托勒密定理及逆定理的證明_第1頁
托勒密定理及逆定理的證明_第2頁
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文檔簡介

1、又有比例式AB=羞得AB=ACAE_AD托勒密定理及逆定理的證明:托勒密定理：如果四邊形內(nèi)接于圓，那么它的兩對對邊的乘積之和等于它的對角線的乘積.證明：設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。在弦BC上，圓周角ZBAC=ZBDC,而在AB上，ZADB=ZACB。在AC上取一點K，使得ZABK=ZCBD；因為ZABK+ZCBK=ZABC=ZCBD+ZABD，所以ZCBK=ZABD。因此ABKDBC，同理也有厶ABDKBC。因此AK/AB=CD侶D，且CK/BC=DA/BD；(1)因此AKBD=ABCD，且CKBD=BCDA；(2)兩式相加，得(AK+CK)BD=ABCD+BCDA；但AK+CK=AC，因此AC

2、BD=ABCD+BCDA。證明：設(shè)四邊形ABCD有外接圓O,AC和BD相交于P，ZCPD=a(圖3107).若四邊形ABCD的四邊都相等，則四邊形ABCD為圓內(nèi)接菱形，即正方形，結(jié)論顯然成立.若四邊不全相等，不失一般性，設(shè)ABvAD.在弧AD上取一點E，使DE=AB，連結(jié)AE，BE，DEAEBD，于是ABDEDB，從而AD=BE.Sabcd=1ACXBDXsina四邊形ABCD2又S=丄(BEXBC+DEXCD)sinZEBC四邊形BCDE2而S四邊形ABCD=S四邊形BCDE，所以丄(BEXBC+DEXCD)sinZEBC=1ACXBDXsina22即(ADXBC+ABXCD)sinZEBC

3、=ACXBDXsina.由于Za=ZDAC+ZADB=ZDBC+ZEBD=ZEBC,所以ADXBC+ABXCD=ACXBD.托勒密定理逆定理的證明：證明：在任意四邊形ABCD中，連接AC,取點E使得Z1=Z2(即ZABE=ZACD)Z3=Z4(即ZBAE=ZCAD，)貝ABEsACD所以匹=AB，即BEAC=ABCD(1)CDAC而ZBAC=Z1+ZEAC,ZDAE=Z2+ZEAC得ZBAC=ZDAE所以ABCsAED相似.得：BC=AC即EDAC=BCAD(2)EDAD且Z5=Z6(1)+(2),得AC(BE+ED)=ABCD+ADBC又因為BE+EDnBD得：ABCD+ADBCnACBD當(dāng)BE+ED=BD時，點B,E,D共線此時因為Z3=Z4,Z5=Z6在厶ABC中，Z1+Z2+ZEAC+Z3+Z6=180。得：Z1+Z2+ZEAC+Z4+Z5=180。即ZBAD+ZBCD=180。得此時,A

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