北京信息科技大學(xué)概率與數(shù)理統(tǒng)計課件s2.42.6

1、2.2.理解離散型隨機(jī)變量的概念及其分布列的性質(zhì)理解離散型隨機(jī)變量的概念及其分布列的性質(zhì); ; 會求離散隨機(jī)變量的概率分布會求離散隨機(jī)變量的概率分布. . 總總 結(jié)結(jié)1.1.理解隨機(jī)變量的概念理解隨機(jī)變量的概念. .3. 3. 離散型隨機(jī)變量的幾個重要分布離散型隨機(jī)變量的幾個重要分布. . 兩點分布，二項分布，泊松分布兩點分布，二項分布，泊松分布 xp xp xp xxp x x x x nin2121n概率統(tǒng)計研究對象:隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律 2.4- 2.4- 2.62.6一一. .連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量二二. .分布函數(shù)分布函數(shù)三三. .連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度 2.4

2、 2.4 連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量一一. .連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量1.離散隨機(jī)變量的局限性離散隨機(jī)變量的局限性: :只能取有限個或可數(shù)無窮多個只能取有限個或可數(shù)無窮多個值值. .以上隨機(jī)現(xiàn)象中變量的取值可以充滿某個區(qū)間或區(qū)域，并以上隨機(jī)現(xiàn)象中變量的取值可以充滿某個區(qū)間或區(qū)域，并且且變量的取值是隨機(jī)的變量的取值是隨機(jī)的. . 如如: :電池壽命；電池壽命； 測量某地水溫；測量某地水溫； 某省高考體檢時人的身高、體重；某省高考體檢時人的身高、體重； 乘客到火車站的時刻乘客到火車站的時刻. .例例1:1:.,.,中的位置無關(guān)在而與成正比的長度中的概率與中的任一子區(qū)間所投的點落在上投點等可能地在 b

3、abcdl b dcb babab abcdablbp b即abcd0 x的概率求恰好投到某點0 x000ablxxp x即n注意注意: :在連續(xù)隨機(jī)變量中在連續(xù)隨機(jī)變量中, ,不可能事件的概率為不可能事件的概率為0,0,反之未必；反之未必； 因為連續(xù)隨機(jī)變量在某一點是可能發(fā)生的事件因為連續(xù)隨機(jī)變量在某一點是可能發(fā)生的事件, ,但它的概率但它的概率 卻等于零卻等于零. .,(),bccae 1abcbabacep 2.4 2.4 連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量對于這類問題對于這類問題, ,我們更關(guān)心的是隨機(jī)變量落在某一范圍的我們更關(guān)心的是隨機(jī)變量落在某一范圍的可能性有多大可能性有多大? ?1.1.某

4、人打靶射擊時彈著點距靶心小于某人打靶射擊時彈著點距靶心小于2cm2cm的可能性有多大？的可能性有多大？2.2.某廠生產(chǎn)面粉某廠生產(chǎn)面粉10kg/10kg/袋，誤差在袋，誤差在0.05kg0.05kg范圍內(nèi)認(rèn)為是范圍內(nèi)認(rèn)為是 合格品合格品, ,問該廠的產(chǎn)品合格率是多少問該廠的產(chǎn)品合格率是多少? ? 2.4 2.4 連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量 2.5 2.5 隨機(jī)變量分布函數(shù)隨機(jī)變量分布函數(shù)二二. .分布函數(shù)分布函數(shù)說明說明: : .,(,. 2的概率落在區(qū)間表示則標(biāo)看成數(shù)軸上隨機(jī)點的坐若將 x x xfx .1, 0,. 1 xxpxf 值域為的定義域為分布函數(shù) 1221. 3xfxfxxxp 0

5、 x .,:函數(shù)的概率分布函數(shù)或分布稱為隨機(jī)變量函數(shù)是任意實數(shù)是隨機(jī)變量設(shè)定義x xxpxf xx52p52p 1221:xfxf xxxp證明 121221xfxf xxpxxp xxxp :,2211的關(guān)系如下與事件 xx xxxxx2112,xxxpxxpxxp 得由概率加法定理212121:xxxp xxxpxxxp 下結(jié)論對于連續(xù)隨機(jī)變量有以211xxxxx2211xxxxxxx 且概率分布函數(shù)的性質(zhì)概率分布函數(shù)的性質(zhì): : ;,. 12121xfxf xx 則若單調(diào)性 12211221, 0,xfxf xxxpxfxf xx即 xff xlim. 2 1lim0lim, 0,xff

6、 xff xxx x xx同理從而概率趨于趨于不可能事件事件則即沿數(shù)軸無限向左移動將幾何上0 x 2.5 2.5 隨機(jī)變量分布函數(shù)隨機(jī)變量分布函數(shù)52p0limxxp x 1limxff x ;0,1. 3 xfxf xfxxpxxpxfx xxii即右連續(xù)則為離散隨機(jī)變量若o2x1xyx)(xf .10,2. 3曲線之間的單調(diào)上升的連續(xù)與且圖形為位于直線為連續(xù)函數(shù)則為連續(xù)隨機(jī)變量若yy xfx 以上三條是判斷以上三條是判斷f(x)f(x)是否為某隨機(jī)變量分布函數(shù)的依據(jù)是否為某隨機(jī)變量分布函數(shù)的依據(jù). . 2.5 2.5 隨機(jī)變量分布函數(shù)隨機(jī)變量分布函數(shù)解解: : 01xxpxf xx 321

7、0 xxpxf x21 xxpxf x32 xxpxf x 3xixxp321 2 . 03 . 05 . 0 例例1:1:.函數(shù)求離散隨機(jī)變量的分布布列，如下表已知離散隨機(jī)變量的分5 . 01 xp8 . 021xpxp1321xpxpxp 2.5 2.5 隨機(jī)變量分布函數(shù)隨機(jī)變量分布函數(shù) x x x x xf31328 . 0215 . 010分布函數(shù)為分布函數(shù)為: :注意注意: :對于離散隨機(jī)變量對于離散隨機(jī)變量, ,可用分布表和分布函數(shù)來描述可用分布表和分布函數(shù)來描述; ;前者更常用前者更常用. . 2.5 2.5 隨機(jī)變量分布函數(shù)隨機(jī)變量分布函數(shù)xixxp321 2 . 03 . 0

8、5 . 0 分布函數(shù)圖像為分布函數(shù)圖像為: :0.50.8 1例例2:2: .,0000的值求常數(shù)為常數(shù)其中的分布函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量ax x eaxf xx解解: : aeaxff xfxxxlimlim1,有依據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)為連續(xù)隨機(jī)變量的分布 0001x x exfx于是指數(shù)分布指數(shù)分布 有為連續(xù)函數(shù)所以為隨機(jī)變量的分布函數(shù),xfxf( (法二法二) ) 001limlim00faeaxfxxx 2.5 2.5 隨機(jī)變量分布函數(shù)隨機(jī)變量分布函數(shù)例例3:3:.,的分布函數(shù)求隨機(jī)變量上投點等可能在xba解解: : bx bxa abaxax xf10于是 0 xxpxf ax分布函數(shù)圖分布

9、函數(shù)圖 ox)(xfbab a xxpxf bxa 1xxpxf bxabaxxxapaxp 2.5 2.5 隨機(jī)變量分布函數(shù)隨機(jī)變量分布函數(shù) 2.6 2.6 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度三三. .連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度1.1.定義：定義：.,上的平均概率密度在區(qū)間稱為隨機(jī)變量則是區(qū)間長度是任意實數(shù)其中考慮xxxxxxxxxp xxxxxxp .limlim, 000處的概率密度在點稱為隨機(jī)變量則上式極限存在若xxxxfxxf xxxxxp xxx xf56p2.2.概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系：概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系： .,limlim100的一個原函數(shù)是

10、的導(dǎo)函數(shù)是即 xfxf xfxf xfxxfxxf xxxxxp xf xx .,(2上的廣義積分在是即xxfxf fxfdx xfxxpxf x .一個已知其中一個可以求另與 xf xf 2.6 2.6 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度56p3.3.概率密度的性質(zhì)：概率密度的性質(zhì)： 0lim:0 xxxxxp xfx解釋 1.:12 xxfy ffdx xf 為軸之間的平面圖形面積與表明幾何意義 .:,), 0,01軸的上方位于幾何意義稱為的分布曲線把值域定義域xxfyxfy xf 2.6 2.6 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度57p3.3.概率密度的性質(zhì)：概率密度

11、的性質(zhì)： .,:32121122121上的定積分在上的概率等于落在幾何意義xxxfxx x xfxfdx xfxxxp x x .21xxxp xf xf均可求出或利用 2.6 2.6 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度57p例例4:4: .,0000的值求常數(shù)為常數(shù)其中的概率密度為設(shè)隨機(jī)變量cx x ecxf xx解解: : cecec dxec dx xfdx xfdx xfbbbxb x )11(lim| )1(lim10000由概率密度的性質(zhì)此密度函數(shù)為此密度函數(shù)為指數(shù)分布指數(shù)分布函數(shù)的概率密度函數(shù)的概率密度. .c 000 x x exfx 2.6 2.6 連續(xù)隨機(jī)變量的概

12、率密度連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度例例5:5: .021210 xf x xx xxfx求分布函數(shù)其它的概率密度為設(shè)隨機(jī)變量解解: : 00dx xfxf xx 時當(dāng) dx xfxf xx 時當(dāng)10 dx xfxf x x 時當(dāng)21 dt xfxf x dx xfdx xfx 00202021| )21(xxdx x xx dx xfdx xfdx xfx 11001221| )212(| )21()2(212102110 xxxxxdx xdx xxx 12121| )212(| )21(0)2(0221210222110221100 xxxdx dx xdx x dx xfdx xfdx xfd

13、x xfdx xfxfxf xx x x 時當(dāng) x x xx x xx xf2121122110210022所以 dt xfxf x 2.6 2.6 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度例例6:6: .,10,的密度函數(shù)求隨機(jī)變量分布函數(shù)為上投點等可能在x bx bxa abaxax xf ba解解: : bx bxa abax xfxf 010密度函數(shù)為ox)(xfba bax abxfbxaxxf或補(bǔ)充定義為處不可導(dǎo)在1,均勻分布均勻分布 “ “均勻均勻”, ,即等可能即等可能, ,說明落在任一子區(qū)間的概率與位置說明落在任一子區(qū)間的概率與位置 無關(guān)無關(guān), ,只與長度有關(guān)只與長度有關(guān)

14、. . abab 1oxy離散隨機(jī)變量的分布列與分布函數(shù)均能完整的反應(yīng)其統(tǒng)計離散隨機(jī)變量的分布列與分布函數(shù)均能完整的反應(yīng)其統(tǒng)計規(guī)律，但前者更常用規(guī)律，但前者更常用. .題離散隨機(jī)變量的相關(guān)問 . 4. 3;2;1,. 2;. 1布函數(shù)求分布列利用離散隨機(jī)變量的分變量的分布函數(shù)；利用分布列求離散隨機(jī)求利用分布列列求離散隨機(jī)變量的分布bxap xxp k連續(xù)隨機(jī)變量的連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度與分布概率密度與分布函數(shù)均能完整的函數(shù)均能完整的反應(yīng)其統(tǒng)計規(guī)律，反應(yīng)其統(tǒng)計規(guī)律，兩個都經(jīng)常用到兩個都經(jīng)常用到. .題連續(xù)隨機(jī)變量的相關(guān)問 111221221122111,. 4,. 3;,. 2;,. 11221

15、xfxxpxxp xfxxp xfxfxxxp xfdx xfxxp dx xfxxp dx xfxxxp xf dx xfxf xf xf xfxf xf xf x x x x x求已知分布函數(shù)求已知概率密度求分布函數(shù)已知概率密度求概率密度已知分布函數(shù) . 5的性質(zhì)求某些常數(shù)的值或概率密度利用分布函數(shù)xf xf 總總 結(jié)結(jié)1.理解分布函數(shù)的概念,并知道其性質(zhì)。2.理解連續(xù)型隨機(jī)變量的概念及其概率密度函數(shù)的概念和性質(zhì)。3.會利用分布列、概率密度函數(shù)及分布函數(shù)計算有關(guān)事件的概率。.21.19.18.17.1583 p 2.6 2.6 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度例例7:7:解解: : .3;21,212;1:10112的分布函數(shù)隨機(jī)變量內(nèi)的概率落在區(qū)間隨機(jī)變量系數(shù)求當(dāng)當(dāng)?shù)母怕拭芏葹殡S機(jī)變量 x x ax x xaxf x 1111211111022a adxxadxxadxxf 3111211121212210221212 dxxdxx xp 2.6 2.6 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度例例7:7:解解: : .3;21,212;1:10112的分布函數(shù)隨機(jī)變量內(nèi)的概率落在區(qū)間隨機(jī)變量系數(shù)求當(dāng)當(dāng)?shù)母怕拭芏葹殡S機(jī)變量 x x ax x xaxf x 013xxpxf x 時當(dāng) 11211111 x dxxdx xfxf x時當(dāng) xdxxd