干名同學(xué)排成中實(shí)方陣則多 12 人，若要將這個(gè)方陣改擺成縱橫兩個(gè)方向各

37、增加 1 人的方陣則還差 9 人排滿，請(qǐng)問：原有學(xué)生多少人？解析：由于縱橫兩個(gè)方向各增加 1 人，因此不但將剩余 12 人擺上，而且還差 9 人，說明一橫行與一豎行的人數(shù)總和是 12921 人。又由于縱橫兩個(gè)方向各增加 1 人，因此只有 1 人同屬于橫行與縱行，在數(shù)每邊上的人數(shù)時(shí)， 總被多數(shù)一次，因此可以用 21 人先加上被重復(fù)數(shù)過的 1 人，再除以 2，也就得到每邊人數(shù)。列式為（211）211 人。求出每邊人數(shù)，就可求出假設(shè)排滿后的人數(shù)，列式為 1111121 人， 用 121 人減去差的 9 人就是原來人數(shù)，列式為 1219112 人。也可以根據(jù)原來的方陣再加上12，請(qǐng)你試一試。答：原有學(xué)

38、生 112 人。2、 有一隊(duì)士兵排成一個(gè)中實(shí)方陣，最外一層有 100 人，請(qǐng)問：方陣中一共有士兵多少人？ 解析：要想求出方陣中一共有多少士兵，就應(yīng)先求出方陣的最外層每邊有多少人。已知方陣最外一層有 100 人，用 100425 人，每邊是不是 25 人呢？不是的，因?yàn)槠骄殖?4 份后，還需要再加上 1，才正好是每邊上的人數(shù)，列式應(yīng)該為 1004126 人。因此方陣中一共有2626676 人。答：一共有 676 人。3、 小剛用若干枚棋子擺成一個(gè)中實(shí)方陣，最外層每邊擺 6 枚，請(qǐng)問：要擺成這樣一個(gè)中實(shí)方陣至少需要多少枚棋子？最外一層的棋子總數(shù)是多少？解析：如圖，最外一層每邊擺 6 枚，根據(jù)方陣

39、每行每列個(gè)數(shù)相等特點(diǎn)，因此一共有 6636 枚棋子。最外一層每邊有 6 枚，如果用 6424 枚，就認(rèn)為是最外一層棋子數(shù)的答案的話，那就錯(cuò)了。因?yàn)檎叫蚊總€(gè)頂點(diǎn)上的棋子分屬于一行一列，這樣棋子在計(jì)算總數(shù)時(shí)就被多數(shù)了一次， 這樣的頂點(diǎn)一共有 4 個(gè)，需要把多數(shù)的減去，才能得到正確的結(jié)果。列式是 64420 枚。說明：這道題還可以這樣想：數(shù)每邊棋子時(shí)，可以按上圖先劃分成 4 個(gè)相等的塊，這樣每邊就有 5 枚了，因此用 5420 枚，也可以得到正確答案。按照劃分塊的方法不同，至少還有兩種方法， 請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉嚒?、一隊(duì)學(xué)生站成 20 行 20 列方陣，如果去掉 4 行 4 列，那么要減少多少人？ 解

40、析 1：把去掉 4 行 4 列轉(zhuǎn)化為一行一列的去掉，就可用例 6 的結(jié)論：去掉一行一列的總?cè)藬?shù)原每行人數(shù)21反復(fù)利用 4 次這個(gè)公式，只要注意“原每行人數(shù)”的變化，即可列式為： 去掉 4 行 4 列的總?cè)藬?shù)2021+（201）21（202）21+（203）21401=381+361+341144（人）解析 2：我們還可以這樣想：原來是一個(gè) 7 行 7 列的方陣，若去掉 4 行 4 列后，仍剩下一個(gè)小正方形方陣，因此去掉 4 行 4 列的總?cè)藬?shù)原正方形方陣每邊人數(shù)4，即去掉的總?cè)藬?shù)2020（204）（204）400256144（人）答：去掉 4 行 4 列，要減少 144 人。5、正方形舞廳四周

41、均勻的裝彩燈，如果四個(gè)角都裝一盞且每邊裝 12 盞，那么這個(gè)舞廳四周共裝彩燈多少盞？解析（1）：自己畫圖可以看出，角上的四盞燈各屬于兩行，所以彩燈總數(shù)應(yīng)為：124444（2） ：還可以把彩燈分成相等的四部分，因此彩燈總數(shù)為：（121）444（盞）答：這個(gè)舞廳四周共裝彩燈 44 盞。6、“六一”兒童節(jié)前夕，在校園雕塑的周圍，用 204 盆鮮花圍成了一個(gè)每邊三層的方陣，請(qǐng)你求出最外面一層每邊有鮮花多少盆?解析：分析思路參見例 6，最外層每邊人數(shù)=總數(shù)4層數(shù)+層數(shù)20443+3=20(盆)答：最外面一層每邊有鮮花 20 盆7、四年級(jí)一班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式，排成一個(gè)方陣，最外層一周的人數(shù)為 20 人，請(qǐng)

42、問：方陣最外層每邊的人數(shù)是多少?這個(gè)方陣共有多少人?解析：根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)4+1，可以求出這個(gè)方陣最外層每邊的人數(shù)，那么這個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求出來了。解：（1）方陣最外層每邊的人數(shù)：204+1=5+1=6（人）（2）整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：66=36（人）答：方陣最外層每邊的人數(shù)是 6 人，這個(gè)方陣共有 36 人。8、明明用圍棋子擺成一個(gè)三層中空方陣，如果最外層每邊有圍棋子 15 個(gè)，明明擺這個(gè)方陣最里層一周共有多少枚棋子?擺這個(gè)三層空心方陣共用了多少枚棋子？解析：（1）方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少 2 個(gè)，知道最外面一層，每邊放 15 個(gè)，可以求

43、出最里層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。（2）根據(jù)最外層每邊放棋子的個(gè)數(shù)減去這個(gè)中空方陣的層數(shù)，再乘以層數(shù)，再乘以 4，計(jì)算出這個(gè)中空方陣共用棋子多少個(gè)。解：（1）最里層一周棋子的個(gè)數(shù)是：（15-2-2-1）4=40（個(gè)）（2）這個(gè)空心方陣共用的棋子數(shù)是：（15-3）34=144（個(gè)）答：這個(gè)方陣最里層一周有 40 個(gè)棋子;擺這個(gè)中空方陣共用 144 個(gè)棋子。9、若干戰(zhàn)士排成一個(gè)四層中空方陣，只知道最外一層每邊有 12 人，請(qǐng)你求出總?cè)藬?shù)。解析：我們可以采用先求出每層人數(shù)再求總?cè)藬?shù)的方法進(jìn)行。解：由于最外層每邊有 12 人，因此最外層一共有（121）444 人，又根據(jù)方陣相鄰兩層

44、， 外層比內(nèi)層人數(shù)多 8 的特點(diǎn)，因此第二層有 44836 人，第三層有 36828 人，第四層有28820 人。因此一共有 44+36+28+20128 人。還可以這樣想，把四層中空方陣劃分如例 5 的形狀，我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)長(zhǎng)方形可以看成四排戰(zhàn)士，每排有 8 人組成。因此一個(gè)長(zhǎng)方形有 8432 人，一共有 4 個(gè)長(zhǎng)方形，324128 人。當(dāng)然還可以先把中空方陣看成中實(shí)方陣，然后再減去補(bǔ)上的小中實(shí)方陣人數(shù)，也可以求出一共有多少人，看成中實(shí)方陣后，最外一層每邊 12 人，因此一共有 1212144 人。又因?yàn)樵诜疥囍邢噜弮蓚€(gè)正方形每邊人數(shù)相差 2，因此第二層每邊有 12210 人，第三層每邊有102

45、8 人，第四層每邊有 826 人，第五層每邊有 624 人。因此小的中實(shí)方陣有4416 人。14416128 人就表示一共有戰(zhàn)士的人數(shù)。答：一共有 128 人。10、有若干盆鮮花擺成一個(gè)中空方陣，最外層共擺 48 盆，最內(nèi)層共擺 24 盆，請(qǐng)問：共擺了多少盆鮮花？解析：由于方陣中相鄰兩個(gè)正方形每邊相差 8，因此第二層應(yīng)擺鮮花 48840 盆，第三層有花 40832 盆，第四層有花 32824 盆。這樣通過枚舉方法求出一共有四層花，及中間兩層花的總數(shù)。因此一共擺了 48403224144 盆。答：一共擺了 144 盆。11、有楊樹和柳樹以隔株相間的種法，種成 7 行 7 列的方陣，問這個(gè)方陣最外

46、一層有楊樹和柳樹各多少棵?方陣中共有楊樹，柳樹各多少棵?解析：根據(jù)已知條件柳樹和楊樹的種法有如下兩種，假設(shè)黑點(diǎn)表示楊樹，白點(diǎn)表示柳樹觀察圖（1）（2）不管是柳樹種在方陣最外層的角上還是楊樹種在方陣最外層的角上，方陣中除最里邊一層外其它層楊樹和柳樹都是相同的。因而楊樹和柳樹的棵數(shù)相等。即最外層楊，柳樹分別為（7-1）42=12（棵）。當(dāng)柳樹種在方陣最外層的角上時(shí)，最內(nèi)層的一棵是柳樹;當(dāng)楊樹種在方陣最外層的角上時(shí)， 最內(nèi)層的一棵是楊樹，即在方陣中，楊樹和柳樹總數(shù)相差 1 棵。解：（1）最外層楊柳樹的棵數(shù)分別為：（7-1）42=12（棵）（2） 當(dāng)楊樹種在最外層角上時(shí)，楊樹比柳樹多 1 棵： 楊樹：

47、（77+1）2=25（棵）柳樹：77-25=24（棵）（3） 當(dāng)柳樹種在最外層角上時(shí)，柳樹比楊樹多 1 樹柳樹（77+1）2=25（棵）楊樹 77-25=24（棵）答：在兩種方法中，方陣最外層都有楊樹 12 棵，柳樹 12 棵，方陣中總共有楊樹 25 棵， 柳樹 24 棵，或者有楊樹 24 棵，柳樹 25 棵。練習(xí)題：1. 運(yùn)動(dòng)員入場(chǎng)式要求排成一個(gè) 9 行 9 列的正方形方陣，如果去掉 2 行 2 列，要減少多少運(yùn)動(dòng)員？（人）（人）（人）答：要減少 32 名運(yùn)動(dòng)員。2. 學(xué)校為慶祝“十一”，用盆花擺了一個(gè)中實(shí)方陣，最外一層有 36 盆花。求這個(gè)方陣共有花多少盆？（盆）（盆）答：這個(gè)方陣共有花

48、100 盆。3. 一個(gè)由圓片擺成的中實(shí)方陣，最外一層有 12 個(gè)圓片，把 4 個(gè)這樣的中實(shí)方陣拼成一個(gè)大的中實(shí)方陣，那么最外層應(yīng)該有多少個(gè)圓片？ （個(gè)） 答：最外層應(yīng)該有 28 個(gè)圓片。4. 有一個(gè)用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有 16 個(gè)圓片，如果把內(nèi)層的圓片取出來， 在外層再擺一層，變成一個(gè)新的中空方陣，應(yīng)再增加多少圓片？（個(gè)）（個(gè)）（個(gè)）答：應(yīng)再增加 16 個(gè)圓片。5. 解放軍進(jìn)行排隊(duì)表演，組成一個(gè)外層有 48 人，內(nèi)層有 16 人的多層中空方陣，這個(gè)方陣有幾層？一共 有多少人？（層）（人）答：這個(gè)方陣有 5 層，一共有 160 人。6. 做少年廣播體操時(shí)，某年級(jí)的學(xué)生站成一個(gè)實(shí)心方陣時(shí)（正方形隊(duì)列）時(shí)，還多 10 人，如果站成一個(gè)每邊多 1 人的實(shí)心方陣，則還缺少 15 人.問：原有多少人？隊(duì)形答案：當(dāng)擴(kuò)大方陣時(shí)，需補(bǔ)充 10+15 人，這 25 人應(yīng)站在擴(kuò)充的方陣的兩條鄰邊處，形成一層人構(gòu)成的直角拐角.補(bǔ)充人后，擴(kuò)大的方陣每邊上有（10