第六章定積分應用習題課

1、定積分應用定積分應用 習題課習題課一、主要內容一、主要內容理理 論論 依依 據據微微 元元 法法名稱釋譯名稱釋譯所求量所求量的特點的特點解解 題題 步步 驟驟定積分應用中的常用公式定積分應用中的常用公式1 1、理論依據、理論依據.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定積分定積分的微分的的微分的分就是分就是這表明連續(xù)函數的定積這表明連續(xù)函數的定積于是于是即即的一個原函數的一個原函數是是則它的變上限積分則它的變上限積分上連續(xù)上連續(xù)在在設設ududxxfdxxfxduxfdttfxubaxfbabaxa 2 2、名稱釋譯、名稱釋譯.)()(:)()(,)2(方方法法稱稱微微元元法法計

2、計算算積積分分或或原原函函數數的的這這種種取取微微元元積積分分的的無無限限積積累累到到從從就就是是其其微微分分所所求求總總量量知知由由理理論論依依據據dxxfdxxfubadxxfduaba 3 3、所求量的特點、所求量的特點（1）u是是與與一一個個變變量量x的的變變化化區(qū)區(qū)間間 ba,有有關關的的量量；（2）u對于區(qū)間對于區(qū)間 ba,具有可加性，就是說，具有可加性，就是說，如果把區(qū)間如果把區(qū)間 ba,分成許多部分區(qū)間，則分成許多部分區(qū)間，則u相相應地分成許多部分量，而應地分成許多部分量，而u等于所有部分量之等于所有部分量之和；和；（3）部分量）部分量iu 的近似值可表示為的近似值可表示為ii

3、xf )( ；就可以考慮用定積分來表達這個量就可以考慮用定積分來表達這個量u.4 4、解題步驟、解題步驟1)根據問題的具體情況，選取一個變量例如根據問題的具體情況，選取一個變量例如x為為積分變量，并確定它的變化區(qū)間積分變量，并確定它的變化區(qū)間,ba；2）設想把區(qū)間）設想把區(qū)間,ba分成分成n個小區(qū)間，取其中任個小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為一小區(qū)間并記為,dxxx ，求出相應于這小區(qū)，求出相應于這小區(qū)間的部分量間的部分量u 的近似值如果的近似值如果u 能近似地表能近似地表示為示為,ba上的一個連續(xù)函數在上的一個連續(xù)函數在x處的值處的值)(xf與與dx的乘積，就把的乘積，就把dxxf)(稱為量稱

4、為量u的元素且記作的元素且記作du，即，即dxxfdu)( ；3）以以所所求求量量u的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達達式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfu)(，即即為為所所求求量量u5 5、定積分應用的常用公式、定積分應用的常用公式(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積直角坐標情形直角坐標情形xyoaab)(xfy badxxfa)(xyoaab)(2xfy )(1xfy badxxfxfa)()(12參數方程所表示的函數參數方程所表示的函數如果曲邊梯形的曲邊為參數方程如果曲邊梯形的曲邊為參數方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()

5、(ttdttta （其其中中1t和和2t對對應應曲曲線線起起點點與與終終點點的的參參數數值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導導數數，)(ty 連連續(xù)續(xù).極坐標情形極坐標情形xo d )( r da2)(21 xo)(2 r)(1 r da)()(212122(2) 體積體積dxxfvba2)( dyyvdc2)( cdxyo)(yx xyodxx 平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積)(xaxdxx oabx badxxav)(3) 平面曲線的弧長平面曲線的弧長a曲線弧為曲線弧為)(xfy 弧長弧長dxysba 21xoyab dyxd

6、xx b曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導導數數 弧長弧長dttts )()(22c曲線弧為曲線弧為)( rr )( 弧長弧長 drrs )()(22(4) 旋轉體的側面積旋轉體的側面積bxaxfy , 0)( badxxfxfs)(1)(22側側xyodxx )(xfy (5) 細棒的質量細棒的質量)(為為線線密密度度x lldxxdmm00)( oxlxdxx )(x (6) 轉動慣量轉動慣量 babayydxxxdii)(2 abxyxdxx o(7) 變力所作的功變力所作的功 babadxxfdww)()(xfo abxd

7、xx x (8) 水壓力水壓力 babadxxxfdpp)( )(為為比比重重 xyoabxdxx )(xf(9) 引力引力 llllyyxadxgadff2322)( . 0 xf)(為引力系數為引力系數gxyxdxx oal l (10) 函數的平均值函數的平均值 badxxfaby)(1(11) 均方根均方根 badxxfabs)(12二、典型例題二、典型例題.3;2;1)0(sincos00033體積及表面積體積及表面積體體它繞軸旋轉而成的旋轉它繞軸旋轉而成的旋轉它的弧長它的弧長它所圍成的面積它所圍成的面積求求星形線星形線已知已知 ataytaxa aoyx例例1 1解解.10a設面積

8、為設面積為由對稱性由對稱性,有有 aydxa04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20l設弧長為設弧長為由對稱性由對稱性,有有 2022)()(4dtyxl 20sincos34tdtta.6a .,30vs 體積為體積為設旋轉體的表面積為設旋轉體的表面積為由對稱性由對稱性,有有 axdxyys02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyv022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 例例2 2?,)2(;)0()1( .至

9、少需作功多少至少需作功多少若再將滿池水全部抽出若再將滿池水全部抽出面上升的速度面上升的速度時水時水求在池中水深求在池中水深內注水內注水的半球形水池的半球形水池的流量往半徑為的流量往半徑為以每秒以每秒rhhra 解解如圖所示建立坐標系如圖所示建立坐標系.).0()(222ryrryx 半圓的方程為半圓的方程為于是對半圓上任一點于是對半圓上任一點,有有).0(2)(2222ryyryryrx oxyrh時時水水池池內內水水的的體體積積為為為為的的球球缺缺的的體體積積即即水水深深故故半半球球內內高高為為的的立立體體軸軸旋旋轉轉而而成成圓圓繞繞因因已已知知半半球球可可看看作作此此半半hhy,)1(dy

10、yrydyxhvhh 0202)2()(,th時已注水的時間為時已注水的時間為又設水深又設水深,)(athv 則有則有atdyyryh 02)2(即即得得求導求導兩邊對兩邊對,t,)2(2adtdhhrh 故所求速度為故所求速度為.)2(2hrhadtdh .)2(所需的功所需的功水全部提升到池沿高度水全部提升到池沿高度需的最小功即將池內需的最小功即將池內將滿池的水全部抽出所將滿池的水全部抽出所的功約為的功約為所需所需降到降到抽水時使水位從抽水時使水位從dyyryy )0(,222yryx 又又.)(2(2dyyryrydw 即功元素即功元素故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為故將滿池水全部提

11、升到池沿高度所需功為 rdyyryryw02)(2( rdyyryyr0322)32(.44r 例例3 3.,4,20,3050,的靜壓力的靜壓力求閘門一側所受的水求閘門一側所受的水米米頂部高出水面頂部高出水面如果閘門如果閘門米米高為高為米米米和米和分別為分別為梯形的上下底梯形的上下底如圖所示如圖所示一等腰梯形閘門一等腰梯形閘門解解如圖建立坐標系如圖建立坐標系,xyo164 xdxx ab的方程為的方程為則梯形的腰則梯形的腰 ab.2321 xy此閘門一側受到靜水壓力為此閘門一側受到靜水壓力為 160)2321(2dxxgxp 16023)233(xxg )25623409631( g g 6

12、7.4522 ).(1043. 47牛牛 測測 驗驗 題題一、一、選擇題：選擇題： 1 1、 曲線曲線xyln 與直線與直線ex1 ，ex 及及0 y所圍成所圍成 的區(qū)域的面積的區(qū)域的面積 s（ ） ；） ； （a a）)11(2e ； （b b）ee1 ； （c c）ee1 ； （d d）11 e . . 2 2、曲線、曲線 sin2 r與與 2cos2 r所圍圖形公共部分所圍圖形公共部分 的面積的面積 s（ ） ；） ； （a a）23112 ； （b b）41324 ； （c c）21312 ； （d d）2316 . . 3 3、曲曲線線,cos3 ax 3sinay 所所圍圍圖圖形形

13、的的面面積積 s（ ） ； （a a）2323a ； （b b）283a ； （c c）221a； （d d）2161a . .4 4、由球面、由球面9222 zyx與旋轉錐面與旋轉錐面2228zyx 之之 間包含間包含z軸的部分的體積軸的部分的體積 v( )( )； （a a） 144； （b b） 36； （c c） 72； （d d） 24 . .5 5、用一平面截半、用一平面截半r徑為徑為的球，設截得的部分球體高的球，設截得的部分球體高 為為)20(rhh 體體v積為積為，則，則 v（ ） ；） ；（a a）)2(32hrh ； （b b）)3(32hrh ；（c c）)2(2hrh

14、； （d d）)3(42hrh . . 6 6、曲線、曲線422 xxy上點上點)4,0(0m處的切線處的切線 tm0 與曲線與曲線)1(22 xy所圍圖形的面積所圍圖形的面積 s（ ） ；） ； （a a）;49 （b b）94； （c c）1213； （d d）421. .7 7、拋物線、拋物線pxy22 )0( p自點自點)0,0(至點至點),2(pp 的一段曲線弧長的一段曲線弧長l= =（ ） ；） ； (a)(a) pppln)21ln(22 ； (b)(b) )21ln(22212ppp； (c)(c) )21(ln22 pp； (d)(d) )21ln(22 p . .8 8、曲

15、曲線線xhry ，hx 0，軸軸繞繞x旋旋轉轉所所得得旋旋轉轉體體 的的側側面面積積 s（ ） ； （a a）22hrr ； （b b）22hrh ； （c c）22hrhr ； （d d）222hrr . . 二二、在在區(qū)區(qū)間間 e,1內內求求0 x一一點點，使使,0,ln yxy 1 y及及0 xx 所所圍圍成成兩兩塊塊面面積積之之和和為為最最小小 . . 三三 、設設曲曲邊邊梯梯形形是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy ) 0)( xf， 軸軸x與與兩兩直直線線bxax ,所所圍圍成成的的，求求證證：存存在在 直直線線 x ),(ba 將將曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積平平分分 . . 四四

16、、求求擺擺線線 )cos1()sin(tayttax，)20( t 1 1、軸軸繞繞 x旋旋轉轉一一周周所所成成曲曲面面的的面面積積 ； 2 2、軸軸繞繞 y旋旋轉轉一一周周所所成成曲曲面面的的面面積積 . . 五五、有有一一旋旋轉轉體體，它它由由曲曲線線211xy ，軸軸y，軸軸x 以以及及直直線線1 x所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形軸軸繞繞 y旋旋轉轉而而 成成，已已知知其其上上任任一一點點的的體體密密度度等等于于該該點點到到旋旋轉轉軸軸 的的距距離離，求求它它的的質質量量 . . 六六、以以a每每秒秒的的流流量量往往半半r徑徑為為的的半半球球形形水水池池內內注注水水 1 1、 求求在在水水池池