2021屆高考數學一輪復習第四章三角函數解三角形第三節(jié)第1課時兩角和與差的正弦余弦和正切公式學案理含解析

1、第三節(jié)第三節(jié)簡單的三角恒等變換簡單的三角恒等變換最新考綱考情分析核心素養(yǎng)1.會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式.3.能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，能導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系.4.能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶).兩角和、差及倍角公式的正用、逆用和變形用仍將是 2021 年高考考查的熱點，題型仍將是選擇題與填空題，分值為 5 分.1.數學運算；2.邏輯推理知識梳理1兩角和的正弦、余弦、正切公式(1)sin()1sin_c

2、os_cos_sin_(2)cos()2cos_cos_sin_sin_(3)tan()3tan tan 1tan tan .2兩角差的正弦、余弦、正切公式(1)sin cos cos sin 4sin()(2)cos cos sin sin 5cos()(3)tan tan 1tan tan 6tan()3二倍角公式(1)sin 272sin_cos_(2)cos 282cos21912sin210cos2sin2(3)tan 2112tan1tan24常用公式的變化形式(1)asin bcos a2b2sin()，其中 cos 12aa2b2，sin 13ba2b2或 asin xbcos

3、 x a2b2cos(x)，其中 cos 14ba2b2，sin 15aa2b2(2)tan tan tan()(1tan tan )(3)1tan 1tan tan4.(4)1tan 1tan tan4.常用結論用 tan 表示 sin 2與 cos 2sin 22sin cos 2sin cos sin2cos22tan tan21；cos 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan2.基礎自測一、疑誤辨析1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意角()(2)兩角和與差的正切公式中的角，是任意角()(3)cos

4、80cos 20sin 80sin 20cos(8020)cos 6012.()(4)公式 tan()tan tan 1tan tan 可以變形為 tan tan tan()(1tan tan )，且對任意角，都成立()(5)存在實數，使 tan 22tan .()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走進教材2(必修 4p127t2改編)若 cos 45，是第三象限的角，則 sin4 等于()a210b210c7 210d7 210答案：c3(必修 4p146a4(2)改編)tan 20tan 40 3tan 20tan 40_答案： 3三、易錯自糾4(2019 屆唐山市高三摸底考試)co

5、s 105cos 15()a22b22c62d62解析：選 d解法一：cos 105cos 15cos(6045)cos(6045)2sin60sin 452322262，故選 d解法二： 由題意， 可知cos 105cos 15sin 15cos 15(sin 15cos 15) 2sin(4515) 2sin 6062，故選 d5已知 cos32x78，則 sinx3 的值為()a14b78c14d78解析： 選 c因為 cos 32xcos2x23 78， 所以 sin2x3 121cos2x2312178116，從而求得 sinx3 的值為14，故選 c6已知 cos 15，523，那

6、么 sin2()a105b105c155d155解析：選 d523，54232.sin21cos 21152155.故選 d第一課時兩角和與差的正弦、余弦和正切公式考點三角函數公式的直接應用|題組突破|1(2019 年全國卷)tan 255()a2 3b2 3c2 3d2 3解析： 選 d由正切函數的周期性可知， tan 255tan(18075)tan 75tan(3045)3311332 3，故選 d2已知 sin 35，2，tan()12，則 tan()的值為()a211b211c112d112解析：選 a因為 sin 35，2，所以 cos 1sin245，所以 tan sin cos

7、 34.因為 tan()12tan ，所以 tan 12，則 tan()tan tan 1tan tan 211.故選 a3已知 sin 35且為第二象限角，則 tan24 ()a195b519c3117d1731解析：選 d由題意得，cos 45，則 sin 22425，cos 22cos21725.tan 2247，tan24 tan 2tan41tan 2tan424711247 11731.故選 d4(2019 屆太原模擬)若 cos6 33，則 cos3 cos ()a2 23b2 23c1d1解析：選 ccos3 cos 12cos 32sin cos 3cos6 1，故選 c名師

8、點津三角函數公式的應用策略(1)使用兩角和與差的三角函數公式，首先要記住公式的結構特征(2)使用公式求值，應先求出相關角的函數值，再代入公式求值 .考點一三角函數公式的逆用與變形用【例 1】(1)(2019 屆西安模擬)已知 sin 223，則 cos24 ()a16b16c12d23(2)在abc 中，若 tan atan btan atan b1，則 cos c_(3)sin 101 3tan 10_解析(1)cos24 1cos 2421sin 22，sin 223，cos24 123216.(2)由 tan atan btan atan b1，可得tan atan b1tan atan

9、 b1，即 tan(ab)1.又因為 ab(0，)，所以 ab34，則 c4，cos c22.(3)sin 101 3tan 10sin 10cos 10cos 10 3sin 102sin 10cos 10412cos 1032sin 10sin 204sin（3010）14.答案(1)a(2)22(3)14名師點津兩角和、差及倍角公式的逆用和變形的應用技巧(1)逆用公式應準確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式(2)和差角公式變形：sin sin cos()cos cos ，cos sin sin()sin cos ，tan tan tan()(1tan tan )(3)倍角公式變形

10、：降冪公式提醒tan tan ，tan tan (或 tan tan )，tan()(或 tan()三者中可以知二求一，且常與一元二次方程根與系數的關系結合命題|跟蹤訓練|1若cos 2sin424，則 cos sin 的值為()a22b14c14d22解析：選 c因為cos 2sin4cos2sin222（sin cos ） 2(sin cos )24，所以 cos sin 14.故選 c2(2018 年全國卷)已知 sin cos 1，cos sin 0，則 sin()_解析：因為 sin cos 1，cos sin 0，所以 sin2cos22sin cos 1， cos2sin22co

11、s sin 0， 兩式相加，得 sin2cos2sin2cos22(sin cos cossin )1，所以 sin()12.答案：12考點二角的變換【例 2】(1)已知 sin 235220，所以22，52 ，故 cos 2172522425.答案：2425考點三角恒等變換的創(chuàng)新交匯應用問題【例】(2019 屆保定一模)2002 年國際數學家大會在北京召開，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖)如果小正方形的邊長為 2，大正方形的邊長為 10，直角三角形中較小的銳角為，則 sin2 cos3 等于()a43 310b43 310c43 310d43 310解析設直角三角形中較小的直角邊長為 a，則 a2(a2)2102，所以 a6，所以 sin 61035，cos 81045，所以 sin2 cos3 cos 12cos 32sin 12cos 32sin 1245323543 310.故選 a答案a名師點津利用題目中條件信息確定 sin ，cos ，再