2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量與復(fù)數(shù)第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算教師文檔教案文北師大版

1、第一節(jié)第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算平面向量的概念及線性運(yùn)算授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 75 頁(yè)基礎(chǔ)梳理1向量的有關(guān)概念(1)向量的定義：既有大小，又有方向的量叫向量，常用 a 或ab表示(2)向量的模：向量的大小，即表示向量的有向線段的長(zhǎng)度叫作向量的模，記作|a|或|ab|.(3)幾個(gè)特殊向量：特點(diǎn)名稱長(zhǎng)度(模)方向零向量0任意單位向量1任意相等向量相等相同相反向量相等相反平行向量相同或相反2.向量的加法、減法與數(shù)乘定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法向量 a 加上向量 b的相反向量叫作 a與

2、b 的差三角形法則aba(b)數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量 a 的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0 時(shí)，a 與 a 的方向相同；當(dāng)0 時(shí)，a 與 a 的方向相反；當(dāng)0 時(shí)，a0(1)(a)()a；(2)()aa a；(3)(ab)ab3.共線向量定理向量 a(a0)與 b 共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使 ba4平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量 a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使 a1e12e2(2)基底：不共線的向量 e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底5平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與 x 軸、y 軸方向相同的

3、兩個(gè)單位向量 i，j 作為基底，該平面內(nèi)的任一向量 a 可表示成 axiyj，由于 a 與數(shù)對(duì)(x，y)是一一對(duì)應(yīng)的，把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫作向量 a 的坐標(biāo)，記作 a(x，y)，其中 a 在 x 軸上的坐標(biāo)是 x，a 在 y 軸上的坐標(biāo)是 y.6平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量的加法、減法設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)向量的數(shù)乘設(shè) a(x，y)，r r，則a(x，y)向量坐標(biāo)的求法設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x2x1，y2y1)7.向量共線的坐標(biāo)表示若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 abx1y2x2y10

4、.1與向量 a 共線的單位向量為a|a|.2兩非零向量不共線求和時(shí)，兩個(gè)法則都適用；共線時(shí)，只適用三角形法則3a，b，c 三點(diǎn)共線，o 為 a，b，c 所在直線外任一點(diǎn)，則oaoboc且1.4若abac，則 a，b，c 三點(diǎn)共線5p 為線段 ab 的中點(diǎn)op12(oaob)6g 為abc 的重心gagbgc0og13(oaoboc)(o 是平面內(nèi)任意一點(diǎn))7p 為abc 的外心|pa|pb|pc|.8|a|b|ab|a|b|.9若 a 與 b 不共線，ab0，則0.四基自測(cè)1(基礎(chǔ)點(diǎn)：向量共線與三點(diǎn)共線)已知ab(m，5n)，bc(2m，8n)，cd(3m，3n)，則()aa，b，d 三點(diǎn)共線

5、ba，b，c 三點(diǎn)共線cb，c，d 三點(diǎn)共線da，c，d 三點(diǎn)不共線答案：a2(基礎(chǔ)點(diǎn)：向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算)已知向量 a(2，3)，b(3，2)，則|ab|()a. 2b2c5 2d50答案：a3(基礎(chǔ)點(diǎn)：平面向量基本定理)已知abc，設(shè) d 是 bc 邊的中點(diǎn)，用ab與ac表示向量ad，則ad_.答案：12ab12ac4(易錯(cuò)點(diǎn)：向量加減法的幾何意義)在平行四邊形 abcd 中，若|abad|abad|，則四邊形 abcd 的形狀為_(kāi)答案：矩形授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 76 頁(yè)考點(diǎn)一向量的基本概念挖掘判斷向量有關(guān)概念的正確性/自主練透例(1)給出下列五個(gè)命題：兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，

6、終點(diǎn)相同；若|a|b|，則 ab；在abcd 中，一定有abdc；若 mn，np，則 mp；若 ab，bc，則 ac.其中不正確的個(gè)數(shù)是()a2b3c4d5解析兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故不正確；|a|b|，但 a，b 方向不確定，所以 a，b 不一定相等，故不正確；、正確；零向量與任一非零向量都平行，當(dāng) b0 時(shí)，a 與 c 不一定平行，故不正確答案b(2)給出下列命題：兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量?jī)蓚€(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小a0(為實(shí)數(shù))，則必為零，為實(shí)數(shù)，若ab，則 a 與 b 共線其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為

7、()a1b2c3d4解析錯(cuò)誤兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn)正確因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小錯(cuò)誤當(dāng) a0 時(shí)，不論為何值，a0.錯(cuò)誤當(dāng)0 時(shí)，ab0，此時(shí)，a 與 b 可以是任意向量答案c破題技法把握向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1)定義，方向和長(zhǎng)度，二者缺一不可(2)非零共線向量，方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制，與直線平行不同；與起點(diǎn)無(wú)關(guān)；非零向量的平行也具有傳遞性(3)相等向量，方向相同且長(zhǎng)度相等，與共線向量不同；相等向量具有傳遞性(4)單位向量，方向沒(méi)有限制，但長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度；a|a|是與 a 同方向的單位向量(5)零向量，方向沒(méi)有限

8、制，長(zhǎng)度是 0，規(guī)定零向量與任何向量共線(6)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等的向量解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖像的平移混淆考點(diǎn)二共線向量定理及其應(yīng)用挖掘 1判定點(diǎn)或向量共線/ 自主練透例 1(1)已知平面內(nèi)一點(diǎn) p 及abc，若papbpcab，則點(diǎn) p 與abc 的位置關(guān)系是()a點(diǎn) p 在線段 ab 上b點(diǎn) p 在線段 bc 上c點(diǎn) p 在線段 ac 上d點(diǎn) p 在abc 外部解析由papbpcab知：papbpcpbpa，即pc2pa，故點(diǎn) p 在線段 ac上答案c(2)已知向量 e10，r，ae1e2，b2e1，若向量 a 與向量 b 共線，則()a0be20ce1e2de1e2

9、或0解析設(shè) akb，e1e22ke1，2k1，0.當(dāng)0 時(shí)，ae1，b2e1.a 與 b 共線，當(dāng) e1e2時(shí)，a 與 b 也共線答案d破題技法兩向量共線有兩種應(yīng)用形式：(1)幾何形式：ab.(2)代數(shù)形式：a(x1，y1)，b(x2，y2)abx1y2x2y10，其實(shí)質(zhì)都是等式關(guān)系故 ab等價(jià)于存在不全為零的實(shí)數(shù)1，2，使1a2b0 成立挖掘 2應(yīng)用向量共線求參數(shù)/ 互動(dòng)探究例 2(1)已知點(diǎn) m 是abc 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若點(diǎn) m 滿足|amabac|0 且 sabc3sabm，則實(shí)數(shù)_解析如圖，設(shè) d 為 bc 的中點(diǎn)，則abac2ad，因?yàn)閨amabac|0，所以amabac0，所以

10、amabac2ad，于是 a，m，d 三點(diǎn)共線，且|am|ad|2|，又 sabc3sabm，所以sabmsabc13，又因?yàn)?sabd12sabc，且sabmsabd|am|ad|2|，所以13sabm2sabd122|，解得3.答案3(2)如圖所示，在abc 中，點(diǎn) o 是 bc 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) o 的直線分別交直線 ab，ac 于不同的兩點(diǎn) m，n，若abmam，acnan，則 mn 的值為()a1b2c3d4解析由 o 是 bc 的中點(diǎn)，可得ao12ab12ac，由題意知ao12mam12nan，因?yàn)?o，m，n 三點(diǎn)共線，所以12m12n1，則 mn2.(3)(2018高考全國(guó)卷)已知

11、向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)，則_解析2ab(4，2)，因?yàn)?c(2ab)，所以 42，得12.答案12破題技法共線向量定理是解決三點(diǎn)共線問(wèn)題的有利工具解題過(guò)程中常用到結(jié)論：“p，a，b 三點(diǎn)共線”等價(jià)于“對(duì)直線 ab 外任意一點(diǎn) o，總存在非零實(shí)數(shù)，使opoa(1)ob成立”即oa與ob的系數(shù)和為 1.拓展共線定比例(1)坐標(biāo)成比例， 即若兩向量共線， 則它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例(假設(shè)其中一向量?jī)勺鴺?biāo)均不為零)；(2)基底分解成比例，即已知 a，b 不共線，cpaqb，dmanb，若 cd，則pmqn(mn0)，即 pnmq0.已知 a1，a2，a3為平面上三個(gè)不

12、共線的定點(diǎn)，平面上點(diǎn) m 滿足a1m(a1a2a1a3)(是實(shí)數(shù))，且ma1ma2ma3是單位向量，則這樣的點(diǎn) m 有()a0 個(gè)b1 個(gè)c2 個(gè)d無(wú)數(shù)個(gè)解析：法一：由題意得，ma1(a1a2a1a3)，ma2ma1a1a2，ma3ma1a1a3，ma1ma2ma3(13)(a1a2a1a3)，設(shè) d 為 a2a3的中點(diǎn)，(13)(a1a2a1a3)是與a1d共起點(diǎn)且共線的一個(gè)向量，顯然直線 a1d 與以 a1為圓心的單位圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故有兩個(gè)值，即符合題意的點(diǎn) m 有兩個(gè)，故選 c.法二：以 a1為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè) a2(a，b)，a3(m，n)，則a1a2a1a3(am，

13、bn)，m(am)，(bn)，ma1(am)，(bn)，ma2(a(am)，b(bn)，ma3(m(am)，n(bn)，ma1ma2ma3(13)(am)，(13)(bn)ma1ma2ma3是單位向量，(13)2(am)2(bn)21，a1，a2，a3是平面上三個(gè)不共線的定點(diǎn)，(am)2(bn)20，所以關(guān)于的方程有兩解，故滿足條件的 m 有兩個(gè)，故選 c.答案：c考點(diǎn)三平面向量的線性運(yùn)算與基本定理挖掘 1數(shù)形結(jié)合法解決基本定理的應(yīng)用/自主練透例 1(1)(2018高考全國(guó)卷)在abc 中，ad 為 bc 邊上的中線，e 為 ad 的中點(diǎn)，則eb()a.34ab14acb14ab34acc.3

14、4ab14acd14ab34ac解析作出示意圖如圖所示ebeddb12ad12cb1212(abac)12(abac)34ab14ac.故選 a.答案a(2)(2020南昌模擬)如圖所示，平面內(nèi)有三個(gè)向量oa， ob， oc，其中oa與ob的夾角為 120，oa與oc的夾角為 30，且|oa|ob|1，|oc|2 3，若ocoaob(，r)，則的值為_(kāi)解析如圖所示，構(gòu)造平行四邊形，ocd90，|oc|2 3，cod30，|cd|2 3332|oe|，|od|2 3cos 30|4，6.答案6(3)給定兩個(gè)長(zhǎng)度為 1 的平面向量oa和ob，它們的夾角為 120，點(diǎn) c 在以 o 為圓心的圓弧 a

15、b上運(yùn)動(dòng)，若ocxoayob，則 xy 的最大值是()a.12b1c.32d2解析以 o 為原點(diǎn)，oa 所在直線為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則 a(1，0)，b12，32 ，c(cos ，sin )023.ocxoayob，cos x12y，sin 32y，x13sin cos ，y23sin ，xy13sin cos23sin 3 sin cos 2sin6 .又知 023，sin6 12，1，當(dāng)3時(shí)，xy 取最大值 2，故選 d.答案d破題技法數(shù)形結(jié)合法適用于已知平面幾何圖形或向量等式，利用向量的模的幾何意義，求解模的最值或取值范圍的問(wèn)題破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：(1)借形研究，即利

16、用條件并結(jié)合圖形，將相關(guān)向量用基底表示，確定相關(guān)向量的幾何意義，或?qū)⑾嚓P(guān)向量坐標(biāo)化，在平面直角坐標(biāo)系中表示出相關(guān)向量(2)用形解題，即利用圖形的直觀性，運(yùn)用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律等進(jìn)行計(jì)算，即可求出向量模的最值或取值范圍挖掘 2代數(shù)法(方程)求解向量/互動(dòng)探究例 2(1)(2020河北武邑中學(xué)期中測(cè)試)已知在 rtabc 中，bac90，ab1，ac2，d 是abc 內(nèi)一點(diǎn)，且dab60，設(shè)adabac(，r)，則()a.2 33b33c3d2 3解析如圖，以 a 為原點(diǎn)，ab 所在直線為 x 軸，ac 所在直線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，則 b 點(diǎn)的坐標(biāo)為(1， 0)， c 點(diǎn)的坐標(biāo)為(0

17、， 2)， 因?yàn)閐ab60， 所以設(shè) d 點(diǎn)的坐標(biāo)為(m， 3m)(m0)ad(m， 3m)abac(1，0)(0，2)(，2)m，32m，則2 33.故選a.答案a(2)如圖所示，在abo 中，oc14oa，od12ob，ad 與 bc 相交于點(diǎn) m，設(shè)oaa，obb.試用 a 和 b 表示向量om.解析設(shè)ommanb，則amomoamanba(m1)anb.adodoa12oboaa12b.又a，m，d 三點(diǎn)共線，am與ad共線存在實(shí)數(shù) t，使得amtad，即(m1)anbta12b.(m1)anbta12tb.m1t，nt2，消去 t 得，m12n，即 m2n1.又cmomocmanb1

18、4am14 anb，cbobocb14a14ab.又c，m，b 三點(diǎn)共線，cm與cb共線存在實(shí)數(shù) t1，使得cmt1cb，m14 anbt114ab，m1414t1，nt1.消去 t1得，4mn1.由得 m17，n37，om17a37b.破題技法方程法是指利用平面向量共線或垂直的線性運(yùn)算或坐標(biāo)運(yùn)算，建立關(guān)于參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)值的方法破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：(1)向量問(wèn)題代數(shù)化，即利用平面向量平行或垂直的線性運(yùn)算或坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到含參數(shù)的方程；(2)解決直角三角形、等邊三角形、矩形等特殊圖形中的向量問(wèn)題時(shí)，建立合適的平面直角坐標(biāo)系可以快速打開(kāi)思路挖掘 3直線的方向向量/互動(dòng)探究例 3求過(guò)點(diǎn) p0(x0，y0)與向量 a(a1，a2)平行的直線方程解析當(dāng) a10 時(shí)，則 aa1(1，a2a1)，則所求直線的斜率 ka2a1