淺談導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用論文

1、畢 業(yè) 論 文題 目：淺談導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用學(xué) 院：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級(jí)： 姓 名： 指導(dǎo)教師：（講師） 完成時(shí)間：2012年4月5日淺談導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 摘要：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用將隨著新課程的改革而顯得越來越重要，它滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。導(dǎo)數(shù)可以用極限概念定義。微積分是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的分支學(xué)科，導(dǎo)數(shù)相關(guān)的一些微積分知識(shí)，是解決實(shí)際問題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)研究函數(shù)的性質(zhì)，解決幾何、切線、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、數(shù)列極限有關(guān)的問題，同時(shí)解決實(shí)際問題也有重要的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)是我們研究中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具，它使各個(gè)章節(jié)的內(nèi)容聯(lián)系的更加

2、緊密，有助于我們對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的深入學(xué)習(xí)。關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、方程、切線、數(shù)列Abstract ：The application of the derivative of the new curriculum reform will be with and become more and more important, it through to the middle school mathematics every field of the derivative can use limit concept definition of differential calculus is resear

3、ch function integration and related concepts and applications of the branch, derivative relevant some calculus knowledge, is to solve practical problems powerful mathematical tool, using derivatives knowledge about the study of the nature of the function, solve the monotony of tangent function geome

4、try sequence limit of the interval and, at the same time, solving actual problems also has important application of derivative is our middle school mathematics study of a powerful tool, it make the content of the chapters of the contact more closely, can help us to the middle school mathematics furt

5、her studyKeywords: derivative function equation tangent sequence.1.利用導(dǎo)數(shù)求不定式的極限（，）型不定式的定值。導(dǎo)數(shù)對(duì)于極限問題，尤其是（，）型不定式的題目即無窮小之比等于相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)之比（洛必達(dá)法則）。例：（1） 分析：首先我們一下極限的分子（）和分母（）都趨于零，即：，因此極限為（）型。所以我們對(duì)分子分母進(jìn)行求導(dǎo)。解：原試=1例：（2）分析：首先我們一下極限的分子（）和分母（）都趨于無窮，即：，因此極限為（）型。無窮大之比等于相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)之比，所以我們對(duì)分子分母進(jìn)行求導(dǎo)。 解：原試=02.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用2.1利用導(dǎo)數(shù)圖形分析

6、函數(shù)的圖像。例：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象可能是（ ）。分析：我們首先來看的圖象在或的區(qū)域上，那么在或的定義域上是增函數(shù)；在上函數(shù)是減函數(shù)；那么我們看選項(xiàng)只有：O12xy O12xyxyyO12yO12xO12xABCD2.2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例：設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。分析：要求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，我們可以用求導(dǎo)的方法，令函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為增函數(shù)，求出的解為增區(qū)間，令為減函數(shù)，求出的解為減區(qū)間。 解： 當(dāng)時(shí)為增函數(shù) 即： 解得：或?yàn)樵鰠^(qū)間。 當(dāng)時(shí)為減函數(shù)。 同理可得：為減區(qū)間。 2.3求函數(shù)的極值和最值問題 極值和最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，它涉及到中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的各個(gè)方面，處理次類問題往往

7、需要較高的思維能力和技能，而用導(dǎo)數(shù)處理這類問題使得解題過程程序化、簡(jiǎn)單化。例：求函數(shù)的極值。 分析：要求一個(gè)函數(shù)的極值，我們先求出函數(shù)的駐點(diǎn)，在對(duì)駐點(diǎn)進(jìn)行比較，就可以知道極值。解： 令 解得：（駐點(diǎn)） 又在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值分別為：，所以：，原函數(shù)在處取得極大值 ，原函數(shù)在處取得極小值例：已知函數(shù)，是的極值點(diǎn)，求在 1，a上的最大值。解： 由函數(shù)導(dǎo)可得 是的極值點(diǎn)， 所以有，得所以 令，解得（舍去）， 則x1(1,3)3(3,4)40+-6-18-12所以在1，4上的最大值為。2.4利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)取值范圍含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題是函數(shù)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，此類問題通常涉及到最值和恒成立的問題，要求我們?cè)谇蠼庵?/p>

8、，分類討論、數(shù)形結(jié)合、分離參數(shù)等基本思想的靈活應(yīng)用含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題往往涉及對(duì)參數(shù)的討論。我們例題來分析。例：已知函數(shù)（a為常數(shù)），若存在，使成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 分析：參數(shù)a可以比較方便的用含x的函數(shù)來表示，因此想到分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為存在性問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為最值問題需意識(shí)到在恒成立；在對(duì)的討論中，需對(duì)其部分分子進(jìn)行在區(qū)間的值域分析，得出在恒成立從而得出在恒成立解：，則：，令 ，則，在單調(diào)遞增，即在恒成立故存在，使令 ，即，下求在的最小值令 ，則，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即在恒成立故在恒成立在單調(diào)遞增.以函數(shù)為主體,以導(dǎo)數(shù)作為解題思路,以函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為目標(biāo),是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯試

9、題的顯著特點(diǎn).運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定含參數(shù)函數(shù)的參數(shù)取值范圍是一類常見的探索性問題,主要是求存在性問題或恒成立問題中的參數(shù)的范圍.解決這類問題,主要是運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,通過分離參數(shù)、分類討論等思維方法進(jìn)行求解而求解策略的恰當(dāng)選擇，取決于求解視角是否準(zhǔn)確3導(dǎo)數(shù)在不等式恒等問題中的應(yīng)用例：當(dāng)時(shí)，證明不等式成立。分析：證明可以構(gòu)造函數(shù)如果，則在上是減函數(shù)，同時(shí)若由減函數(shù)的定義可知，時(shí)，有即證明了。證明：設(shè)又 在內(nèi)單調(diào)遞減且 故當(dāng)時(shí)，成立。4.利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根.利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的問題，不但使解題過程變得簡(jiǎn)捷，而且還可以提高同學(xué)們對(duì)新題型的適應(yīng)能力。例：關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）

10、A、（-，-1 B、（-1，5） C、（1，5） D、（-，15，+）分析：首先設(shè)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再分析可知圖象的大致形狀及走向，可知函數(shù)圖象的變化情況，可知方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求得實(shí)數(shù)的范圍解：原方程化為：，設(shè) 令，解得：或。 ，解得：）在取極大值4，在時(shí)取極小值-2根據(jù)的大致圖象的變化情況，有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，-24解得a的取值范圍是-15故選B5導(dǎo)數(shù)思想在解析幾何中的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用例：過點(diǎn)作拋物線的切線，求切線方程解：設(shè)切點(diǎn) 由得，拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為故所求切線方程為 即點(diǎn)在切線上 ，所求切線方程為， 。求二次曲線切線問題的常規(guī)方法是

11、點(diǎn)斜式設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，求出斜率，寫出直線方程。而通過上述例題可以看到，使用常規(guī)方法會(huì)非常麻煩。而采用求導(dǎo)的方法就簡(jiǎn)捷很多。當(dāng)然，導(dǎo)數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用不僅于此。筆者在這里只想起到一個(gè)拋磚引玉的作用，歡迎其他同仁批評(píng)指正。6.導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用例：已知 ，求的前n項(xiàng)和。分析：我們的通常會(huì)想到等比數(shù)列、錯(cuò)位相減求，但是增加了計(jì)算的難度，我們主要仔細(xì)觀察字母的系數(shù)和指數(shù)相差1，冪的導(dǎo)數(shù)剛好就是這樣的形式，所以我們把看成冪（）的前n項(xiàng)的和的導(dǎo)數(shù) 解：令 7導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用正在生產(chǎn)生活中,常常會(huì)遇到在一定條件下使得利潤最大、效率最高、用料最省、強(qiáng)度最大等問題,這些問題稱為優(yōu)化問題.優(yōu)化問

12、題往往可歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題,而導(dǎo)數(shù)是求最值的有力工具,因此,熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問題就非常重要.用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路是認(rèn)真分析實(shí)際問題,然后將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,再用導(dǎo)數(shù)求解這個(gè)數(shù)學(xué)問題.7.1成本問題。例：在甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最省？解：設(shè)BCD，則BC，CD，（0），AC50 甲 設(shè)總的水管費(fèi)用為，依題意有： 河 A C D

13、乙 B令，解得：根據(jù)問題的實(shí)際意義，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)，所以：AC504020（km），即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最省.7.2制作容器。例：在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？分析：設(shè)箱底邊長為 cm，則箱高為cm，得箱子容積是箱底邊長的函數(shù)，從而求得，令，求出一個(gè)值，這個(gè)值就是使容器的容積達(dá)到最大。解：設(shè)此時(shí)底邊的邊長是，則高 ， （）則 令：，解得：所以箱底的邊長為40cm時(shí),箱子的容積最大，最大容積是16000cm這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)

14、化問題，建立的目標(biāo)函數(shù)是三次函數(shù)，用過去的知識(shí)求其最值往往沒有一般方法，即使能求出，也要涉及到較高的技能技巧. 而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，求三次目標(biāo)函數(shù)的最值就變得非常簡(jiǎn)單，對(duì)于實(shí)際生活中的優(yōu)化問題，如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)，簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，簡(jiǎn)單的無理函數(shù)，簡(jiǎn)單的指數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，或它們的復(fù)合函數(shù)，均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值. 可見，導(dǎo)數(shù)的引入，大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問題中的應(yīng)用空間. 通過上述的例子，我們可以看到導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系非常密切，它把各章的內(nèi)容聯(lián)系起來，合理的構(gòu)造導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，可以使我們?cè)谧鲱}時(shí)事半功倍，讓我們徹底了解導(dǎo)數(shù)的意義和作用，是我們輔助分析和解決問題必不可少的工具。 .參考文獻(xiàn)：1馬德炎. 常見的代數(shù)不等式的證明J.高等數(shù)學(xué)研究,2009。2劉玉蓮. 數(shù)學(xué)分析講義上冊(cè)M. 第四版.北京： 高等教育出版社.20043. 邵士敏. 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)M.第二版.北京： 科學(xué)出版社.2000. 4. 趙春明. 幾個(gè)重要不等式的應(yīng)用技巧J 無錫教育學(xué)院學(xué)報(bào)，20