2021屆高考數(shù)學(xué)二輪考前復(fù)習(xí)第三篇直擊壓軸大題搏高分必須攻克的6個熱點專題專題3圓錐曲線中的探究性與證明學(xué)案文含解析

1、專題3圓錐曲線中的探究性與證明1.探究性問題求解的思路及策略(1)思路:先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確,則存在;若結(jié)論不正確,則不存在.(2)策略:當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論;當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時,先假設(shè)成立,再推出條件.在這個解題思路指導(dǎo)下解決探究性問題與解決具有明確結(jié)論的問題沒有什么差別.2.解決存在性問題的一些技巧(1)特殊值(點)法:對于一些復(fù)雜的題目,可通過其中的特殊情況,解得所求要素的必要條件,然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立.(2)核心變量的選取:因為解決存在性問題的核心在于求出未知要素,所以通常以該要素為核心變量,其余變量作為輔助變量,必要的

2、時候消去輔助變量求得核心變量.(3)核心變量的求法:直接法:利用條件與輔助變量直接表示出所求要素,并進行求解.間接法:若無法直接求出要素,則可將核心變量參與到條件中,列出關(guān)于該變量與輔助變量的方程(組),運用方程思想求解.解析幾何中的探索性問題解題步驟第一步假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在;第二步用待定系數(shù)法設(shè)出元素;第三步列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組;第四步解方程組;第五步方程組有解,則元素存在;方程組無解,則元素不存在.1.步驟分:第一問中設(shè)點,點差法表示斜率,中點坐標(biāo)公式不可缺少;第二問中:直線l的方程,聯(lián)立直線與橢圓的方程,根與系數(shù)的關(guān)系,弦長公式不可缺少.2.關(guān)鍵分:解題過

3、程的關(guān)鍵點,有則給分,無則沒分.如求出x1+x2的值.3.計算分:計算準(zhǔn)確是根本保證,聯(lián)立直線與橢圓的方程,整理過程要正確.4.區(qū)分公式:區(qū)分弦長公式的兩種形式,不可混用.【典例】(12分)(2018全國卷)已知斜率為k的直線l與橢圓c:+=1交于a,b兩點,線段ab的中點為m.(1)證明:k-.(2)設(shè)f為c的右焦點,p為c上一點,且+=0.證明:2=+ .(1)證明k-設(shè)而不求,點差法ab的中點為m.(2)2|=|+|聯(lián)立直線與橢圓方程得到直線l的方程解出m,進而求出點p的坐標(biāo).【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)設(shè)a,b,則+=1,+=1.兩式相減,并由=k得+k=0. 2分由題設(shè)知=1,=m,于是k=-

4、. 4分由題設(shè)得0m,故k-. 6分(2)由題意得f,設(shè)p,則+=.由(1)及題設(shè)得x3=3-=1,y3=-=-2mb0)的離心率為,且點p在橢圓e上.(1)求橢圓e的方程.(2)過點m(1,1)任作一條直線l,l與橢圓e交于不同于p點的a,b兩點,l與直線m:3x+4y-12=0交于c點,記直線pa,pb,pc的斜率分別為k1,k2,k3.試探究k1+k2與k3的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.2.(探究性)已知橢圓m:+=1(ab0)經(jīng)過點a(0,-2),離心率為.(1)求橢圓m的方程;(2)經(jīng)過點e(0,1)且斜率存在的直線l交橢圓于q,n兩點,點b與點q關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.連接ab,an.是否存在

5、實數(shù),使得對任意直線l,都有kan=kab成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.3.(證明)如圖,已知拋物線d:x2=2y的焦點為f,直線l交拋物線于a,b兩點,且與拋物線d在點a處的切線垂直.(1)若直線l與y軸的交點為q,證明:|fa|=|fq|;(2)若直線af與拋物線交于一點c(不同于a),求abc面積的取值范圍.4.(證明)拋物線x2=2py(p0)的焦點f到直線y=-的距離為2.(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)直線y=kx+1交拋物線于a(x1,y1),b(x2,y2)兩點,分別過a,b兩點作拋物線的兩條切線,兩切線的交點為p,求證:pfab.5.(證明)已知圓c:x2+(y

6、-1)2=r2(r0),設(shè)a為圓c與y軸負半軸的交點,過點a作圓c的弦am,并使弦am的中點恰好落在x軸上.(1)求點m的軌跡e的方程;(2)延長mo交直線y=-1于點p,延長mc交曲線e于點n,曲線e在點n處的切線與y軸交于點q.求證:mnqp.6.(探究性)已知橢圓c:+=1(ab0)的短軸長為2,離心率為.(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線l平行于直線y=x,且與橢圓c交于a,b兩個不同的點,若aob為鈍角,求直線l在x軸上的截距m的取值范圍.7.(探究性)已知橢圓c:+=1(ab0)的右頂點為a(2,0),定點p(0,-1),直線pa與橢圓交于另一點b.(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2

7、)是否存在過點p的直線l與橢圓c交于m,n兩點,使得=6成立?若存在,請求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.8.(證明)如圖,已知點p是y軸左側(cè)(不含y軸)一點,拋物線c:y2=4x上存在不同的兩點a,b滿足pa,pb的中點均在c上.(1)設(shè)ab中點為m,證明:pm垂直于y軸;(2)若p是半橢圓x2+=1(x0,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=,y1y2=,由題意,直線na:y=,所以d,所以kdf=,所以kfe=-,所以直線ef:y=-,令x=2,得e,因為n,f,所以=,=,因為y2-=y2+=0,所以與共線,所以n,b,e三點共線./高考演兵場檢驗考試力/1.【解析】(1)因為橢圓e:

8、+=1(ab0)的離心率為,所以e=a=2c,因為a2=b2+c2,所以b=c.故可設(shè)橢圓e的方程為+=1,因為點p在橢圓e上,所以將其代入橢圓e的方程得+=1c2=1.所以橢圓e的方程為+=1.(2)依題意,直線l不可能與x軸垂直,故可設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-1), 即y=kx-k+1,a(x1,y1),b(x2,y2)為l與橢圓e的兩個交點.將y=kx-k+1代入方程3x2+4y2-12=0化簡得(4k2+3)x2-8(k2-k)x+4k2-8k-8=0.所以x1+x2=,x1x2=.所以k1+k2=+=+=2k-=2k-=2k-=,又由3x+4(kx-k+1)-12=0,解得x=

9、,y=,即c點的坐標(biāo)為,所以k3=.因此,k1+k2與k3的關(guān)系為k1+k2=2k3. 2.【解析】(1)由題意可知b=2,e=,又a2-c2=b2,得a=,c=,所以橢圓m的方程為+=1.(2)存在實數(shù),使得對任意直線l,都有kan=kab成立.設(shè)直線l的方程為y=kx+1,聯(lián)立可得(2+3k2)x2+6kx-9=0,設(shè)q(x1,y1),n(x2,y2),則有x1+x2=-,x1x2=-,因為kaq=,kan=,所以kaqkan=k2+2k2-2-3k2=-2,又因為點b與點q關(guān)于原點對稱,所以b(-x1,-y1),即kab=,則有kaqkab=,由點q在橢圓c:+=1上,得4-=,所以ka

10、qkab=-,所以=3,即kan=3kab,所以存在實數(shù)=3,使kan=kab成立.3.【解析】(1)設(shè)a,拋物線d在點a處的切線的斜率為t,則直線ab的斜率為kab=-,直線ab的方程為y-=-(x-t),所以q,|qf|=+1-=+=|af|.(2)聯(lián)立可得x2+x-2-t2=0,|ab|=,因為ac過點f,則c,點c到直線ab的距離d=,所以sabc=|ab|d=4,當(dāng)且僅當(dāng)t2=1時取等號,所以abc的面積的取值范圍為4,+).4.【解析】(1)由題意知:f,則焦點f到直線y=-的距離為:-=p=2,所以拋物線的方程為:x2=4y.(2)把直線y=kx+1代入x2=4y消y得:x2-4

11、kx-4=0,又=16k2+160,由根與系數(shù)的關(guān)系得由題意設(shè)切線pa的斜率為kpa,切線pb的斜率為kpb,點p坐標(biāo)為(m,n),由(1)可得:y=x2,則y=x,所以kpa=x1,kpb=x2,則切線pa的方程為y-n=x1(x-m),切線pb的方程為y-n=x2(x-m),則(i)-(ii)利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡整理得:m=2k,把m=2k代入(i)整理得:n=-+kx1=-+x1=-+x1=x1x2=-1,則p(2k,-1),f(0,1),kpfkab=k=-1,則pfab.5.【解析】(1)設(shè)m(x,y),依題意a為圓c與y軸負半軸的交點,令x=0,得y=1r,所以a(0,1-r),

12、又弦am的中點恰好落在x軸上,am的中點坐標(biāo)為,故=0,所以消去r得x2=4y,所以e:x2=4y(x0).(2)設(shè)mn:y=kx+1,m(x1,y1),n(x2,y2),將y=kx+1代入x2=4y得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,mo:y=x,令y=-1得xp=-,所以p,因為y=,所以點n處的切線為y-y2=(x-x2),即y=x-y2,令x=0得y=-y2,所以q(0,-y2).所以pq的斜率k=k,所以mnqp.6.【解析】(1)由題意可得2b=2,所以b=,e=,解得a=2,所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)由于直線l平行于直線y=x,即y=x,設(shè)直線

13、l在y軸上的截距為n,所以l的方程為y=x+n(n0).聯(lián)立得x2+2nx+2n2-4=0,因為直線l與橢圓c交于a,b兩個不同的點,所以=(2n)2-4(2n2-4)0,解得-2n2且n0.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1+x2=-2n,x1x2=2n2-4.因為aob為鈍角等價于0,且n0,所以=x1x2+y1y2=x1x2+=x1x2+(x1+x2)+n2=(2n2-4)+(-2n)+n20,即n2b0)的右頂點為a(2,0)知,a=2.把b點坐標(biāo)代入橢圓方程,得+=1.解得b2=3.所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)存在滿足條件的直線l.a(2,0),b,p(0,-1),|pa|=,|pb|=,所以=2.由=6,得=6,即=3,所以=-3.設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2),則=(x1,y1+1),=(x2,y2+1),所以x1=-3x2.當(dāng)直線mn的斜率不存在時,直線l的方程為x=0,=2+,這與=3矛盾.當(dāng)直線mn的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx-1.聯(lián)立方程得(4k2+3)x2-8kx-8=0.x1+x2=,x1x2=.由x1=-3x2可得-2x2=,3=,即3=.整理得k2=.解得k=.綜上所述,存在滿足條件的直線l,其方程為y=x-1或y=-