第二節(jié)中心極限定理

1、第二節(jié)第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理 客觀實(shí)際中，許多隨機(jī)變量是由大量客觀實(shí)際中，許多隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個(gè)微小相互獨(dú)立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個(gè)微小因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，卻對總和有顯著影響，這種隨機(jī)變量往往近似地服從卻對總和有顯著影響，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。正態(tài)分布。 概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。 由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨

2、于由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我，故我們不研究們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量 nkknknkkknxdxexz111)()(的極限分布的極限分布. .下面介紹常用的三個(gè)中心極限定理。下面介紹常用的三個(gè)中心極限定理。xnnxplimniin 1 x-2t -dte212 設(shè)設(shè)x1,x2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且e(xi)=，d(xi)=2，i=1,2,，則，則 定理表明：定理表明：當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量充分大時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. .nnx

3、nii 1 由此可知：由此可知：對于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列對于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列 ，不管不管 服從什么分布，只要它們是同服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n n充充分大時(shí)，這些隨機(jī)變量之和分大時(shí)，這些隨機(jī)變量之和 近似地服從正態(tài)近似地服從正態(tài)分布分布 nx(1,2, )in 1niix 2,n nn ix(1) (1) 至少命中至少命中180發(fā)炮彈的概率發(fā)炮彈的概率; ;(2) (2) 命中的炮彈數(shù)不到命中的炮彈數(shù)不到200發(fā)的概率發(fā)的概率. .例例1.1.炮火轟擊敵方防御工事炮火轟擊敵方防御工事 100 次次, , 每次轟擊

4、命中每次轟擊命中的炮彈數(shù)服從同一分布的炮彈數(shù)服從同一分布, , 其數(shù)學(xué)期望為其數(shù)學(xué)期望為 2 , , 均方差均方差為為1.5. . 若各次轟擊命中的炮彈數(shù)是相互獨(dú)立的若各次轟擊命中的炮彈數(shù)是相互獨(dú)立的, , 求求100 次轟擊中次轟擊中解：解：設(shè)設(shè) x k 表示第表示第 k 次轟擊命中的炮彈數(shù)，次轟擊命中的炮彈數(shù)，100, 2 , 1,5 . 1)(, 2)(2 kxdxekk設(shè)設(shè) x 表示表示100次轟擊命中的炮彈數(shù)次轟擊命中的炮彈數(shù), ,則則,1001 kkxx由獨(dú)立同分布中心極限定理由獨(dú)立同分布中心極限定理, , 有有）， 1015200(nx 近近似似則則10021,xxx相互獨(dú)立，相

5、互獨(dú)立，又又,225)(,200)( xdxe(1) 180 xp(2)2000 xp9082. 0)3 . 1( 5 . 0115 . 0 ）（33. 115200 xp)33. 1(1 1520020015200152000 xp01520033.13 xp)33.13()0( )33.13(1 )0( 1520018015200 xp例例2.一食品店有三種蛋糕出售，由于售出哪一種蛋一食品店有三種蛋糕出售，由于售出哪一種蛋糕是隨機(jī)的，因而售出一只蛋糕的價(jià)格是一個(gè)隨機(jī)糕是隨機(jī)的，因而售出一只蛋糕的價(jià)格是一個(gè)隨機(jī)變量，它取變量，它取1(元元)，1.2 (元元)，1.5(元元)各值的概率分別各值

6、的概率分別為為0.3，0.2，0.5.某天售出某天售出300只蛋糕只蛋糕.求這天的收入求這天的收入至少達(dá)至少達(dá)400 (元元)的概率的概率解：解：設(shè)第設(shè)第i只蛋糕的價(jià)格為只蛋糕的價(jià)格為xi，i=1,2,300,則則xi的分的分布律為布律為p 1 1.2 1.5xi 0.3 0.2 0.5)(ixe)(2ixe22)(）（）（iiixexexd 由獨(dú)立同分布中心極限定理知：由獨(dú)立同分布中心極限定理知：即即)10(0489.030029.13003001），nxii 近近似似)10(8301.33873001），nxii 近近似似29. 1 5 . 05 . 12 . 02 . 13 . 01 5

7、 . 05 . 12 . 02 . 13 . 0122 713. 1 229. 1713. 1 0489. 0 4003001 iixp8301. 33874008301. 33873001 iixp39. 38301. 33873001 iixp)39. 3(1 0003. 09997. 01 )1(limxpnpnppnn 設(shè)設(shè)n重貝努利試驗(yàn)中事件重貝努利試驗(yàn)中事件a發(fā)生的次數(shù)為發(fā)生的次數(shù)為n,事事件件a在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p,則對于任給實(shí)則對于任給實(shí)數(shù)數(shù)x,總成立總成立dtext 2221 定理表明：定理表明：若若 服從二項(xiàng)分布，當(dāng)服從二項(xiàng)分布，當(dāng)n很大時(shí)，很

8、大時(shí)，nyny)1(pnpnpyn 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量 由此可知：當(dāng)由此可知：當(dāng)n很大，很大，0p1是一個(gè)定值時(shí)（或是一個(gè)定值時(shí)（或者說，者說，np(1-p)也不太小時(shí)），也不太小時(shí)），服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)分布b b（n，p)的的隨機(jī)變量隨機(jī)變量 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布 n(np,np(1-p).ny分布分布. .例例3 3 某次課堂測驗(yàn)，有某次課堂測驗(yàn)，有200200道選擇題，每一題有道選擇題，每一題有4 4個(gè)答個(gè)答案案. .試問一位完全不會的學(xué)生，想憑著猜測的方法回答試問一位完全不會的學(xué)生，想憑著猜測的方法回答此此200200題中的題

9、中的8080題，而答對題，而答對2525題至題至3030題的概率是多少？題的概率是多少？設(shè)答對的題數(shù)為設(shè)答對的題數(shù)為x，則，則解解: :xb(80,0.25),)10(1520），nx 近近似似，2025. 080)( xe，1575. 025. 080)( xd3025 xp1520301520152025 xp58. 2152029. 1 xp)29. 1()58. 2( 0936. 09015. 09951. 0 例例4 4 某電視機(jī)廠每周生產(chǎn)某電視機(jī)廠每周生產(chǎn)1000010000臺電視機(jī)，但它的顯像臺電視機(jī)，但它的顯像管車間的正品率為管車間的正品率為0.80.8，為了能以，為了能以0.

10、9970.997的概率保證出的概率保證出廠的電視機(jī)都裝上正品顯像管，該車間每周應(yīng)生產(chǎn)多廠的電視機(jī)都裝上正品顯像管，該車間每周應(yīng)生產(chǎn)多少只顯像管？少只顯像管？解解: :設(shè)該車間每周生產(chǎn)設(shè)該車間每周生產(chǎn)n只顯像管，其中正品的個(gè)數(shù)只顯像管，其中正品的個(gè)數(shù)為為x，則，則 xb(n,0.8),)10(4.08.016.08.0），nnnxnnx 近近似似，nxe8 . 0)( nnxd16. 02 . 08 . 0)( 10000 xp4 . 08 . 0100004 . 08 . 0nnnnxp 997. 0)4 . 08 . 010000(1 nn997. 0)4 . 0100008 . 0( nn即：即：75. 24 . 0100008 . 0 nn查表，知查表，知從而得：從而得：7 .12654 n即該車間每周至少應(yīng)生產(chǎn)即該車間每周至少應(yīng)生產(chǎn)12655只顯像管，才能以只顯像管，才能以0.9