小升初數學典型例題

1、典型應用題【平均數問題】例1 小強騎自行車從甲地到乙地，去時以每小時15千米的速度前進，回時以每小時30千米的速度返回。小強往返過程中的平均速度是每小時多少千米？（江西省第二屆“八一杯”小學數學競賽試題）講析：我們不能用（15+30）2來計算平均速度，因為往返的時間不相等。只能用“總路程除以往返總時間”的方法求平均速度。所以，往返的平均速度是每小時例2 動物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生。如果只分給第一群，則每只猴子可得12粒；如果只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，則每只猴子可得20粒。那么平均分給三群猴子，每只猴子可得_粒。（北京市第八屆“迎春杯”小學數學競賽試題）講析：設花生

2、總粒數為單位“ 1”，由題意可知，第一、二、三群猴子于是可知,把所有花生分給這三群猴子，平均每只可得花生例3 某班在一次數學考試中，平均成績是78分，男、女生各自的平均成績是75.5分和81分。問：這個班男、女生人數的比是多少？（全國第三屆“華杯賽”決賽第二試試題）講析：因男生平均比全班平均少2.5分，而女生平均比全班平均的多3分，故可知2.5男生數=3女生數。2.53=女生數：男生數即 男生數：女生數=6:5。例4 某次數學競賽原定一等獎10人，二等獎20人，現在將一等獎中最后4人調整為二等獎，這樣，得二等獎的學生平均分提高了1分，得一等獎的學生的平均分提高了3分。那么，原來一等獎平均分比二

3、等獎平均分多_分。（1994年全國小學數學奧林匹克決賽試題）講析：設原來一等獎每人平均是a分。二等獎每人平均是b分。則有：10a+20b=6（a+3）+24（b+1）即：a-b=10. 5。也就是一等獎平均分比二等獎平均分多10.5分?！拘谐虇栴}】例1 甲每分鐘走50米，乙每分鐘走60米，丙每分鐘走70米，甲乙兩人從a地，丙一人從b地同時相向出發(fā)，丙遇到乙后2分鐘又遇到甲，a、b兩地相柜_米。（ 1990年小學生報小學數學競賽試題）講析：如圖5.30，當乙丙在d點相遇時，甲已行至c點?？上惹蟪鲆?、兩相遇的時間，也就是乙行距離ad的時間。乙每分鐘比甲多走 10米，多少分鐘就多走了cd呢？而cd的

4、距離，就是甲、丙2分鐘共行的距離：（70+50）2=240(米）。于是可知，乙行ad的時間是24010=24（分鐘）。所以，ab兩地相距米數是（70+60）24=3120（米）例2 在一條公路上，甲、乙兩個地點相距600米，張明每小時行走4千米，李強每小時行走5千米。8點整，他們兩人從甲、乙兩地同時出發(fā)相向而行，1分鐘后他們都調頭反向而行，再過3分鐘，他們又調頭相向而行，依次按照1、3、5、7（連續(xù)奇數）分鐘數調頭行走。那么，張、李兩個人相遇時是8點_分。（1992年全國小學數學奧林匹克競賽初賽試題）（千米）=150（米）他倆相向走（1+5）分鐘，反向走（3+7）分鐘后兩人相距：600+150

5、（3+7）-（1+5）=1200（米）所以，只要再相向行走1200150=8（分鐘），就可以相遇了。從而可知，相遇所需要的時間共是1+3+5+7+7+8=24（分鐘）也就是相遇時是8點24分。例3 快、中、慢三輛車同時從同一地點出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個騎車人。這三輛車分別用6分鐘，10分鐘、12分鐘追上騎車人?，F在知道快車每小時走24千米，中車每小時走20千米，那么，慢車每小時走多少千米？（全國第一屆“華杯賽”決賽第二試試題）講析：如圖5.31所示，a點是三車的出發(fā)點，三車出發(fā)時騎車人在b點，a1、a2、a3分別為三車追上騎車人的地點?？燔囎咄?.4千米追上了他。由此可見三輛車出發(fā)時，騎

6、車人已走的路程是ab=2.4-1.4=1（千米）。所以，慢車的速度是：例4 一輛車從甲地開往乙地。如果把車速提高20，可以比原定時間提前一小時到達；如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25。則可提前40分鐘到達。那么，甲、乙兩地相距_千米。（1992年全國小學數學奧林匹克決賽試題）講析：首先必須考慮車速與時間的關系。因為車速與時間成反比，當車速提高20時，所用時間縮短為原來的例5 游船順流而下每小時行8千米，逆流而上每小時行7千米，兩船同時從同地出發(fā)，甲船順流而下，然后返回。乙船逆流而上，然后返回，經過2小時同時回到出發(fā)點，在這2小時中，有_小時甲、乙兩船的航行方向相同。（上海市第五屆小學

7、數學競賽初賽試題）講析：關鍵是要理解上行與下行時間各占全部上下行總時間的百分之幾。因為兩船2小時同時返回，則兩船航程相等。又上行船速是每小時行7例6 甲、乙兩車分別從a、b兩城同時相向而行，第一次在離a城30千米處相遇。相遇后兩車又繼續(xù)前行，分別到達對方城市后，又立即返回，在離a城42千米處第二次相遇。求a、b兩城的距離。（小學生科普報小學數學競賽預選賽試題）講析：如圖5.32所示。兩車第一次在c地相遇，第二次在d地相遇。甲、乙兩車從開始到第一次c點相遇時，合起來行了一個全程。此時甲行了30千米，從第一次相遇到第二次d點相遇時，兩車合起來行了兩個全程。在這兩個全程中，乙共行（30+42）千米，

8、所以在合行一個全程中，乙行（3042）2=36（千米），即a、b兩城的距離是3036=66（千米）。例8 甲、乙兩車分別從a、b兩地出發(fā)，在a、b之間不斷往返行駛，已知甲車的速度是每小時15千米，乙車的速度是每小時35千米，并且甲、乙兩車第三次相遇（兩車同時到達同一地點叫相遇）的地點與第四次相遇的地點恰好相距100千米。那么a、b兩地的距離等于_千米。（1993年全國小學數學奧林匹克初賽試題）講析：根據甲、乙兩車的速度比為37，我們可將a、b兩地平均分成10份（如圖5.33）。因為甲、乙兩車速度之比為37，所以甲每走3份，乙就走了7份。于是它們第一次在a3處相遇。甲再走4.5份，乙走10.5份

9、，在a7與a8之中點處甲被乙追上，這是第二次相遇；甲再又走1.5份，乙走3.5份，在a9點第三次兩車相遇；甲走6份，乙走14份在a5點第四次兩車相遇。（千米）。例9 在400米環(huán)形跑道上， a、b兩點相距100米（如圖5.34）。甲、乙兩人分別從a、b兩點同時按逆時針方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒鐘，那么，甲追上乙需要_秒鐘。（1992年全國小學數學奧林匹克初賽試題）講析：各跑100米，甲比乙少用的時間是1004-1005=5（秒鐘），現在甲要比乙多跑100米，需20秒鐘。由205=4（個百米），可知，乙跑400米以后，甲就比乙多跑100米。這樣便剛好追上

10、乙。甲跑完（400+100）米時，中途停了4次，共停40秒鐘。故205+40=140（秒）。當乙跑完400米以后，停了10秒，甲剛好到達同一地點。所以，甲追上乙需要140秒鐘。例10 甲、乙二人在同一條環(huán)形跑道上作特殊訓練：他們同時從同一地點出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達出發(fā)點后立即回頭加速跑第二第一次相遇點190米，問這條環(huán)形跑道長多少米？（全國第四屆“華杯賽”復賽試題）講析：圖為甲、乙兩人每跑到原出發(fā)點時，就返回頭跑。于是，從出發(fā)點切開，然后將環(huán)形跑道拉直，這樣，他倆就可以看作在ab線段上的往返跑步（如圖5.35）。跑第一圈時，乙的速度與甲的速度的比是32。當甲從原速跑到a點。（個

11、）全程，即剛好到達d點。所以，在ad段中，甲、乙兩人都是按各自的加速度相向而行。不難求得例11 圖5.36，大圈是400米跑道，由a到b的跑道長是200米，直線距離是50米。父子倆同時從a點出發(fā)逆時針方向沿跑道進行長跑鍛煉，兒子跑大圈，父親每跑到b點便沿直線跑，父親每100米用20秒，兒子每100米用19秒。如果他們按這樣的速度跑，兒子在跑第幾圈時，第一次與父親再相遇？（全國第二屆“華杯賽”復賽試題）講析：容易計算出，父親經過150秒剛好跑完3小圈到達a點，兒子經過152秒剛好跑完2圈到達a點，兒子比父親慢2秒鐘，所以兒子將沿跑道追趕父親。因為a到b彎道長200米，兒子每跑100米比父親快一秒

12、，可知恰好在b點追上父親。即，兒子在跑第三圈時，會第一次與父親相遇。例12 甲班與乙班學生同時從學校出發(fā)去某公園。甲班步行的速度是每小時4千米，乙班步行的速度是每小時3千米。學校有一輛大客車，它的速度是每小時48千米。這輛車恰好能坐一個班的學生。為了使兩班學生在最短時間內到達，那么甲班學生與乙班學生需要步行的距離之比是_。（1991年全國小學數學奧林匹克決賽試題）講析：要使兩個班在最短時間內到達，只有讓兩個班都同時運行且同時到達。設甲班先步行后乘車。甲班、乙班和客車的行進路線如圖5.37所示。ab、cd分別表示甲班和乙班步行距離。當甲班從a地行至b地時，汽車共行了：ab+2bc。又汽車速度是甲

13、班的12倍，所以同理，當乙班從c地行至d地時，汽車共行了cd+2bc。又，汽車速度是乙班的16倍，所以abcd=1511。即甲班與乙班需要步行的距離之比為1511。例13 王經理總是上午8點鐘乘公司的汽車去上班。有一天，他6點40分就步行上班，而汽車仍按以前的時間從公司出發(fā)，去接經理，結果在路途中接到了他。因此，王經理這天比平時提前16分鐘到達公司。那么汽車的速度是王經理步行速度的_倍。（小學生科普報小學數學奧林匹克通訊賽試題）講析：如圖5.38，a點表示王經理家，b點表示公司，c點表示汽車接王經理之處。王經理比平時提前16分鐘到達公司，而這16分鐘實際上是汽車少走了2ac而剩下的時間，則汽車

14、行ac路程需要8分鐘，所以汽車到達c點接到王經理的時間是7點52分鐘。王經理步行時間是從6點40分到7點52分，共行72分鐘。因此，汽車速度是王經理步行速度的728=9（倍）?！颈稊祮栴}】例1 倉庫里有兩個貨位，第一貨位上有78箱貨物，第二貨位上有42箱貨物，兩個貨位上各運走了相同的箱數之后，第一貨位上的箱數還比第二貨位上的箱數多2倍。兩個貨位上各運走了多少箱貨物？（1994年天津市小學數學競賽試題）講析：因為兩堆貨物各運走相同數量的貨物之后，第一堆比第二堆貨物多2倍。即此時第一堆貨物是第二堆貨物的3倍。所以，42的3倍的積與78的差，就是兩堆中各運走貨物的箱數的2倍。故兩個貨位各運走的貨物箱

15、數是（423-78）2=24（箱）。例2 一筆獎金分一等獎、二等獎和三等獎。每個一等獎的獎金是每個二等獎獎金的2倍，每個二等獎獎金是每個三等獎獎金的2倍。如果評一、二、三等獎各兩人，那么每個一等獎的獎金是308元；如果評一個一等獎，兩個二等獎，三個三等獎，那么一等獎的獎金是多少元？（全國第二屆“華杯賽”復賽試題）講析：我們可將二等獎和三等獎都換成一等獎。如果評1個一等獎，2個二等獎，3個三等獎時，每個一等獎的獎金為：0例3 甲、乙兩個小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到20粒。如果甲給乙一定數量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒數的2倍。如果乙給甲同樣數量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒數的3倍。那么，甲、乙兩個

16、小朋友共有糖_粒。（1994年全國小學數學奧林匹克初賽試題）。講析：甲給乙一定數量的糖之后，甲是乙的2倍。這說明甲乙兩個糖數之和是3的倍數；同理，乙給甲一定數量的糖后，甲是乙的3倍，這說明甲乙兩個糖數之和又是4的倍數。所以，甲、乙兩人糖粒總數一定是12的倍數。又，每袋糖都不到20粒，所以甲乙兩個糖數之和應為12、24、36中的一個數。經檢驗，當總糖數是24時，即甲為17粒、乙為7粒時，符合要求。即兩個小明友共有糖24粒。例4 一小和二小有同樣多的同學參加金杯賽。學校用汽車把學生送往考場。一小用的汽車，每車坐15人，二小用的汽車，每車坐13人，結果二小比一小要多派一輛汽車。后來每校各增加一個人參

17、賽，這樣兩校需要的汽車就一樣多了。最后又決定每校再各增加一人參加競賽，二小又要比一小多派一輛汽車。問最后兩校共有多少人參加競賽？（全國第一屆“華杯賽”決賽試題）講析：原來二小比一小多一輛車，各增加一人后，兩校所需車一樣多。由此可見，一小增一人就要增加一輛車，所以原來汽車恰好全部坐滿，即原來一小人數是15的倍數。后來又增加1人，這時二小又要多派一輛車，所以在第二次增加人數之前，二小的車也恰好坐滿。即人數是13的倍數。因此，原來每校參加的人數都是15的倍數。而加1之后，是13的倍數。即求15的某個倍數恰等于13的倍數減1。因為156=90，137=91，所以，兩校各有92人參加競賽。從而可知，兩校

18、共有184人參加競賽?！灸挲g問題】例1 小明今年5歲，爸爸的年齡是小明的7倍，再過多少年爸爸的年齡是小明年齡的3倍？（1993年吉林省“金翅杯”小學數學競賽試題）講析：可先求出當爸爸年齡是小明年齡的3倍時，小明的年齡是多少歲：（57-5）（3-1）=15（歲）。故，再過10年，爸爸的年齡是小明年齡的3倍。例2 今年祖父的年齡是小明年齡的6倍。幾年后，祖父年齡是小明年齡的5倍。又過幾年后，祖父年齡是小明年齡的4倍。問：祖父今年多少歲？（全國第二屆“華杯賽”少年數學競賽試題）講析：因為今年祖父年齡是小明年齡的6倍。所以，年齡差是小明年齡的5倍，即一定是5的倍數。同理，又過幾年后，祖父的年齡分別是小

19、明年齡的5倍和4倍，可知年齡差也是4和3的倍數。而年齡差是不變的。由3、4、5的公倍數是60、120、可知，60是比較合理的。所以，小明今年的年齡是60（6-1）=12（歲）；祖父今年的年齡是126=72（歲）。例3 1994年姐妹兩人年齡之和是55歲。若干年前，當姐姐的年齡只有妹妹現在這么大時，妹妹的年齡恰好是姐姐年齡的一半。姐姐是哪一年出生的？（長沙地區(qū)數學競賽預選賽試題）講析：設若干年前，妹妹的年齡為x歲，則現在妹妹為2x歲；姐姐在“若干年前”那一年的年齡也為2x歲，則姐姐現在的年齡為3x歲。由2x+3x=55，可知，x=11。所以，今年姐姐的年齡是311=33（歲）。故姐姐是1960年出生的?！緯r鐘問題】例1 把一個時鐘改裝成一個玩具鐘，使得時針每轉一圈，分針轉16圈，秒針轉36圈。開始時三針重合。問：在時針旋轉一周的過程中，三針重合了幾