曲線積分及曲面積分(續(xù))

1、2021-10-191 。 設(shè)有一張曲面設(shè)有一張曲面, 其邊界曲線是分段光其邊界曲線是分段光滑的閉曲線滑的閉曲線, 且曲面光滑且曲面光滑, 面密度面密度 (x, y, z)在在上連續(xù)上連續(xù)，求曲面求曲面的質(zhì)量的質(zhì)量。2021-10-192xyz0iS (1) 任意分割任意分割為為 n 塊小曲面塊小曲面), 2 , 1(niSi (2) 任意取一點任意取一點,),(iiiiS 則小曲面的質(zhì)量：則小曲面的質(zhì)量：,),(iiiiiSM ),(iii (3) ,),(11iiiiniiniSMM .),(lim10iiiiniSM (4).2021-10-193 上上有有界界，在在光光滑滑曲曲面面設(shè)設(shè)

2、 ),(zyxf(2)(3)(4);),(,),(iiiiiiiiSfS 作作任任取取 ;),(1iiiiniSf 和和作作存存在在，iiiiniSf ),(lim10 max,iS 的直徑則稱此極限值為則稱此極限值為f (x, y, z)在曲面在曲面上上。若若(1) 任意分割任意分割為為 n 塊小曲面塊小曲面), 2 , 1(niSi 2021-10-194記作記作( , , ).f x y z dS 01( , , )lim(,)niiiiif x y z dSfS 即即 積分曲面積分曲面dS 曲面面積微元曲面面積微元可見可見，曲面形構(gòu)件的質(zhì)量曲面形構(gòu)件的質(zhì)量： dSzyxM),( 面密度

3、面密度),(zyx 又稱為又稱為，( , , )1x y z 當(dāng)當(dāng)時時， dSS曲曲面面的的面面積積2021-10-195(1) f (x, y, z) 雖為三元函數(shù)雖為三元函數(shù)，但點但點(x, y, z)被被限制在曲面限制在曲面上上, 變量變量 ，而依賴于曲面而依賴于曲面的方程的方程。(2)(3).),( dSzyxf若若 f (x, y, z) 在光滑曲面在光滑曲面 上連續(xù)上連續(xù)，則則上述曲面積分存在。上述曲面積分存在。(4) 其性質(zhì)與第一類曲線積分相仿。其性質(zhì)與第一類曲線積分相仿。特別特別，時時，如如分分塊塊光光滑滑當(dāng)當(dāng))(21 若若是是, 則記作則記作.21dSfdSfdSf 2021

4、-10-196設(shè)曲面設(shè)曲面 ：(1)(2)(3);xyDxoy平面上的投影區(qū)域為平面上的投影區(qū)域為在在 z = z(x, y) 在在Dxy 上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；f (x, y, z) 在光滑曲面在光滑曲面上連續(xù)上連續(xù)；上上，在在xyD.122dxdyzzdSyx 2021-10-197 , , ( , )f x y z x y dSzyxf),(同理同理：則則投影區(qū)域：投影區(qū)域：,),(:yzDzyxx .1,),(22dydzxxzyzyxfzyDyz 則則投影區(qū)域：投影區(qū)域：,),(:xyDyxzz 則則投投影影區(qū)區(qū)域域：,),(:xzDzxyy dSzyxf),( dSzy

5、xf),(.1),(,22dxdzyyzzxyxfzxDxz .122dxdyzzyx xyD 2021-10-198D2az xy例例1：3(1,2,3)iz dSi 計計算算222221:)1(yxzyxaz 在在內(nèi)部的部分內(nèi)部的部分。把把1 投影到投影到 xoy 平面平面，2221:yxaz .2:222ayxD dxdyyxaa)(222 .835a 13Sdzrdrdaa 2020 )(22ra 221xydSzz dxdy 1 D222a dxdyaxy 2021-10-199222222:)2(yxazyxz 在在 內(nèi)部的部分內(nèi)部的部分。222:yxz .2:222ayxD Sd

6、.105a )3 , 2 , 1(3 idSzi計計算算把把2 投影到投影到 xoy 平面平面， 23Sdz2322)( yxdxdy2 rdrda 20202 3rdxdy2DD2az xy2 例例1：2021-10-1910D2az 0 xy222223:)3(yxzyxaz 與與 所圍區(qū)所圍區(qū),213 dSzdSz 2133583a 510a .40195a )3 , 2 , 1(3 idSzi 計算計算 33Sdz3 域的邊界曲面域的邊界曲面。例例1：2021-10-19113 2 1 , dSyx計計算算:0,0,01xyzxyz 與與所所圍圍區(qū)區(qū)域域 的的整整個個邊邊界界曲曲 面面

7、。例例2.111zxy, 0:1 x, 0:2 y, 0:3 z, 1:4 zyx dSxy 1 xydS 2 xydS 3 xydS 4 xydS4 2021-10-1912dyydxxx 10103.243 yzDdydz0 xzDdxdz0 xyDdxdyxydxdyxyxyD 3 1xydS= 0 2xydS= 0 3xydSdyydxxx 1010.241 4xydS dSxy0 + 0 + 241243.2431 3 2 1 111zxy4 2021-10-1913例例3：dSzyx)(222 求求);0(:222hzRyx 把把 投影到投影到y(tǒng)oz面上面上，則則22:yRx 0,

8、:,y zzhDRyR ? dSdydzxxdSzy221 dydzyRR22 R222Ryx hzyDzxy2021-10-1914dSzyx)(222 求求,:22yRx dydzyRRdS22 dSzyx)(222 )(22zR dydzyRR22 zyDdyyRR22 dzzR)(22 2 0hR R. )31(232hhRR dSzyx)(222)( 前前dSzyx)(222)( 后后20,:,y zzhDRyR 2021-10-19151. 設(shè)所討論的曲面都是光滑的設(shè)所討論的曲面都是光滑的，雙側(cè)的雙側(cè)的。如一張包圍某一空間區(qū)域的閉曲面如一張包圍某一空間區(qū)域的閉曲面，就有就有外側(cè)與內(nèi)

9、側(cè)之分外側(cè)與內(nèi)側(cè)之分。2021-10-1916觀察以下曲面的側(cè)觀察以下曲面的側(cè) ( (假設(shè)曲面是光滑的假設(shè)曲面是光滑的) )曲面分曲面分上上側(cè)和側(cè)和下下側(cè)側(cè)曲面分曲面分內(nèi)內(nèi)側(cè)和側(cè)和外外側(cè)側(cè)上側(cè)上側(cè)下側(cè)下側(cè)外側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè)2021-10-1917 （注注: : 本課程不討論此類曲面）本課程不討論此類曲面）把一條紙帶的一端扭把一條紙帶的一端扭180度，再和度，再和另一端另一端單側(cè)曲面例子（莫比烏斯帶）：單側(cè)曲面例子（莫比烏斯帶）：粘起來來得到一條莫比烏斯帶的模型。粘起來來得到一條莫比烏斯帶的模型。2021-10-1918用法向量的指向用法向量的指向方向余弦方向余弦 cos cos cos 0 為前

10、側(cè)為前側(cè) 0 為右側(cè)為右側(cè) 0 為上側(cè)為上側(cè) 0 為下側(cè)為下側(cè)外側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè)側(cè)的規(guī)定側(cè)的規(guī)定來指定曲面的側(cè)的方法如下來指定曲面的側(cè)的方法如下: 現(xiàn)用曲面上法向量的指向來定曲面的側(cè)現(xiàn)用曲面上法向量的指向來定曲面的側(cè),指定了側(cè)的曲面叫指定了側(cè)的曲面叫有向曲面有向曲面. 2021-10-1919zxy 2、設(shè)設(shè)是有向曲面是有向曲面， 在在上取小塊曲面上取小塊曲面S，S在在xoy面上的投影區(qū)域面積面上的投影區(qū)域面積,)(xy ()xy 假設(shè)假設(shè)S上各點處上各點處的法向量與的法向量與 z 軸正向的夾角軸正向的夾角 cos有相同符號有相同符號, 則則xyS)( 規(guī)定規(guī)定S在在xoy面上的投影面上的投影

11、時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)0cos00cos)(0cos)( xyxynn余弦余弦記為記為S 2021-10-1920類似規(guī)定類似規(guī)定：面上的投影面上的投影在在yozS yzS)( xzS)( 時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)0cos00cos)(0cos)( yzyz 時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)0cos00cos)(0cos)( xzxz面上的投影面上的投影在在xozS 2021-10-19213、引例引例:設(shè)穩(wěn)定流動設(shè)穩(wěn)定流動( 速度速度V 與時間與時間 t 無關(guān)的流動無關(guān)的流動 )的不可壓縮流體的速度場為常向量的不可壓縮流體的速度場為常向量速度場中有一有向平面速度場中有一有向平面 A ( (面積記為

12、面積記為A)A)求單位時間內(nèi)流向求單位時間內(nèi)流向 A A 一側(cè)的流體的體積，即流量一側(cè)的流體的體積，即流量先討論先討論：0n0n AA(在流體密度在流體密度 = 1= 1的假設(shè)下，數(shù)值上等于質(zhì)量的假設(shè)下，數(shù)值上等于質(zhì)量)：VVV000),()1( nVAV 則則,),()2(0 nV cosAV 則則0.V n A u u r rr r0.V n A u u r rr r2021-10-1922設(shè)流體設(shè)流體（密度為（密度為1 1）的速度場為的速度場為kzyxRjzyxQizyxPzyxV),(),(),(),( 為速度場中一片光滑有向曲面為速度場中一片光滑有向曲面，函數(shù)函數(shù)P, Q, R 在在

13、上連續(xù)上連續(xù)，求單位時間內(nèi)流向求單位時間內(nèi)流向的指定側(cè)的流量的指定側(cè)的流量 。zxy0iniViS ),(iii 2021-10-1923(1) 把把任意分成任意分成 n 個小塊曲面?zhèn)€小塊曲面Si ;(2) 在在Si 中任取一點中任取一點),(iii ( ,)iiiiVV ),(),(),(iiiiiiiiiRQP ,iiiRQP 上上其其它它各各點點處處的的流流速速；近近似似代代替替iS 用用處曲面的單位法向量處曲面的單位法向量用用),(iii cos,cos,cos0iiiin 向向量量；上上其其它它各各點點處處的的單單位位法法近近似似代代替替iS iiiSnV 0指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量

14、流流過過iS iiiiiiiSRQP coscoscos 2021-10-1924iiniiSnV 01)3(iiiiiiiniSRQP coscoscos1 xyiS )( i :平平面面上上的的投投影影在在xoySi ()cosixyiiSS （切平面過渡）同理同理：()cos,iyziiSS ()cos,izxiiSS )()()(1xyiizxiiyziiniSRSQSP zxyiS i 2021-10-1925)()()(lim10 xyiizxiiyziiniSRSQSP 4. 定義定義 設(shè)設(shè) R(x, y, z) 在光滑有向曲面在光滑有向曲面上有界上有界，任分任分為為n個小曲面?zhèn)€

15、小曲面,iS 在在xoy平面的投影平面的投影,)(xyiS 為為,),(iiiiS 任任取取作乘積作乘積,)(,(xyiiiiSR 01lim(,)()niiiixyiRS 若若存在存在，則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù) iS 。max,iS（4）記 的直徑2021-10-1926類似可定義類似可定義： 01lim(,)()niiiiyziPS 01lim(,)()niiiizxiQS 01lim(,)()niiiixyiRS 記作記作dxdyzyxR),( dydzzyxP),( dzdxzyxQ),( 2021-10-1927：.),(),(),(dxdyzyxRdzdxzyxQdyd

16、zzyxP (1)函數(shù)函數(shù) P, Q, R 中變量中變量 ，受到受到曲面曲面方程的限制方程的限制；(2)RdxdyQdzdxdydzP 前前述述流流量量,SdV ,VP Q R r r其其中中,dxdydzdxdydzSd 為為有向面積微元有向面積微元2021-10-1928(3) 對坐標(biāo)的曲面積分又稱為對坐標(biāo)的曲面積分又稱為，如如：，當(dāng)當(dāng)21 是是有有向向曲曲面面， 取取相相反反側(cè)側(cè)，與與 則則 其性質(zhì)與第二類曲線積分相仿其性質(zhì)與第二類曲線積分相仿。 21則則2021-10-1929取取上上側(cè)側(cè)，：設(shè)設(shè)),(yxzz ,xyDxoy平面上的投影區(qū)域為平面上的投影區(qū)域為且在且在，上具有一階連續(xù)

17、偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在在xyDyxz),(則則上上連連續(xù)續(xù)，在在 ),(zyxR dxdyzyxR),(cos0,()()ixyixyS 取取上上側(cè)側(cè)，取取下下側(cè)側(cè)，：設(shè)設(shè)),(yxzz dxdyyxzyxRxyD),(, dxdyzyxR),( (cos0,()() )ixyixyS 取取下下側(cè)側(cè)，dxdyyxzyxR),(, xyD 2021-10-1930類似類似，),(zyxx ：設(shè)設(shè) ),(zxyy ：設(shè)設(shè) dzdyzyxP ),( dxdzzyxQ),(取取dydzzyPzyD, , ),(zyx()()取取dxdzzxQxzD, ),(zxy()()2021-10-1931

18、例例1：)2, 1( idxdyzi部分的下側(cè)；部分的下側(cè)；在在10:221 zyxz zxy,:221yxz 11:22 yxDxy取下側(cè)，取下側(cè)，1 .0cos 1dxdyz dxdy22yx yxD 20d 10rdrr.32 1 12021-10-1932所所圍圍立立體體的的外外側(cè)側(cè)面面。與與1:222 zyxz221:yxz 1: z(取上側(cè)取上側(cè))2, 1( idxdyzi(取下側(cè)取下側(cè)).12 1:22 yxDxy 1dxdyz.32 dxdyz dxdyyxD1.12 dxdyz 2 32.3 zxy11 1 例例1：2021-10-1933例例2：,sin12dxdyyedy

19、dzyxx 22:10,2xyzz介于之間的部分的外側(cè)。21yx : (前后曲面前后曲面):zyD 11y20 z曲面向曲面向 xoy平面投影時平面投影時，曲面向曲面向 yoz平面投影時平面投影時，dxdyyexsin 即即= 0 .投影為曲線，面積為零投影為曲線，面積為零12zxy2021-10-1934,sin12dxdyyedydzyxx :zyD 11y20 zdydzyx21 原原式式 dydzy21zyD)1(2y dydzy21zyD)1(2y zyDdydzy )1(22.316 曲面向曲面向 yoz平面投影時平面投影時，21yx : (前后曲面前后曲面)22:10,2xyzz

20、介于之間的部分的外側(cè)。例例2：12zxy2021-10-1935dSRQP)coscoscos( RdxdyQdzdxPdydz處處上上點點為為其其中中),(cos,cos,coszyx 法向量的方向余弦。法向量的方向余弦。 ,是是空空間間光光滑滑有有向向曲曲面面設(shè)設(shè) ,),(),(),(上連續(xù)上連續(xù)在在 zyxRzyxQzyxP:則可以證明則可以證明2021-10-1936例例： dzdxyzyxfdydzxzyxf),(2),(其中其中 f (x, y, z) 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)， 是平面是平面1 zyx在第四卦限部分的上側(cè)在第四卦限部分的上側(cè)。 的法向量的法向量1 , 1, 1 n,3

21、1cos ,31cos 31cos dxdyzzyxf),( xyz11-12021-10-1937 cos),(2cos),(yzyxfxzyxf則則，原式原式 =dSzzyxfcos),( )31(),(231),(yzyxfxzyxfdSzzyxf31),( dSzyx)(31 xyDdxdyyxyx3)1(3121 xy1-1xyD dS1311: zyx 2021-10-1938 2021-10-1939 2021-10-1940 是是在點在點(x, y, z)處的法向量處的法向量的方向余弦的方向余弦。設(shè)空間閉區(qū)域設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面由分片光滑的閉曲面),(),(),(,z

22、yxRzyxQzyxP函函數(shù)數(shù)所所圍圍成成 在在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有則有dvzRyQxP)( RdxdyQdzdxPdydz其中其中或或 dSRQP)coscoscos( cos,cos,cos2021-10-1941dvzRyQxP)( RdxdyQdzdxPdydz 其中其中為閉區(qū)域為閉區(qū)域的邊界曲面的的邊界曲面的。,zRyQxP 若若取取1 zyxRQP.31zdxdyydzdxdydzxdvV 則有：則有：2021-10-1942例例1：,sin12dxdyyedydzyxx 所圍部分的外側(cè)。所圍部分的外側(cè)。與與2, 01:22 zzyx xyz,12yxP

23、, 0 Q,sin yeRx ,12yPx , 0 yQ, 0 zRdv 原原式式.316 21y xdyd 11 20zd21y 21 y 21 y 22021-10-1943例例2：穿穿過過球球面面求求向向量量kxzjzyi yxa 1222 zyx在第一卦限外側(cè)部分的流量在第一卦限外側(cè)部分的流量。 Sda即即求求 dxdyxzdzdxyzdydzxy，, 0:1 x, 0:2 y, 0:3 z 321vdxzy)( dvz3方向如圖，方向如圖，:,163 vdRQPzyx)( 203 d 20sin drdr210 cosrxyz02021-10-1944 123.163 Sda, 0:

24、1 x, 0:2 y. 0:3 z: : 1dydzzyD 0= 0, 2dzdxzxD 0= 0, 3dxdyyxD 0= 0, dxdyxzdzdxyzdydzxy dxdyxzdzdxyzdydzxy 321 xyz0 1xydydz 2yzdzdx 3xzdxdy2021-10-1945例例3. 求求, zdxdyydzdxxdydzI. 0,2222軸正向成銳角軸正向成銳角與與法向量法向量指定側(cè)的指定側(cè)的為半球面為半球面其中其中znzazyx 01 zdxdyydzdxxdydz0 xyzn利用高斯公式利用高斯公式, 為此引入輔為此引入輔 助曲面助曲面 0:2221zayx.1向的方

25、向相反向的方向相反軸正軸正與與指定側(cè)法向量指定側(cè)法向量并設(shè)并設(shè)zn 易見易見于是由高斯公式于是由高斯公式, 有有 2021-10-1946例例3. 求求. 0,2222軸正向成銳角軸正向成銳角與與法向量法向量指定側(cè)的指定側(cè)的為半球面為半球面其中其中znzazyx dv)111(0 xyzn于是由高斯公式于是由高斯公式, 有有 zdxdyydzdxxdydz 1zdxdyydzdxxdydz dv3334213a 32 a , zdxdyydzdxxdydzI01 zdxdyydzdxxdydz2021-10-1947例例3. 求求. 0,2222軸軸正正向向成成銳銳角角與與側(cè)側(cè)的的法法向向量量

26、指指定定為為半半球球面面其其中中znzazyx zdxdyydzdxxdydz0 xyzn利用兩類曲面積分之間的聯(lián)系求解利用兩類曲面積分之間的聯(lián)系求解, 指指定定側(cè)側(cè)的的法法向向量量為為因因為為半半球球面面 則則2,2,2zyxn 0, ,xyznaaa, zdxdyydzdxxdydzISdnzyx 0,Sdzyxa )(1222Sda 2421aa 32 a 2021-10-1948例例4. 求求,)1( dxdyydzdxdydzxI 是如圖所示的四面體是如圖所示的四面體 OABC 的整個邊界曲面，的整個邊界曲面，且取外側(cè)且取外側(cè)。0 xyzA(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1

27、), 1 xP, yQ , 1 R dxdyydzdxdydzx)1( dv)011( dv2121312 31 2021-10-1949例例5：,22 yxdxdyez1,2zz 所所圍圍立立體體的的外外側(cè)側(cè)面面。,221yxz ：. 41:221 yxD, 1:2 z, 2:3 z不不連連續(xù)續(xù)，22yxeRz 在在所所圍圍區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)，分析：分析：. 1:222 yxD.4:223 yxD12xyz1 1222:,zxy 2021-10-1950 22yxdxdyez所所求求yx,221yxz ：. 41:221 yxD, 1:2 z. 1:222 yxD, 2:3 z.4:223 yxD

28、 1Ddxdyyxe22 22yx dxdyyxe22 1 2D dxdyyxe22 2 3D1 212xyz1 122021-10-1951rdr 22yxdxdyez所所求求 1Ddxdyyxe22 22yx dxdyyxe22 1 2D dxdyyxe22 2 3Dyxrer 20d1 212 20drdr re01 20drdr 2re02)(22ee e 2 24 e .22e 2021-10-1952例例6： 設(shè)設(shè)為一光滑閉曲面為一光滑閉曲面， 處的單處的單),(zyxn上上點點為為 位外法線向量，位外法線向量，,kzjyixr ,),cos(2dSrnr 求求(1)不包含原點不包

29、含原點；的表面外側(cè)。的表面外側(cè)。2222:)2(azyx 由題意，由題意，的向徑，的向徑，上任一點上任一點為為),(zyxr ,coscoscoskjin nrnrnr ),(cos= 222coscoscos 222zyx coscoscoszyx cosrx cosry cosrz SdrzryrxrI)coscoscos(12 2021-10-1953SdrzryrxrI)coscoscos(12 ,),cos(2dSrnr 求求dydz3rx3ry dzdx3rz dxdy(1) 不包含原點不包含原點。高斯公式條件滿足高斯公式條件滿足, 0 zyxRQP所以所以 I = 0(1) 因為因為不包含原點不包含原點， xP,3522rxr ,3522ryrQy ,3522rzrRz 2021-10-1954(2)在在上上，r = a ,dxdyrzdzdxrydydzrxI333 dxdyzdzdxydydzxa 31 vda)111(13的的表表面面外外側(cè)側(cè)。2222:)2(azyx 包含原點包含原點, 則不可直接用高斯公式。則不可直接用高斯公式。.4 vda33(內(nèi)無奇點內(nèi)無奇點)334a 33a ,),cos(2dSrnr 求求2021-10-1955因為在球面上因為在球面上，點的向徑與該點法向量點的向徑與該點法向量(x,y,z)nn方向一致方向一致，, 0),(