多元平穩(wěn)時間序列ARIMAX模型的應(yīng)用

1、多元平穩(wěn)時間序列ARIMAX模型的應(yīng)用多元平穩(wěn)時間序列ARIMAX模型的應(yīng)用汪遠征,徐雅靜(鄭州輕工業(yè)學(xué)院信息與計算科學(xué)系,鄭州450002)摘要:本文介紹多元平穩(wěn)時間序列ARIMAX模型的建立方法,并將APJMAX模型應(yīng)用于我國第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值,固定資產(chǎn)投資和GDP數(shù)據(jù)的分析與預(yù)測,得到較為滿意的結(jié)果.關(guān)鍵詞:I模型;時間序列;預(yù)測中圖分類號:O212文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1o026487(2o07)09013203近幾年來,很多學(xué)者利用時間序列模型研究經(jīng)濟指標(biāo)的變化規(guī)律.有些采用一元時間序列的ARIMA模型,ARIMA模型是研究經(jīng)濟系統(tǒng)中一元時間序列變化規(guī)律的有效方法,但由于ARIMA模型只

2、涉及一個變量,無法表達經(jīng)濟系統(tǒng)中變量間相互影響的關(guān)系;有些采用協(xié)整分析,但大都停留在兩個或多個時間序列的簡單回歸模型及修正誤差模型上,用以進行經(jīng)濟結(jié)構(gòu)分析,雖然也能夠較好地解釋經(jīng)濟指標(biāo)的相互影響,但由于沒有考慮各時間序列自回歸作用,在預(yù)測方面仍不盡如人意;還有一些學(xué)者利用ARIMAX模型描述經(jīng)濟系統(tǒng)中多元時間序列的變化規(guī)律,但較多只是構(gòu)建了含有一個輸入序列的ARIMAX模型,在現(xiàn)實中,很多時間序列除有其自身的變化規(guī)律外,還會受到其它多個時間序列的影響,利用單一時間序列的ARIMA模型或含有一個輸入時間序列的ARIMAX模型,由于計量模型不夠完整,均無法很好地表達經(jīng)濟系統(tǒng)中多元時間序列的變化規(guī)律

3、,因此,有必要建立含有多個輸入變量的ARIMAX模型.本文首先介紹ARIMAX模型的結(jié)構(gòu)與建立方法,然后將ARIMAX模型應(yīng)用于我國固定資產(chǎn)投資總額,第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值和GDP數(shù)據(jù)的分析上,以建立較為完整的計量模型,達到更好地描述三者之間的影響關(guān)系,更有效地對GDP預(yù)測的目的.?1ARIMAX模型的結(jié)構(gòu)ARIMAX模型的構(gòu)造思想是:假設(shè)響應(yīng)序列Y和輸入變量序列(即自變量序列)xIlXa,xh均平穩(wěn),首先構(gòu)建響應(yīng)序列和輸入變量序列的回歸模型:FBx式中,中(B)為第i個輸入變量的自回歸系數(shù)多項式,(B)為第i個輸入變量的移動平均系數(shù)多項式,l為第i個輸入變量的延遲階數(shù),為回歸殘差序列.132統(tǒng)計與決策

4、2007年9月(理論版)因為Yt和XIt,xa,xh均平穩(wěn),平穩(wěn)序列的線性組合仍然是平穩(wěn)的,所以殘差序列為平穩(wěn)序列:s(一(I)i(B)-it使用ARMA模型繼續(xù)提取殘差序列中的相關(guān)信息.最終得到的模型為:tat模型(1)被稱為動態(tài)回歸模型,簡記為ARIMAX.式中,中(B)為殘差序列自回歸系數(shù)多項式;(B)為殘差序列移動平均系數(shù)多項式:at為零均值白噪聲序列.2ARIMAX模型的建立步驟(1)首先對響應(yīng)序列Yt和各輸入變量序列x-做平穩(wěn)性檢驗:(2)對經(jīng)過適當(dāng)差分后平穩(wěn)的輸入序列x建立ARMA模型,以產(chǎn)生白噪聲序列:s器x(3)對經(jīng)過差分后平穩(wěn)的響應(yīng)序列y)實施同樣的變換:s=yIi_l2,

5、.k(4)考察序列與y;l的互相關(guān)系數(shù)以確定動態(tài)回歸模型的結(jié)構(gòu)】o1:(5)考察殘差序列f),并對其擬合模型:s=at式中at為零均值白噪聲序列.3ARIMAX模型的應(yīng)用實例下面以我國歷年固定資產(chǎn)投資總額,第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值和GDP數(shù)據(jù)(見表1)為例,介紹ARIMAX模型的建模過程及SAS實現(xiàn),并通過模型預(yù)測未來若干年內(nèi)國民生產(chǎn)總值GDP的變化情況.表1我國歷年固定資產(chǎn)投資總額,第三產(chǎn)業(yè)和GDP數(shù)據(jù)(單位:億元)固定資第三產(chǎn)固定資第三產(chǎn)年份產(chǎn)投資業(yè)產(chǎn)值GDPgdp年份產(chǎn)投資業(yè)產(chǎn)值GDPs,tpI總額xI】Y總額xI】Y1980910.9994.24545.6199313072.3l1992.2353

6、33.919819611090.5489l_6199417O42.116281148197.919821230.41178.85323.419952o019.32o094.360793.719831430.11355.75962.7199622913.523455.87l176.619841832.91806.97208.1199724941.127165.47897319852543.22607.89O161998284o6.230780.184402l319863120.63018.610275.2199929854.734095.389677.119873791.736O2.712058

7、.620o032917.738942.599214.619884753.84624.615O42.82o0137213.544626.7109655.219894410.45486.316992.32o0243499.950197.3120332.7199o45175933.418667.82o0355566.656318.1135822.819915594.57390.72178l_520o470477.465018.2159878.319928080.1942426923.52o0588773.672967.7183084.83.1數(shù)據(jù)整理用序列xIj,yj和gdpj分別表示1980年-2

8、005年我國固定資產(chǎn)投資總額,第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值和GDP數(shù)據(jù),并將它們存放在數(shù)據(jù)集dthg中,首先做出原數(shù)據(jù)序列(x,y和gdp),對數(shù)數(shù)據(jù)序列(ln)(,lny和lngdp)以及對數(shù)一階差分后序列(Vlnx,Vlny和Vlngdp)的散點圖(分別見圖1的左,中和右):圖1序列的散點圖圖形顯示原數(shù)據(jù)序列與對數(shù)序列均為有趨勢的非平穩(wěn)時間序列,而對數(shù)序列一階差分后有望是平穩(wěn)的.3.2平穩(wěn)性檢驗對三個序YUVlnxt,VlnytVlngdpt)的單位根檢驗結(jié)果分別為:(1)lnxt的單位根檢驗表明模型lnx:+丁導(dǎo)一拒l一中115絕原假設(shè),這說明,對數(shù)差分后的固定資產(chǎn)投資序列是具有常數(shù)均值的平穩(wěn)序列,該平

9、穩(wěn)序列1階自相關(guān),如圖2所示.圖2(Vtry的單位根檢驗結(jié)果(2)yt的單位根檢驗表明模型nyt拒絕原假設(shè),這說明,對數(shù)差分后的第三產(chǎn)業(yè)序列是具有常數(shù)均值的平穩(wěn)序列,該平穩(wěn)序列1階自相關(guān),如圖3所示.(3)Vlngdpt的單位根檢驗顯示表明模型lngdp:+拒絕原假設(shè),這說明,對數(shù)差分后的GDP序列是具有常數(shù)均值的平穩(wěn)序列,該平穩(wěn)序列1階自相關(guān),如圖4所示.3.3建模(1)首先對輸入變量序列(固定資產(chǎn)投資總額對數(shù)一階差分序列和第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值對數(shù)一階差分序列)lnx,和Vlny建模.使用相對最優(yōu)法定階,確定模型均為ARMA(0,1).分別對輸入變量序列l(wèi)nx和Vlny建模并檢驗:對lnx建模:參數(shù)

10、估計及檢驗顯示,參數(shù)顯著非零.CondltIonalLea8tSquareal|tDaatiOnPnt口E#ti.attv.lPr;fLg.毒器箸甕2;立囂岳g器?殘差自相關(guān)檢驗結(jié)果表明該擬合模型顯著成立擬合模型的具體形式為:lnx:0.176477+(1+0.52821B)eXVlny建模:參數(shù)估計及檢驗顯示,參數(shù)顯著非零.殘差自相關(guān)檢驗結(jié)果表明該擬合模型顯著成立:擬合模型的具體形式為:1nyL=0.168699+(1+0.70173B)e統(tǒng)計與決策2007年9月(理論版)133(2)預(yù)白噪聲處理利用上述模型分別過濾輸入變量序列以獲取白噪聲殘差序列,再用同樣的模型分別過濾響應(yīng)序列,并計算過濾

11、后響應(yīng)序列和過濾后輸入序列的互相關(guān)系數(shù).由Vlngdp與lnx的互相關(guān)系數(shù)圖中可以看出,只有延遲0階和1階的互相關(guān)系數(shù)顯著非零,說明輸出序列與輸入序列有一階滯后效應(yīng).圖5VIrIgdp與Vlnx的互相關(guān)系數(shù)圖由lngdp與Vlny的互相關(guān)系數(shù)圖中可以看出,只有延遲0階的互相關(guān)系數(shù)顯著非零,說明輸出序列與輸入序列無滯后效應(yīng).圖6VIn【gdp與Vlny的互相關(guān)系數(shù)圖(3)模型定階根據(jù)互相關(guān)系數(shù)圖并經(jīng)實驗可取如下結(jié)構(gòu)模型:lngdp,=器1nx,+tazo1nyI+鞏擬合該ARIMAX模型,利用條件最小二乘估計方法,所得參數(shù)估計顯著非零(圖7).殘差鞏的自相關(guān)和互相關(guān)檢驗(圖8)表明,模型殘差的自

12、相關(guān)函數(shù)顯著為零;ln,lny與鞏的互相關(guān)函數(shù)顯著為零,即模型顯著有效.134統(tǒng)計與決策2007年9月(理論版)圖8殘差at的自相關(guān)和互相關(guān)檢驗條件最小二乘估計方法得到的該模型口徑如下:(4)模型表示為:lngdp1048479Bl22B1n一.一t0.5699421Hyt110.56104B或表示為:nsdp=lnx,+0.5699421ny.+_(11麗(1一B)(10.561O4B)4預(yù)測圖9模型口徑利用ARIMAX模型進行短期預(yù)測,GDP對數(shù)序列向后2期,再向前5期的預(yù)測結(jié)果如下:圖10預(yù)測結(jié)果取指數(shù)后得到GDP的20042007年的模型預(yù)測數(shù)據(jù)如下(單位:億元):年度2o042o05

13、2o062o072o08模型預(yù)測1571569183891.3213843.6247904.82869O3實際觀測值159586.7183956.1相對誤差1.52%0.04%5圖形擬合0引言處理異方差問題時的三個R2張衛(wèi)東,雷敏(西南財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院,成都610074)摘要:在處理異方差問題時會出現(xiàn)三個可決系數(shù)(擬合優(yōu)度).本文通過對這三個R含義的解釋說明,就它們的作用,功效以及關(guān)系進行了分析探討,以便在應(yīng)用中有一個清楚的界定.關(guān)鍵詞:異方差;加權(quán)最小二乘法;可決系數(shù)(擬合優(yōu)度)中圖分類號:O212文獻標(biāo)識碼:A文章編號:10026487(2007)09013502傳統(tǒng)的回歸分析都是在隨機擾

14、動項同方差,無自相關(guān)等古典假定下進行的.但在實際問題中,尤其是當(dāng)使用截面數(shù)據(jù)時,通常會遇到同方差性不滿足的情況,即隨機擾動項出現(xiàn)異方差.此時若使用普通最小二乘估計(OLs)(這時會出現(xiàn)一個R2),估計量將失去有效性,進而使有關(guān)的檢驗失效.因此通常采用加權(quán)最小二乘法(WLS),消除異方差而得到估計量,這時也會出現(xiàn)一個R.但WLs實際上是對原始模型進行變換,這個R是由變換后的變量計算出的,它并不能代表原始解釋變量對原始被解釋變量的擬合優(yōu)度.而在Eveiws等統(tǒng)計軟件的WLs操作輸出結(jié)果中還有一個未加權(quán)的unweighted)R,它反映的是在WLs估計量下,用原始解釋變量和原始被解釋變量的數(shù)據(jù)計算的

15、擬合優(yōu)度.本文的目的就是比較分析這三個R的真正含義和對模型擬合程度的解釋能力.1三個R的含義和作用考慮多元回歸模型的矩陣形式Y(jié)=XI3+u或其離差形式y(tǒng)=xp+u為了得到直觀的模型圖形,對模型作圖,該模型的擬合效果圖如下:圖l1左為GDP對數(shù)序列擬合圖,圖l1右為GDP序列擬合圖.圖中星號為GDP序列的觀測值,實曲線為模型擬合值,虛曲線為模型擬合值95%的置信曲線.直觀顯示動態(tài)回歸模型擬合效果良好.6結(jié)論圖11圖形擬合國民生產(chǎn)總值GDP的變化受眾多因素的影響,單純使用ARIMA模型在預(yù)測GDP的變化往往不盡如人意.考慮到我國現(xiàn)階段,固定資產(chǎn)投資總額與第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值的變化對GDP的變化有著較大的影

16、響,將固定資產(chǎn)投資總額與第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值時間序列作為輸入變量引入到GDP預(yù)測的模型中,建立ARIMAX模型,并利用模型對20042008年的國內(nèi)生產(chǎn)總值進行了預(yù)測.從模型的預(yù)測值和擬合圖形可以看出,預(yù)測的效果很好.參考文獻:【llG.E.P.BOX,GM.Jenkins.TimeSeriesAnalysis:ForecastingandControl【M.北京:人民郵電出版社,2o05.【2劉穎,張智慧.中國人均GDP19522002時間序列分析【Jj.統(tǒng)計與決策,2o05,(2)(下).DGuoJianping,HeJianmin.CointegrationAnalysiswithStmeturalChangesbetweenConsumptionandEconomicGrowthinChina.JournalofSoutheastUniversity(EnglishEdition),2o06,22,(2):238241.【5我國GDP,消費,投資和進出1:2貿(mào)易之間的協(xié)整分析J1.統(tǒng)計與決策,2o05,(5)(下).【6劉建平,岑倩青.線性回歸模型與傳遞函數(shù)模型在時間